SKKN TOAN NINH

Để nắm vững kiến thức Toán học, ngời học sinh phải lĩnh hội đợc đầy đủ tri thức do ngời Thầy truyền đạt và muốn học sinh lĩnh hội đầy đủ thì ngời Giáo viên phải có một phơng pháp dạy thí

Phần I:

mở đầu

I- Đặt vấn đề:

Trong thời đại hiện nay, các ngành khoa học đợc đặc biệt quan tâm, trong

đó Toán học là một bộ môn trí tuệ, đỉnh cao, là chìa khoá mở cửa cho tất cả các ngành khoa học khác, là một trong bốn bộ môn khoa học công cụ của ngành Giáo dục

Toán học là một môn khoa học trí tuệ, giúp cho con ngời phát triển t duy lô gíc, t duy biện chứng, óc phán đoán, kỹ năng tính toán Nó là tiền đề, là nền tảng vững chắc cho các môn khoa học tự nhiên khác phát triển Vì vậy bộ môn Toán đóng vai trò then chốt, mũi nhọn trong nhà trờng phổ thông Để nắm vững kiến thức Toán học, ngời học sinh phải lĩnh hội đợc đầy đủ tri thức do ngời Thầy truyền đạt và muốn học sinh lĩnh hội đầy đủ thì ngời Giáo viên phải có một phơng pháp dạy thích hợp, phù hợp với đối tợng học sinh Những năm trớc

đây phơng pháp dạy học chủ yếu là phơng pháp thuyết trình thụ động, thầy giảng trò tiếp thu một cách máy móc, hoặc thầy giảng giải xen kẽ vấn đáp, giải thích minh hoạ bằng tranh…Những phơng pháp ấy cha phát huy đợc tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh Trong chơng trình toán cấp II hiện nay, các thể loại toán rất đa dạng, phong phú, nhng không ít phức tạp, rắc rối mà học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu Một dạng bài toán có thể coi là công cụ của nhiều dạng toán khác, đó là: “Phân tích đa thức thành nhân tử.”

Để giúp học sinh có đợc kiến thức cơ bản này, qua thực tế giảng dạy và tiếp xúc với học sinh tôi mạnh dạn trình bày một số kinh nghiệm “Hớng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử” bởi một số lý do sau:

Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở của rất nhiều bài toán khác nh: Biến đổi đồng nhất các biểu thức, rút gọn biểu thức, giải phơng trình

đa về phơng trình tích…

Để giải đợc bài toán này đòi hỏi học sinh phải biết và vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức, từ đó rèn luyện kỹ năng phân tích suy đoán

Học sinh phải t duy và nắm chắc các kiến thức liên quan đã học, đồng thời phải có kỹ năng lựa chọn các phơng pháp thích hợp trớc một bài toán cụ thể

Xây dựng cho học sinh một thuật toán về phân tích đa thức thành nhân tử, khắc sâu kiến thức, phát triển năng lực t duy, sáng tạo của học sinh

Đó là lý do tôi chọn đề tài: “ Hớng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử”

Phần II:

Nội dung

Ch

1-Các hằng đẳng thức đáng nhớ.

2-Các bài toán liên quan.

3-Định luật phân phối giữa phép nhân với phép cộng và quy tắc về dấu để

sử dụng trong phơng pháp:

Đặt nhân tử chung

Ví dụ:1 10x2y – 5x3 = 5x2.2y – 5x2.x = 5x2( 2y – x)

=3x x(y – 2z) + 5(y – 2z) =

= (y – 2z)(3x2 + 5)

4-Định lý về nghiệm của đa thức:

• Nếu x0 là nghiệm của đa thức f(x) thì:

f(x) = (x – x0).g(x)

• Đặc biệt: Nếu f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 , x2 thì f(x)

= a(x – x1)(x – x2)

• Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho: x - 1

• Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho: x + 1

• Ví dụ: a f(x) = x2 –3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

b f(x) = 2x2 + 5x +3 = 2(x + 1)(x + 3/2)

Ch ơng II:

các phơng pháp cơ bản – hớng dẫn thực hiện

I- các phơng pháp cơ bản:

1- Ph ơng pháp đặt nhân tử chung:

Trớc hết ta hiểu rằng: Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức thành dạng tích của các nhân tử Vấn đề đặt ra là khi nào thì biểu thức không thể phân tích

đợc, hay nói cách khác học sinh phải biết biểu thớc nào phân tích đợc, biểu thớc nàokhông phân tích đợc, sau đó ta sử dụng định luật phân phối và quy tắc về dấu để phân tích

