Tài liệu gồm hai chương Quan hệ song song và Quan hệ vuông góc của Hình học 11. Tài liệu có thuyết chặt chẽ, kèm theo ví dụ minh họa điển hình và lượng bài tập chọn lọc kỹ càng, vừa đủ. Tài liệu phù hợp cho học sinh tự học và giáo viên dung để giảng dạy.
Trang 1Hình Học
KHÔNG GIAN 11
Chương Trình Nâng Cao
Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu
THPT Phan Đình Phùng
Đồng Hới Tháng 08 - 2016
Copyright c
Trang 3Mục lục
Chương 1 Quan Hệ Song Song 5
1.1 Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng 5
1.1.1 Mở đầu về hình học không gian 5
1.1.2 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian 5
1.1.3 Điều kiện xác định mặt phẳng 6
1.1.4 Hình chóp và hình tứ diện 6
1.2 Hai Đường Thẳng Song Song 7
1.2.1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt 7
1.2.2 Hai đường thẳng song song 8
1.3 Đường Thẳng Song Song Với Mặt Phẳng 9
1.3.1 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng 9
1.3.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng 9
1.4 Hai Mặt Phẳng Song Song 10
1.4.1 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt 10
1.4.2 Hai mặt phẳng song song 10
1.4.3 Định lý Thalès trong không gian 10
1.4.4 Hình lăng trụ Hình hộp Hình chóp cụt 11
1.5 Phép Chiếu Song Song 11
1.5.1 Phép chiếu song song 11
1.5.2 Hình biểu diễn của một hình không gian 12
Ôn Tập Chương 1 12
Chương 2 Quan Hệ Vuông Góc 15
2.1 Vectơ Trong Không Gian 15
2.1.1 Vectơ trong không gian 15
2.1.2 Sự đồng phẳng của các vectơ 15
2.2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc 16
2.2.1 Góc giữa hai đường thẳng 16
2.2.2 Hai đường thẳng vuông góc 16
2.3 Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng 17
2.3.1 Định nghĩa và tính chất 17
2.3.2 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng 18
2.3.3 Định lý ba đường vuông góc 18
2.3.4 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 18
2.4 Hai Mặt Phẳng Vuông Góc 19
2.4.1 Góc giữa hai mặt phẳng 19
2.4.2 Hai mặt phẳng vuông góc 19
2.4.3 Hình lăng trụ đứng Hình chóp đều 20
2.5 Khoảng Cách 21
Ôn Tập Chương 2 22
Trang 5Chương 1
Quan Hệ Song Song
1.1 Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
1.1.1 Mở đầu về hình học không gian.
Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường lớp học, mặt hồ lặng gió, mặt bàn, tấm gương phẳng, cho ta hìnhảnh một phần mặt phẳng trong không gian Người ta thường biểu diễn một mặt phẳng bằng một hình bìnhhành và ký hiệu là(P),(Q),(α),(β),
Để hình dung về các hình không gian, người ta vẽ chúng thành những hình phẳng, gọi là hình biểu diễncủa các hình không gian Để vẽ hình biểu diễn của một hình không gian, người ta đưa ra những quy tắc sau:
• Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng
• Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắtnhau)
diễn cho đường thẳng a
• Dùng nét vẽ liền (——) để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- - - -) để biểudiễn cho những đường bị khuất
Ví dụ 1.1. Vẽ hình biểu diễn một đường thẳng nằm trong mặt phẳng, một đường thẳng cắt mặt phẳng
1.1.2 Các tính chất thừa nhận của hình học không gian.
Tính chất thừa nhận 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước
Tính chất thừa nhận 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước
Tính chất thừa nhận 3. Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng
Tính chất thừa nhận 4. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳngchung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó Đường thẳng chung này gọi là giao tuyếncủa hai mặt phẳng
Tính chất thừa nhận 5. Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả của hình học phẳng đều đúng
Định lý 1.1 Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều
nằm trong mặt phẳng đó.
Ví dụ 1.2. Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng(α) Chứng minh rằng M là điểm chung của
Trang 61.1.3 Điều kiện xác định mặt phẳng.
