Chuyên đề ĐỊNH lý PITAGO

Bước 3: Làm bài kiểm tra chuyên đề trong phần "C.. Kiến thức cơ bản Định lí Pi-ta-go: "Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông." Đảo lạ

Chuyên đề - Định lí Pitago (Cơ bản)

Các em thân mến,

Để học tốt chuyên đề này, các em hãy làm theo các bước sau đây:

Bước 1: Đọc và hiểu rõ phần “A Kiến thức cơ bản”.

Bước 2: Xem các bài tập trong phần “B Ví dụ minh họa” Hiểu rõ cách giải các bài tập này Bước 3: Làm bài kiểm tra chuyên đề trong phần "C Kiểm tra chuyên đề"

A Kiến thức cơ bản

Định lí Pi-ta-go: "Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông."

Đảo lại, nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông

ΔABC,A^=900⇔BC2=AB2+AC2

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các độ dài sau, ba số đo nào là số đo của ba cạnh của một tam giác

vuông?

a) 6cm; 10cm; 8cm b)6cm; 9cm; 11cm.

Giải:

Mà 36 + 64 = 100 nên 62+82=102, suy ra tồn tại một tam giác vuông có độ dài ba cạnh là 6cm; 10cm; 8cm.

b) Ta có: 62=36;92=81;112=121

Mà 36+81≠121 nên không tồn tại tam giác vuông có độ dài ba cạnh là 6cm; 9cm; 11cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC (AB = AC), A^<90o Kẻ BH vuông góc với AC Chứng minh

rằng AB2+AC2+BC2=3.BH2+2.AH2+CH2

Giải:

Áp dụng đinh lý Py-ta-go cho các tam giác vuông ABH, BCH vuông tại H, ta có:

AB2=BH2+AH2 (1)

BC2=BH2+CH2 (2)

AC2=BH2+AH2 (3) (vì AB = AC)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

AB2+AC2+BC2=3.BH2+2.AH2+CH2

Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ AH ⊥ BC Tính chu vi tam giác ABC biết AC =

20cm, H = 12 cm, BH = 5 cm

Giải:

Ta có: AB2=BH2+AH2=52+122=132 nên AB = 13 cm.

HC2=AC2−AH2=202−122=162 nên HC = 16 cm

Khi đó ta có chu vi tam giác ABC là AB+BC+CA=AB+BH+CH+CA=54cm

Ví dụ 4: Tính các cạnh của một tam giác vuông biết tỉ số các cạnh góc vuông là 3 : 4

và chu vi của tam giác đó là 36

Giải:

Gọi a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền Ta có:

a3=b4⇒(a3)2=(b4)2=a2+b29+16=(c5)2

Từ đây suy ra: a3=b4=c5=a+b+c3+4+5=3612=3

⇒a=9,b=12,c=15

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tai A, điểm H thuộc AC sao cho BH vuông góc với

AC Tính độ dài AH biết AB = 15cm, BC = 10cm

Tam giác ABC cân tại A suy ra: AB=AC=15 (cm)

Tam giác AHB vuông tại H nên: AH2+BH2=AB2⇒AH2=AB2−BH2 (1)

Tam giác BHC vuông tại H nên:

BH2+CH2=BC2⇒BH2=BC2−CH2=BC2−(AC−AH)2 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra:

AH2=AB2−BH2=AB2−[BC2−(AC−AH)2]

=AB2−BC2+(AC−AH)2

=AB2−BC2+AC2−2AC.AH+AH2

=2AB2−BC2−2AB.AH+AH2(doAB=AC)

⇒2AB2−BC2−2AB.AH=0

⇒AH=2AB2−BC22AB=2.152−1022.15=353

Vậy AH = 353 (cm)

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi D là trung điểm của AC Kẻ DE⊥BC

Chứng minh EB2−EC2=AB2

Giải:

Trong tam giác vuông ABD có: BD2=AB2+AD2

hay BD2=AB2+AC24

Trong tam giác vuông DBE có:

