CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC CÂN

Tam giác cân −Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau: Tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi AB = AC.. −Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.. Nếu một tam giác có hai gó

TAM GIÁC CÂN(CƠ BẢN)

A Kiến thức cơ bản

1 Tam giác cân

−Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau: Tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi AB = AC

−Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau

Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

−Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau

2 Tam giác đều

− Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau

− Trong tam giác đều mỗi góc bằng 60 độ.

− Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì đó là tam giác đềụ

Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60 độ thì tam giác đó đềụ

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có B^=50ọ Tính số đo các góc C^;Â

Giải:

Tma giác ABC cân tại A thì B^=C^ nên C^=50ọ

Tam giác ABC có Â+B^+C^=180o nên Â+50ơ50o=180o suy ra: Â=80o

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC, B^=2.Ậ Tính số đo các góc của tam giác

ABC

Giải:

Ta có: ΔABCABC cân tại A nên B^=C^

mà: Â+B^+C^=180o

nên Â+2.Â+2.Â=180o, suy ra 5.Â=180o

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các tia phân giác trong của các gócB và C cắt nhai tại

I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại M, N

Chứng minh rằng MN = MB + NC

Giải:

MN // BC nên I1^=B1^;I2^=C2^

Mà B1^=B2^ (vì BI là tia phân giác của góc B\);

C1^=C2^ (vì CI là tia phân giác của góc C)

Suy ra: I1^=B2^;I2^=C1^

Do vậy tam giác MIB và tam giác CNI là các tam giác cân đỉnh M và N nên:

MI = MB; NI = NC

Vậy MN = MI + NI = MB + NC

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có B^=C^=40o Kẻ BD là tia phân giác của góc B (D∈AC) Chứng minh rằng: AD + BD = BC.

Giải:

Tam giác ABC có B^+C^=40o nên A^=100o

Trên BC lấy hai điểm E và F sao cho BE = BA, BF = BD.

Ta có: ΔABCBAD=ΔABCBED (c.g.c) nên:

BED^=A^=100o suy ra: DEF^=80o (1)

Tam giác BDF cân tại B nên B2^=20o nên DFE^=80o (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác DEF cân ⇒DE=DF

Tam giác DFC có C^=40o;DFE^=80o nên FDC^=40o hay tam giác DFC cân tại F suy

ra DF = FC

Vậy BD + AD = BF + FC = BC

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh BC sao cho ΔABCAMB=ΔABCAMC D,E lần

lượt nằm trên AB và AC Biết AMD^=900−B^,AME^=900−C^ Chứng minh rằng D

và E lần lượt là trung điểm của AB và AC

Giải:

Ta có ΔABCAMB=ΔABCAMC, nên M là trung điểm của BC và AMB^=900.

Cũng do ΔABCAMB=ΔABCAMC⇒ ABM^=ACM^, hay B^=C^

Theo giả thiết, có AMD^=900−B^,AME^=900−C^

Mà AMB^=900 nên có DMB^=B^ (cùng phụ với AMD^)

AMD^=DAM^ (cùng phụ với B^)

Tương tự ta sẽ có: EMC^=C^,AME^=EAM^

Từ đó suy ra các tam giác ADM, BDM cân tại D hay DA=DB (cùng bằng DM) Tương tự có EA=EC Vậy D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC

C Kiểm tra chuyên đề: Làm bài tại đây.

NÂNG CAO

A Kiến thức cơ bản

Mời các em xem lại Chuyên đề - Tam giác cân (Cơ bản)

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC Một điểm M thuộc cạnh AB và một

điểm N thuộc cạnh AC sao cho ta có: BM=CN Chứng minh MN // BC

Giải:

Điểm M∈AB nên: AM + MB = AB Suy ra: AM = AB - MB

Điểm N∈AC nên: AN + NC = AC Suy ra: AN = AC - NC

Ta có: AB = AC (ΔABCABC cân đỉnh A)

và: MB = NC (theo giải thiết)

Suy ra: AM = AN

Do đó: ΔABCAMN cân tại đỉnh A

Khi đó: ΔABCABC cân đỉnh A nên: B^=12(180o−A^)

và: ΔABCAMN cân đỉnh A nên: AMN^=12(180o−A^)

