Chuyên đề các TRƯỜNG hợp TAM GIÁC BẰNG NHAU

Chuyên đề - Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông Cơ bản Chủ đề: Toán lớp 7 Hình học lớp 7 1.. Các trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vuông + Nếu hai cạnh góc vuông của tam

Chuyên đề - Các trường hợp bằng nhau của tam giác

vuông (Cơ bản)

Chủ đề: Toán lớp 7 Hình học lớp 7

1. Ban Biên Tập - Pitago.Vn đăng ngày 16/12/2014.

Được cảm ơn bởi Lương Đặng Tú Linh, Trần Phúc Mạnh, và 1 người khác

Các em thân mến,

Để học tốt chuyên đề này, các em hãy làm theo các bước sau đây:

Bước 1: Đọc và hiểu rõ phần “A Kiến thức cơ bản”

Bước 2: Xem các bài tập trong phần “B Ví dụ minh họa” Hiểu rõ cách giải các bài tập này

Bước 3: Làm bài kiểm tra chuyên đề trong phần "C Kiểm tra chuyên đề"

A Kiến thức cơ bản

1 Các trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vuông

+ Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

+ Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

+ Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

2 Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho góc nhọn xOy, lấy điểm A thuộc Ox, điểm B thuộc Oy sao cho OA =

OB Vẽ AC vuông góc với Oy (C∈Oy), BD vuông góc với Ox (D∈Ox)

a) Chứng minh: AC = BD

b) Gọi I là giao điểm AC và BD Chứng tỏ rằng OI là tia phân giác của góc xOy

Giải:

a) Xét tam giác ACO và tam giác BDO, ta có:

ACO^=BDO^=90o

OA = OB, AOB^ chung

Vậy ΔACO=ΔBDO suy ra: AC = BD

b) ΔACO=ΔBDO nên OC = OD

Xét tam giác DIO và tam giác CIO có: ODI^=OCI^=90o,

OD = OC, OI cạnh chung

Nên: ΔICO=ΔIDO (cạnh huyền - cạnh góc vuông), từ đó suy ra: O1^=O2^

hay OI là tia phân giác của góc xOy

bằng AB, vẽ CE vuông góc và bằng AC Vẽ DI, EK vuông góc với đường thẳng BC như hình sau:

Chứng minh rằng:

a) BI = AH

b) BI = CK

c) DI + EK = BC

Giải:

a) Ta có: DBI^=BAH^ (cùng phụ với ABH^ mà DB = AB; DIB^=AHB^=90o nên ΔDBI=ΔBAH (cạnh huyền - góc nhọn) suy ra: BI = AH

b) Tương tự ta có: ΔAHC=ΔCKE suy ra: CK = AH

Do đó: BI = CK (vì cùng bằng AH)

c) ΔDBI=ΔBAH suy ra DI = BH

ΔAHC=ΔCKE suy ra: EK = CH

Từ đó suy ra: DI + EK = BH + CH = BC

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A, góc A nhọn Lấy điểm D trên AC và điểm E

trên AB sao cho BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB BD cắt CE tại H Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc BAC

Giải:

Ta có BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB nên:

ADB^=AEC^=900

Tam giác ABC cân tại A nên AB=AC

Suy ra hai tam giác ADB và AEC vuông, có góc A chung và AB=AC nên:

ΔADB=ΔAEC⇒AD=AE

Hai tam giác vuông EAH và DAH có AH là cạnh chung, AE=AD nên:

Suy ra AH là tia phân giác của góc BAC.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A M là trung điểm của BC, E là điểm nằm

giữa B và C nhưng không trùng với M Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc AE) Tam giác MHK có đặc điểm gì? Vì sao?

Giải:

Ta có: ABH^=CAK^(=900−HAB^)

⇒ΔHAB=ΔKCA (ch.gn) ⇒BH=AK

Lại có: ΔAMB=ΔAMC (c.c.c)⇒AMB^=AMC^=900

Suy ra AM vuông góc với BC ⇒MBH^=MAK^(=900−AEB^)

Tam giác AMB vuông tại M và có: ABM^=450⇒MA=MB

⇒ΔMBH=ΔMAK (c.g.c)

⇒HMB^=KMA^,MH=MK (1)

⇒KMH^=KMA^−HMA^=HMB^−HMA^=AMB^=900 (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác MKH vuông cân tại M

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A Từ A kẻ AH⊥BC Trên cạnh BC lấy điểm

E sao cho BE = BA Kẻ EK⊥AC,(K∈AC) Chứng minh AK = AH

Giải:

tam giác AEB cân tại B,suy ra: EAB^=AEB^

Lại có: AEK^=EAB^ (do cùng phụ với CAE^ )

⇒AEK^=AEB^

⇒△AEK=△AEH (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒AK=AH

Chứng minh AK, BD, CE cùng đi qua một điểm

Giải:

