I Lý do chọn đề tài:1 Cơ sở lý luận: Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó giải quyết trong chơng trình toán học phổ thông.. Trong bài viết náy tồi không đa ra một phơng pháp giải
Trang 1I) Lý do chọn đề tài:
1) Cơ sở lý luận:
Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó giải quyết trong chơng trình toán học phổ thông Trong bài viết náy tồi không đa ra một phơng pháp giải quyết trọn vẹn vấn đề bất đẳng thức mà chỉ đa ra một phơng pháp áp dụng bộ n số
2) Cơ sở thực tiễn:
Qua kinh nghiệm của tôi cũng nh qua một số năm dạy học tôi thấy rằng học sinh rất ngại và sợ chứng minh bất đẳng thức mặc dù đó là bất đẳng thức rất dễ Tại sao lại nh vậy Có lẽ theo tôi câu trả lời là học sinh cha hpát hiện ra đợc những cái hay và đẹp trong những bất đẳng thức Phơng pháp tôi đa ra đây chỉ mang tính giúp học sinh hiểu đợc chứng minh một bất đẳng thức cũng khoong khó lắm từ đó học sinh they yêu và tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này
II) Ưu nh ợc điểm:
1) Ưu điểm:
Phơng pháp này cung cấp một cách giải tơng đối ngắn gọn cho rất nhiều so với một số phơng pháp khác để chứng minh một số bất đẳng thức
2) Nhợc điểm:
Tuy nhiên phơng pháp này theo tôi chỉ nên dạy ở các lớp và các đối tợng là học sinh khá, giỏi Không nên đa ra cho các đối tợng là học sinh sinh trung bình và yếu
Tài liệu tham khảo
1) 17 phơng pháp chuyên đề giải 555 bài toán bất đẳng thức đại số
nguyễn đức dồng – nguyễn văn vĩnh 2) Bộ đề thi tuyển sinh đại học môn toán
ở trong bài viết này tôi bàn về một phơng pháp có thể giúp cho ngời giáo viên
có thể ra một số bài toán về bất đẳng thức dựa trên cơ sở phơng pháp bộ n sắp thứ tự Khi đa các bài tập này cho học sinh theo tôi ngời giáo viên nên yêu cầu học sinh chứng minh bằng các phơng pháp khác bởi vì phơng pháp n bộ sắp thứ tự rất trừu tợng với học sinh cấp ba nhất là đối với học sinh lớp 10 Là một giáo viên mới ra tr -ờng nên cha có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy rất mong các ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp để có thể đa bài viết này có thể áp dụng trong thực tế giảng dạy
Cơ sở của phơng pháp này dựa trên định lý sau:
II)
I>
Định lý:
Cho hai dãy số đơn điệu dơng cùng tăng:
b
b b b
a
a a a
n n
0 0
3 2 1
3 2 1
Gọi (i1; i2; i3; ; in) là một hoán vị bất kỳ của 1 , 2 , 3 , , n Ta có:
Trang 2) 1 (
1 2
3 1 2 1
3 2
1 3
3 2 2
1
b a b
a b a
b
a
b a b
a b a b a b a b
a b a
b
a
n n
n n
i n i
i i n
Ta chứng minh mệnh đề (1) bằng quy nạp cho VT VG (*)
Với n = 1 : (*) luôn đúng
Với n = 2 : Ta cần chứng minh: nếu
2 1
2 1
b b
a a
() thì: a1b1 + a2b2 a1b2 + a2b1
Thật vậy: a1b1 + a2b2 a1b2 + a2b1
a1(b1 - b2) - a2(b1 - b2) 0
(a1 - a2) (b1 - b2) 0 đúng do ()
Giả sử : (*) đúng đến n = k - 1 ; k Z+ ; k 2 Thì ta có giả thiết quy nạp gọi là ()
Xét (*) khi n = k và cũng gọi (i1; i2; i3; ; ik) là một hoán vị tuỳ ý của 1,2,3, ,k Đồng thời ij = 1 mà bài toán vẵn không mất tính tổng quát , ta đợc:
k k
i i
i j
i k i
j i i
k i
j i
i i
b b
b a a
a
b b b
b b
a
b a b
a b a b a b a b
a b
a b a
b
a
k k
j
và .
