4 số PHỨC

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC A.. Biểu diễn hình học của số phức... Chia hai số phức.. CÁC VÍ DỤ Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn các điều kiện cho trước.

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC

A Tóm tắt lí thuyết

I SỐ PHỨC & CÁC PHÉP TOÁN

1 Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn

i   Kí hiệu z   a bi

Chú ý:

 z   a 0i  a được gọi là số thực (a   )

 z   0 bi  bi được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)

 0   0 0i vừa là số thực vừa là số ảo

2 Biểu diễn hình học của số phức

 M(a;b) biểu diễn cho số phức z  z = a + bi

a a '

z z '

b b '





  





z  z '  a  a '  b  b ' i

z  z '  a  a '  b  b ' i

z.z '  aa ' bb '   ab ' a ' b i 

6 Môđun của số phức z = a + bi

z  a  b  OM 

 zz

 z  z

 zz 2a

.

z za b  z

x

y

a

b

O

M

x

y

a

b

O

M

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

8 Chia hai số phức

Cho hai số phức z   a bi và z '  a ' b 'i  với a, b, a ', b ' 

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC

o z  a là số thực dương có 2 căn bậc 2 là  a

o z  a là số thực âm có 2 căn bậc hai là  a i

Giải tương tự phương trình bậc nhất với hệ số thực

Tính   b 2  4ac

2a

  



o   0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x ,1 2 b i

2a

  



o   0: Phương trình có 1 nghiệm kép là x b

2a

 

III CÁC VÍ DỤ

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn các điều kiện cho trước

của z

Bài giải

♥ Đặt z a bi, a b  ,  ta có:

2z   i z 2 5i 2abi i abi  2 5i

2a b 2ba i   2 5i

2 2 3

♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Bài giải

♥ Đặt z a bi, a b  ,  ta có:

3zz1 i 5z  8i 1 3abi  a bi  1 i 5abi 8i 1

  3a 4b  2ab i    1 8i

3 4 1



   

3

2

a b

 



   

♥ Vậy môđun của z là 2 2 2  2

z  a b     

Bài giải

♥ Đặt z a bi, a b  ,  ta có:

2z 3 1 i z    1 9i 2abi 3 1 i a bi  1 9i

5a 3b    3a b i   1 9i

5 3 1

  



   

2 3

a b

 



  



♥ Vậy môđun của z là z  a2 b2  2 2  3 2  13 

ảo của z

Bài giải

♥ Đặt z a bi, a b  ,  ta có:

z 2 i z    3 5i abi   2 i a bi  3 5i

3a  b a b i   3 5i

3 3

5

  



   

2 3

a b

 



   

♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng  3 

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

1

1 ) 1 )(

1

i

z i











Bài giải

Đặt z x yi, (x, y   ) ta có:

1

1 ) 1

)(

1

i

z i









1 (1 )

2

2 2

3x 1 y (3x 1 y i) 2(x y )























0 1 3

) (

2 1

y x

y x y x

2 (3 1)

   



 







 

♥ Vậy số phức z cần tìm là z i hoặc .

10

1 10

3

i

z   

z

z9 là số thuần ảo

Bài giải

♥ Đặt z a bi a b( ,   ) ta có:

 |z 3i|  | 1 i z|  |a  (b 3) |i   |1 i a( bi) |

 |a  (b 3) |i    |1 b ai|

( 3) (1 ) ( ) 2

b



4

) 26 2 ( 5 4

) 2 ( 9 2 2

9 2 9

2

2 3





























a

i a

a a a

i a i a i a i a z

 a3 a5  0

 a 0 ,a  5

♥ Vậy các số phức cần tìm là z 2i, z 5  2i, z  5  2i.

2

z



 là số thuần ảo

Bài giải

♥ Đặt z x yi (x, y  )và z 2 ta có:

 z   z 2 2 i  xyi   x 2 (y 2)i

2 2 2 2

( 2) ( 2)

     x y 2 y 2 x. (1)

) 2 (

] ) 2 ].[(

) 2 ( [ )

2 (

) 2 ( 2

2

y x

yi x

i y x yi x

i y x z

i z





























Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

i y x

xy y

x y

x

y y x

x

2 2 2

2

) 2 (

) 2 )(

2 ( )

2 (

) 2 ( ) 2 (























0 )

2 (

) 2 ( ) 2 (

2











y x

y y x

x























0 )

2 (

) ( 2

2 2

2 2

y x

y x y x

(2)

Thay (1) vào (2) ta được 0

2

1 ) 1

















x x

x

Suy ra y 2

♥ Vậy các số phức cần tìm là z  2i.

