Sổ tay công thức Toán ôn thi THPT Quốc Gia 2020 và Đại học.1. Công thức Toán lớp 10, gồm Đại Số và Hình Học.2. Công thức Toán lớp 11, gồm Đại Số và Giải Tích và Hình Học.3. Công thức Toán lớp 12, gồm Giải Tích và Hình Học.
Trang 1ĐẠI SỐ a > b ≥ 0
n N*
* an < bn
* a > b ≥ 0 a > b
* a > b 3 a > 3 b
Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối:
- |a| ≤ a ≤ |a| a R
|x| ≤ a -a ≤ x ≤ a (a > 0)
|x| > a x < -a x > a
|a| - |b| < |a+b| < |a| + |b| (a,b R)
A
Bất đẳng thức Cauchy (cho các số không âm):
* ≥ ab (dấu “=” xảy ra khi a = b)
* ≥ 3 abc (dấu “=” xảy ra khi a=b=c)
a + b 2
a + b + c 3
Bất đẳng thức Bunyakovsky (cho các số thực):
* ab + cd ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) (dấu “=” xảy ra khi ad = bc)
* a1b1 + a2b2 + c3b3 ≤ (a1+a2+a3)(b1+b2+b3) (dấu “=” xảy ra khi = = ) a1
b1
a2
b2
a3
b3
3 Cấp số cộng:
a/ Định nghĩa: Dãy số u1, u2, , un,
Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu
un = un-1 + d
b/ Số hạng thứ n: un = u1 + (n - 1)d
c/ Tổng của n số hạng đầu tiên:
Sn = (un 1 + un) = [2u1 + (n - 1)d]
2
4 Cấp số nhân:
a/ Định nghĩa: Dãy số u1, u2, , un,
Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu
un = un-1 q
b/ Số hạng thứ n: un = u1 qn - 1
c/ Tổng của n số hạng đầu tiên:
Sn = u1 (q ≠ 1) Nếu -1 < q < 1 lim Sn =
1-qn
1-q
u1
1-q
n +∞
5 Phương trình và bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
* |A| = |B| A = ±|B|
* |A| = |B|
* |A| < B
B ≥ 0
A = ±|B|
A < B
A > -B|
1 Tam thức bậc 2: Cho tam thức bậc 2
f(x) = ax2 + bx + c (a≠0; α, β R; α < β; S = - ; ∆=b2 - 4ac) a
b
α > 0
a/ f(x) ≥0, x R
α < 0 b/ f(x) ≤0, x R
af(α) < 0 af(β) > 0
g/ x1<α<x2<β
af(α) < 0 af(β) < 0
h/ x1<α<β<x2
af(α) > 0 af(β) < 0 i/ α<x1<β<x2
∆ > 0
af(α) > 0 af(β) > 0
- α > 0
- β < 0
k/ α<x1<x2<β S
2 S 2
c/ x1<α<x2 af(α) < 0 d/ α<x1<x2
∆ > 0
af(α) > 0 -α < 0
S 2 e/ x1<x2<α
∆ > 0
af(α) > 0 -α < 0
S 2 f/[α<x1<x2
x1<x2<α ∆ > 0af(α) > 0
j/[x1<α<x2<β α<x1<β<x2 f(α).f(β) < 0
2 Bất đẳng thức: a,b,c R
Các tính chất của bất đẳng thức
a > b
b > c
c > 0
a > b
c < 0
a > b
a > b
c > d
* a + c < b + d
a > b ≥ 0
c > d ≥ 0
* a > b a + c > b + c
* a + c > b a > b - c
A
Toán học
TRỌN BỘ BÍ KÍP CHINH PHỤC VŨ TRỤ
Trang 2* |A| < |B| A2 < B2
* |A| > B [A > BA < -B
6 Phương trình và bất phương trình chứa căn thức:
* A = B
* A = B
* A < B
* A < B
* A > B
A ≥ 0
A = B
B ≥ 0
A = B2
A ≥ 0
A < B
A ≥ 0
B > 0
A < B2
B < 0
A ≥ 0
B ≥ 0
A > B2
[
7 Phương trình và bất phương trình logarit:
* logα f(x) = log α g(x)
* logα f(x) = log α g(x)
0 < α ≠ 1 f(x) > 0 (g(x) > 0) f(x) = g(x)
0 < α ≠ 1 f(x) > 0 g(x) > 0 (a-1)[f(x) - g(x)] > 0
8 Phương trình và bất phương trình mũ:
* α f(x) = α g(x)
* α f(x) > α g(x) α > 0
(α - x) - g(x) > 0
0 < α ≠ 1 f(x) = g(x)
α = 1 / f(x), g(x)
[ E
9 Lũy thừa:
* aα a β a γ = a α + β + γ
* = a α - β
* (aα ) β = a αβ
* β aα = a
* =
* aαbα = (a.b) α
* a-α =
* n m ak = n.m a k = a
aα
aβ
α
β
aα
bα
a
b
( )α
1
aα
k n.m
