THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Đs: V = 2a3 Bài 3.Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt củ

Trang 1

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông

cân tại A có

cạnh BC = a và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

Ta có

ABC A'B'C' là lăng trụ đứng

Vậy V = B.h = SABC AA' =

Ví dụ 2:Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và

đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ này

Trang 2

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a =

4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ.

Trang 3

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? + Tìm diên tích B = SABC bằng công thức nào ?

+ Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ?

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC Ta có ABC đều nên

Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'=

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng

600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ Tính thể tích

hình hộp

Trang 4

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

+ Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào ?

+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và định lí gì ?

Ví dụ 5: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi

góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp Tính thể tích cái hộp này.

+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

+ Tìm h = AA' ? Tại sao ?

Trang 5

và chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800cm3

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a Tính thể tích và tổng diện tích các

mặt bên của lăng trụ ĐS: ; S = 3a2

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng Tính thể tích của lăng trụ Đs: V = 2a3

Bài 3.Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng

trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ Đs:V = 240cm3và S = 248cm2

Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2

Tính thể tích lăng trụ Đs:V = 1080 cm3

Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt

bên AA'B'B có đường chéo là 5a Tính thể tích lăng trụ Đs:V = 24a3

Trang 6

Bài 6:Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm Tính

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 Tính thể tích lăng trụ.

*) Tìm hình chiếu của A'B trên đáy ABC Suy ra góc [A'B,(ABC)] = ?

*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?

*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Trang 7

Vậy V = SABC.AA' =

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại

A với

AC = a , = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300 Tính AC' và thể tích lăng trụ.

Phân tích *) Tìm hình chiếu của BC' trên (AA'C'C) Suy ra góc [BC',(AA'C'C)] = ?

*) Tìm AC' trong tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác gì ?

Trang 8

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường

chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300 Tính thể tích và tổng diên tích của

các mặt bên của lăng trụ

Trang 9

Phân tích

*) Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ

*) Dựng BD' và BD ?

phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

*) Tìm hình chiếu của BD' trên đáy ABCD Suy ra góc [BD',(ABCD)] = ?

*) Tìm diện tích B của hình vuông ABCD bằng công thức nào ?

*) Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:

và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD Vậy góc [BD';(ABCD)] =

Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' =

60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o Tính thể tích của hình hộp.

Trang 10

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

*) Tìm hình chiếu của AB' trên (ABCD) Suy ra góc [AB',(ABCD)] = ?

*) Dựng BD Suy ra ABD có hình tính gì ? Suy ra diện tích B của ABCD bằng cách nào? +Tính h = BB' trong tam giác nào ? Dùng hệ thức lượng giác nào ?

Trang 11

Bài 3 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một góc

30o Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ ĐS: ;

Bài 4 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và biết BC' hợp với mặt bên

(AA'C'C) một góc 30o Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC' ĐS

Bài 5 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng

(A'BC) một góc 300 Tính thể tích lăng trụ ĐS:

Bài 6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một góc 30o và hợp với

(ABB'A') một góc 45o Tính thể tích của khối hộp chữ nhật Đs:

Bài 7 Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông Gọi O là tâm của ABCD và OA' = a Tính thể tích của

khối hộp khi: 1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương ĐS

2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o ĐS

3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o ĐS

Bài 8 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp

sau đây: 1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o ĐS

2) BD' hợp với mặt (AA'D'D) một góc 30o ĐS

Bài 9 Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là

60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ Đs: V = a3và S = 6a2

Trang 12

Bài 10.Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ;AD = b;AA' = c và BD' = AC' = CA' =

1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật

2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc đường chéo

Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với

BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 Tính thể tích lăng trụ.

*) Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?

*) Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?

Lời giải:

Ta có

Vậy

Trang 13

SABC = Vậy V = SABC.AA' =

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt (A’BC) tạo

với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ.

*) Nhận xét có hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí AI và A'I thế nào với

BC? Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?

*) Đặt BC = 2x Suy ra A'I bởi tam giác nào ?

*) Từ diện tích tam giá A"BC suy ra x bởi công thức nào?

Giải đều mà AA' nên A'I (đl 3 ).

Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = = 30o

Giả sử BI = x Ta có

Trang 14

A’A = AI.tan 300 =

Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3

Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 Do đó VABC.A’B’C’ = 8

Ví dụ 3 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp

với đáy (ABCD) một góc 60o Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

*) Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ?