a a a
a b
; a :
Nh ng
)
( ) (
3 2 3
2
1 j 1 j
1 1 1
1
2 1 1
3 2
1
1 1
1
2 1
3 2
1
Do giả thiết quy nạp () mà (*) đã đúng đến n = k - 2 , nên :
k
k
i k i
i i k k
i k i
i k k
b a
b a b a b a b a
b a b
a
b
a
b a
b a b a b a
b
a
b
a
3 2 1
3 3
3 2 1 3
3 2
2
2
2
3 2 2
2
2
2
(*) đúng với n = k
Theo nguyên lý quy nạp ; Thì (*) đợc chứng minh xong
Dấu đẳng thức trong(*) xảy ra khi và chỉ khi :
n 3
2 1
n 3
2 1 i
i
b
b b b
a
a a a n 1, i
; dừng dãy là
:
b
n 1, i
; dừng dãy là
:
a
Trờng hợp VG VP của (1) , chứng minh tơng tự
Vậy : VT VG VP ; (1) đợc chứng minh xong bằng quy nạp
II>
Ph ơng pháp cực trị bộ n sắp thứ tự:
0
0
3 2 1
3 2 1
n n
b b
b b
a a
a a
Xét tất cả các tổng có dạng : S a b a b a b
n 2
i
(i1 , i2 , , in) là một hoán vị nào đó của các số : 1 , 2 , 3 , , n
Gọi S1 và S2 lần lợt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các tổng thì:
S1 = a1b1 + a2b2 + + anbn
S2 = a1bn + a2bn - 1 + + anb1
II>
áp dụng để ra các bài toán:
ở đây ta luôn giả thiết a , b, c là ba số dơng bất kỳ do đó có thể giả sử a b
c > 0 mà không mất tính tổng quát của bài toán:
VD1: a b c > 0 a2 b2 c2
Từ hai bộ số :
2 2
a
c b a
ta có bài toán : Chứng minh bất đẳng thức: a3 + b3 + c3 ab2 + bc2 + ca2 ac2 + ba2 + cb2
VD2: a b c > 0 a3 b3 c3 > 0 0
abc
c abc
b abc a
Từ hai bộ số:
abc c abc b abc a
b c
ta có bài toán sau:
Chứng minh bất đẳng thức:
Trang 3a c a
c b c
b a ab
c ca
b
bc
a
)
c
a
c c
b b
a ab
c ca
b
bc
a
)
b
b
c a
b c
a ab
c ca
b
bc
a
)
a
2 2
2
2 2 2 2 2 2 3 3 3
2 2 2 3 3 3
2 2 2 3 3 3
VD3 : a b c > 0 a2 b2 c2 , a5 b5 c5 , a3b3 a3c3 b3c3
3 3 3
3
3
3
1 1
1
c b c
a
b
(1) b a c a Thức
ẳng Bất CM
to án bài có
là
c b a c b a
số
bộ hai Từ
2 2 2 3 3 5 5 5 5 5 5
3 3 3 8 8 3 3 3 3 3 3
3 3 3 5 5 5
1 1 1
b a c c b D
a Hay
c b c b c c
b c c c b a
1 1 1 số bộ
hai
Từ
3 3 3
2 2 2
a b c
c b a
Ta có bất đẳng thức:
c
1 b
1 a
1 c
b a
a (2)
và
(1)
Từ
(2) c
1 b
1 a
1 c
c b
b a
a b
c a
b
c
a
3 3 3
8 8 8
3 2 3 2 3 2 3 2 3
2
3
2
c b
VD4: Từ a b c a5 b5 c5 và 212 212 21 2
b a a c c b
Từ hai bộ số: 1 1 1
2 2 2 2 2 2 5 5 5
b a a c c b c b a
c b a 1 1
1 c
b a
3
3 3
3 3
3 2 2
5 2 2
5 2 2
5 2 2
5 2 2
5 2
2
5
b a c c b
c b a
b a c
a b a a c b
c
Hay là ta có bài toán sau: Cho ba số dơng a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:
c b a c b
a
3
3 3
3 3
3 2 2
5 2 2
5 2
2
5
b a c b a a c b
c
VD5: Từ a b c d a2 b2 c2 d2 và
a b c d
1 1 1 1
Từ hai bộ số:
a b c d
d c b a
1 1 1 1
2 2 2 2
d c
b
a
d c b a b
c c
b
d
a
2 2 2 2 2 2 2 2
d
d c
c b
b a
a a b d c a
Hay là ta có bài
toán:
Cho bốn số dơng a, b, c, d chứng minh các bất đẳng thức sau:
2 a
d c b
a
c)
d c b a d c b
a
b)
d c b a b
c c
b
d
a
)
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
b d
c
a b d c
a
d a
Hải phòng, Ngày 17 Tháng 5 Năm 2002
Ngời thực hiện:
vũ văn ninh