Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P2; –1 sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2... Viết phươn
Trang 1TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d x1: −7y+17 0= ,
d x y2: + − =5 0 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d d1 2, một tam
giác cân tại giao điểm của d d1 2,
• Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d 1 , d 2 là:
x y ( )1
∆
∆
− + = + − + − =
⇔ − − =
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với ∆1 hoặc ∆2.
KL: x+3y− =3 0 và x y3 − + =1 0
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1: 2x y− + =5 0
d2: 3x+6 – 7 0y = Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
• d 1 VTCP ar1=(2; 1)− ; d 2 VTCP ar2 =(3;6)
Ta có: a auur uur1 2 =2.3 1.6 0− = nên d1⊥d2 và d 1 cắt d 2 tại một điểm I khác P Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: d A x: ( − +2) B y( + = ⇔1) 0 Ax By+ −2A B+ =0
d cắt d 1 , d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I ⇔ khi d tạo với d 1 ( hoặc d 2 ) một góc 45 0
2 ( 1)
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d: 3x y+ − =5 0
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x: −3y− =5 0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d: 3x y+ − =5 0; d x: −3y− =5 0 Câu hỏi tương tự:
a) d x1: −7y+17 0= , d2:x y+ − =5 0, P(0;1) ĐS: x+3y− =3 0; x y3 − + =1 0.
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y+ + =5 0, d2: 3x y+ + =1 0 và điểm
I(1; 2)− Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua I và cắt d d1 2, lần lượt tại A và B sao cho
AB 2 2=
• Giả sử A a( ; 3− − ∈a 5) d1; B b( ; 3− − ∈b 1) d2; IAuur= − − −(a 1; 3a 3); IBuur= − − +(b 1; 3b 1)
I, A, B thẳng hàng IB kIA b k a
b1 (k 1)a
− = −
⇒uur= uur⇔ − + = − −
• Nếu a 1= thì b 1= ⇒ AB = 4 (không thoả).
a
1
1
−
− + = − − ⇔ = −
−
AB= (b a− )2+3(a b− +) 42 =2 2⇔ +t2 (3 4)t+ 2=8 (với t a b= − ).
5
⇔ + + = ⇔ = − = −
+ Với t= − ⇒ − = − ⇒ =2 a b 2 b 0,a= −2 ⇒ ∆:x y+ + =1 0
Trang 2+ Với t 2 a b 2 b 4,a 2
= ⇒ − = ⇒ = = ⇒ ∆: 7x y− − =9 0
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1: + + =1 0,
d2: 2 – –1 0x y = Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 2MA MBuuur uuur r+ =0
• Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1).
Từ điều kiện 2MA MBuuur uuur r+ =0 tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0) Lập phương trình đường thẳng (d)
đi qua M và cắt hai đường thẳng d x y1: + + =1 0, d x2: –2y+ =2 0 lần lượt tại A, B sao cho
MB = 3MA
• B A d d1 B b A a a b MA MB a b b a
2
∈ ⇔ − − ⇒ = − − −
= −
uuur
Từ A, B, M thẳng hàng và MB=3MA ⇒ uuurMB=3MAuuur (1) hoặc uuurMB= −3uuurMA (2)
B
2 1;
( ) : 5 1 0
3 3 ( 4; 1)
− −
− −
hoặc (2) ⇒ A( ) d x y
B
(4;3)
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) Lập phương trình đường thẳng (d)
đi qua M và cắt hai đường thẳng d1: 3x y− − =5 0, d x y2: + − =4 0 lần lượt tại A, B sao cho
MA MB
• Giả sử A a a( ;3 − ∈5) d1, B b( ;4− ∈b) d2.
Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA=3MB nên MA MB
= −
uuur uuur uuur uuur
2( 1) 3( 1)
2 2 2
(2)⇔2(3− = −− = −6) 3(3−− )⇔ ==1⇒ (1; 2), (1;3)−
Vậy có d x y: − =0 hoặc d x: − =1 0.
Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho OA( +3OB) nhỏ nhất
• PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x y
a b+ =1 (a,b>0)
1= + ≥− 2 ⇒ ≥12
Mà OA+3OB a= +3b≥2 3ab =12
a b
min
2
=
⇒ + = ⇔ = = ⇔ =
Phương trình đường thẳng d là: x y 1 x 3y 6 0
6 2+ = ⇔ + − =
Trang 3Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4;1)
và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB+ nhỏ nhất
• x+2y− =6 0
Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2)
và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho
OA2 OB2
9 + 4
nhỏ nhất
• Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên
A a ( ;0); (0; ) với a b B b ≠0 ⇒ Phương trình của (d) có dạng x y
a b+ =1
Vì (d) qua M nên
a b
1 2 1+ = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có :
= + ÷ = + ÷ ≤ + ÷ + ÷
a2 b2
10
OA2 OB2
10
Dấu bằng xảy ra khi
1 3: 1:2
3 = và a b1 2 1+ = ⇔ a 10,b 20
9
= = ⇒ d: 2x+9y−20 0= .