10 Logarit: 0 < N1, N2, N và 0 < a,b ≠ 1 ta có
* logaN = M N = aM
* logaaM = M
*a = N
*N1 = N2
* loga(N1N2) = logaN1 + logaN2
* loga = logaN1 - logaN2
* logaNα = αlogaN
* loga N = αlogaN
* logaN =
* logab =
N1
N2 ( )
logbN logba 1 logba
logaN logaN2 logaN1
α
LƯỢNG GIÁC
A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1 Hệ thức cơ bản:
sin2 x + cos2 x = 1
tg x = cotg x =
tg x cotg x = 1
1 + tg2 x =
1 + cotg2 x =
sin x cos x
1 cos2 x 1 sin2 x
cos x sin x
2 Cung liên kết:
Cung đối
cos (-x) = cos x sin (-x) = - sin x
tg (-x) = - tg x cotg (-x) = - cotg x
Cung đối
sin (π - x) = sin x cos (π - x) = - cos x
tg (π - x) = - tg x cotg (π - x) = - tg x
Cung phụ
sin ( - x) = cos x cos ( - x) = sin x
tg ( - x) = cotg x cotg ( - x) = tg x
π 2 π 2 π 2 π 2
3 Công thức cộng:
sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos y cos(x ± y) = cos x cos y ± sin x sin y
tg(x ± y) = tg x ± tg y1 ± tg x tg y
4 Công thức nhân đôi:
sin(2x) = 2sin x cos y cos(2x) = 2cos2 x - 1 = 1 - 2sin2 x = cos2 x - sin2 x
tg(2x) = cos2 x = sin2 x =
2tg x
1 - tg2 x
1 + cos 2x 2
1 - cos 2x 2
5 Công thức nhân ba:
sin(3x) = 3sin x - 4sinv3 x cos(3x) = 4cos3 x - 3cos x
tg(3x) = cos3 x = sin3 x =
3tg x - tg3 x
1 - 3tg2 x 3cos x + cos 3x 4 3sin x - sin 3x 4
6 Công thức biểu diễn sin x, cos x theo t = tg :
sin x = cos x =
tg x =
2t
1 + t2
2t
1 - t2
1 - t2
1 + t2
x 2
7 Công thức biến đổi:
cos x + cos y = 2 cos cos cos x - cos y = -2 sin sin sin x + sin y = 2 sin cos sin x - sin y = 2 cos sin
x + y 2
x + y 2
x - y 2
x - y 2
x + y 2
x - y 2
x + y 2
x - y 2
Cung hơn kém π:
sin (π + x) = - sin x cos (π + x) = - cos x
tg (π + x) = tg x cotg (π + x) = cotg x
Cung hơn kém :
sin ( + x) = cos x cos ( + x) = - sin x
tg ( + x) = - cotg x cotg ( + x) = - tg x
π 2
π 2 π 2 π 2 π 2
tg x + tg y =
tg x - tg y = cotg x + cotg y = cotg x - cotg y =
sin (x + y) cos x cos y
sin (x + y) sin x sin y
sin (x - y) cos x cos y
sin (x - y) sin x sin y
B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1 Phương trình cơ bản:
a/ sin x = sin u (k Z )
sin x = 1 x = + k2π sin x = -1 x = - + k2π sin x = 0 x = kπ b/ cos x = cos u (k Z )
cos x = 1 x = +k2π cos x = -1 x = π + k2π cos x = 0 x = kπ
c/ tg x = tg u x = u + kπ (k Z ) d/ cotg x = cotg u x = u + kπ (k Z )
[x = u + k2π
x = π - x + k2π π
2 π 2
π 2
[x = u + k2π
x = -u + k2π
2 Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác:
Cách giải: Ta đặt t = sin x (hoặc cos x, tg x, cotg x)
ta chuyển về phương trình:
antn + an-1tn-1 + + a0 = 0
Chú ý: nếu ta đặt t = sin x hoặc cos x thì chú ý
điều kiện -1 ≤ t ≤ 1
3 Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx:
a.sin x + b.cos x = c Điều kiện để có nghiệm: a2+b2 ≥ c2
Cách giải: Chia 2 vế cho a2+b2 và sau đó đưa phương trình về lượng giác cơ bản
π 2
4 Phương trình đẳng cấp bậc hai sin x và cos x:
a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x + d = 0
Cách giải:
* Xét cos x = 0 x = + kπ có là nghiệm hay không?