1

4

i z



 Tính A 1  ( 1 i)z

Bài giải

♥ Đặt z a bi a b, ( ,   )ta có:

4

1

z

  a b a 4 bi b (a 1)i

2 2







































1 4

2 2

a b

b a

b a





















1 , 2

2 , 1

b a

b a

♥ Vậy

 Với a  b1 ,   2 ta có A 1  ( 1 i)( 1  2i)  3i  3

 Với a  2 ,b 1 ta có A 1  ( 1 i)(  2 i)   3i  3 

giá tri ̣ nhỏ nhất

Bài giải

♥ Đặt z x yi, x y  ,  ta có:

 z 1 i    (x 1) (y 1)i    = (x 1)  2 (y 1)  2

 2z z 5 3i    = 3x 5 (y 3)i    = (3x 5)  2 (y 3)  2

Do đó: z 1 i    2z z 5 3i     (x + 1)2 + (y + 1)2 = (3x – 5)2 + (y – 3)2

 8y = 8x2 – 32x + 32

 y = x2 – 4x + 4

♥ Ta có z 2 2i   = (x 2)  2 (y 2)  2 = y y 2  2 = y2 3y 4  =

2

y

≥ 7 2

Dấu "=" xảy ra  y = 3

2  (x – 2)2 = 3

2  x 2 6

2

 

♥ Vâ ̣y z 2 6 3i hay z 2 6 3i

      thı̀ z 2 2i   đa ̣t GTNN 

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện cho trước

1 

z  i i z

Bài giải

♥ Đặt z x yi x y  , và M x y ;  là điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng Oxy ta có:

z  i 1 i z xyi  i 1 i x iy

  x y 1i x  y x y i

2  2   2 2

1

2 2 2 2 2 2

2 2

♥ Tập hợp điểm M biểu diển của số phức z là đường tròn có phương trình

1 Tính toán với số phức

Câu 1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 2 )  i z (2 3 )  i z   2 2i Tính mô đun của z

Gọi z=x+yix y, R Phương trình đã cho trở thành: 1 2  ixyi  2 3  ixyi   2 2i

 x 2y  2xy i 2x 3y   3x 2y i    2 2i

 3x 5y   x y i    2 2i

Câu 2 Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa : z  1 5i  z  3 i

Giả sử : z x yi, x y,  

từ gt ,ta có : x  1 y 5i  x  3 y 1i ;

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

x 12 y 52 x 32 y 12 x 3y 4 0

            x  4 3y

10 24 16

z  x y  y  y

znhỏ nhất bằng 8

5khi và chỉ khi: 2 6

5 5

Câu 3 Cho số phức z thỏa mãn z2 3  i z   1 9i Tìm môđun của số phức z

Gọi z a bi a b, ,  ; Khi đó z2 3  i z   1 9i

a bi 2 3  i a bi    1 9i   a 3b3a 3b  1 9i

3 1

  



 



1

a b







 



2 ( 1) 5

Câu 4 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (2i)(1i)z42i Tính môđun của z

Đặt z abi, (a b,  ), khi đó zabi Theo bài ra ta có

i i

b a

i bi

a

i

2































3

1 2

1

4

3

b

a b

a

Do đó z 1  3i, suy ra z  12 32  10

Câu 5 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2 i z   5 i Tính mô đun của số phức

1

w izz

Đặt z a bi a b ,   Từ giả thiết ta có: 3 5 1



Do đó z  1 2i

w izz  i  i   i   i Vậy w 3

Câu 6 Tìm môđun của số phức z, biết

1

z z

 





Tìm môđun của số phức z, biết

2

2 3 1

z z

 





+ Điều kiện z  1

+ Gọi z a bi a b,  ,

ta có :

2

2 3 1

z

z

 



2b a 3 2ab 3b i 0

2

   

 



3 0

a b

 



 



3 2 3 2

a

b



 





  



Với a  3,b 0, ta có 2 2

3

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

3

4 4

Vậy môđun của số phức z là 3 hay 3

Câu 7 Tìm môđun của số phức z thỏa mãn số phức z 6 2i

z 2 4i

 

  là số thuần ảo và đồng thời

z 6 i    5

Đặt z=a+bi : Đk : z   2 4i

Theo đề bài :

