BThethucViet(Ngô Hưng)

Lập hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào k... b Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.. Tìm giá trị của tham số m của phơng trì

I LËp ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm x1 vµ x2

1 x1 = 3 vµ x2 = 2

2 x1 = 8 vµ x2 = -3

3 x1 = 3a vµ x2 = a

4 x1 = 36 vµ x2 = -104

5 x1 = 1 + 2 vµ x2 = 1 − 2

6 x1 = − 1 vµ x2 = 6

3

−

II T×m 2 sè a, b biÕt tæng S vµ tÝch P

1 S = −3 vµ P = −4

3 S = −3 vµ P = 6

5 S = 5 vµ P = −24

6 S = 2x vµ P = x2 − y2

III TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai

a) Cho ph¬ng tr×nh : x2 − + = 8x 15 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh

1 2 2

1 2

1 2

x + x

3 1 2

2 1

x x

1 2

x +x

b) Cho ph¬ng tr×nh : 9x2 − 72x+ 64 0 = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh:

1

1 2

1 2

x +x

c) Cho ph¬ng tr×nh : x2 − 14x+ 29 0 = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh:

1

1 2

1 2

x +x

d) Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 − + = 3x 1 0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh:

1 1 + 1 2 1 −x1 +1 −x2

3 2 2

1 2

2 1 1 1

x +x

e) Cho phơng trình x2 − 4 3x+ = 8 0 có 2 nghiệm x 1 ; x 2 , không giải phơng trình, tính

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

Q

x x x x

=

+

IV Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn biểu thức chứa 2 nghiệm của

ph-ơng trình:

1/ Cho phơng trình : x2 − + = 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 ; 2

Không giải phơng trình trên, hãy lập phơng trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :

1 2

1

1

y x

x

2

1

y x

x

= + 2/ Cho phơng trình 3x2 + 5x− = 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 ; 2 Không giải phơng

trình, Hãy lập phơng trình bậc hai có các nghiệm 1 1

2

1

y x

x

1

1

y x

x

= + 3/ Cho phơng trình : x2 − 5x− = 1 0 có 2 nghiệm x x1 ; 2 Hãy lập phơng trình bậc 2 có

ẩn y thoả mãn 4

1 1

y =x và 4

2 2

y =x (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phơng trình đã cho)

4/ Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn : x1 − =x2 2 và 3 3

1 2 26

x − =x .

5/ Cho phơng trình bậc hai: x2 − 2x m− 2 = 0 có các nghiệm x x1 ; 2 Hãy lập phơng trình bậc hai có các nghiệm y y1 ; 2 sao cho :

a) y1 = −x1 3 và y2 = −x2 3 b) y1= 2x1− 1 và y2 = 2x2 − 1

V Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phơng trình bậc hai sao cho 2 nghiệm của này không phụ thuộc vào tham số (hay độc lập với tham số)

1/ Cho phơng trình : (k− 1)x2 − 2kx k+ − = 4 0 có 2 nghiệm x x1; 2 Lập hệ thức liên hệ

giữa x x1 ; 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào k.

2/ Cho phơng trình : x2 −(m+ 2) (x+ 2m− = 1) 0 có 2 nghiệm x x1; 2 Hãy lập hệ thức

liên hệ giữa x x1 ; 2 sao cho x x1 ; 2 độc lập đối với m.

3/ Cho phơng trình : x2 +(4m+ 1)x+ 2(m− = 4) 0.

a) Tìm m để biểu thức ( )2

1 2

A= x −x có giá trị nhỏ nhất

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

4/ Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phơng trình : (m− 1)x2 − 2mx m+ − = 4 0 Chứng minh rằng

biểu thức A= 3(x1 +x2)+ 2x x1 2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m.

VI Tìm giá trị của tham số m của phơng trình bậc hai thoả mãn hệ thức cho trớc.

1/ Cho phơng trình : mx2 − 6(m− 1)x+ 9(m− = 3) 0

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + =x2 x x1 2

2/ Cho phơng trình : x2 −(2m+ 1)x m+ 2 + = 2 0.

