Chứng minh rằng đường vuông góc với AM tại M luôn tiếp xúc với một conic cố định.. Cho hình chữ nhật OABC có chu vi không đổi; O cố định các điểm A; B; C thay đổi.. Chứng minh rằng đường
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 180 phút
6 6 ) 1 (m− x− x x + m+
1 Giải bất phương trình f(x)≥ 0với m=
3 2
2 Tìm m để : (x-61 −x)f(x)≥ 0với mọi x∈[ ]0 ; 1
CÂU 2 : (4 điểm )
1 Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm
a+ x + a− x ≤ 2
2 Giải và biện luận phương trình :
2 log ( 2 2 ) 4 [log2( 2 2 )]
2
2
+ +
=
x
CÂU 3: (4 điểm) Cho hàm số :
y=
2
3 3
2
+
+ +
x
x x
(1) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2 Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có các toạ độ là các số nguyên
CÂU 4 : (6 điểm )
1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn : x2 +y2 = 4 và điểm A(1;0)
một điểm M thay đổi trên đường tròn Chứng minh rằng đường vuông góc
với AM tại M luôn tiếp xúc với một conic cố định
2 Cho hình chữ nhật OABC có chu vi không đổi; O cố định các điểm
A; B; C thay đổi Chứng minh rằng đường vuông góc kẻ từ B vuông góc với đường chéo AC luôn đi qua một điểm cố định
3 Cho tam giác ABC vuông ở C tìm những điểm P trong không gian
thoả mãn : P A2 +P B2 ≤ P C2
CÂU 5: (2 điểm )
Tìm các hàm số f(x)xác định và có đạo hàm trên R thoả mãn điều kiện :
f(x+y)=f(x).f(y); ∀x,y ∈R
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
Trang 2Môn : Toán
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 (4 điểm ):
1 (2điểm) Đặt t=6x(t > 0 ) và :
f(t)=(m-1)t-2+ 2m+ 1
t
1 m
3
2
≥ ; f(t)≥0⇔t2−7t+6≤0⇔1≤t<6
⇒ 1 ≤ 6x ≤ 6 ⇔ 0 ≤ x≤ 1
0,25 0,25 0,5
1,0
2 (2điểm )Với x=1, bất phương trình thoả mãn với mọi m
Xét x∈[ ]0 ; 1 Đặt h(x)=x-61 −x
h’(x)=1+61 −xln 6 > 0 ⇒h(x)đồng biến trên [ ]0 ; 1 và h(1)=0
[0 ; 1) 0
)
( < ∀ ∈
vậy ta cần tìm m sao cho : f(x)≤ 0 ∀x∈[0 ; 1)
2
2 6
;
2
t g t t
t t m t
+
+
−
≤
⇒
∈
⇒
Ta có : g’(x)= 2 2
2
) 2 (
4 4 3
+
−
−
t t
t t
Bảng biến thiên :
t 1 2 6
g’(t)
3
2
2 1
Từ m≤ g (t)đứng với mọi t ∈[1 ; 6)⇔ min[1;6)g(t) ≥mhay m
2
1
≤
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25 Câu II: (4 điệm )
1.(2đ)
Ta có :a<0 thì a− x vô nghĩa
Vậy ta xét a≥ 0điều kiện x≥ 0
i) khi a=0 ⇒ x + − x ≤ 2 ⇔ x = 0
ii) khi a>0; điều kiện
≤
≤
≥
⇔
≤
≥
1 0
0 0
a x
x a x x
0,25
Trang 3Đặt
Π
∈
≤
=
2
; 0
;
cos
ϕ
ϕ
a
x
a
x
phương trình ⇔ a( 1 + cos ϕ + a( 1 − cos ϕ ≤ 2 (*)
a
1 4 2
ϕ −Π
với
2
Π
≤
≤ ϕ
4 2
cos 2
1
≤
−Π
Vậy để (*) có nghiệm thì
a
1
≥
2
1
⇔ 0< a ≤2 Vậy phương trình có nghiệm ⇔ 0 ≤ a ≤ 2
0,5
0.5 0.25 0.25 0.25
2, (2 điểm)
Viết lại phương trình dưới dạng
2x 2 + 2log2(x2+2) = 22 x+a + 2.[log2( 2x+a + 2 )].
