CONG THUC ON THI THPT

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.. Sự đồng biến, nghịch biến ĐB, NB của hàm số Định lí 1: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.. GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn Thường dùng khi tìm GTLN

V KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Sự đồng biến, nghịch biến (ĐB, NB) của hàm số

Định lí 1: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f (x)  0,   I (f(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì f ĐB trên I

b) Nếu f (x)  0,   I (f(x) = 0 tại hữu hạn điểm) thì f NB trên I

c) Nếu f(x) = 0,   I thì f không đổi trên I

2 Cực đại, cực tiểu (CĐ, CT) của hàm số

Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có

đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt CT tại x0

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt CĐ tại x0

Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0,

f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt CĐ tại x0

b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt CT tại x0

3 GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

- Tính f (x)

- Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b]

- Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n )

- So sánh các giá trị vừa tính và kết luận

[ ; ]

max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )n

a b

[ ; ]

min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )n

a b

4 Tiệm cận

 Đường thẳng x x 0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

 ( )

y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:



0

lim ( )



0

lim ( )



0

lim ( )



0

lim ( )

x x f x

 Đường thẳng y y 0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

 ( )

y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim ( )

lim ( )

5 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị

của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với

các trục toạ độ Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ

chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

VI HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LƠGARIT

1

1

n n a a

a a a





  log (a bc)loga bloga c



c

 

(ab)a b  loga b loga b

.

log

a b a

c c b



log

a b

b a



n n n

b  b logac1loga c( 0)



 p

n a p n a lnbloge b e 2, 718

loga

a   b b loga blogab

  1 0

a a  MN a  loga b  ab

1:

a aa    loga bloga c b c

0 a 1: aa    a1: loga bloga c b c

0 a 1: loga bloga c b c

\

VII NGUYÊN HÀM

0dxC

ln

x

a



dx x C

1

, ( 1) 1

x



 

1 ln

1 tan cos x dx xC



e dxe C

1 cot sin x dx  xC

 1

cos(ax b dx) sin(ax b) C

a

a



1 sin(ax b dx) cos(ax b) C

a

ax b a  





2

tan cos ax b dxa ax b C



cot sin ax b dx a ax b C



VIII TÍCH PHÂN

b

b a a

f x dxF x F b F a

2 Phương pháp tính tích phân

a Phương pháp đổi biến số:    ( )

( )

( ) '( ) u b ( )

b

f u x u x dx f u du

Đặc biệt:







a

t

b Phương pháp tích phân từng phần: b  b ab

udv uv vdu

Thường dùng cho tích phân có dạng: b ( ) ( )

a

I f x g x dx

Đặt:  ( )( )    ( )'( )  ( )

du f x

u f x

v g x dx G x

dv g x dx

Thứ tự ưu tiên đặt u: “ Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

3 Ứng dụng của tích phân

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: Đồ thị hàm số

y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]; Trục hoành; Hai đường thẳng x = a,

x = b là: b ( )

a

S f x dx

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]; Hai đường thẳng

x =a, x = b là: b ( ) ( )

a

Chú ý:Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị

tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b] Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d)

Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:



 ( )

b a

f x dx c ( ) d ( ) b ( )

f x dx f x dx f x dx (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)

 Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi

quay quanh trục Ox là: b 2( )

a

V f x dx