Đại Số Và Giải Tích 11

Tài liệu gồm toàn bộ các chương của Đại số Giải tích 11 được biên soạn kỹ lưỡng phù hợp cho học sinh tự học và giáo viên dạy thêm. Các bài tập trong tài liệu được chọn lọc kỹ lưỡng và vừa sức với học sinh.

Trang 1

ĐẠI SỐ

& GIẢI TÍCH 11

Chương Trình Nâng Cao

Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu

THPT Phan Đình Phùng

Đồng Hới Tháng 08 - 2016

Copyright c

Trang 3

Mục lục

Chương 1 Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác 5

§1 Hàm Số Lượng Giác 5

§2 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản 6

§3 Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp 7

§4 Phương Trình Lượng Giác Khác 8

Ôn Tập Chương 1 9

Chương 2 Tổ Hợp Và Xác Suất 11

§1 Hai Quy Tắc Đếm Cơ Bản 11

§2 Hoán Vị Chỉnh Hợp Tổ Hợp 12

§3 Nhị Thức Newton 13

§4 Biến Cố Và Xác Suất Của Biến Cố 13

§5 Các Quy Tắc Tính Xác Suất 15

§6 Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc 15

Chương 3 Dãy Số Cấp Số Cộng - Cấp Số Nhân 19

§1 Phương Pháp Quy Nạp Toán Học 19

§2 Dãy Số 20

§3 Cấp Số Cộng 21

§4 Cấp Số Nhân 22

Chương 4 Giới Hạn 25

§1 Giới Hạn Của Dãy Số 25

§2 Giới Hạn Của Hàm Số 28

§3 Hàm Số Liên Tục 30

Chương 5 Đạo Hàm 33

§1 Khái Niệm Đạo Hàm 33

§2 Các Quy Tắc Tính Đạo Hàm 34

§3 Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số 35

§4 Đạo Hàm Của Các Hàm Số Lượng Giác 36

§5 Vi Phân Và Đạo Hàm Cấp Cao 37

Trang 4

MỤC LỤC

Trang 5

• Tính chất: Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kỳ 2π.

• Tính đơn điệu: Đồng biến trên −π

x O

2 Hàm số y=cos x.

• Tập xác định: D =R.

• Tập giá trị: T = [−1; 1]

• Tính chất: Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kỳ 2π.

• Tính đơn điệu: Đồng biến trên(−π+k2π; k2π)và nghịch biến trên(k2π; π+k2π).

• Đồ thị:

− 3π 2

− π 2

π 2

3π 2

y

x O

3 Hàm số y=tan x.

• Tập xác định: D =R\π

2 +kπ, k∈Z

• Tập giá trị: T =R.

• Tính chất: Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kỳ π.

• Tính đơn điệu: Luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định

y

x O

4 Hàm số y=cot x.

• Tập xác định: D =R\ {kπ, k∈Z}

• Tập giá trị: T =R.

• Tính chất: Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kỳ π.

• Tính đơn điệu: Luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

• Đồ thị: −2π −π

π 2π

y

x O

Trang 6

§2 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

2x+ π3

i) y=4 cot

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, nếu có, của các hàm số sau:

a) y=4 sin x+7 b) y=2−7 cos 5x c) y=2√sin x+6

1−cos 4x e) y=2 sin x cos x+sin x f) y=sin xcos2x+tan x

§2 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

1 Phương trình sin x =a.

• Nếu|a| >1: Phương trình vô nghiệm

• Nếu|a| ≤1: Phương trình có nghiệm

∗sin x=a⇔sin x=sin α⇔

• Nếu|a| >1: Phương trình vô nghiệm

• Nếu|a| ≤1: Phương trình có nghiệm

∗cos x=a⇔cos x=cos α⇔ x= ±α+k2π, (k∈Z)

∗cot x=a ⇔cot x=cot α⇔ x=α+kπ, (k∈Z)

∗cot x=a ⇔x=arc cot a+kπ, (k∈Z)

2 d) sin x= 1

2 e) sin

2x+ π4

Trang 7

Chương 1 Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác

6. Giải các phương trình sau:

a) 2013 cos x=2014 b) cos x=

√2

2 c) cos x = −

√3

2 d) 3 cos 3x−1=0 e) cos3x− π

2=0 c) cos 600−x

= 1

2.d) cos5x+π

3

+sinπ

9. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng cho trước:

a) sin 2x=0 trên[0; 2π] b)√3 tan x−3=0 trên(0; 3π)

§3 Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

1 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

3 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x.