Xét hàm số f(t) = 2tlog2t với t≥2
f'(t)= 2tlog2t.ln2 +
2 ln
2
t
t
> 0 ∀t ≥2 ⇒hàm số đồng biến
Khi đó phương trình có dạng : f(x2+2) = f(2 x+ 2 +2 )
⇔ x2+2 = 2 x+ 2+2
⇔ x2 = 2x +2a (1)
hoặc -x2 = 2x +2a (2)
a,giải và biện luận (1) : ∆ 1=1+2a
*∆ 1<0 ⇔ a<
-2
1 ⇒(1) vô nghiệm
*∆ 1=0 ⇔ a=
-2
1 ⇒(1) có nghiệm kép x=
2 1
*∆ 1>0 ⇔ a>
-2
1 ⇒(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2=1± 1 + a
b,giải và biện luận (2) : ∆ 2=1-2a
*∆ 2 < 0 ⇔ a >
2
1 ⇒ (2) vô nghiệm
*∆ 2 = 0 ⇔ a =
2
1 ⇒ (2) có nghiệm kép
x=-2 1
*∆ 2 >0 ⇔ a <
2
1 ⇒ (2) có 2 nghiệm phân biệt x1,2=-1± 1 − a
Kết luận:
0.25
0.25 0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 4+ Với a <
-2
1 phương trình có nghiệm : x =-1± 1 − a
+ Với a =
-2
1 phương trình có nghiệm : x=
2
1 ; x = -1 ± 2
+
Với-2
1
<a <
2
1 phương trình có nghiệm : x = 1± 1 + 2a
+ Với a =
2
1
phương trình có nghiệm : x=
-2
1 ; x = 1 ± 2
+ Với a >
2
1
phương trình có nghiệm : x =1± 1 + a
Câu 3 : (4 điểm )
1 (3 điểm)
y =
2
3 3
2
+
+ +
x
x
x
TXĐ D =R/{ }− 2
) 2 (
3 4
2
2
−
=
−
=
⇔
= +
+
x
x x
ý >0: hàm số đồng biến (− ∞ ; − 3) và (−1;+ ∞)
y’<0 hàm số nghịch biến ( − 3 ; − 2 )và ( − 2 ; − 1 )
Cực đại (-3;-3); cực tiểu (-1; 1)
+∞
=
+
lim ; limx→−2y = −∞ suy ra đường thẳng x=-2 là tiệm cận
đứng
y=x+1+
2
1
+
2
1 = +
+∞
→
x
x ⇒x+1 là tiện cận xiên +∞
=
+∞
→
Üm
lim ; limx→ −∞=−∞
Bảng biến thiên :
x -3 -2 -1 +∞
+ 0 - - 0 +
y -3 + ∞ +∞
-∞ −∞ 1
0,5
0.25 0.25 0,5 0,5 0,5
0,5
∞
−
Trang 5Đồ thị : Giao với Oy tại (0;
2
3 ) y nhận I(-2; -1) làm tâm đối xứng
3/2
1
-3 -2 -1 x
O
-3
2 (1 điểm)
Hàm số y=
2
1 1
+ + +
x x
vì x∈Z;y∈Z ⇒ 1 x+ 2 ⇒ x+ 2là ước của 1
vậy x+2=+1 hoặc x+2=-1
−
=
⇒
−
=
=
⇒
−
=
⇒
3 3
1 1
y x
y x
Vậy trên đồ thị hàm số có 2 điểm có toạ độ là các số nguyên là : (-1; 1)
và (-3; -3)
Câu IV: (6 điểm )
1 (2 điểm)
Đường tròn : x2 +y2 = 4 giả sử M(2cosα ; 2 sin α ); α ∈[0 ; 2 Π]
) sin 2
; 1 cos
2
=
M
A do đó phương trình đưòng thẳng ∆vuông góc với
AM tại M có phương trình :
