Bài giảng ma trận, định thức (mô hình toán)

Như vậy mỗi ma trận cấp mxn cho tương ứng với một hệ vectơ dòng gồm m vectơ n chiều và một hệ vectơ cột gồm nvectơ m chiều... Các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính: Định lý: Cho

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

m

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

11

(1.1)

aij là phần tử nằm trên dòng i và cột j của ma trận A

Ta có thể dùng ký hiệu A = (aij)mxn (1.2)

+ Hai ma trận A, B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B nếu chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng đôi một bằng nhau

m i

b

a ij ij

, , 2 , 1

; , , 2 , 1

+ Ma trận không cấp mxn, ký hiệu 0 = 0mxn là ma trận cấp mxn có tất cả các ptử bằng 0.

+ Ma trận đối của ma trận A = (aij)mxn là ma trận cùng cấp,

ký hiệu –A mà

-A = (-aij)mxn

Chú ý: Ta có thể xem mỗi dòng của ma trận A như một

vectơ n chiều và mỗi cột của nó như một vectơ m chiều Như vậy mỗi ma trận cấp mxn cho tương ứng với một hệ vectơ dòng gồm m vectơ n chiều và một hệ vectơ cột gồm nvectơ m chiều

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

11

Trong ma trận vuông A, đường chéo nối góc trên bên tráivới góc dưới bên phải gọi là đường chéo chính, đường chéocòn lại gọi là đường chéo phụ.

b Ma trận tam giác: là ma trận vuông có các phần tử nằm

về một phía đường chéo chính bằng 0

a

a a

a a

1 12

a

a a a

0

0

2 1

22 21

11

(aij=0 khii<j)

c Ma trận đường chéo, ma trận vô hướng, ma trận đơn vị:

+ Ma trận đường chéo là ma trận vuông có các phần tử nằmngoài đường chéo chính bằng 0

0 0

0

0

0

22 11

(aij = 0 khi i j)

+ Đặc biệt khi a11 = a22 = … = ann, ma trận đường chéo đượcgọi là ma trận vô hướng.

+ Ma trận vô hướng có aii = 1, i = 1, 2, …, n gọi là ma trận đơn vị

0 0

1 0

0

0 1

4 Ma trận dòng và ma trận cột:

Ma trận chỉ có một dòng duy nhất ( ma trận cấp 1xn) được gọi là ma trận dòng Tương tự ma trận chỉ có một cột duy nhất được gọi ma trận cột

a a

1

12 11

.

II Các phép toán tuyến tính đối với ma trận:

1.Phép cộng ma trận và phép nhân ma trận với số

Cho 2 ma trận cùng cấp A = a ij mxn ; B =  b ij mxn

Định nghĩa: +Tổng 2 ma trận A, B là ma trận ký hiệu A+B

được xác định:

A+B = a  ij b ijmxn

+ Tích của ma trận A với số k là ma trận cấp mxn, ký hiệu kA được xác định:

kA = ka ijmxn

2 Các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính:

Định lý: Cho A, B, C là các ma trận cấp mxn, k,l là các số

thực Khi đó:

(A+B)+C = A+(B+C) A+B = B+A

A+0 = 0+A A +(-A) = 0

1A = A k(A+B) = kA+kB (k+l)A = kA+lA (kl)A = k(lA)

3 Phép trừ ma trận:

Hiệu 2 ma trận cùng cấp A, B được xác định thông qua phép cộng như sau

A – B = A + (-B)

Ta chứng minh được : (A-B)+B=A

k(A-B)=kA-kB

(k-l)A=kA-lA

IV Các phép biến đổi ma trận:

1 Các phép biến đổi sơ cấp: là các phép biến đổi sau đây

(1) Đổi chỗ 2 dòng (cột)

(2) Nhân 1 dòng (cột) với một số khác 0

(3) Cộng vào 1 dòng (cột) tích của dòng (cột) khác với số k bất kì

2 Phép chuyển vị ma trận:

Cho ma trận A cấp mxn, ma trận chuyển vị của A, ký hiệu A’ có cấp nxm được xác định bởi:

A’ = a jinxm với i=1, 2, …,n; j = 1, 2,…,m.