Gọi giao điểm của BD và CE là H Theo ví dụ 1, ta có AH là tia phân giác của góc BAC

Dễ thấy: △ABK=△ACK (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

⇒BAK^=CAK^ hay AK là tia phân giác góc BAC

⇒AH trùng với AK hay A,K,H thằng hàng

Vậy, BD,CE,AK cùng đi qua một điểm

C Kiểm tra chuyên đề: Làm bài tại đây

Chuyên đề - Các trường hợp bằng nhau của tam giác

vuông (Nâng cao)

A Kiến thức cơ bản

Mời em xem lại Chuyên đề - Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông (Cơ bản)

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC

Vẽ BM, CN cùng vuông góc với d Chứng minh rằng: ΔBAM=ΔACN.

Giải:

Ta có: A1^+A2^=90o

vàB1^+A2^=90o

nên B1^+A1^

Xét tam giác BAM và tam giác ACN có:

AMB^=CNA^=90o;B1^=A1^;AB=AC

Nên ΔAMB=ΔCNA (cạnh huyền - góc nhọn)

Ví dụ 2: Gọi M là trung điểm cảu cạnh BC của tam giác ABC Vẽ BI, CK vuông góc

với đường thẳng AM Chứng minh BI=CK

Giải:

Xét tam giác BMI và tam giác CMK, ta có:

BIM^=CKM^=90o;M1^=M2^;BM=CM

Suy ra: ΔBMI=ΔCMK (cạnh huyền - góc nhọn)

Vậy BI = CK

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của các tia BC và CB tương ứng

lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE Gọi M là trung điểm của BC, Từ B và C kẻ

BH vuông góc với AD, CK vuông góc với AE ( H thuộc AD, K thuộc AE) Chứng minh rằng ba đường thẳng BH, CK, AM đồng quy

Giải:

Tam giác ABC cân tại A nên :

ABC^=ACB^⇒ABD^=ACÊ

ΔABD=ΔACE (c.g.c)⇒AD=AE,

ΔAMD=ΔAME (c.c.c)⇒MAD^=MAỆ

do đó AM là tia phân giác của góc DAẸ (1)

Gọi O là giao điểm của BH và CK

ΔAOH=ΔAOK (ch.cgv)⇒OAK^=OAH^

Suy ra AO là tia phân giác của góc HAK hay AO là tia phân giác của góc DAẸ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM trùng với AỌ

Vậy ba đường thẳng BH, CK, AM đồng quy tại Ọ

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại Ạ Ở miền ngoài tam giác vẽ các tam giác

vuông cân ABD, ACF có AB = BD, CA=CF

a) Chứng minh D,A,F thẳng hàng

b) Từ D và F hạ các đường vuông góc Đ', FF'xuống đường thẳng BC Chứng minh Đ′+FF′=BC

Giải:

tam giác DBA, ACF vuông tại B và C nên có:

DAB^=CAF^=450

⇒DAF^=DAB^+BAC^+CAF^=450+900+450=1800

⇒D,A,F thẳng hàng

b) Từ A vẽ AH⊥BC

Xét hai tam giác vuông DD'B và BHA có: BD = AB; D′BD^=BAH^

⇒△DBD′=△BAH (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒DD′=BH.(1)

Tương tự, có: △FCF′=△HAC (cạnh huyền, góc nhọn).suy ra: FF' = HC.(2)

Từ (1) và (2) có: DD' + FF' = BH+ CH= BC (đpcm)

Ví dụ 5: Cho đoạn thẳng AB Trên AB lấy một điểm M và trên cùng một nửa mặt

phẳng bờ AB, vẽ tam giác đều AMC và BMD Gọi E,F,I,K là trung điểm của các đoạn thẳng CM, CB, DM, DA

a) Chứng minh EF // KI và EI = KF

b) Chứng minh KF=CD2

Giải:

a) Trong tam giác CMB có: E, F là trung điểm của CM,CB nên EF // MB Trong tam giác DMA có K,I là trung điểm AD, MD nên KI // MA

=>EF//KI (do cùng song song với AB)

Gọi H là trung điểm của CD

Trong tam giác CDM có E,H là trung điểm của CM, CD nên EH // MD Trong tam giác CDA có H,K là trung điểm của CD, DA nên HK // AC

Mà MD // AC nên theo tiên đề Ơ-clit, ba điểm H,K,E thẳng hàng

Tương tự, ta chứng minh được H,F,I thẳng hàng

Lại có: HF=BD2,EH=MD2

Mà BD=MD,⇒HF=EH

Tương tự có HK=HI

⇒△HKF=△HIE

⇒KF=EI

b) Ta có: EI là đường trung bình của tam giác CDM nên EI=CD2

Mà theo phần a, có KF=EI⇒KF=CD2

C Kiểm tra chuyên đề: Làm bài tại đây