EB2=BD2−DE2

=AB2+AC24−DE2 (1)

Trong tam giác vuông CDE có:

EC2=DC2−DE2=AC24−DE2 (2)

Từ (1) và (2) có: EB2−EC2=AB2

Chuyên đề - Định lí Pitago (Nâng cao)

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các góc B, C nhọn Kẻ AH vuông góc với BC Biết

AB = 20cm, BH = 16cm, HC = 5cm Tính AH, AC

Giải:

Vậy AH2=144 Do đó AH = 12cm

Tam giác AHC vuông tại H, theo định lý Py-ta-go, ta có:

AC2=AH2+HC2⇒AC2=122+52

Vậy AC2=169 do đó AC = 13cm

Ví dụ 2: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh huyền dài

51cm Tính độ dài hai cạnh góc vuông.

Giải:

Giả sử ΔABC có A^=90o;AB8=AC15 và BC = 51 (cm)

Ta có: AB264=AC2225=AB2+AC264+225=BC2289=2601289=9

Suy ra: AB2=9.64⇒AB=3.8=24 (cm);

AC2=9.225⇒AC=3.15=45 (cm)

Ví dụ 3: Cho hai đoạn thẩngC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại O Chứng minh

rằng: AB2+CD2=AD2+BC2

Giải:

Áp dụng đinh lý Py-ta-go cho các tam giác vuông AOB, BOC, COD, DOA vuông tại O, ta có: AB2=AO2+OB2 (1)

BC2=BO2+OC2 (2)

CD2=CO2+OD2 (3)

DA2=DO2+OA2 (4)

Cộng từng vế của (1) với (3), ta có: AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2

Cộng từng vế của (2) với (4) ta có: BC2+AD2=OB2+OC2+OD2+OA2

Suy ra: AB2+CD2=BC2+AD2

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi D, E lần lượt là các điểm trên hai cạnh

AB và AC (D và E không trùng với các đỉnh của tam giác) Chứng minh

rằng: BE2+CD2=BC2+DE2

Giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào các tam giác vuông ADC, ABE, ADE, ABC lần lượt ta có: CD2=AD2+AC2 (1)

BE2=AE2+AB2 (2)

DE2=AD2+AE2 (3)

BC2=AB2+AC2 (4)

Từ (1) và (2) suy ra: CD2+BE2=AD2+AC2+AE2+AB2 (5)

Từ (3) và (4) suy ra: DE2+BC2=AD2+AE2+AB2+AC2 (6)

Ví dụ 5: Cho O là điểm tùy ý trong tam giác ABC Vẽ OA1,OA2,OA3 lần lượt vuông

góc với BC,CA,AB Chứng minh rằng:

AB12+BC12+CA12=AC12+BA12+CB12

Giải:

Tam giác ΔOAB1 vuông tại B, theo định lí Pi-ta-go ta có: AB12=OA2−OB12

Tương tự: BC12=OB2−OC12

CA12=OC2−OA12

Suy ra: AB12+BC12+CA12=(OA2+OB2+OC2)−(OA12+OB12+OC12)

Tương tự ta có:

AC12+BA12+CB12=(OA2+OB2+OC2)−(OA12+OB12+OC12)

Từ đây suy ra: AC12+BA12+CB12=AC12+BC12+CA12

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và điểm D nằm giữa A và H

Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = AD Đường thẳng vuông góc với AH tại D cắt AC tại F Chứng minh rằng EB vuông góc với EF

Giải:

Vì AD=HE (theo giả thiết) nên AH=DE

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào các tam giác vuông ABF, ABH, ADF, BHE, DEF ta được:

BF2=AB2+AF2 =(BH2+AH2)+(AD2+DF2)

=BH2+DE2+HE2+DF2(do:AH2=DE2,AD2=HE2)

=(BH2+HE2)+(DE2+DF2)=BE2+EF2

Theo định lí Pi-ta-go đảo suy ra tam giác BEF vuông tại E, hay EB vuông góc với EF