(L)V







z 2 2i z 2 2

Câu 8 Cho số phức z thỏa mãn (1i z)  z2 i Tính môđun của số phức z

Đặt z a bi a b ,( ,  ); khi đó z a bi Do đó

(*)  (1 i a)( bi)  (abi 2)i  (ab)  (ab i)  b (a 2)i

z

Câu 9 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: 3 1 3 1

z  i  i

w  1 i z

z 3 i 3 i

  

1

3 i

35 12 2

1 37 37

3 i 2





72 49

37 37

    

72 49 7585 w

   

      

   

Câu 10 Trong các số phức thỏa mãn 2 3 3

2

z  i  Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

2

4

* Vẽ hình |z|min z ĐS: 26 3 13 78 9 13

Câu 11 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 11 1

2

z

z z



 

2





Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

11

1

2

z

z

z



 

  z24z130,    ' 9 9i2 2 3

2 3

 



  



 z  2 3i  4

2



 = 2 1

2

i i







 z  2 3i  4

2



 = 2 7 53

2 5 29

i i







Câu 12 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz + 2z  1 i Tính mô đun số phức

w = iz+ 4

Gọi zabi a b, ( ,  )

ta có:

(2a b) (a 2 )b i 1 i

1 1

a b

a b

a b

 





Câu 13 Gọi x1, x2 là hai nghiệm trên tập số phức của phương trình x2  2x  5 0

Tính x1  x2

2

4 4i



    ,

x    i,x2    1 2i, x1  x2  2 5

Câu 14 Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

z  z   Tính A z1 4  z2 4

' 25 0

    Phương trình đã cho có hai nghiệm phức z1  2 5 ,i z2  2 5i

Khi đó z1  z2  29  A1682

Câu 15 Cho z là số phức Tìm m để phương trình mz2  (m 1)z i  0 có hai nghiệm phân biệt z z1; 2 sao cho |z1|  |z2| 2 

Theo bài ra :

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Câu 16 Gọi z z1; 2 là 2 nghiệm phức của phương trình sau:

z2    z 1 0,( z  C ) Tính A= z1  z2

;

3

z  z   i   z  z 

Câu 17 Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z2 4z 11  0

Tính giá trị của biểu thức A =

2 2

1 2

2

1 2



z   i z   i

Suy ra

2 2

Đo đó

2 2

1 2

2

1 2

11

4



 



Câu 18 Tính mô đun của số phức z biết rằng: 2z1 1 iz1 1  i22i

Gọi z= a+ bi (a, bR)

Ta có

1

3

a

b

      

             

             







 

   



3

2 Tìm số phức Z

Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1i z)  1 3i0 Tìm phần ảo của số phức

w 1 ziz

(1 i z)   1 3i 0  1 3 2

1

i

i





Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

 w = 2 – i Số phức w có phần ảo bằng - 1

Câu 20 Tìm phần thực và phần ảo của số phức w(z4 )i i biết z thỏa mãn điều kiện 1 i z 2 i z   1 4 i

Giả sử z x yi x y,  , suy ra zxyi.

Thế vào gt ta tìm được x= 3, y = 4

Vậy z = 3 +4i Do đó w = 3i

w có phần thực 0; phần ảo 3

Câu 21 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn điều kiện

z (2 i z)   3 5i

Giả sử ,z=x+yi(x,yR ).Ta có

(2 ) 3 5

z i z  i x+yi +(2+i)(x-yi)=3+5i

3x+y+(x-y)i=3+5i

 3 3 2



Vậy phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt bằng 2,-3

Câu 22 Tìm phần thực và phần ảo của số phức: 3 4 (3 5 )(6 )

3 2

i

i





Ta có

2

2

(3 4 )(3 2 )

18 3 30 5

3 2

9 6 12 8

3 2

i i







Vậy phần thực: 298

13

 , phần ảo: 333

13

Câu 23 Cho số phức z   1 3i Tìm số nghịch đảo của số phức:   z2z z.

Với z   1 3i, ta có

   z2 z z  (1  3 )i 2  (1  3 )(1i  3 )i   1 6i 9i2  1 2  9i2   2 6i

i



Câu 24 Cho số phức: z 3 2i.Xác định phần thực và phần ảo của số phức 2

z z

2

3 2 3 2 8 14

Phần thực a=8; phần ảo b=-14

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Câu 25 Tìm phần ảo của z biết: z3z2i 3 2i

  3 

z z i i

Giả sử z=a+bi

(1)abi3a3bi 8 12 i6i i 2i  2 11 2 i i

2

4a 2bi 4 2i 22i 11i 20i 15

4

    Vậy phần ảo của z bằng -10

Câu 26 Tìm số phức liên hợp của

1 (1 )(3 2 )

