HH - Lớp 10 ban C

Về kiến thức: - HS nắm đợc ĐN vectơ, vectơ -không, độ dài vectơ, hai vec tơ cùng phơng, cùng hớng, hai vec tơ bằng nhau.. - hoàn thành bài tập SGK, làm thêm trong SBT Ngày tháng năm 2007

Trang 1

Bùi Thị Kim Th – Trờng THPT Thị xã Hng yên

Ngày tháng năm 2007

Tiết 1

Chơng I

vectơ

Đ1 các định nghĩa

I.Mục đích yêu cầu:

1 Về kiến thức:

- HS nắm đợc ĐN vectơ, vectơ -không, độ dài vectơ, hai vec tơ cùng phơng, cùng hớng, hai vec tơ bằng nhau

- biết đợc vec tơ không cùng hớng với mọi vectơ

2 Về kĩ năng:

- CM đợc hai vectơ bằng nhau

- Cho trớc một vec tơ a và A, biết dựng              AB a              

3 Về t duy và thái độ:

- rèn t duy lôgic, trí tởng tợng trong hình học

- biết qui lạ về quen

- cẩn thận , chính xác trong lập luận

II.Chuẩn bị của thày và trò:

III Tiến trình tiết học:

1.ổ n định tổ chức lớp :

2.Bài cũ :

3.Bài mới :

Hoạt động của thày và trò Nội dung

* GV nêu VD trong SGK, hớng dẫn ể

đi đến ĐN vectơ

* GV lu ý HS cách biểu diễn, cách kí

hiệu vectơ AB: dấu mũi tên đợc đặt

vào điểm cuối

* GV yêu cầu HS trả lời:

- một đoạn thẳng AB có độ dài khác

không có trhể xác định đợc bao nhiêu

vectơ?

- vec tơ ABvà BA có điểm đầu và điểm

cuối trùng nhau , đúng hay sai?

GV chính xác câu trả lời , từ đó củng

cố ĐN vectơ

* G V dẫn dắt HS đến KN giá của VT:

? cho VT ABkhác VT- không, có bao

nhiêu ĐT qua 2 điểm A, B?

? Khi ABlà VT - không, có bao nhiêu

ĐT qua 2 điểm A, B?

Từ đó GV KL về giá của VT

* GV dùng hình vẽ 3-SGK, yêu cầu HS

trả lời:

- các VT:   AB DC EF, ,

có giá quan hệ với nhau nh thế nào?

- các VT: MN PQ , có giá quan hệ với

nhau nh thế nào?

Từ đó GV nêu khái niệm 2 VT cùng

phơng GV hỏi HS: căn cứ ĐN ,

VT-1) Vectơ là gì?

* ĐN (SGK): Vectơ là 1 đoạn thẳng có hớng

A B

* kí hiệu:

- vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B đợc

kí hiệu là: AB

- nhiều khi vectơ còn đựoc kí hiệu bằng

1 chữ cái in thờng, có mũi tên ở trên chẳng hạn: a b c  , , , , , , x y 

2) Hai vectơ cùng phơng, cùng hớng:

* Giá của vectơ:

Trang 2

không và AB có cùng phơng?

* GV vẽ HBH ABCD, hỏi HS: chỉ ra

vài cặp vec tơ cùng giá, vài cặp VT

cùng phơng nhng không cùng giá, vài

cặp véc tơ không cùng phơng

* GV dùng hình vẽ 4 SGK, hỏi HS: các

cặp VT :  AB CD, ; MN PQ , cùng phơng

hay không? GV NHạn xét về hớng của

chúng bằng trực quan Từ đó đi đến

ĐN GV nhấn mạnh: 2 VT cùng hớng

thì trớc hết phải cùng phơng

* GV củng cố 2 VT cùng hớng bằng

hoạt động: cho HBH ABCD, chỉ ra: vài

cặp VT cùng hớng, vài cặp VT ngợc

h-ớng, vài cặp VT cùng hớng nhng không

cùng giá?

- HS trả lời câu hỏi của GV

* GV phải cho HS giải thích :  AB AC,

cùng phơng nên 2 ĐT AB, AC song

song hoặc trùng nhau Vì AB, AC có A

chung nên AB, AC trùng nhau, do đó 3

điểm A, B, C thẳng hàng

? Có thể vẽ hình nh thế nào nữa?