* Xét cos x ≠ 0 chia 2 vế cho cos2 x và đặt t = tg x Chú ý: d = d (1 + tgcos12 x 2 x)
π 4
5 Phương trình dạng:
a (sin x ± cos x) + b sin x cos x + c = 0
Cách giải:
Đặt t = sin x ± cos x = 2 sin (x ± ) - 2 ≤ t ≤ 2 sin x cos x = (sin x cos x = )
Và giải phương trình bậc 2 theo t
t2 - 1 2
1 - t2 2
Trang 3C HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1 Định lý cosin:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
cos A =
cos B =
cos C =
b2 + c2- a2
2bc
a2 + c2- b2
2ac
a2 + b2- c2
2ab
2 Định lý hàm số sin:
= = = 2R
a
sin A sin Bb sin Cc
3 Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
ma2 =
-mb =
-mc2 =
-b2 + c2
2 4
a2 + c2
2 4
a2 + b2
2 4
5 Công thức tính diện tích tam giác:
S = a.ha = b.hb = c.hc
S = bc.sin A = ab.sin C = ac.sin B
S = p.r =
S = p (p - a) (p - b) (p - c)
1
2
1
1
abc
4R
4 Công thức tính độ dài đường phân giác trong:
la =
lb =
lc =
2bc cos A
2
b + c
2ac cos B
2
a + c
2ab cos C
2
a + b
1 Đạo hàm các hàm số thường gặp:
1/ (xα )’ = α.x α - 1
3/ ( x )’ = 5/ = -7/ (sin x)’ = cos x 9/ (cos x)’ = -sin x 11/ (tg x)’ = 13/ (cotg x)’ = - 15/ (ex)’ = ex 17/ (ax)’ = ax ln a 19/ (ln x)’ = 21/ (loga x)’ =
1
2 x
1 cos2 x
1
x ln a
1 sin2 x
1
x2
1 x
1 x ( ) ’
2/ (uα )’ = α.u α - 1.u‘
4/ ( u )’ = 6/ = -8/ (sin u)’ = u‘ cos u 10/ (cos u)’ = -u‘ sin u 12/ (tg u)’ = 14/ (cotg u)’ = - 16/ (eu)’ = u‘ eu 18/ (au)’ = u‘ au ln a 20/ (ln u)’ = 22/ (loga u)’ =
u’
2 u
u’
cos2 u
u
u ln a
u’
sin2 u
u’
u2
u’
u
1 u ( ) ’
2 Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
Chú ý:
dx = x + C
xα dx = + C = ln |x| + C = + C
ex dx = ex + C
xα + 1
α + 1
dx x dx
x2
1 x
ax dx = + C cos x dx = sin x + C sin x dx = -cos x + C = tg x + C = -cotg x + C
ax
ln a
dx cos2 x dx sin2 x f(ax + b)dx = F(ax + b) + Ca1
3 Diện tích hình phẳng – Thể tích vật thể tròn xoay:
- Viết phương trình các đương giới hạn hình phẳng
- Chọn công thức tính diện tích:
S = |f(x) - g(x)| dx
S = |f(y) - g(y)| dy
- Chọn công thức tính thể tích:
* Hình phẳng quay quanh trụ Ox:
V = π |f2(x) - g2(x)| dx
- Biến x thì cận là x =a; x=b là hoành độ các giao điểm
- Biến y thì cận là y = a; y = b là tung độ các giao điểm
a
b a
b
a
b
ĐẠO HÀM
PHÉP DỜI HÌNH
Phép biến hình: Phép biến hình (trong mặt phẳng)
là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó
PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
Định nghĩa phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo
vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho (MM') = u
Phép tịnh tiến theo vectơ u thường được ký hiệu là
T hoặc Tu Vectơ u được gọi là vectơ tịnh tiến
Tính chất của phép tịnh tiến:
Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N
lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì M’N = MN
Định lý 2: Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng
thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó
Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành
đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng với hện trục tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ u
Biết tọa độ của u là (a,b) Giả sử điểm M(x; y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi đó ta có:
x’ = x +a y’ = y + b
Phép dời hình: Phép dời hình là phép biến hình
không làm thay đổi khoảng cách giữa hay điểm bất kì
Định lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng
thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
Định nghĩa phép đối xứng trục: Phép đối xứng
qua đường thẳng a là phép biến hình mỗi điểm M thành M’ đối xứng với M qua a
Định lý: Phép đối xứng trục là một phép dời hình Biểu thức tọa độ:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành M’(x’; y’) ta có:
x’ = x y’ = -y Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành M’(x’; y’) ta có:
x’ = x y’ = -y
Trục đối xứng của một hình:
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) = H
PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Định nghĩa phép quay: Trong mặt phẳng cho
