DE THI HOC SINH GIOI TOAN LOP 11 CÓ ĐÁP ÁN

các đề thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh lớp 11 bao gồm đề của nhiều tỉnh khác nhau qua các năm và có đáp án để giúp các bạn hiểu và vững kiến thức toán hơn. đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 có đáp án kèm theo, đề thi học sinh giỏi toán 11 có đáp án kèm theo.

Câu 1 (2,5 điểm) Cho hàm số 3

2

x y x

+

=

− + có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình y x m= − −1

Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, (O là gốc tọa độ).

Câu 2 (2,5 điểm) Giải phương trình

3 cos 2 (2sinx x− + 1) 2cos (2sinx 2x+ = 1) 3sin 2 x

Câu 3 (2,5 điểm) Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi

người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.

Câu 4 (2,5 điểm) Tính tích phân

4

0 cos 2 ln(sin cos )

Câu 6 (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có ( 5;2) A − M( 1; 2) − − là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho ·MDC MBC= · và MB⊥MC Tìm tọa độ điểm D biết

• Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Môn thi: Toán - THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 01 trang

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-THPT

Hướng dẫn chấm có 06 trang

I Một số chú ý khi chấm bài

- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám

khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ

đến 0,25 điểm.

- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm

tương ứng với thang điểm của đáp án.

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.

II Đáp án – thang điểm

Câu 1 Cho hàm số 3

2

x y x

+

=

− + có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình:

1

y x m= − − Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác

OAB vuông tại O.

x

x m x

và khác 0, hay (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A x x( ; 1 1 − −m 1); ( ;B x x2 2 − −m 1) ,

Thử lại vào (*) thấy thỏa mãn Vậy m= − 3 thỏa mãn bài toán 0,5

Câu 2 Giải phương trình sau

3 cos 2 (2sinx x− + 1) 2cos (2sinx 2x+ = 1) 3sin 2x. 2,5

Ta có: (1) ⇔ 3 cos 2 (2sinx x− + 1) 2cos (2sinx 2x+ = 1) 3sin 2x

2

2 3 sin cos 2 3 cos 2 4cos sin 2cos 3sin 2 0

2 3 sin cos 2 2sin sin 2 4sin cos 3 cos 2 sin 2 2cos 0

2sin ( 3 cos 2 sin 2 2cos ) ( 3 cos 2 sin 2 2cos ) 0

(2sin 1)( 3 cos 2 sin 2 2cos ) 0

2 6

Câu 3 Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo Có 5 người khách đến mua quần

áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó Tính xác suất để

có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.

2,5

Người khách thứ nhất có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.

Người khách thứ hai có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.

Người khách thứ ba có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.

Người khách thứ tư có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.

Người khách thứ năm có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.

Theo quy tắc nhân có 5.5.5.5.5 = 3125 khả năng khác nhau xảy ra cho 5 người

vào 5 cửa hàng Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: Ω = 3125

0,5

Để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 khách vào thì có các trường hợp (TH)

sau:

TH1: Một cửa hàng có 3 khách, một cửa hàng có 2 khách, ba cửa hàng còn lại

không có khách nào TH này có C C C C51 53 41 22 = 200 khả năng xảy ra.

0,25

TH2: Một cửa hàng có 3 khách, hai cửa hàng có 1 khách, hai cửa hàng còn lại

không có khách nào TH này có 1 3 2

5 5 4 2 600

TH3: Một cửa hàng có 4 khách, một cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại

không có khách nào TH này có C C C51 54 14 = 100 khả năng xảy ra. 0,25TH4: Một cửa hàng có 5 khách, các cửa hàng khác không có khách nào TH này

có 1

5 5

Suy ra có tất cả 200 600 100 5 905 + + + = khả năng thuận lợi cho biến cố “có ít

π

4 0 4

2 0

cos 2 ln(sin cos )

1 ln(sin cos ) cos 2 2

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC a= Tam

giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy

D

C B

A S

Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân nên SH ⊥ AB Vì tam giác SAB

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ⊥ (ABCD) Suy ra góc giữa SD

Đường thẳng AH cắt (SBC) tại B nên

M − − là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho ·MDC MBC= · và

MB⊥MC Tìm tọa độ điểm D biết tan· 1

2

2,5

E M

Gọi E là điểm thứ tư của hình bình hành MABE, dễ thấy MECD cũng là hình bình

Mà ·MDC MBC= · suy ra ·MEC MBC= · hay tứ giác BECM nội tiếp

Suy ra ·BMC BEC+ · =180o⇒ ·BEC=180o−90o =90o 0,5

Giải hệ phương trình trên được hai nghiệm: ( 3; 4), (1;0) − −

Vậy có hai điểm D thỏa mãn đề bài là: ( 3; 4), (1;0). D − − D

0,5

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ P và Q là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và AD sao cho

Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S(ab 2)(2ab 1) (bc 2)(2bc 1) (ac 2)(2ac 1)

Câu 1 Từ x3 +x (2 y) x y(2x 1) 02 − + − + = ⇔(x y)(x 1)− + 2 =0

TH1: x = y thế vào pt : 5x2 − = ⇔ = ± ⇒ = ±5 0 x 1 y 1

TH2: x = −1 ⇒ = −y 1 Vậy nghiệm của hệ (1;1), ( 1; 1)− −

Câu 2 PT⇔ cos2x 3sin 2x 5(cos x sinx) 3− + + =

cho {u n }xác định như sau: u 1 = 1;

2 n

1 Nếu có dạng : n 1 n2

n

2uu

1 u

+ =

− Đặt un = tanα (αphải chọn phù hợp với u 1 )