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3;1)
và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2)
• x+3y− =6 0;x y− − =2 0
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo
với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4=
• Gọi A a( ;0), (0; ) ( ,B b a b≠0) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: d x y
a b
: + =1
Theo giả thiết, ta có: a b
ab
2 1 1 8
+ =
=
⇔ + =2ab b a ab=8
• Khi ab 8= thì b a2 + =8 Nên: b=2;a= ⇒4 d x1: +2y− =4 0.
• Khi ab= −8 thì b a2 + = −8 Ta có: b2+4b− = ⇔ = − ±4 0 b 2 2 2
+ Với b= − +2 2 2⇒d: 1( − 2)x+2 1( + 2)y− =4 0
+ Với b= − −2 2 2⇒d: 1( + 2)x+2 1( − 2)y+ =4 0
Câu hỏi tương tự:
a) M(8;6),S=12 ĐS: d: 3x−2y−12 0= ; d: 3x−8y+24 0=
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình
x y
2 – + =3 0 Lập phương trình đường thẳng (∆) qua A và tạo với d một góc α có cosα 1
10
• PT đường thẳng (∆) có dạng: a x( –2)+b y( + =1) 0 ⇔ ax by+ –2a b+ =0 (a2+b2 ≠0)
a2 b2
cos
10
2 – 8ab + b 2 = 0 Chon a = 1 ⇒ b = 1; b = 7.
⇒ (∆1): x + y – 1 = 0 và (∆2): x + 7y + 5 = 0
Trang 4Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d: 2x+3y+ =4 0 Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 45 0
• PT đường thẳng (∆) có dạng: a x( –2)+b y( − = ⇔1) 0 ax by+ –(2a b+ =) 0 (a2+b2≠0).
0
cos45
13
+
=
+ ⇔ a5 2−24ab−5b2=0 ⇔ = = −5a a 5b b
+ Với a= b Chọn a=5,b=1 ⇒ Phương trình ∆: 5x y+ − =11 0.
+ Với 5a= −b Chọn a=1,b= −5 ⇒ Phương trình ∆:x−5y+ =3 0.
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d: 2x y− − =2 0 và điểm I(1;1)
Lập phương trình đường thẳng ∆ cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng
d một góc bằng 45 0
• Giả sử phương trình đường thẳng ∆ có dạng: ax by c 0+ + = (a2+b2 ≠0).
Vì ·( , ) 45d ∆ = 0 nên a b
a2 b2
2 5
−
= +
b 33a
=
⇔ = −
• Với a= b ⇒∆: x y c3 + + =0 Mặt khác d I( ; )∆ = 10 4 c 10
10
+
⇔ = =c c 614
⇔ = −
• Với b= − a⇒∆: x−3y c+ =0 Mặt khác d I( ; )∆ = 10 2 c 10
10
− +
⇔ = = −c c 128
⇔ =
Vậy các đường thẳng cần tìm: x y3 + + =6 0;3x y+ −14 0= ; x−3y− =8 0; x−3y+12 0= .
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1, d2có
phương trình lần lượt là x y3 + + =2 0và x−3y+ =4 0 Gọi A là giao điểm của d1và d2
Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1và d2lần lượt tại B , C ( B và
C khác A ) sao cho
AB2 AC2
1 + 1
đạt giá trị nhỏ nhất
• A d= ∩1 d2⇒ −A( 1;1) Ta có d1⊥d2 Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ ta có:
AB2 AC2 AH2 AM2
(không đổi)
⇒
AB2 AC2
1 + 1
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
AM2
1
khi H ≡M, hay ∆ là đường thẳng đi qua M
và vuông góc với AM ⇒ Phương trình ∆: x y 2 0+ − = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1; 2)− , d1: 3x y+ + =5 0, d2:x−3y+ =5 0 ĐS: ∆:x y+ + =1 0.
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x( ) : –3 – 4 0y = và đường tròn ( ) :C x2+y2– 4y=0 Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm
A(3; 1)
• M ∈ (d) ⇒ M(3b+4; b) ⇒ N(2 – 3b; 2 – b)
N ∈ (C) ⇒ (2 – 3b) 2 + (2 – b) 2 – 4(2 – b) = 0 ⇒ b 0; b 6
5
Trang 5Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M 38 6; , N 8 4;
−
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng ∆: x2 +3y+ =4 0 Tìm điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau góc 45 0
•∆ có PTTS: x t
y 1 32 2t
= −
= − +
và VTCP u ( 3;2)= −
r
Giả sử B(1 3 ; 2 2 )− t − + t ∈∆.