• Dạng: asin2x+b sin x cos x+ccos2x=0

• Cách giải:

∗Với cos x=0, thay vào phương trình để giải

∗Với cos x6=0, chia hai vế phương trình cho cos2x, ta có: atan2x+b tan x+c=0

Lưu ý: Phương trình sau có cách giải tương tự asin2x+b sin x cos x+ccos2x=d

4 Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x.

• Dạng: a(sin x±cos x) +b sin x cos x+c=0

• Cách giải:

∗Đặt sin x±cos x=t,| | ≤√2

∗Rút sin x cos x theo t rồi thay vào phương trình để giải

Lưu ý: t =sin x±cos x=√

2 sinx± π

4

Bài Tập

10. Giải các phương trình sau:

a) sin2x−3 sin x+2=0 b) 3cos2x+4 cos x+1=0

c) 2cos22x−3 cos 2x+1=0 d) tan2x−5 tan x+6=0

e) cot2x+3 cot x−4=0 f) cos3x−3 cos x+2=0

Trang 8

§4 Phương Trình Lượng Giác Khác

a) cos2x−5 sin x+5=0 b) sin2x+3 cos x−3=0

c) cos22x−6 sin x cos x−3=0 d) cos22x+2(sin x+cos x)2=0

e) 5 tan x+2 cot x=7 f) 4 tan 2x−cot 2x+3=0

a) 3 sin x−5 cos x =0 b) sin 2x+√

3 cos 2x=0

c) 2 sin x+cos x=√

5 d) 3 cos 2x−4 sin 2x−5=0

e) sin 7x−√3 cos 7x=2 f)√2(sin 3x+cos 3x) =2

a) 2 sin x−3 cos x =2 b)√3 sin x+cos x=2 sin 4x

c) cos 2x−2√3 sin x cos x =2 sin x d)sinx

2+cos

x2

2

+√

3 cos x =2

a) 3sin2x−4 sin x cos x+cos2x =0 b) 3sin2x+2 sin 2x−5cos2x =1

c) 2sin2x−3cos2x+5 sin x cos x−2=0 d) 4sin3x+3cos3x−3 sin x−sin2x cos x=0

a) 3(sin x+cos x) +2 sin x cos x+3=0 b) sin x−cos x+7 sin 2x=1

c) 2 sin x+sin 2x−2 cos x+2=0 d)|sin x−cos x| +4 sin 2x=1

§4 Phương Trình Lượng Giác Khác

a) sin x+sin 2x+sin 3x=0 b) 2 cos 2x+sin x=sin 3x

c) cos x+cos 2x+cos 3x+cos 4x=0 d) sin x+sin 2x+sin 3x=1+cos x+cos 2x

a) cos 5x cos x=cos 4x b) sin x sin 7x=sin 3x sin 5x

c) cos x cos 3x−sin 2x sin 6x−sin 4x sin 6x=0 d) 4 cos5x

2 cos

3x

2 +2(8 sin x−1)cos x=5.

a) sin2x+sin23x=2sin22x b) sin24x+sin23x=sin22x+sin2x

c) sin22x−sin28x=sin 17π

2 +10x

d) 1+sinx2sin x−cos x

2sin

4 −

x2

a) cos 2x+5 sin x+2=0 b) cos 4x−3 cos 2x+2=0

c) cos 2x+ (1+2 cos x) (sin x−cos x) =0 d) 4 sin 2x−3 cos 2x=3(4 sin x−1)

e) 2 cos x(1−cos 2x) +sin 2x=1+2 sin x f) sin 2x cos x+sin x cos x=cos 2x+sin x+cos x

a) 1+3 sin 2x=2 tan x b) 2 sin x+cot x=2 sin 2x+1

c) 3+sin 2x=tan x+cot x d)(1−tan x) (1+sin 2x) =1+tan x

e) sin2x(tan x+1) =3 sin x(cos x−sin x) +3 f) tan xsin2x−2sin2x =3(cos 2x+sin x cos x)