*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?

*) Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Giải.

Gọi O là tâm của ABCD Ta có

ABCD là hình vuông nên

Trang 15

CC' (ABCD) nên OC' BD (đl 3 ).

Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = = 60o

Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

vuông nên CC' = OC.tan60o =

Vậy V =

Ví dụ 4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với

đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

*) Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?

*) Suy ra góc[(A'BC);(ABCD)] = ?

*) Tìm hình chiếu của A'C trên (ABCD) ? Suy ra góc[A'C,(ABCD)] = ?

*) Tìm AB và AC bởi tam giác vuông nào? Dùng hệ thức lượng giác nào ?

Trang 16

Ta có AA' AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD)

Vậy góc[A'C,(ABCD)] =

BC AB BC A'B (đl 3 ) [(A'BC), (ABCD)] =

AC = AA'.cot30o =

AB = AA'.cot60o =

Vậy V = AB.BC.AA' =

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1 Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 30o và

mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 Tính thể tích hộp chữ nhật Đs:

Bài 2 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy

một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3

Bài 3 Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một

góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs:

Trang 17

Bài 4 Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và biết rằng

(A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs:

Bài 5 Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC

một góc 60o Tính thể tích lăng trụ Đs:

Bài 6 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a.Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau

đây:

1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o Đs:

2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o ĐS:

3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ ĐS:

Bài 7 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau

đây: 1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o ĐS : V = 16a3

2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 ĐS : V = 12a3

3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a ĐS :

Bài 8 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau

đây: 1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o ĐS :

2)Tam giác BDC' là tam giác đều ĐS : V =

3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450 ĐS : V =

Trang 18

Bài 9 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A = 60o Tính thể tích lăng trụ trong các

trường hợp sau đây: 1) (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o ĐS:

2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng ĐS :

3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450 ĐS :

Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a.Tính thể tích khối hộp trong các trường hợp sau

đây: 1) AB = a ĐS :

2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o ĐS :

3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300 ĐS :

Dạng 4 Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết

cạnh bên là và hợp với đáy ABC một góc 60o Tính thể tích lăng trụ.

*) Xác định góc giữa cạnh bên với đáy : Hình chiếu của CC' trên (ABC) là gì?

*) Suy ra góc[CC';(ABC)] = ?

Trang 19

*) Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải:

Ta có là hình chiếu của CC' trên (ABC)

Vậy

SABC = Vậy V = SABC.C'H =

Ví dụ 2 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình

chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.

2) Tính thể tích lăng trụ

*) Xác định góc giữa cạnh bên AA' với đáy ABC :

Hình chiếu của AA' trên (ABC) là gì? Suy ra góc[AA'';(ABC)] = ?

*) Chứng minh BC AA' bằng cách Chứng minh BC mặt phẳng nào ? Tứ đó có thể BC CC'

Trang 20

không ?

tại sao? Vậy BB'C'C là hình gì?

*) Tìm h = AA'' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

2) đều nên

Trang 21

Vậy V = SABC.A'O =

mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

*) Xác định góc giữa mặt bên với đáy.Dựng đường cao A'H và HN AD

HM AB Suy ra góc[(ABB'A');(ABCD)] =? góc[(ADD'A');(ABCD)]

= ?

*) Tìm h = A'H không dùng trực tiếp tam giác vuông nào được ? Đặt x = A'H

*) Dùng hai tam giác nào bởi định lý gì để tạo ra phương trình theo x ?

Lời giải:

Kẻ A’H ,HM

(đl 3 )

Trang 22

Đặt A’H = x Khi đó A’N = x : sin 600 =

Trang 23

Bài 4 Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách đều A,B,C biết AA' =

.Tính thể tích lăng trụ Đs:

Bài 5 Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên (ABC) nằm trên đường cao AH

của tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC một góc 60o

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật

2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Đs:

Bài 6 Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O

1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B ĐS :

2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C' ĐS:

Bài 7 Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung

điểm của BC và AA' = a

1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ ĐS : 30o

2) Tính thể tích lăng trụ ĐS:

Bài 8 Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O Hình chiếu của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của

lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc

90o Đs:

Bài 9 Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a,hình chiếu vuông góc của A' trên(ABCD) nằm trong hình

thoi,các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một góc 60o

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	267,03 KB