Một mặt phẳng được xác định khi biết nó đi qua
• Ba điểm không thẳng hàng;
• Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó;
• Hai đường thẳng cắt nhau
Ví dụ 1.3. Cho mặt phẳng(P)và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài(P) Chứng minh rằng
Nhận xét. Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chỉ ra ba điểm đó thuộc hai mặt phẳng phân biệt
1.1.4 Hình chóp và hình tứ diện.
Định nghĩa 1.2. Trong(P)cho đa giác A1A2 Anvà một điểm S nằm ngoài(P) Nối S với các đỉnh A1, A2, , An
được n đa giác SA1A2, SA2A3, , SAnA1 Hình gồm n tam giác SA1A2, SA2A3, , SAnA1và đa giác A1A2 An
Lưu ý. Cắt hình chóp bởi mặt phẳng(α), phần chung của (α)và các mặt của hình chóp tạo thành một đagiác khép kín gọi là thiết diện
Định nghĩa 1.3. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và
Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều gọi là tứ diện đều
Ví dụ 1.4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB
Nhận xét. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta tìm hai điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng
Ví dụ 1.5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành và M, N lần lượt là trung điểm của BC vàSD
Nhận xét. Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng(P), ta xét hai trường hợp:
Ví dụ 1.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của SC
Ví dụ 1.7. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và P thuộc cạnh AD sao cho
Nhận xét. Để tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(P)ta tìm giao điểm của(P)với các cạnh củahình chóp
Ví dụ 1.8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P lần lượt là trung điểmcủa SA, BC và CD
Trang 7Chương 1 Quan Hệ Song Song
BÀI TẬP
quy
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy
1.10. Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD
1.11. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Kéo dài BC một đoạn CE= a Kéo dài BD một đoạn DF= a
vừa tìm được
1.12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm∆SAD
1.2 Hai Đường Thẳng Song Song
1.2.1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt.
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b, có thể xảy ra một trong hai khả năng sau:
• Có một mặt phẳng chứa cả a và b, ta nói a và b đồng phẳng;
• Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b, ta nói a và b không đồng phẳng
Định nghĩa 1.4. Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng
Ví dụ 1.9. Cho tứ diện ABCD, chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau
Nhận xét. Để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ta dùng phương pháp phản chứng, giả sử hai đườngthẳng đồng phẳng và chỉ ra điều mâu thuẫn
Trang 81.2.2 Hai đường thẳng song song.
Định nghĩa 1.5. Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung
Tính chất 1.Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳngsong song với đường thẳng đó
Tính chất 2.Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau
Định lý 1.6 (về giao tuyến của ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba
giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúngsong song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)
Ví dụ 1.10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
Nhận xét. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song, ta tìm một điểm chungcủa hai mặt phẳng và áp dụng hệ quả
Ví dụ 1.11. Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC; P là điểm trên đoạn AD sao
b) Chứng minh I J và MN song song với nhau
Ví dụ 1.12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tamgiác SAB và SAD; E là trung điểm BC
a) Chứng minh MN song song với BD;
Nhận xét. Để chứng minh hai đường thẳng song song thường sử dụng hai cách sau
C1: Chỉ ra hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng và áp dụng các cách chứng minh song song tronghình học phẳng;
C2: Chỉ ra hai đường thẳng là hai trong ba giao tuyến của ba mặt phẳng đôi một cắt nhau
BÀI TẬP
1.13. Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên cạnh SA lấy hai điểm phân biệt M, N; trên cạnh BC lấy hai điểmphân biệt E, F
a) Chứng minh SA và BC chéo nhau;
b) Chứng minh ME và NF chéo nhau
1.14. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB
1.15. Cho hình chóp S.ABC có P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và SAC Chứng minh PQ songsong với BC
1.16. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD; P là điểm thuộc BC sao cho BP =
1.17. Cho tứ diện ABCD có M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm AB, CD, BC, AD, AC và BD Chứng minh
đoạn Khi đó điểm G được gọi là trọng tâm của tứ diện
1.18. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD
a) Chứng minh đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện vớiđỉnh ấy;
Trang 9Chương 1 Quan Hệ Song Song
1.19. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E là điểm thuộc cạnh AD và khôngtrùng với A, D
b) Tìm vị trí E để thiết diện là hình bình hành;
c) Tìm điều kiện của tứ diện và vị trí của E để thiết diện là hình thoi
1.20. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi là trung điểm M, N lần lượt là trungđiểm SA và SB
a) Chứng minh MN song song với CD;
đôi một song song Tứ giác SABI là hình gì ?
1.3 Đường Thẳng Song Song Với Mặt Phẳng
1.3.1 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
1.3.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng.
Định nghĩa 1.7. Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung
Định lý 1.8 Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng(P)và song song với một đường thẳng nằm trên(P)thì
a song song với(P).
Ví dụ 1.13. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho MB=
Nhận xét. Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chỉ ra đường thẳng không nằm trênmặt phẳng và song song với một đường thẳng nằm trên mặt phẳng
Ví dụ 1.14. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng
Định lý 1.9 Nếu đường thẳng a song song với(P)thì mọi mặt phẳng(Q)chứa a mà cắt(P)thì cắt theo giao tuyến song song với a.
