Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 9
Kỷ thuật c/m bất đẳng thức có điều kiện
Bài 1 : cho x ,y >0 thỏa mãn X3 +Y3 = X−Y
C/MR : X2 +Y2 < 1
Bài 2 :cho a+b≥ 1 , CMR : a2 +b2 ≥21
Bài 3 : CMR nếu a+b+c≥ 3 , thì a4 +b4 +c4 ≥a3 +b3 +c3
Giáo viên hướng dẫn giải :
Bài 1 : Từ X2 +Y2 < 1 ↔ 1 −X2 −Y2 = ( 1 −X2 −Y2 ) + (X3 +Y3 −X +Y)
= (X3 −X2 −X + 1 ) + (Y3 −Y2 +Y) = (X − 1 )(X2 − 1 ) +Y(Y2 −Y + 1 )
2
1 ( )
1 )(
1
− +
−
X >0 ( vì : X ,Y > 0) suy ra :
1 −X2 −Y2 > 0 ↔ X2 +Y2 < 1 ( điều phải c/m) /
Bài 2 : ``ta có : − − ≤ + − ≥
2
1 ,
0
1 a b a2 b2 nên ta có :
0 ) 2
1 ( ) 2
1 ( ) 2
1 (
) 1 (
) 1
( )
2
1
(a2 +b2 − + −a−b = a2 −a+ + b2 −b− = a− 2 + b− 2 ≥
2
1 0
1
1 ↔ − − ≤ ↔ 2 + 2 − ≥ ↔ 2 + 2 ≥
≥
Bài 3 : tương tự ta có
) 1 (
) 1 (
) 1 (
) 3
( ) (a4 +b4 +c4 −a3 −b3 −c3 + −a−b−c = a4 −a3 −a+ + b4 −b3 −b+ + c4 −c3 −c+
+ +
− +
+ +
− + +
+
−
4
3 ) 2
1 ( ) 1 ( 4
3 ) 2
1 ( ) 1 ( 4
3 ) 2
1 (
)
1
0 3
3 ↔ − − − ≤
≥
+
a a4 +b4 +c4 −a3 −b3 −c3 ≥ 0
a4 +b4 +c4 ≥a3 +b3 +c3 ( điều phải c/m)
(lưu ý ; bài giải mang tính hướng dẫn , có chỗ đánh bị lỗi ) /