a) sin x+sin 2x+sin 3x

cos x+cos 2x+cos 3x =

2sin 4x

Trang 9

e) sin 2x =√

3 cos 2x f) sin 2x+√

3 sin x=0

a) 2sin2x−3 sin x+1=0 b) 2cos2x−sin x+1=0

c) 1−5 cos 3x+2sin23x=0 d) 2 cos 2x−3 cos x−5=0

e) 2sin2x−√3 sin x cos x+cos2x=1 f) 2sin2x−2 sin 2x+4cos2x=1

a) 3 sin x+4 cos x =1 b)√3 sin 2x−cos 2x=2

c)√2(sin 3x+cos 3x) =2 d)√3 cos 5x−2 sin 3x cos 2x−sin x=0

e)(sin x+cos x)2+√

3 cos 2x=2 f) 1−cos 2x+cos x(1−2 cos x) =√3 sin x

a)(sin x+cos x)2+√

3 cos 2x=2 b) 4 sin x cos x cos 2x−√3 cos 4x−1=0

c) 1−cos 2x+cos x(1−2 cos x) =√3 sin x d) 2cos2

x−3π4

+√

3 cos 2x=0

a) sin 3x+sin x−2cos2x=0 b)√3 2cos2+cos x−2+ (3−2 cos x)sin x=0.c) 2 cos 3x−2 cos 2x+2 cos x =1 d)2 sin x−√3 sin x cos x+√

3=1−4cos2x

a) 3 sin x+2 cos x =2+3 tan x b) 4sin2x+3tan2x=1

c) 2+cos x+2 tanx2 =0 d) 1+tan x =2√2 sin x

a) 3+cot2x=3 cos 2x

sin x +

sin 2xcos x

b) 1+cot 2x= 1−cos 2x

sin22x c) sin

2x−2 sin 2x−5cos2x

2 sin x+√

sin x+cos 3x+sin 3x

1+2 sin 2x

=cos 2x+3

Trang 10

Ôn Tập Chương 1

Trang 11

3 Số phần tử của một tập hợp.

Số phần tử của tập hợp X, ký hiệu|X| Nếu A∩B=∅ thì ta có|A∪B| = |A| + |B|

Bài Tập

30. Một đội văn nghệ có 8 nam và 6 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a) Một đơn ca b) Một đôi song ca nam - nữ

31. Trong một lớp có 18 nam và 12 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a) Một bạn phụ trách quỹ lớp b) Hai bạn trực nhật gồm một nam và một nữ

32. Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh:

a) Bất kỳ b) Có đúng một học sinh nữ

c) Có ít nhất một học sinh nữ d) Có không quá hai học sinh nữ

33. Trên giá sách có 10 sách Toán, 8 sách Lý và 6 sách Hoá Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a) Ba cuốn sách thuộc ba loại khác nhau b) Hai cuốn sách thuộc hai loại khác nhau

34. Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A màkhông có đường nào được đi hai lần

35. Có bao nhiêu số tự nhiên:

a) Có 3 chữ số bất kỳ b) Có 5 chữ số đôi một khác nhau

36. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số biết hai số kề nhau phải khác nhau

37. Từ các chữ số 0, 1, 3, 4, 7 có thể lập được bao nhiêu:

a) Số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau b) Số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau

38. Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 4000 có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 3, 5, 7 nếu:

a) Các chữ số bất kỳ b) Các chữ số đôi một khác nhau

39. Từ các chữ số 1, 2, 5, 6, 7, 9 có thể lập được bao nhiêu:

a) Số chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau b) Số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 5

40. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng(2000; 3000)tạo nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 nếu:

a) Các chữ số bất kỳ b) Các chữ số đôi một khác nhau

41. Có bao nhiêu số có sáu chữ số khác nhau và bé hơn 432 000 được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6

Trang 12

2 Chỉnh hợp.

Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1≤k≤n Khi lấy ra k phần tử của A và xếp chúngtheo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A Số các chỉnh hợp chập k(1≤k≤ n)của một tập hợp có n phần tử là Ak

n= n(n−1) (n−2) (n−k+1) (Quy uớc A0

3 Tổ hợp.

Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1≤k≤n Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi

là một tổ hợp chập k của n phần tử của A Số các tổ hợp chập k(1≤k≤n)của một tập hợp có n phần tử

42. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào 10 ghế kê thành một dãy

43. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội bóng,biết không có hai đội nào có điểm trùng nhau

44. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có 8 chữ số khác nhau

45. Có 7 sách Toán, 6 sách Lý và 4 sách Hóa Có bao nhiêu cách xếp sách lên một kệ dài sao cho:

a) Các cuốn sách xếp tùy ý b) Các cuốn sách cùng môn xếp cạnh nhau

46. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có A và B, vào 10 ghế hàng ngang, sao cho:a) A và B luôn ngồi cạnh nhau b) A và B không ngồi cạnh nhau

47. Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trínhất, nhì, ba biết không có hai vận động viên nào về đích cùng lúc

48. Một Ban chấp hành đoàn có 7 người Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người vào Ban thường vụ nếu:a) Không phân biệt chức vụ

b) Ba người lần lượt làm các chức vụ: Bí thư, Phó Bí thư và Uỷ viên

49. Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm Hỏi có bao nhiêu:

a) Đoạn thẳng có hai đầu mút thuộc P b) Véc tơ khác−→0 có hai đầu mút thuộc P.

50. (D-2014) Cho một đa giác đều n đỉnh, n∈N và n≥3 Tìm n biết đa giác đã cho có 27 đường chéo

51. Có bao nhiêu cách chia 10 người thành:

a) Hai nhóm 7 người và 3 người b) Ba nhóm 5 người, 3 người và 2 người

52. Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ Hỏi có bao nhiêu cáchchọn sao cho có ít nhất một nam và ít nhất một nữ

53. (B-05) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phâncông đội về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ

54. (B-04) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình và 15câu dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao chotrong mỗi đề phải có 3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu dễ không ít hơn 2

55. Một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêucách chọn để số bi lấy ra không đủ ba màu

Trang 13

61. Tìm hệ số của số hạng chứa x5trong khai triển(2x+3)16.

62. Tìm hệ số của số hạng chứa x7trong khai triển(2−3x)19

63. Tìm hệ số của số hạng chứa x25trong khai triển 2x3+x15

65. Tìm n, biết hệ số chứa x2trong khai triển(1−3x)nlà 90

66. (A-2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn − 1

n = C3n Tìm số hạng chứa x5trong khai triển nhịthức Newton của nx

2

14 −

1x

n

, x6=0

§4 Biến Cố Và Xác Suất Của Biến Cố

1 Phép thử ngẫu nhiên.

• Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà:

∗Kết quả của nó không đoán trước được;

∗Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó

• Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệuΩ

2 Biến cố.

• Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vàokết quả của T Mỗi kết quả của T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A Tập hợp cáckết quả thuận lợi cho A ký hiệu làΩA Khi đó người ta nói biến cố A được mô tả bởi tậpΩA

• Biến cố chắc chắnΩ là biến cố luôn xảy ra; biến cố không thể ∅ là biến cố không bao giờ xảy ra

Trang 14

§4 Biến Cố Và Xác Suất Của Biến Cố

3 Xác suất của một biến cố.

• Giả sử phép thử T có không gian mẫuΩ là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng.Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của A là một số, ký hiệu là P(A), được xácđịnh bởi công thức P(A) = |ΩA|

|Ω|

• Tính chất: 0≤P(A) ≤1, P(∅) =0, P(Ω) =1

Bài Tập

67. Gieo một đồng tiền hai lần

a) Mô tả không gian mẫu

b) Tính xác suất để kết quả gieo lần hai xuất hiện mặt ngửa

c) Tính xác suất để kết quả hai lần gieo khác nhau

68. Gieo một con súc sắc

b) Tính xác suất để mặt xuất hiện có số chấm là chẵn

c) Tính xác suất để mặt xuất hiện có số chấm bé hơn 3

69. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9

b) Tính xác suất để số được chọn là số nguyên tố

c) Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3

70. Một xạ thủ bắn vào bia cho tới khi trúng bia hoặc bắn đủ 5 viên thì ngừng

b) Tính xác suất để xạ thủ đó bắn không quá 3 viên

c) Tính xác suất để xạ thủ đó bắn đúng 5 viên

71. Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất

b) Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 7

c) Tính xác suất để có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm

72. (A-2014) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ Tính xác suất để 4thẻ được chọn đều được đánh số chẵn