Vậy: B^=AMN^

Hai góc B^ và AMN^ ở vị trí đồng vị mà bằng nhau nên MN // BC

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N

sao cho AM = AN Gọi giao điểm BN và CM là I Chứng minh tam giác BIC cân

Giải:

Ta có: AB = AC, AM = AN nên BM = CN Xét tam giác BMC và tam giác CNB có:

BM = CN, BC là cạnh chung, MBC^=NCB^ (tính chất tam giác cân ABC)

Suy ra: ΔABCBMC=ΔABCCNB (c.g.c) do vậy B1^=C1^

Hay tam giác BIC cân tại I

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC đều Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N,

P sao cho AM = BN = CP nên BM=CN=AP Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều

Giải:

Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA mà AM = BN = CP nên BM = CN = AP Xét tam giác AMP, tam giác BNM và tam giác CPN, ta có:

AM = BN = CP;

A^=B^=C^ (do tam giác ABC đều);

BM = CN = AP

Do đó: ΔABCAMP=ΔABCBNM=ΔABCCPN (c.g.c)

Suy ra MP = NM = PN hay tam giác MNP là tam giác đều

Ví dụ 4 : Cho tam giác đều ABC Trên cạnh BC có một điểm D sao cho BD=13BC

Trên cạnh AB có một điểm E sao cho AE=13AB và trên cạnh AC có một điểm F sao cho CF=13AC Chứng minh rằng tam giác DEF đều

Giải:

Do tam giác ABC đều nên ta có BD = AE =CF (cùng bằng 13 cạnh tam giác)

Từ đó suy ra AF=CD=BE

Xét các tam giác AEF, BDE, CFD có: BD=AE=CF,AF=CD=BE,A^=B^=C^

Suy ra △AEF=△BDE=△CFD.⇒EF=DF=ED

⇒△DEF đều

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, điểm H thuộc AC sao cho BH vuông góc với AC

và BH=12AC, BAC^=750 Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại C

Giải:

Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD=HB, mà theo giả thiết thì BH=12AC, suy ra BD = AC (1)

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C ta xác định điểm E sao cho tam giác ABE đều, suy ra AB = EA (2)

Khi đó ta có: BAE^=600,BAC^=750⇒EAC^=150

⇒ABD^=EAC^=150

Từ đây kết hợp với (1) và (2) ta suy ra:

ΔABCABD=ΔABCEAC (c.g.c)⇒BAD^=AEC^

Lại có: HB=HD,AHB^=AHD^=900⇒ΔABCAHB=ΔABCAHD

⇒BAH^=DAH^=BAC^=750

⇒BAD^=BAH^+DAH^=1500

⇒AEC^=1500

Suy ra: BEC^=3600−AEC^−AEB^=3600−1500−600=1500

Hai tam giác AEC và BEC có EC là cạnh chung, AE=BE và AEC^=BEC^=1500

⇒ΔABCAEC=ΔABCBEC (c.g.c)⇒AC=BC

Vậy tam giác ACB cân tại C

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cân tại A, A^=800 Trên cạnh BC lấy điểm I sao

cho BAI^=500, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho ABK^=300 Hai đoạn thẳng AI và

BK cắt nhau tại H Chứng minh rằng tam giác HIK cân

Giải:

Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa đỉnh C, vẽ tam giác đều AMB

Ta có: ABC^=ACB^=500.

⇒CBM^=600−500=100

Mà tam giác BAI có IAB^=IBA^=500 nên tam giác cân tại I và có IA=IB

⇒△AMI=△BMI (c.c.c) suy ra AMI^=BMI^=300

Trên tia BK lấy điểm N sao cho BN = IM

⇒△ABN=△BMI (c.g.c) nên có: NAB^=100,NA=BI=AI

Tam giác NAK cân tại N do NAK^=NKA^=700 Nên AN = NK, do đó AI = NK

Lại có: tam giác HAN cân tại H vì có HAN^=HNA^=400 nên HN = HA, do đó HI =

HK

Vậy, tam giác HIK cân tại H

C Kiểm tra chuyên đề: Làm bài tại đây.