( thay đổi vị trí A, B, C trên đờng

thẳng đi qua chúng)

GV củng cố:  AB AC, cùng phơng thì

A, B,C thẳng hàng

? A, B,C thẳng hàng thì  AB AC, có

cùng phơng không?( có, theo ĐN)

GV KL: A, B,C thẳng hàng khi và chỉ

?Nếu  AB AC, ngợc hớng thì 3 điểm A,

B, C là 3 đỉnh của 1 tam giác , đúng

hay sai? ( sai: A, B,C thẳng hàng

* GV nêu qui ớc:

- với VT AB khác VT- không, đờng

thẳng AB gọi là giá của AB.

- đối với VT-không AA, mọi ĐT đi qua

A đều gọi là giá của nó

* hai VT cùng phơng:

- hai VT cùng phơng nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

* Nếu 2 VT cùng phơng thì chúng cùng hớng hoặc ngợc hớng

* Nhận xét : 3 điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi  AB AC, cùng phơng

4) củng cố: - củng cố các khái niệm : vectơ, vevtơ -không, 2 vectơ cùng phơng,

cùng hớng

- GV chuẩn bị 1 số câu hỏi trắc nghiệm cho HS làm:

1 cho ngũ giác ADCDE, số các véc tơ có điểm đầu và điểm cuối khác nhau và

là các đỉnh của ngũ giác bằng:

a) 25, b) 20, c) 16, d) 10, e) một đáp số khác

2 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O,số các VT cùng phơng với OC có điểm đầu

và điểm cuối là các đỉnh của lục giác bằng:

a) 10, b) 12, c) 13 d) 14 e) một đáp số khác

5) H ớng dẫn về nhà: - nắm chắc lí thuyết,làm bài tập trong SGK, SBT.

Tiết 2

Trang 3

Đ1 các định nghĩa(tiếp)

( Tiết 1)

2.Bài cũ : -Nêu ĐN vectơ, 2 VT cùng phơng?

- hai VT cùng hớng thì cùng giá, đúng hay sai?

- cho tam giác ABC, liệt kê các véc tơ có điểm đầu , điểm cuối là các đỉnh của tam giác

3.Bài mới :

Hoạt động của thày và trò Nội dung

* GV nêu ĐN, lu ý HS phân biệt kí

hiệu: a và a a , R

? so sánh độ dài của ABvà BA

*Cho hình vuông ABCD tâmO cạnh a,

tính độ dài của các vectơ  AC OD, Nhận

xét về hớng và độ dài của các VT: AB

và DC, từ đó GV đi đến KN 2 VT

bằng nhau

? Cho HBH ABCD, chỉ ra các cặp VT

bằng nhau? ABvà CD có bằng nhau

( Học sinh lên bảng trình bày)

? cho O là tâm lục giác đều ABCDEF,

hãy chỉ ra các vectơ bằng OA ?

( Học sinh lên bảng trình bày)

* GV hớng dẫn HS thực hiện VD

* GV vẽ thêm 1 số trờng hợp cho HS

dựng véc tơ bằng vectơ cho trớc , có

điểm đầu hoặc điểm cuối cho trớc,

nhấn mạnh cách dựng

* GV dẫn dắt khái niệm vectơ- không

bằng các câu hỏi: cho 2 điểm A,B:

- Khi A trùng B thì AB có độ dài bằng

bao nhiêu?

- vec tơ ABvà BA kác nhau khi nào?

GV : một vectơ xác định nếu biết điểm

đầu và điểm cuối của nó Khi VT có

điểm đầu trùng điểm cuối , ta gọi đó là

VT- không

* HS trả lời câu hỏi:

- một đoạn thẳng AB có độ dài khác

khomg có thể xác định đợc bao nhiêu

VT? ( 4 VT: AB, BA , AA BB, )

- trong các VT đó, véc tơ nào là VT

không?