điểm O cố định và góc lượng φ không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm điểm O, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho
OM = OM’ và (OM, OM’) = φ được gọi là Phép quay tâm O góc quay φ
Định lý: Phép quay là phép dời hình Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua điểm O là
một phép biến hình mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa là OM + OM’ = 0
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm: Trong
mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm I(a; b) Giả sử điểm M(x; y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi đó ta có:
x’ = 2a - x y’ = 2b -y
Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là tâm đối
xứng của một hình H nếu phép đối xứng tâm Đ0 biến hình H thành chính nó, tức là Đ0 biến hình H thành chính nó, tức là Đ0 (H) = H
HAI HÌNH BẰNG NHAU
Định lý: Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác bằng
nhau thì có phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’
Trang 4HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG:
1/ Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ
* AB = (xB - xA, yB - yA)
* Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k: = k (k ≠ 1)
Tọa độ điểm M được xác định bởi:
M
Điểm I là trung điểm của AB:
Tọa độ điểm I được xác định bởi:
I
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:
Tọa độ điểm G được xác định bởi:
G
* Cho tam giác ABC có:
AB = (a1; a2), AC = (b1; b2)
SΔABC= |a1b2 - a2b1|
2/ Đường thẳng:
a/ Phương trình đường thẳng Δ:
- Phương trình tổng quát: Ax + By + C = 0
Vectơ pháp tuyến n = (A;B); A2 + B2 ≠ 0
- Phương trình tham số: t R
Vectơ chỉ phương u = (a; b) và giao điểm M(x0; y0)
- Phương trình chính tắc: =
- Phương trình đoạn chắn: + = 1
Δ qua A (a; 0) ; B ( 0; b)
b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng:
Ax + By + C =0
A’x + B’y + C’ = 0
cos φ =
Từ định lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam giác
bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời hình biến tam
giác này thành tam giác kia
MA MB
xA - kxB
1 - k
xM =
yA - kyB
1 - k
yM =
xA + xB
2
yA + yB
2
xI =
yI =
xA + xB + xC
3
yA + yB + yC
3
xG =
yG =
1
2
x = x0 + at
y = y0 + bt
x - x0 a
|A.A’ + B.B’|
A2 + B2 A’2 + B’2
x - x0 a x a
y b
c/ Khoảng cách từ một điểm M (x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng:
dM/Δ =
d/ Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng:
= ±
e/ Xác định phương trình đường phân giác trong
và phân giác ngoài:
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía so với
∆ t1.t2 > 0
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2;y2) nằm khác phía so với
∆ t1.t2 < 0 (t1 = ; t2 = )
3/ Đường tròn:
Phương trình đường tròn:
- Dạng 1: Phương trình đường tròn có I(a; b) và bán
kính R (x-a)2 + (y-b)2 = R2
- Dạng 2: Phương trình có dạng
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 Với điều kiện a2 + b2 - c > 0 là phương trình đường tròn tâm (C) có tâm I(a; b) và bán kính R = a2 + b2 -c
- Phương tích của một điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) đối với một đường tròn:
PM/(C) = x0 + y0 -2ax0 - 2by0 + c
4/ Elip:
- Phương trình chính tắc Elip (E) + = 1 (a > b);
c2 = a2 + b2
- Tiêu điểm: F1 (-c; 0), F2 (c; 0)
- Định trực lớn: A1 (-a; 0) , A2 (a; 0)
- Định trực nhỏ: B1 (0; -b) , B2 (0; b)
- Tâm sai: e = < 1
- Phương trình đường chuẩn: x = ±
- Bán kính qua tiêu:
MF1 = a + exM
MF2 = a - exM
- Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0 (x0; y0) (E) + = 1
- Điều kiện tiếp xúc của (E): + = 1 và
∆: Ax + By + C = 0 là A2a2 + B2b2 = C2
|Ax0 + By0 + C|
A2 + B2
Ax + By + C
A2 + B2
Ax1 + By1 + C
A2 + B2
A’x2 + B’y2 + C A’2 + B’2
A’x + B’y + C’
A’2 + B’2
x2
a2
y2
b2
c
e
x0x
a2
y0y
b2
x2
a2
y2
b2
II/ Phương trình tọa độ trong không gian:
1/ Tính có hướng của hai vectơ:
a/ Định nghĩa: cho hai vectơ
u = (x; y; z) v = (x’; y’; z’) [ u, v ] = ; ;
Cách ứng dụng:
- u ,v cùng phương [ u, v ] = 0
- u ,v ,w đồng phẳng [ u, v ] w = 0