73. (A-2013) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là

76. Một nhóm học tập gồm 7 nam và 5 nữ, trong đó có bạn nam A và bạn nữ B Chọn ngẫu nhiên 6 bạn

để lập một đội tuyển thi học sinh giỏi Tính xác suất để đội tuyển có 3 nam và 3 nữ, trong đó phải có hoặcbạn nam A, hoặc bạn nữ B nhưng không có cả hai

77. (B-2013) Có hai chiếc hộp chứa bi Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa

2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi, tính xác suất để 2 viên bi đượclấy ra có cùng màu

78. (B-2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểmnghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu, 3 hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên ba hộp sữa

để phân tích mẫu Tính xác suất để ba hộp sữa được chọn có cả ba loại

Trang 15

Chương 2 Tổ Hợp Và Xác Suất

§5 Các Quy Tắc Tính Xác Suất

1 Quy tắc cộng xác suất.

• Biến cố hợp: Là biến cố "A hoặc B xảy ra", ký hiệu là A∪B Ta cóΩA ∪ B =ΩA∪ΩB

• Biến cố xung khắc: Là hai biến cố A và B mà nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại

• Quy tắc cộng xác suất: Nếu A, B xung khắc thì P(A∪B) =P(A) +P(B)

2 Xác suất của biến cố đối.

• Biến cố đối: Là biến cố "Không xảy ra A", ký hiệu là A Ta cóΩA=Ω\ΩA;ΩA∩ΩA=∅

• Xác suất của biến cố đối: P(A) =1−P(A)

2 Quy tắc nhân xác suất.

• Biến cố giao: Là biến cố "Cả A và B cùng xảy ra", ký hiệu là A∩B Ta cóΩA ∩ B =ΩA∩ΩB

• Biến cố độc lập: Là hai biến cố A và B mà việc xảy ra hay không xảy ra A không ảnh hưởng đến việcxảy ra hay không xảy ra B và ngược lại

• Quy tắc nhân xác suất: Nếu A, B độc lập thì P(A∩B) =P(AB) =P(A).P(B)

Bài Tập

79. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó.Tính xác suất để số bi lấy ra không đủ cả ba màu

80. Có 7 sách Toán, 5 sách Lý và 6 sách Hóa Chọn ngẫu nhiên 6 sách Tính xác suất để số sách được chọn

có không quá 5 sách Toán

81. Có hai hộp đựng bi Hộp thứ nhất có 7 bi xanh và 3 bi đỏ, hộp thứ hai có 6 bi xanh và 4 bi đỏ Lấyngẫu nhiên mỗi hộp một bi Tính xác suất để được ít nhất một bi đỏ

82. Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện ít nhất là 6

83. Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2 Tính xác suất để ba lần bắn độc lập.a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần

b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần

84. Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau Xác suất để động cơ I và động cơ II

bị hỏng lần lượt là 0,01 và 0,02

a) Tính xác suất để hai động cơ đều chạy tốt

b) Tính xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt

§6 Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc

1 Biến ngẫu nhiên rời rạc.

• Là giá trị độc lập X ={x1, x2, , xn}nhận kết quả bằng số, hữu hạn và không dự đoán trước được

• Xác suất tại xk: P(X= xk) = pk,(k =1 n) Khi đó p1+p2+ +pn=1

Trang 16

a) Tính xác suất để trên trang sách có nhiều nhất 4 lỗi.

b) Tính xác suất để trên trang sách có nhiều nhất 2 lỗi

87. Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con Gọi X là số con trai trong gia đình đó.Hãy lập bảng phân bố xác suất của X, biết xác suất sinh con trai là 0,5

88. Một nhóm có 7 người, trong đó gồm 4 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên 3 người Gọi X là số nữ trong

ba người được chọn

a) Lập bảng phân bố xác suất của X b) Tính E(X)và V(X)