3) Hai vectơ bằng nhau:

a) Độ dài của một vectơ: là khoảng

cách giữa điểm đầu và điểm cuối

- kí hiệuđộ dài của a là: a

- NX: AB =BA=AB

b) hai vec tơ bằng nhau:

* ĐN ( SGK) : hai VT bằng nhau nếu

chúng cùng hớng và cùng độ dài

kí hiệu: a b

* VD : Cho O không nằm trên ĐT a

chứa a, dựng OA =a

- qua O dựng đờng thẳng d// a ( a là giá của a) Trên d lấy 1 điểm A sao cho OA cùng hớng với a và OA= a

Có duy nhất1 điểm A nh vậy

4) Vectơ - không:

* ĐN: * vectơ - không:

- ĐN: là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

- VD:   AA BB CC, , ,

Trang 4

? Vectơ-không có độ dài bằng bao

nhiêu?

* qui ớc: vectơ - không cùng phơng,

cùng hớng với mọi vectơ

* vectơ-không có độ dài bằng không.

* chú ý: tất cả các vectơ - không đều bằng nhau, chúng đợc kí hiệu: o

4) Củng cố: - khắc sâu các KN, cần vận dụng thành thạo để giải toán

5) Về nhà : - thuộc lí thuyết.

- hoàn thành bài tập SGK, làm thêm trong SBT

Tiết 3

Luyện tập

- Củng cố lí thuyết bài 1

- Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán liên quan đến vectơ cùng phơng, hai vec tơ bằng nhau

II.Chuẩn bị của thày và trò: Các hình vẽ trong SGK

2.Bài cũ : ? từ 1 đoạn thẳng có thể xác định đợc bao nhiêu vectơ?

? ĐN hai vectơ bằng nhau

3.Bài mới :

? ĐN hai vectơ cùng phơng?

?ĐN giá của một vectơ?

? trả lời bài 1?

? Quan sát hình vẽ 1.4 Tìm các VT

cùng phơng , cùng hớng, ngợc hớng,

các VT bằng nhau

Bài 1:

a) Đúng b) đúng

Bài 2:

* Các vectơ cùng phơng:

;

; ; ;

;

a b

x y z w

u v

 

   

 

* Các VT cùng hớng:

;

; ;

a b

x y

 

* Các VT ngợc hớng:

Trang 5

? Tứ giác ABCD là HBH CM:

 

( cùng hớng, có độ dài bằng nhau)

? Khi AB DC

 

, CM: ABCD là HBH?

( AB//CD và AB = CD )

* GV vẽ hình lục giác đều, gọi HS lên

dựng B’; C’;F1

;

u v

z w

 

* Các VT bằng nhau: xy



Bài 3: Cho tứ giác ABCD CMR: tứ

giác đó là HBH khi và chỉ khi:

 

Bài 4:

4) Củng cố: - Khắc sâu các khái niệm đã học và PP giải toán.

- Làm thêm bài tập trong SBT : Bài 1,2

5) H ớng dẫn về nhà : Đọc trớc bài mới.

Tiết 4

Đ2 tổng và hiệu của hai vectơ

- hiểu cách xác định tổng, hiệu của 2 VT, các quy tắc 3 điểm, quy tắc HBH, qui tắc về hiệu vectơ

- Biết đợc a b  a b

2 Về kĩ năng:

- vận dụng đợc qui tắc 3 điểm, qui tắc HBH khi lấy tổng của 2 VT cho trớc

- Vận dụng qui tắc hiệu 2 VT vào CM các ĐT vectơ

- rèn t duy lôgic, biết quy lạ về quen

- Cẩn thận, chính xác trong lập luận và tính toán

2.Bài cũ :

3.Bài mới :

* Gv sử dụng hình 1.5trong SGK

Từ đó GV nhận xét nh SGK để đi đến

ĐN

* GV dùng hình 1.6 trong SGK, phân

tích kĩ từng bớc dựng vectơ tổng Lu ý

HS tính chất tuỳ ý của điểm A, do đó

để thuận tiện thì A đợc chọn là gốc của

a Vectơ tổng có điểm gốc là điểm gốc

của vectơ thứ nhất, điểm ngọn là điểm

ngọn của vectơ thứ hai

* HS lên bảng dựng tổng 2 VT, Vd: B

nằm giữa 2 điểm A, C; HS dựng tổng

 

GV nhấn mạnh độ dài của

vectơ tổng không bằng tổng độ dài các

vectơ

1) Định nghĩa tổng của hai vectơ:

* ĐN (SGK): Cho a b ; Từ A bất kì, dựng:

AB a BC b;

AC a b

 

  

   

  

Phép lấy tổng hai vectơ đợc gọi là phép cộng vectơ

    

Trang 6

* GV HD HS thực hiện H3: GV vẽ 2

VT: a b ; bất kì ( không cùng phơng),

dùng hình vẽ để kiểm chứng bằng

cách: vẽ hình bình 1.6 hành OACB sao

cho

OA BC a

OB AC b

 

  

Khi đó:

a b OA AC OC

b a OB BC OC

   

    

cộng vectơ có tính chất giao hoán

* Gv HD học sinh thực hiện H4 bằng

hình vẽ 11 SGK:

? vec tơ nào là a b  ( là OB )

? từ đó tìm vec tơ (a b   ) c (là OC )

GV hỏi tơng tự với câu b)

* GV củng cố 2 hoạt động, từ đó nêu

các tính chất nh SGK Lu ý: các tính

chất đó hoàn toàn giống nh tính chất

của tổng các số thực, vai trò của véc tơ

- không giống nh vai trò của số không

* GV nêu chú ý nh SGK

* Gv nêu qui tắc 3 điểm ( suy ra từ định

nghĩa), nhấn mạnh: điểm ngọn của

vectơ ban đầu là điểm đầu của vectơ

thứ hai

 

?( )

  

? Phân tích MN thành tổng 2 vectơ

  

)

* GV vẽ HBH ABCD, yêu cầu HS CM:

  

    

)

* Gv lu ý: - tổng 2 vec tơ xuất phát từ 1

đỉnh thuộc 2 cạnh bên bằng vec tơ ở

đ-ờng chéo xuất phát từ đỉnh đó.Từ đó

yêu cầu viết các ĐT vectơ theo qui tắc

HBH xuất phát từ B, C, D ?

- nhờ qui tắc HBH, việc lấy tổng của

;

a b  không cùng phơng có thể thực hiện

bằng ĐN hoặc bằng qui tắc HBH

? giải thích tại sao: a b  a b

trả lời: với 3 điểm M, N, P bất kì ta có:

MP  MN + NP, do đó:

  

Từ đó : với

; ;

      

ta có kết quả

trên

* GV dùng hình vẽ 1.11, HD HS làm

2) Các tính chất của phép cộng các vectơ:

* H3 (SGK):

* H4 (SGK):

a) (a b   ) c= = OC

b)a (b c  )= = OC

KL: (a b   ) c=a (b c  )

* các tính chất (SGK)

* chú ý: ( SGK)

3) Các qui tắc cần nhớ:

a) Qui tắc 3 điểm: Với 3 điểm bất kì

A, B, C ta có: AB BC AC

  

* Mở rộng:

AB BC CD AD

  

   

   

b) Qui tắc hình bình hành: Với hình

bình hành ABCD ta có:

  

chú ý: a b a b

   

Bài toán (SGK):

a) từ giả thiết suy ra: MB  AM , do đó:

     

( Đpcm) b)Dựng HBH AGBC’, ta có: trung

điểm M của AB cũng là trung điểm của

Trang 7

bài 3:

? Khai thác giả thiết M là trung điểm

của AB sang ngôn ngữ vec tơ? ( ta có

MB 

AM



 

)

? Dựng GA GB

 

? NX về độ dài của GC,GC’ Từ đó suy

ra quan hệ giữa 2 VT : GC GC ; '?

* GV nhấn mạnh lại kết quả bài toán 3

bằng ghi nhớ trong SGK

GC’, do đó:

'

CG GC CC o

    

  

    

   

4) Củng cố : Khắc sâu ĐN , các tính chất và các qui tắc.

Bài 6: Gv hớng dẫn HS CM Lu ý : HS thờng nhầm: Từ giả thiết:

AB CD

 

suy ra tứ giác ABCD là HBH là sai vì A, B,C, D cho bất kì

GV phân tích kĩ các tính chất và qui tắc sử dụng trong bài

5) H ớng dẫn công việc về nhà : - Thuộc lí thuyết

- Chuẩn bị trớc các bài toán trong SGK, làm BT

Tiết 5

Đ2 tổng và hiệu của hai vectơ ( tiếp)

I.Mục đích yêu cầu: ( Tiết 4 )

2.Bài cũ : ? Nêu ĐN tổng của các vectơ, các tính chất và 2 qui tắc?