- S∆ABC= |[ AB, AC ]|
- ABCD là tứ diện [ AB, AC ] AD = m ≠ 0
- VABCD = |m|
b/ Mặt phẳng:
- Phương trình tổng quát mặt phẳng:
Dạng 1: Ax + By + Cz + D = 0
n = ( A; B; C ) (A2 + B2 + C2 ≠ 0)
Dạng 2: A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0
n = (A; B; C), M0 (x0; y0; z0)
- Phương trình mặt phẳng chắn: + + = 1 (α qua A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c))
- Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng khác:
(α): Ax + By + Cz + D = 0 (β): A' x + B' y + C' z + D' = 0
λ (Ax + By + Cz + D) + μ (A' x + B' y + C' z + D') = 0 Trong đó λ2 + μ2 ≠ 0
- Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho hai mặt phẳng:
(α): Ax + By + Cz + D = 0 (β): A' x + B' y + C' z + D' = 0 a/ (α) (β) = d A : B : C ≠ A’ : B’ : C’
b/ (α) Ξ (β) = = ≠ c/ (α) // (β) = = ≠
2/ Phương trình đường thẳng:
a/Phương trình tổng quát:
Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0
b/ Phương trình tham số:
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là
u = (a ; b; c)
1 2 1 6
A A’ B’B CC’ DD’
A A’ B’B CC’ DD’
(| | | | | |)y z y’ z’ z xz’ x’ x yx’ y’
x
a yb zc
[u.u’] M0M0’
a : b : c ≠ a’ : b’ : c’
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
A2 + B2 + C2
|aa’ + bb’ + cc’|
a2 + b2 + c2 a’2 + b’2 + c’2
|[M0M u]|
|u|
b/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:
= = (a2 + b2 + c2 ≠ 0)
4/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:
Giả sử đường thẳng d qua M0 (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương u = (a; b; c) và đường thẳng d’ qua M’0 (x’0; y’0; z’0) và vectơ chỉ phương là u’(a’; b’; c’)
a/ d, d’ α [u.u’] M0M0’ = 0
b/ d d’ = I c/ d Ξ d’ a : b : c = a’ : b’ : c’ ≠ (x - x0) : (y - y0) : (z - z0)
e/ d, d’ α [u.u’] M0M0’ ≠ 0
5/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian: trong không gian cho:
d: = =
(α): Ax + By + Cz + D = 0 a/ d (α) = I aA + bB + cC ≠ 0 b/ d (α)
6/ Các công thức tính khoảng cách:
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: M0 = (x0; y0; z0)
(α): Ax + By + Cz + D = 0 d(M/α) =
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong không gian cho điểm M1 = (x1; y1; z1) d: = =
d(M/α) =
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
∆: = =
∆’: = =
d(∆/∆’) =
7/ Góc:
- Góc giữa hai đường thẳng:
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có:
d : u = (a; b; c) d' : u'=(a', b', c') cos φ = =
x - x0 a
y - y0 b
z - z0 c
x - x0 a
y - y0 b
z - z0 c
x - x0 a
y - y0 b
z - z0 c
x - x0 a
y - y0 b
z - z0 c
x - x’0 a’
y - y’0 b’
z - z’0 c’
aA + bB + cC = 0 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
|[u u’] M0M’0|
|[u u’]|
| u u’|
|u| |u’|
Trang 5|Aa + Bb + Cc|
A2 + B2 + C2 a2 + b2 + c2
|AA’ + BB’ +CC’|
A2 + B2 + C2 A’2 + B’2 + C’2
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Gọi φ là góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng:
d : u = (a; b; c)
(α): n = (A; B; C)
00 < φ < 900
sin φ =
- Góc giữa hai mặt phẳng
(α): Ax + By + Cz + D = 0
(β): A'x + B'y + C'z + D' = 0
8/ Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: có tâm I (a; b; c)
và bán kính R (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
Dạng 2: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Trong đó tâm I (a; b; c),
bán kính R = a2 + b2 + c2 - d
- Đường thẳng và mặt phẳng:
Các tiên đề:
• Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường
thẳng và chỉ một mà thôi
• Tiên để 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một
mặt phẳng và chỉ một mà thôi
• Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân biệt
thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt
phẳng
• Tiên đề 4: Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm
chung thì có chung đường thẳng đi qua điểm
chung ấy
Cách xác định đường thẳng, mặt phẳng:
1/ Một điểm được xác định bởi 2 đường thẳng cắt
nhau A = a b
2/ Một mặt phẳng được xác định bới một trong các
điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng (α) = (ABC)