A = 5a2 (b – 2c) – 15a(b – 2c)2

Khi đó ta viết: A = 5a(b – 2c)[a – 3(b – 2c)]=

= 5a(b – 2c)(a – 3b + 6c)

Chú ý: Một nhị thức bậc nhất không thể phân tích đợc nữa

B = 2x(y – z) + (z – y)(x + y)

B = 2x(y – z) – (y – z)(x + y) = =(y – z)[(2x – (x + y)] = = (y – z)(x – y)

C = x3 – 2x2 + 2x = =x(x2 – 2x + 2)

• Biểu thức: x2 – 2x + 2 = (x – 1)2 + 1≥ 1  0 ∀x; nghĩa là đa thức: x2 – 2x + 2 không có nghiệm nên không thể phân tích đợc nữa

Ta cũng có thể dùng phơng pháp phản chứng để chứng minh

x2 – 2x + 2 không thể phân tích đợc nữa

2- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

D = 4x2 + 12x + 9

• Nhận xét:D không có nhân tử chung nên ta viết:

D = (2x2) + 2(2x).3 + 32

áp dụng: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 với a = 2x ; b = 3

Ta có: D = (2x)2 + 2.(2x).3 + 32 = (2x + 3)2

Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử

E = (1 – 8x6y3

Chú ý: Ta viết: 1 = 12 = 13 = 1n (n∈N)

Khi đó: E = 13 – (2x2y)3

áp dụng: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab +b2)

E = (1 – 2x2y)(1 + 2x2y +4x4y2) Hớng dẫn thực hiện:

• Nếu đa thức không có nhân tử chung ta nhận định xem có thể áp dụng hằng đẳng thức nào?

Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử

F = -x4y2 – 8x2y - 16

F = -[(x2y)2 + 2.4x2y + 42]

F = -(x2y + 4)2

• Trớc hết ta xét hạng tử bậc cao nhất, kết hợp với hạng tử tự do ( nếu có), là luỹ thừa bậc mấy để có thể nhận định dùng hằng đẳng thức nào?

Chẳng hạn: D = 4x2 + 12x +9 có hạng tỷ bậc cao nhất là 4x2 có dạng: (2x)2

và hạng tử tự do là 9 = 32

Nên ta dùng hằng đẳng thức: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

E = 1 – 8x6y3 có hạng tỷ bậc cao nhất là: 8x6y3 có dạng:

(2x2y)3 và 1 có thể viết: 1 = 13 nên ta dùng hằng đẳng thức:

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab +b2)

3- Phơng pháp nhóm các hạng tử:

• Một đa thức nếu không dùng đợc phơng pháp đặt nhân tử chung, cũng không dùng đợc phơng pháp hằng đẳng thức thì ta xét xem trong các hạng tử, những hạng tử nào có nhân tử chung, hoặc là hằng đẳng thức thì ta nhóm chúng lại với nhau

Rõ ràng G không phân ytích đợc bằng phơng pháp đặt nhân tử chung và hằng

đẳng thức Ta nhận thấy:

Cả hai hớng đều cho ta kết quả:

G = (x – 5)(y + 2)

G = (y + 2)(x – 5) Việc chia nhóm phải đạt đợc mục đích là: Sau đó xuất hiện nhân tử chung của các nhóm

H = x2 + 2x + 1 – y2

Nhng 1 – y2 = (1 + y)(1 – y) Giữa hai nhóm không có nhân tử chung và ta nhận thấy: x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

+ 1 + y)(x + 1 – y)

Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử

I = 81x2 – 6yz – 9y2 - z2

81x2 – z2 = (9x + z)(9x – z) Hai nhóm này không có nhân tử chung

Tơng tự: -6yz – z2 = -z(6y + z)

81x2 – 9y2 = (9 + 3y)(9 –3y) cũng không có nhân tử chung Ta nhận thấy:

-(9y2 + 6yz + z2) = - (3y + z)2 nên:

I = 81x2 – (9y2 + 6yz + z2) =

= 81x2 - (3y + z)2 = (9x + 3y + z)(9x – 3y –z)

4- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:

Khi các phơng pháp đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức và kể cả việc nhóm các hạng tử không cho ta kết quả thì ta có thể tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để xuất hiện nhân tử chung giữa các nhóm hạng tử hoặc hằng

đẳng thức

Thông thờng ta tách hạng tử chứa đa số các thừa số còn lại để xuất hiện các nhóm có nhân tử chung hoặc tách hạng tử tự do để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức

Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử

K = x2 + 5x + 6

• Vì K có 3 hạng tử nên việc nhóm hai hạng tử để xuất hiện nhân tử chung là không thể đợc Ta tách:

K = (x2 + 3x) + (2x + 6) = x(x + 3) + 2(x + 3) =

= (x + 3)(x + 2) Hoặc K = (x2 + 2x) + (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) =

= (x + 2)(x + 3)

Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử

L = x2 – x - 6

L = x2 – 3x + 2x – 6 = x(x – 3) + 2(x + 3)

L = (x + 2)(x + 3) Hoặc: L = x2 – x – 2 – 4 = (x2 – 4) – (x + 2)

L = (x – 2)(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(xx – 3)

5- Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử:

Đa thức có dạng tổng các bình phơng ta sẽ thêm, bớt cùng một hạng tử sao cho xuất hiện bình phơng của một tổng hay một hiệu ( hoặc lập phơng của một tổng hay một hiệu)

Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử

M = x4 + 4

Rõ ràng đây là tổng các bình phơng, chứ không phải là một hiệu các bình

ph-ơng, nên không thể sử dụng công thức hiệu các bình phơng Ta nhận thấy:

x4 = (x2)2 và 4 = 22 nên:

M = (x2)2 +4x2 + 22 –4x2

M = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2)

• Chú ý: x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1≥ 1

x2 – 2x + 2 = x2 – 2x + 1 + 1 = (x – 1)2 + 1≥ 1

Đều không thể phân tích đợc nữa

Ví dụ 13: Giải phơng trình:

5x2 – 4(x2 – 2x + 1) - 5 = 0

• Cách 1:

5x2 – 4(x2 – 2x + 1) - 5 = 0

⇔ 5(x2 – 1) – 4(x – 1)2 = 0 ⇔ (x – 1)[5(x + 1) – 4(x – 1)] =0

⇔ (x – 1)(5x + 5 – 4x + 4) = 0

⇔ (x – 1)(x + 9) = 0

⇔ 





−

=

=

9

11

x x

ở đây ta áp dụng phơng pháp nhóm các hạng tử để phân tích vế trái thành tích

• Cách 2:

5x2 – 4(x2 – 2x + 1) - 5 = 0

⇔ 5x2 – 4x2 + 8x – 4 – 5 = 0

⇔ x2 + 8x – 9 = 0

⇔ x2 + 9x – x – 9 = 0

⇔ x(x + 9) – (x + 9) = 0

⇔ (x + 9) (x – 1) = 0 ⇔ 





=

−

=

1

9

x x

Ch

Qua thực tế giảng dạy và nghiên cứu bài toán: Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng một số ví dụ ở phần trên tôi mạnh dạn đa ra trình tự các bớc giải bài toán: Phân tích đa thức thành nhân tử nh sau:

Bớc 1:

• Nhận xét bài toán, nếu thấy tất cả các hạng tử có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung

• Nếu tất cả các hạng tử không có nhân tử chung thì kiểm tra phơng pháp hằng đẳng thức

• Nếu không sử dụng đợc hai phơng pháp trên thì nhóm các số hạng để làm xuất hiện nhân tử chung, hoặc hằng đẳng thức

• Nếu việc nhóm các số hạng không xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng

đẳng thức thì ta sử dụng phơng pháp thêm, bớt cùng một hạng tử

Bớc 2:

• Tuỳ theo phàan đa thức còn lại đơn giản hay phức tạp mà sử dụng các phơng pháp nh đã sử dụng ở bớc 1

Một vấn đề học sinh còn rất lúng túng và mất nhiều thời gian đó là:

Khi nào thì kết thúc quá trình phân tích

Do kiến thức về đa thức ở lớp 8 mới dừng ở mức độ khái niệm cơ bản, các em cha đợc trang bị về đa thức bất khả quy nên:

Quá trình phân tích sẽ kết thúc nếu các nhân tử là các nhị thức bậc nhất hoặc nếu là các biểu thức từ bậc hai trở lên thì chúng luôn khác 0 (hoặc lớn hơn

0, hoặc nhỏ hơn 0 với mọi giá trị của biến x)

Trên đây là các bớc tiến hành giải một bài toán: Phân tích đa thức thành nhân tử

Tuy nhiên, chỉ áp dụng đối với những đa thức đơn giản, đặc biệt chỉ sử dụng các phơng phápđã học ở lớp 8 Còn nói chung đối với các đa thức phức tạp hơn sẽ đợc trình bày tỉ mỉ ở phần dành cho học sinh khá giỏi