( , ) 45∆ = ⇒ cos( ; )AB u 1
2
=
AB u
⇔ uuur r =
r
t
t
2
15 13
13
=
= −
Vậy các điểm cần tìm là: B1 32 4; , B2 22 32;
Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: −3y− =6 0 và điểm N(3;4) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa độ) có diện tích
bằng15
2 .
• Ta có ON (3;4)uuur= , ON = 5, PT đường thẳng ON: x4 −3y=0 Giả sử M m(3 +6; )m ∈d . Khi đó ta có S ONM d M ON ON d M ON S ONM
ON
2
⇔ 4.(3m 6) 3m 3 9m 24 15 m 1; m 13
+ − = ⇔ + = ⇔ = − = −
+ Với m= − ⇒1 M(3; 1)− + Với m 13 M 7; 13
Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d x: −2y+ =2 0 Tìm
trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC
• Giả sử B b(2 −2; ), (2b C c−2; )c ∈d
Vì ∆ABC vuông ở B nên AB ⊥ d ⇔ uuur rAB u d =0
⇔ B 2 6;
5 5
÷
5
5
=
BC 1 125 300 180c2 c
5
1 (0;1)
= ⇒
= ⇒ ÷
Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d x y1: + − =3 0, d2:x y+ − =9 0 và
điểm A(1;4) Tìm điểm B d C d∈ 1, ∈ 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A
• Gọi B b( ;3− ∈b) d C c1, ( ;9− ∈c) d2 ⇒ uuurAB= − − −(b 1; 1 b), uuurAC= −( 1;5c −c).
∆ABC vuông cân tại A ⇔ AB AC AB AC.= =0
uuur uuur
⇔ (b b 1)( 1) (2c b b2 1)(5c c2) 0 c 2
− − − + − =
− + + = − + −
Vì c 1= không là nghiệm của (*) nên
Trang 6(*) ⇔
b
c c
c
2
2
( 1)(5 )
1 (5 )
( 1)
− = + −
Từ (2) ⇔ (b+1)2 = −( 1)c 2 ⇔ = − = −b c b c 2.
+ Với b c 2= − , thay vào (1) ta được c=4,b=2 ⇒ B (2;1), (4;5) C
+ Với b= −c , thay vào (1) ta được c=2,b= −2 ⇒ B( 2;5), (2;7)− C
Vậy: B (2;1), (4;5) hoặc B C ( 2;5), (2;7)− C
Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có phương trình: d1: ( –1)m x+( –2)m y+2 –m=0; d2: (2 – )m x+( –1)m y+3 –5 0m = Chứng
minh d1 và d2 luôn cắt nhau Gọi P = d1 ∩ d2 Tìm m sao cho PA PB+ lớn nhất
− + − = − +
m m
2
= − − = − ÷ + > ∀
⇒ d d1 2, luôn cắt nhau Ta có: A(0;1)∈d B1, (2; 1)− ∈d d2, 1⊥d2 ⇒∆ APB vuông tại P ⇒
P nằm trên đường tròn đường kính AB Ta có: (PA PB+ )2≤2(PA2+PB2) 2= AB2 =16
⇒ PA PB+ ≤4 Dấu "=" xảy ra ⇔ PA = PB ⇔ P là trung điểm của cung »AB
⇔ P(2; 1) hoặc P(0; –1) ⇔ m 1= hoặc m 2= Vậy PA PB+ lớn nhất ⇔ m 1= hoặc m 2=
.
Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (∆): x–2 –2 0y = và hai điểm A( 1;2)− ,
B(3;4) Tìm điểm M∈(∆) sao cho MA2 2+ MB2 có giá trị nhỏ nhất
• Giả sử M M t(2 2; )+ t ∈ ⇒∆ uuurAM=(2 3;t+ t−2), BMuuur=(2 1;t− t−4)
Ta có: 2AM2+BM2 =15t2+ +4 43t = f t( )⇒ min ( )f t f 2
15
= − ÷
⇒ M 26; 2
15 15
−
Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x y− + =3 0 và 2 điểm A(1;0), (2;1) B
Tìm điểm M trên d sao cho MA MB+ nhỏ nhất
• Ta có: (2x A−y A+3).(2x B−y B+ =3) 30 0> ⇒ A, B nằm cùng phía đối với d.
Gọi A′ là điểm đối xứng của A qua d ⇒ A ( 3;2)′ − ⇒ Phương trình A B x′ : +5y− =7 0.
Với mọi điểm M ∈ d, ta có: MA MB MA+ = ′+MB A B≥ ′
Mà MA′ +MB nhỏ nhất ⇔ A′, M, B thẳng hàng ⇔ M là giao điểm của A′B với d.
Khi đó: M 8 17;
11 11
−
.