(2cosα − 1 )x+ 2 sin α y+D = 0
M∈ ∆ ⇒D = 2 cos α − 4
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
Trang 6⇒phương trình (∆) : (2cosα − 1 )x+ 2 sin α y+ 2 cos α − 4 = 0 (*)
Giả sử (x;y) là toạ độ các điểm không thuộc đường thẳng ∆nào
Phương trình (*) vô nghiệm α ⇔ 3x2 + 4y2 < 12
Xét (1) 1
3 4
2 2
= +
⇔ x y
ta có họ đường thẳng ∆ luôn tiếp xúc với elip trên
2 (2 điểm)
Lập hệ trục Oxy; O gốc A,C thay đổi lần lượt thuộc Ox và Oy
A(a;0) ; C(0;c) ⇒ B(a; c)
(a;c>0): a+c=b=hằng số
Phương trình AC: y= x c
a
c +
− C(0;c) B(a;c)
Đường thẳng ∆ qua B vuông góc với AC
y=
c
a c a c
a c y y
x
c
0 0
−
=
−
=
⇒
=b(1-c
a
)
Vậy ∆ : y =
c
a
x +
b(1-c
a
) Giả sử ∆ qua D ( x1; y1) cố định với mọi a và c
⇔
c
a
(x1-b) – (y1-b) = 0 ∀a;c
⇔
=
=
b
y
b
x
1
1
Vậy ∆ luôn đi qua điểm D (b;b) cố định
3 (2 điểm )
0,25
0,5 0,5 0,25
0,25
0,25
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25
0.25 0.25
Trang 7A (a;0;0) ;B(0;b;0) C(0;0;0)
A Gọi P(x;y;z)ta có
2 2
B
≤ x2+ y2+ z2
⇔(x-a)2+ (y-b)2+z2 ≤ 0
⇔
=
=
=
0
z
b
y
a
x
Vậy P(a;b;0)
Vậy tập hợp cần tìm có một điểm đó là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật
ACBP
Câu 5 : (2 điểm)
Nhận xét : f(x) =0 là một hàm số thỏa mãn điều kiện
f(x+y) = f(x).f(y) * ; ∀ x ; y ∈R
và có đạo hàm ∀x ∈ R
xét f(x) ≠0 Khi đó tồn tại x0 ∈ R để f(x0) ≠0
Theo * thì
f(x0) = f((x0-x)+x) = f(x) f(x0-x)≠0;x∈ ∀R
⇒f(x) ≠ 0; x∈ ∀R
mặt khác ,từ * ta có f(
2 2
x
x+ ) = f(x) =(f(
2
x
))2 ≥0 ; x∈ ∀R Lấy đạo hàm hai vế theo biến x và biến y của * ta có
Theo x : f'(x+y) =f'(x).f(y) : ∀ x ; y ∈R
Theo x : f'(x+y) =f(x).f'(y) : ∀ x ; y ∈R
⇒
)
(
)
(
'
x
f
x
) (
) (
'
y f
y
f ; ∀ x ; y ∈R
Từ đó ta có (lnf(x).),=a ⇔f(x).= ea.x + b
Thử lại ta có
f(x+y) =ea(x+y)+b
f(x).= ea.x + b
0.25
0.25 0.5
0.5
0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 8f(y).= ea.y + b
⇒f(x).f(y)=ea.x+b+a.y+b
Vậy b=0 Do đó : f(x)= ea.x ; ∀ x ∈R
Kết luận f(x) ≡0 hoặc f(x)= ea.x ; a tùy ý ; ∀ x ∈R
0.25