Trong khuôn khổ đề tài này, tôi chỉ muốn đa ra những vấn đề cụ thể, bức thiết và đơn giản nhằm gúp các em giải đợc bài toán: Phân tích đa thức thành nhân tử và áp dụng các dạng bài toán khác một cách linh hoạt và thực tế

Bµi to¸n1:

7 8

5 5

2 + +

+

x x x

1- Rút gọn A

2- Tính giá trị của A với x = 1997

hớng dẫn giải:

1- Để rút gọn A trớc hết ta tìm tập xác định của A

A xác định ⇔ x2 +8x +7 ≠ 0

⇔x2 +x + 7x + 7 ≠ 0

⇔ x(x + 1) + 7(x + 1) ≠ 0

⇔ (x + 1)(x + 7) ≠ 0 ⇔ 





−

≠

−

≠

7

1

x x

Khi đó A = ( 5(1)( 1)7) = 5+7

+ +

+

x x

x x

2- Thay x = 1997 vào A ta có: A = 20025

Từ bài toán 1, ta có bài toán 1’ nh sau:

C/M: ( 5(1)( 1)7) = 5+7

+ +

+

x x

x

x

(với x≠-1 ; x≠-7)

Bài toán 2: giải phơng trình:

x3 + 8x2 +17x + 10 = 0

hớng dẫn giải:

Rõ ràng đây là phơng trình bậc ba đầy đủ, học sinh không có lời giải tổng quát, vì vậy chỉ có thể đa về phơng trình tích bằng cách: Phân tích đa thức thành nhân tử

x3 + 8x2 +17x + 10 = x3 + x2 + 7x2 +10x + 7x + 10 =

= x2(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1) =

= (x + 1)( x2 + 7x + 10) =

= (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)] =

= (x + 1)(x + 2)(x + 5)

x3 + 8x2 +17x + 10 = 0 ⇔(x + 1)(x + 2)(x + 5) = 0 ⇔











−

=

−

=

−

=

5 2 1

x x x

Sau khi áp dụng bồi dỡng các em theo đề tài này tôi thấy có kết quả rõ dệt, ở những năm học trớc đa số các em cha giải đợc bài toán phải sử dụng phơng pháp tách một hangj tử thành nhiều hạng

tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tở, đặc biệt còn một số em ch a giải

đợc các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, kết quả nh sau:

Năm học

200 -200

200 -200

0 0

8%

0

13%

2%

60%

60%

19%

28%

0 0

0 0

5%

0

10%

1%

78%

80%

7%

10%

0 9%

Dự kiến thực hiện đề tài năm 2004-2005

1- Không còn điểm dới 5

2- Điểm 5-6 đạt: 55%

Điểm 7-8 đạt: 25%

Điểm 9-10 đạt 20%

Trớc đây học sinh gặp rất nhiều khó khăn và không có hứng thú giải loại toán này, nhng sau khi đợc học theo phơng pháp này các em đã rất ham mê, không những chỉ phân tích đa thức thành nhân tử mà còn nghiên cứu, thực hiện giải nhiều bài toán liên quan

đến Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đợc thực hiện suốt quá trình học tập của học sinh, nó liên quan và kết hợp với các phơng pháp giải các bài toán khác tạo nên sự lô gich chặt chẽ trong toán học

Với những thao tác đơn giản, cơ bản giúp học sinh dễ dàng nhận biết dợc hớng đi của lời giải bài toán, rèn cho các em có kỹ năng phân tích lô gich, phát huy trí tuệ của các em qua giải bài tập Đồng thời giúp các em tiếp thu kiến thức

một cách có hệ thống sâu sắc, rèn luyện tính chuyên cần, chính xác, óc phân tích phán đoán tống hợp, tạo hứng thú cho các em khi giải bài toán

Mặc dù kinh nghiệm thực tế của bản thân cha nhiều nhng qua trao đổi cùng đồng nghiệp có kinh nghiệm, bằng việc tiếp xúc với các em học sinh tôi

đã cố gắng và mạnh dạn trình bày những kinh nghiệm ít ỏi của mình.Trong khuôn khổ của đề tài này chắc chắn còn có nhiều bất cập rất mong sự đóng góp

ý kiến, sự chỉ bảo của các cấp lãnh đạo và đồng nghiệp để những kinh nghiệm ít

ỏi này có thể góp một phần vào việc nâng cao chất lợng học tập của học sinh,

đáp ứng nhu cầu của xã hội hiện nay