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 2 − 5(x1 +x2)+ = 7 0

3/ Cho phơng trình : mx2 + 2(m− 4)x m+ + = 7 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 − 2x2 = 0

4/ Cho phơng trình : x2 +(m− 1)x+ 5m− = 6 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4x1 + 3x2 = 1

5/ Cho phơng trình : 3x2 −(3m− 2) (x− 3m+ = 1) 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 − 5x2 = 6

VII Xác định dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai:

Cho phơng trình: ax2 + + =bx c 0 (a ≠ 0) Điều kiện để phơng trình có:

+) 2 nghiệm trái dấu là : ∆≥ 0 và P < 0

+) 2 nghiệm cùng dấu là: ∆≥ 0 và P > 0

+) 2 nghiệm cùng dơng là: ∆≥ 0 và P > 0 ; S > 0

+) 2 nghiệm cùng âm là : ∆≥ 0 và P > 0 ; S < 0

Xác định tham số m sao cho ph ơng trình:

a) 2x2 − 3(m+ 1)x m+ 2 − − =m 4 0 có 2 nghiệm trái dấu.

b) mx2 − 2(m+ 2)x+ 3(m− = 2) 0 có 2 nghiệm cùng dấu.

c) 3mx2 + 2 2( m+ 1)x m+ = 0 có 2 nghiệm âm.

d) (m− 1)x2 + 2x m+ = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.

VIII Một số ứng dụng khác

1/ Cho phơng trình : x2 +(2m− 1)x m− = 0

a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phơng trình Tìm m để :

2 2

1 2 6 1 2

A x= + −x x x có giá trị nhỏ nhất.

2/ Cho phơng trình : x2 −mx m+ − = 1 0

a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phơng trình Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

1 2

2 2

1 2 1 2

x x B

+

=

3/ a) Phơng trình x2 − 2px+ = 5 0 Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai

b) Phơng trình x2 + 5x q+ = 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

c) Cho phơng trình : x2 − 7x q+ = 0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phơng trình

d) Tìm q và hai nghiệm của phơng trình : x2 − +qx 50 0 = , biết phơng trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

4/ Cho phơng trình : (m− 4)x2 − 2mx m+ − = 2 0.

a) Tìm m để phơng trình trên có nghiệm x= 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

c) Tính : 2 2

1 2

x +x theo m.

d) Tính : 3 3

1 2

x +x theo m

e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm (

1 2

x +x ) ;

và Tổng bình phơng nghịch đảo các nghiệm : ( 2 2

1 1

x +x )

5/ Cho phơng trình : x2 − 2(m+ 1)x m+ − = 4 0

a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.

c) CMR biểu thức H =x1(1 −x2)+x2(1 −x1) không phụ thuộc vào m.

d) Tính giá trị của các biểu thức nghiệm sau: 2 2 3 3

1 2 ; 1 2 ; 1 2

x −x x −x x −x

6/ Tìm m để phơng trình : x2 −(m+ 1)x+ 2m= 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 sao

cho x1 và x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5

7/ a) Tìm m để phơng trình : mx2 −(12 5 − m x) + 4 1( +m) = 0 có tổng bình phơng các

nghiệm bằng 13

b) Tìm k để phơng trình : kx2 +(2k− 1) (x+ − =k 2) 0 có tổng bình phơng các nghiệm bằng 2005

8/ Cho phơng trình : x2 − 2(m+ 1)x m+ 2 − 4m+ = 5 0

a) Tìm m để phơng trình trên có nghiệm.

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm dơng phân biệt.

9/ Cho phơng trình 2 2 1

2

x − mx m+ − = (1).

a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau

b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3

10/ Cho phơng trình x2 − 2(m+ 2)x m+ + = 1 0 (2)

a) Giải phơng trình khi 3

2

m= − b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (2) có nghiệm

c) Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phơng trình (2) tìm các giá trị của m để:

1 1 2 2 2 1 2 1

x − x +x − x =m

1 1 2 2 2 1 2 1

x − x +x − x =m