2 Có dạng căn liên tiếp : đặt u n = cosα.

3 Có dạng : n

n

cu

u

+ dùng cô si dạng : 2n

n

cuu

4 Dạng un 1+ =f (n).un viết từ u2 đến un 1+ , nhân vế với vế và giản ước.

5 Dạng un 1+ =un +f (n) viết từ u2 đến un 1+ , cộng vế với vế và giản ước.

1 2 3 n

2

++ + + + =

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11

Môn thi: Toán

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang và có 5 câu)

C©u 2: Cho các tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10}, , trong đó mỗi tập hợp

chứa nhiều hơn tập hợp ngay trước nó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 đơn vị Gọi S n là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n Tính S 999

Câu 3 Cho dãy số (un ) xác định như sau: 1 2

a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S(ab 2)(2ab 1) (bc 2)(2bc 1) (ac 2)(2ac 1)

Câu 1 §iÒu kiÖn

2

n n+

= , công sai d=-1(coi số hạng cuối cùng trong tập hợp thứ n là số hạng đầu của cấp số cộng này), ta có

3 2 2

3

1 1

c c c

b b b

a

+ + + + + + + +

2 4

1 1

2 1

2 2 4

2

2 2

b

a b

a

+

+ +

= +

2 4

1 1

2 1

2

2 2

2 2

c

b c

+

+ + +

2 4

1 1

2 1

2

2 2

2 2

a

c a

+

+ +

6 3

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16

≥

6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

3 2 2

9 2 2

3 2 2

Thời gian làm bài: 180 phỳt

Cõu I: (2 điểm)

1.Giải phương trỡnh: (1 t anx)cos x (1 cot x)sin x+ 3 + + 3 = 2sin 2x

2 Tỡm cỏc nghiệm trong khoảng (−π π; ) của phương trỡnh:

2sin 3x 1 8sin 2x cos 2x.2

4

π

 + = +

Cõu II: (3 điểm)

1 Cú bao nhiờu số tự nhiờn gồm 6 chữ số khỏc nhau trong đú cú 3 số chẵn và 3 số lẻ ?

2. Cho k là số tự nhiờn thỏa món 5 k 2011.≤ ≤

Chứng minh rằng: 0 k 1 k 1 5 k 5 k

C C +C C − + + C C − =C

3.Cho dóy số (un) xỏc định bởi : 1

1

11

u

=



 Tỡm cụng thức tớnh un theo n

Cõu III: (2 điểm)

1 Cho Pn=   





















+ +

−

−

−

2) 1)(n (n

2 1

3.4 2 1 2.3 2 1 Gọi Un là số hạng tổng quỏt của Pn Tỡm Un n→lim+∞ 2.Tỡm giới hạn: 2 3 x 0 (x 2012) 1 2x 2012 4x 1 lim x → + − − + Cõu IV: ( 3 điểm) 1 Cho tứ diện ABCD cú AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M là điểm tựy ý trờn cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q Tỡm vị trớ của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hỡnh vuụng, tớnh diện tớch thiết diện trong trường hợp đú 2 Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn Xỏc định điểm M bờn trong tam giỏc sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất

-Hết -Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:

hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức

Sở Gd&Đt BẮC GIANG Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11

Năm học 2012-2013

(Híng dÉn vµ biÓu ®iÓm chÊm gåm 03 trang)

M«n: to¸n 11 THPT

1 (1.0 đ) ĐK: sin x cos x 0.> Khi đó pt trở thành:

sinx cos x 2 sin x cos x+ = (1) 0.25

ĐK: sinx cos x 0+ > dẫn tới

sinx 0;cos x 0.> > 0.25 Khi đó:

M= +1 x =C +C x +C x +C x +C x +C x

( )2011 0 1 1 k k 2011 2011

N= +1 x =C +C x + + C x + + C x ( )2016 0 1 k k 2016 2016

1)(k (k

2 1

+ +

+

= + +

0.25 Cho k=1,2,3,…,n ta được

Ta có

3 3

MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng 0.5

Khi đó góc BMA=1200, góc AMC=1200

Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

Môn thi: to¸N 11 THPT

Thời gian làm bài: 180 phút

41

4 4 1 29

Tìm công thức số hạng tổng quát u ncủa dãy số.

2 Cho n là số tự nhiên, n≥2. Chứng minh đẳng thức sau:

víi víi

Bài 4 (3 điểm)

Cho tam giác đều ABC

1 M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA2 =MB2 +MC2 Hãy tính góc ·BMC

2 Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh

AC và SB Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI

Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1.

Hết

Họ và tên : Số báo danh :

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH

NĂM HỌC: 2012 - 2013

Bài Lời giải Điểm

2

x x

2

x x

( Thỏa điều kiện (1) )

Giải các phương trình trên ta được :

2sin cos sin

Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH

2 Cho P(x), Q(x) là hai đa thức hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện P(x 3 ) + x.Q(x 3 ) chia hết cho x 2

+ x + 1 Gọi d là ước chung lớn nhất của hai số P(2011) và Q(2011) Chứng minh d chia hết

cho 2010.

3 Cho hàm số f khả vi trên [ ]0;1 và thỏa mãn f(0)=0; f(1)=1 Chứng minh rằng: tồn tại hai số

phân biệt a b, ∈( )0;1 sao cho ( ) ( ) 1f a f b′ ′ =

4 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau Vẽ đường cao OH của tứ diện

Đặt A CAB B ABC C BCA= · , = · , = · ,α =·AOH,β =BOH· ,γ =COH· .

Chứng minh rằng:

sin 2A sin 2B sin 2C