? Xác định tổng AB BA

 

   

( I là trung điểm của

đoạn AB )

* GV chính xác câu trả lời của HS Đã học tổng của 2 vectơ, giữa các vectơ còn có phép toán khác, đó là phép lấy hiệu

3.Bài mới :

* Gv : Vẽ HBH ABCD, nhận xét về

h-ớng và độ dài của các VT:  AB CD; Từ

đó nêu ĐN

* Tìm:

?( )

 

 

?( )

 

 

Gv nhận xét: với ABlà VT bất kì, ta có:

 

= o, do đó: với mọi VT a

khác o đều tồn tại véc tơ đối

? Tìm VT đối của VT o?

* GV HD học sinh làm VD

4) Hiệu của hai vectơ:

a) Vectơ đối của 1 vectơ:

* ĐN: (SGK) VT đối của a là VT

ng-ợc hớng với VT a và có cùng độ dài với a

Kí hiệu: -a: là vectơ đối của vectơ a

* NX: - mọi VT đều có VT đối - VT

đối của VT o là o

*VD: Cho HBH ABCD, khi đó:

Trang 8

?Gọi O là tâm HBH ABCD, chỉ ra các

cặp VT đối nhau có điểm đầu là O và

điểm cuối là các đỉnh của HBH?

trả lời: là các cặp VT: OA và OC ;OB

và OD

GV củng cố lại: VT đối tơng tự số đối

* HS nêu ĐN, GV chính xác lại

* GV: phép toán lấy hiệu đợc ĐN

thông qua phép toán lấy tổng, hiệu của

2 VT cho KQ là 1 VT các tính chất

đ-ợc suy ra từ tính chất của phép công

VT.Từ ĐN ta có thể dựng đợc hiệu của

2 VT , tuy nhiên ta dựng nh sau:

( GV nêu cách dựng, thể hiện trên hình

vẽ)

? Giải thích tại sao: BA a b 

  

?

    

)

* GV nhấn mạnh lại cách dựng,lu ý:

chọn O ở gốc của a GV vẽ 1 số trờng

hợp để HS dựng hiệu 2 VT

* Gv củng cố ĐN, cách dựng , nêu chú

ý:

 chuyển vế, đổi dấu

* GV nêu qui tắc về hiệu 2 VT Yêu

cầu HS tính:

      

GV: Dùng qui tắc CM đợc ĐT vectơ

* Gv HD HS giải bài toán trong SGK

  



     

 

b) Hiệu của hai vectơ:

*ĐN (SGK) :

a b a     ( )b

* VD: Cho O là tâm HBH ABCD, ta

có:

   

    

* Cách dựng hiệu a b  : lấy 1 điểm O bất kì rồi dựng :

;

      

*Chú ý:

a b c    a b c  

* Qui tắc về hiệu vectơ:

  

* Bài toán: Với 4 điểm A, B, C, D bất

kì , CMR: AB CD AD CB  

   

Cách 1: (dùng qui tắc 3 điểm) Cách 2: ( dùng qui tắc về hiệu vectơ

nh SGK)

4) Củng cố: yêu cầu HS nhắc lại KN vectơ đối, nêu quan hệ giữa a và -a, nêu

ĐN hiệu 2 VT, cách dựng hiệu 2 VT

5) Về nhà: thuộc lí thuyết, hoàn thành các bài tập trong SGK

Tiết 6

Luyện tập

- Củng cố lí thuyết bài 2

- Rèn luyện kĩ năng giải bài toán : đựng tổng của hai vectơ, tính độ dài của vectơ tổng, hiệu, CM 1 đẳng thức vectơ

Trang 9

2.Bài cũ : Bài 1,2: hai học sinh lên bảng

3.Bài mới :

? Dùng các qui tắc vectơ để CM bài 3

? Dựng các VT tổng, hiệu? từ đó tính

độ dài

* GV vẽ HBH, gọi HS làm ,lu ý: biến

đổi VT về VP, cần rút gọn biểu thức,

sử dụng các tính chất và qui tắc 3 điểm,

qui tắc hiệu vectơ, chú ý các VT bằng

nhau trong HBH

* GV HD HS trả lời bài 7

? Nhận xét về hai VT: a;b?