b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài
đường (α) = (a, A)
c/ Một đường thẳng cắt nhau (α) = (a, b)
d/ Hai đường thẳng song song: a // a' (α) = ( a, a')
HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN
Quan hệ song song:
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung
2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng α thì d song song với mặt phẳng α
3/ Nếu d // α, mặt phẳng nào chứa đường thẳng và cắt α theo một giao tuyến của chúng cũng song song với d
4/ Hai mặt phẳng song song với đường thẳng d và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song song với d
5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với d và d’
6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt phẳng nào cũng song song với đường thẳng này thì cũng song song hoặc chứa đường thẳng kia
7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến của hai mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì giao tuyến mới song song nhau
8/ Nếu α // β thì α song song với mọi đường thẳng nằm trong β
9/ Nếu α chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với β thì α // β
10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt cắt mặt phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song nhau
Quan hệ vuông góc:
1/ Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng (P)
3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai
4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc chéo nhau
5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau
6/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì vuông góc với (P)
7/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai
8/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau
9/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau
10/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau
11/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng
12/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia
13/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
14/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song
15/ Định lí ba đường vuông góc
Giả sử: OH (α)
OA là đường xiên
A d nằm trong (α)
Ta có OA D HA D
Khoảng cách – góc – đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn
OH d 2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d
3/ Khoảng cách từ O đến mặt phẳng α là đoạn
OH α 4/ Khoảng cách từ O đến mặt phẳng α là ngắn
nhất so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm bất
kỳ trên α 5/ Khoảng cách giữa d // α là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên d đến α
6/ Khoảng cách giữa α // β là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên α đến β
7/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là
độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng
8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α là góc tạo bởi d và hình chiếu của d’ của nó xuống α 9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng song song với hai đường thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ
10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy
11/ Góc phẳng nhị diện là góc tạo bở đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng của nhị diện cùng vuông góc với giao tuyến
12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2:
Dựng mặt phẳng α chứa d2 và song song với d1 Tìm hình chiếu d’ của d1 lên α, d’ cắt d2 tại N
Từ N vẽ đường vuông góc với α cắt d1 tại M
Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2
- Hoán vị: Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) 3 2 1
- Chỉnh hợp: Ank = (0 ≤ k ≤ n)
- Tổ hợp: Cnk =
- Các hệ thức cần nhớ:
n! = (n - 1)! n
Cnk = Cnn - k (0 < k < n)
Cnk = Cnn - k + Cn-1n-k (0 < k < n)
- Nhị thức Newton:
(a + b)n = Cn0anb0+Cn1an-1b+ +Cnkan-kbk + + Cnbn
= ∑nk=0 Cnkan-kbk
- Các công thức cần nhớ:
Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cn = 2n
Cn0 - Cn1 + Cn2 - + (-1)k Cnk + + (-1)n Cn = 0
GIẢI TÍCH
TỔ HỢP
n!
(n - k)!
n!
(n - k)! k!