89. Một hộp có 3 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen Một người lấy ngẫu nhiên ba quả từ hộp đó Gọi X là

số quả cầu trắng được lấy ra

a) Lập bảng phân bố xác suất của X b) Tính E(X), V(X)và P(0< X<3)

Ôn Tập Chương 2

90. Có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 8 cuốn sách Lý khác nhau và 6 cuốn sách Hóa khác nhau Hỏi cóbao nhiêu cách chọn:

a) Một cuốn sách b) Mỗi môn một cuốn sách

91. Từ các số 0, 2, 4, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và hai chữ số 7 và

8 không đứng cạnh nhau

92. Giải vô địch bóng đá Việt Nam có 14 đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt tính điểm Giả sử cuối mùabóng không có hai đội nào có cùng số điểm Hỏi có bao nhiêu:

a) Kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba

b) Cách chọn ra ba đội bóng để trao giải phong cách

93. Cho đa giác đều A1A2 A2n,(n∈N, n≥2) Hãy tính:

a) Số đường chéo của đa giác

b) Số tam giác có các đỉnh là ba trong đỉnh của đa giác

c) Số hình chữ nhật có các đỉnh là bốn trong đỉnh của đa giác

94. Giải bất phương trình Cnn+−12+Cnn+2> 52A2n

95. Chứng minh rằng Ckn+2Ckn−1+Cnk−2 =Cnk+2

96. Tìm hệ số của số hạng chứa x9trong khai triển(2−x)10

97. Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển x2+1n

bằng 1024 Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x12trongkhai triển đó

98. Trong hộp có 3 bi đỏ, 4 bi xanh, 5 bi vàng Chọn ngẫu nhiên 3 bi Tìm xác suất để:

a) Ba bi được chọn có đúng một bi màu xanh b) Ba bi được chọn không đủ ba màu

99. Có 6 nhà Toán học nam và 3 nhà Toán học nữ lập thành một đoàn công tác gồm bốn người Tìm xácsuất sao cho:

a) Trong đoàn có đúng một nhà Toán học nữ b) Trong đoàn có ít nhất một nhà Toán học nữ

100. Có hai hộp đựng bi Hộp thứ nhất chứa 7 bi đỏ và 5 bi vàng, hộp thứ hai chứa 6 bi đỏ và 8 bi vàng.Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một bi Tính xác suất để:

a) Lấy được ít nhất một bi màu xanh b) Lấy được hai bi khác màu

Trang 17

101. Ba học sinh An, Bình, và Chi cùng giải một bài toán độc lập với nhau Xác suất giải được của An là0,7, của Bình là 0,6, của Chi là 0,5 Tính xác suất để:

a) Có đúng hai học sinh giải được bài toán b) Có ít nhất một học sinh giải được bài toán

102. Số điểm kiểm tra Toán của lớp 11A là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất:

P 0,01 0,02 0,4 0,1 0,15 0,16 0,12 0,2 0,1 0,1a) Tính xác suất để số điểm thấp nhất là 7

b) Tính xác suất để số điểm dưới trung bình

Trang 18

Trang 19

Chương 3

Dãy Số Cấp Số Cộng - Cấp Số Nhân

§1 Phương Pháp Quy Nạp Toán Học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n)đúng∀n≥ p,(n, p ∈N∗), ta thực hiện theo hai bước sau:

• Bước 1: (bước cơ sở) Chứng minh A(n)đúng khi n = p

• Bước 2: (bước quy nạp) Giả sử A(n)đúng khi n =k≥ p, ta chứng minh A(n)đúng khi n =k+1

Bài Tập

104. Chứng minh rằng∀n∈N∗, ta có các đẳng thức sau:

a) 1+2+ +n= n(n+1)

2 b) 1+3+ + (2n−1) =n2.c) 13+23+ +n3= n2(n+1)2

1

n(n+1) (n+2) =

n(n+3)

4(n+1) (n+2).d)

a) n2−nchia hết cho 2 b) n 2n2−3n+1 chia hết cho 6

c) 9n−1 chia hết cho 8 d) 32n − 1+1 chia hết cho 4

e) 7.22n−2+32n−1chia hết cho 5 f) 11n+1+122n−1chia hết cho 133

1

√3n+4,∀n∈N∗

Định dạng
Số trang	38
Dung lượng	480,47 KB