* GV HD học sinh bài 9:

? CM: II' I I'

 

Bài 3:

HD: a) Dùng qui tắc ba điểm b)Dùng qui tắc về hiệu VT:

VT = VP =DB

Bài 5: Cho tam giác ABC đều cạnh a, tính:

3

  

 

  

 

Bài 6:

HD:

a) VT=OA OB BA 

  

=VP b) VT=AB DA DB 

  

=VP c) VP=CD BA

 

; VP=BA

d) VT=BA DC BA AB o   

    

Bài 7:Tứ giác ABCD có:

 

nên nó là HBH

* thêm giả thiết: AB BC

 

suy ra: AB=BC

Do đó : ABCD là hình thoi Bài 8:

Trả lời: VT bngợc hớng với VT a và

có cùng độ dài với a Bài 9: CMR: AB CD  I I'

 

( I, I’ là trung điểm của AD, BC )

HD:

'

    

      

 

  

    

4) Củng cố: - Khắc sâu các tính chất, các qui tắc

- Khắc sâu PP CM 1 ĐT vectơ, xác định 1 điểm nhờ các ĐT vectơ

5) Về nhà: - hoàn thành các bài tập SGK, làm thêm trong SBT.

- Đọc trớc bài: Tích của một VT với 1 số

Tiết 7

Đ4 tích của một vectơ với một số.

Trang 10

- HS nắm đợc ĐN tích của một VT với một số Khi cho một số k cụ thể và một vectơ a cụ thể, hs phải đợc hình dung ra đợc vectơ ka nh thế nào ( phơng , hớng

và độ dài của VT đó)

-HS hiểu đợc các tính chất của phép nhân vectơ với một số và áp dụng trong các phép tính

- Nắm đợc ĐK cùng phơng của 2 vectơ

2 Về kĩ năng:

- xác định đợc vectơ ka khi cho một số k cụ thể và một vectơ a cụ thể

- Diễn đạt đợc bằng vectơ: 3 điểm thẳng hàng, tính chất trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, hai điểm trùng nhau và sử dụng điều đó để giải toán

- Hứng thú với phơng pháp mới của 1 bài toán: PP vectơ để CM 3 điểm thẳng hàng

Linh hoạt, thông minh trong việc CM các đẳng thứ vectơ ( chen điểm theo qui tắc 3 điểm, dựng các vectơ thích hợp cho bài toán.)

1.ổ n định tổ chức lớp :

2.Bài cũ :

?ĐN hiệu của 2 vectơ? qui tắc về hiệu VT, ĐN VT đối , cách dựng hiệu của

2 VT? Tính chất trung điểm đoạn thẳng, tính chất trọng tâm tam giác?

3.Bài mới:

* GV cho HS làm H1 trong SGK Từ

đó đi đến ĐN:

các kí hiệu: a k ka; ;  Để so sánh a

và ka, cần so sánh về hớng và độ dài,

bám sát ĐN

? NX về phơng của a và ka

* Gv sử dụng hình vẽ là hình 1.13

SGK, yêu cầu HS thực hiện VD ( Khi

viết các hệ thức, GV hớng dẫn HS tìm

số k: b ka  )

* GV nêu các tính chất

? có thể viết: a a   2a đợc không?

( đợc, vì: a a   1.a 1.a  (1 1)a 2a )

? So sánh (-ka) và -(ka):

trả lời: (-ka) = (-1.k) a=(-1) (ka) =

=-(ka)

1 Định nghĩa tích của một vectơ với một số:

* ĐN (SGK) :

* Qui ớc: k0 0;0 a 0

* NX: nếu b=ka thì a b ; là 2 VT cùng phơng

*VD:Cho tam giác ABC với M,N là

TĐ của AB, AC Viết hệ thức giữa các cặp VT:

   

*BC và MN :

*BC và NM :

*AC và NA :

2) Các tính chất của phép nhân vec tơ với một số:

* Các tính chất:

(SGK)

* chú ý:

Tiêu đề	Vectơ
Tác giả	Bùi Thị Kim Th
Trường học	Trường THPT Thị xã Hưng Yên
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2007
Thành phố	Hưng Yên

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	495 KB