3

z i i

i



(3 )(3 ) 10

Suy ra số phức liên hợp của z là: 53 9

10 10

z   i

Câu 27 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết: z 2z  3 2i

Gọi z  a  bi a, ( b  R )  z  a  bi

Ta có : 3a + bi = 3-2i

Suy ra : a=1 và b = -2

Vậy phần thực là 1 và phần ảo là -2

Câu 28 Cho số phức z  3 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức wizz

3 2

z  i

3 2  3 2 

1

i

Phần thực là -1, phần ảo là 1

Câu 29 Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:











 13

10

z

z z

Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết:











 13

10

z

z z

Giả sử z = x + yi =>z= x– yi (x, yIR)

Theo đề bài ta có :















13

10 2

2 2

y x

x













 12

5

y x

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Câu 30 Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 3 5 5 2 3 

1 4

i

i





Tìm phần thực và phần ảo của số phúc sau:

Kết luận phần thực bằng -18, phần ảo bằng 0

Câu 31 Cho số phức z  1 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức w z2 2iz

Ta có z  1 2  i, khi đó w  (1 2 )  i 2  2 (1 2 ) 1 4i  i   i  4i2  2i 4i2

   7 2i

Do đó, phần thực của số phức w là: -7 và phần ảo của số phức w là: -2

Câu 32 Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 3 i z   2 6i Tìm phần thực, phần ảo của số phức w 2z 1

Giả sử z abi a b ,  zabi, khi đó:

1 i z 3 i z  2 6  i1 iabi  3 iabi  2 6i 4a 2b 2bi  2 6i

2 3

Do đó w 2z  1 2 2 3  i   1 5 6i

Vậy số phức w có phần thực là 5, phần ảo là 6

3 Giải phương trình nghiệm phức

Câu 33 Giải phương trình sau đây trên tập số phức: 2

2z - 2z + 5 = 0

2

2z  2z  5 0 (*)

 Ta có,    ( 2) 2  4.2.5   36  (6 )i 2

 Vậy, phương trình (*) có 2 nghiệm phức phân biệt:

; z

3 5

1 4

3 5 1 4

15 2 5 6

1 16

18

i

i







     

 

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Câu 34 Giải phương trình 2

3z 6z150 trên tập hợp số phức

+ Tính đúng    ' 36  0

3

i

z     i, 2 3 6 1 2

3

i

Câu 35 Giải phương trình sau trên tập số phức 2

1 0

z   z

1 4 3 3i

      căn bậc hai của  là i 3

i

Câu 36 Giải phương trình nghiệm phức: 1,( )

4

C z i

z

i z





















Vậy pt có tập nghiệm z={-1;0;1}

Câu 37 Giải phương trình nghiệm phức: z2   i 0,( z  C )

i 1.(2 )i 1(1 i)2













z i

(1 )

Câu 38 Giải các phương trình sau trên tập số phức 2

2 5 0

2

4 20 16 16i

     

Căn bậc hai của  là 4i

Phương trình có nghiệm: x1   1 2 ,i x2   1 2i

Câu 39 Giải các phương trình sau trên tập số phức z4 2z2  3 0

Đặt t = z2

Phương trình trở thành:

2 2

2

1

2 3 0

z

 



      

Vậy phương trình có 4 nghiệm: -1, 1, i 3, i 3

Số phức FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

Câu 40 Giải phương trình sau đây trên tập số phức:  z2 2z  5 0

- Ta có,   22 4.( 1).( 5)     16  (4 )i 2

 Vậy, pt (*) có 2 nghiệm phức phân biệt 1 2 4 1 2

2

i

2 4

1 2 2

i



Câu 41 Giải phương trình trong tập số phức: z2 3z70

i 19

19 







Phương trình đã cho có hai nghiệm phức:

2

19 2

3 2

i 19

3

2

19 2

3 2

i 19 3

z2    

Câu 42 Giải phương trình sau trên tập số phức: 3x2  2 3x  2 0

Ta có:    ( 2 3)2 4.3.2  12  24   12  (2 3 )i 2

Phương trình có 2 nghiệm phức

;

Câu 43 Giải phương trình sau trên tập số phức: x2 – 6x + 29 = 0

20







Phương trình có 2 nghiệm phức: x 3  2i 5

Câu 44 Giải phương trình sau trên tập số phức: x2 4x 11 0 

2

1,2

7 )

2 7

' 4 11 7 ( i

     