Hệ quả 1.Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào
Ví dụ 1.16. Cho tứ diện ABCD Gọi M là một điểm thuộc cạnh AC khác A và C Giả sử (P)là mặt phẳngqua M và song song với các đường thẳng AB, CD lần lượt cắt AD, BD và BC tại N, E, F
a) Chứng minh MNEF là hình bình hành;
b) Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF
Định lý 1.10 Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b.
Trang 10BÀI TẬP
1.21. Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2là trọng tâm các tam giác ACD và BCD Chứng minh rằng G1G2 song
1.22. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD
1.23. Cho tứ diện ABCD Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB khác A và B Giả sử(P)là mặt phẳng qua M
1.24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Điểm M di động trên AB và không trùng với A và
N, P, Q
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b) Gọi I là giao điểm của MN và PQ Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định
1.4 Hai Mặt Phẳng Song Song
1.4.1 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt.
ký hiệu(P) ∩ (Q) =∆
1.4.2 Hai mặt phẳng song song.
Định nghĩa 1.11. Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung
Định lý 1.12 Nếu mặt phẳng(P)chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng(Q)thì(P)
Ví dụ 1.17. Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD và ABD
Nhận xét. Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chỉ ra mặt này chứa hai đường thẳng cắt nhau songsong với mặt kia
Tính chất 1. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặtphẳng đó
Hệ quả 1.Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q)thì có duy nhất một mặt phẳng(P)chứa a vàsong song với(Q)
Hệ quả 2.Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau
Tính chất 2.Nếu hai mặt phẳng(P)và(Q)song song thì mọi mặt phẳng(R)đã cắt(P)thì phải cắt(Q)vàcác giao tuyến của chúng song song
Ví dụ 1.18. Cho tứ diện ABCD Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB khác A và B Giả sử(P)là mặt phẳng
1.4.3 Định lý Thalès trong không gian.
Định lý 1.13 (Định lý Thalès) Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ.
Trang 11Chương 1 Quan Hệ Song Song
Định lý 1.14 (Định lý Thalès đảo) Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a0 lần lượt lấy các điểm A, B, C và
1.4.4 Hình lăng trụ Hình hộp Hình chóp cụt.
Định nghĩa 1.15. Cho hai mặt phẳng song song(P)và(P0) Trên(P)cho đa giác A1A2 An Qua các đỉnh
A1, A2, , An vẽ các đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt (P0)tại A01, A20, , A0n Hình gồm n hìnhbình hành A1A2A02A10, A2A3A30A02, , AnA1A10A0nvà hai đa giác A1A2 An, A10A02 A0ngọi là hình lăng trụ, kýhiệu là A1A2 An.A01A02 A0n
Định nghĩa 1.16. Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp
Định nghĩa 1.17. Cho hình chóp S.A1A2 An và một mặt phẳng(P)không qua đỉnh, song song với mặtphẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2, ,SAnlần lượt tại A01, A20, , A0n Hình hợp bởi thiết diện A01A20 A0nvà đáy
A1A2 An của hình chóp cùng với các tứ giác A01A02A2A1, A02A30A3A2, , A0nA10A1An gọi là một hình chópcụt, ký hiệu là A01A02 A0n.A1A2 An
Ví dụ 1.20. Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 Gọi M, M0 lần lượt là trung điểm của BC và B0C0
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng(AB0C0)và(BA0C0);
BÀI TẬP
1.25. Cho hình chóp S.ABCD có M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SD
1.26. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AD; AD =2BC Gọi E là trung điểm AD; O
1.27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA vàCD
1.28. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0
1.5 Phép Chiếu Song Song.
1.5.1 Phép chiếu song song.
Định nghĩa 1.18. Trong không gian cho mặt phẳng(P)và đường thẳng l cắt(P) Phép đặt tương ứng mỗi
Trang 12Tính chất 1.Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng.
Hệ quả. Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng, của một tia là một tia
Tính chất 2.Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùngnhau
Tính chất 3.Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳngsong song hoặc trùng nhau
1.5.2 Hình biểu diễn của một hình không gian.
Định nghĩa 1.19. Hình biểu diễn của một hìnhHtrong không gian là hình chiếu song song của hìnhHtrênmột mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó
Nhận xét. Hình chiếu song song của một đường tròn là một đường elip hoặc một đường tròn, đặc biệt cóthể là một đoạn thẳng
Ôn Tập Chương 1
1.29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của cáccạnh SB và SC;
1.30. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O Trên cạnh SB lấy điểm M sao cho
1.31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB=3a và CD=a Gọi I, J theo thứ
tự là trung điểm của các cạnh AD và BC, G là trọng tâm tam giác SAB
1.32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD là đáy lớn Gọi I là trung điểm CD, M là điểm tùy ýtrên cạnh SI
1.33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M, N lần lượt là trung điểm AB và SC
1.34. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P là trung điểm của BC, AD, SD
1.35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lượt thuộc cạnh SB, SC