Như vậy ma trận chuyển vị của A là ma trận nhận được

Cho A là ma trận vuông cấp n Định thức của ma trận

A gọi là định thức cấp n, ký hiệu │A│ hay detA

DetA =

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

12 11

a a

a a

= a11a22-a21a12 (1)

det A =

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

= (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21) – (a31a22a13 + a21a12a33 +

a11a23a32) (2)

( dấu +) (dấu -)

Vi du:

Định nghĩa: Phần bù của phần tử aij : ký hiệu Mij : là định thức nhận được từ định thức D bằng cách bỏ đi dòng i và cột j

Ký hiệu Aij = (-1)i+jMij: gọi là phần bù đại số của phần

tử aij

Ví dụ:

a A a A a

a A a A a

b.Nếu tất cả các phần tử của một dòng nào đó bằng 0 thì định thức bằng 0

c.Nếu trong định thức ta đổi chỗ 2 dòng và giữ nguyên các dòng còn lại thì định thức đổi dấu

d.Định thức bằng 0 nếu nó có 2 dòng bằng nhau.

e.Nếu nhân một dòng nào đó của định thức với số k thì định thức mới nhận được bằng định thức cũ nhân thêm với k

f.Định thức bằng 0 nếu nó có 2 dòng tỷ lệ

g.Nếu định thức của ma trận A có dạng

nn n

n

in in i

i i i

n

a a

a

c b c

b c b

a a

a A

2 2 1 1

1 12

n

in i

i

n

a a

a

b b

b

a a

a A

2 1

1 12

11

nn n

n

in i

i

n

a a

a

c c

c

a a

2 1

1 12

11

h.Nếu cộng vào 1 dòng của định thức tích 1 dòng khác với

số k bất kỳ thì định thức không đổi

Ví dụ : Tính định thức

5 4 0 0

5 0 3 0

5 0 0 2

11 1 1 1

6 1 1 1 1

5 4 0 0 0

5 0 3 0 0

5 0 0 2 0

11 1 1 1 0

5 3 3

5 2 2

5 1 1

) 1 (2)(

0

5 0

3

32 2

1

5 4

0

5 0

3

27 2

2

5 4

0 0

5 0

3 0

27 2

2 0

11 1

1 1

0

91 6

0

32 2

3.Tính định thức bằng cách biến đổi về dạng tam giác:

Xét định thức của ma trận dạng tam giác

0 0

0

22

1 12 11

j i khi a

a

n a a

a a a

AB  c j mxp với cij =ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj (i =1, 2, …, m; j

= 1, 2, …, p)

Như vậy:

Để tích AB xác định thì số cột của A phải bằng số dòng của B

Phần tử cij bằng tổng các tích tương ứng của các phần

tử nằm trên dòng i của A và cột j của B

Ví dụ :

Chú ý: Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.

2 Các tính chất cơ bản của phép nhân:

a Cho ma trận A cấp mxn, B cấp nxp, C cấp pxq Khi đó:

A(BC)=(AB)C

b Cho ma trận A cấp mxn; B, C cấp nxp; D cấp pxq Khiđó:

│AB│=│A│ │B│

Chú ý: + Tính chất g có thể mở rộng cho tích của một số

hữu hạn các ma trận vuông cùng cấp

+ A là ma trận vuông cấp n ta có thể sử dụng ký hiệu

An = A.A…A (n lần) thì │An│=│A│n

III Ma trận nghịch đảo:

1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo:

Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu tồn tại ma trận

vuông cùng cấp B sao cho AB=BA=En thì B được gọi là

ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1 Khi đó

ta nói A là ma trận khả nghịch

Như vậy: AA-1 = A-1A

Ví dụ:

2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo:

Cho A là ma trận vuông cấp n Ma trận phụ hợp của Alà

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A A

2 22

12

1 21

11

Định lý: Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả

nghịch là detA 0 Khi đó A-1 được tính theo công thức

3 1 4

3

2 1

8 2

10

3 1 2

1 2

1B A

5 Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi ma trận:

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A (cấp n) ta viết ghép thêm ma trận đơn vị cấp n vào ma trận A

1 1 1 2

1 0 1 1 -

2 1 0 1 A

0 1 0 2 5 1 1 0

0 0 1 1 1 1 1 0

0 0 0 1 2 1 0 1

1 0 0 0 1 1 1

0

0 1 0 0 1 1 1

2

0 0 1 0 1 0 1

1

0 0 0 1 2 1 0

1 4

1 4

1 1 0 0 0

2

1 0 2

1 2

1 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1 1 0

0 0 0 1 2 1 0 1

1 0 1 1 2 2 0

0

0 1 1 1 4 0

0

0

0 0 1 1 1 1

1

0

0 0 0 1 2 1

0

1

1 4

1 4

1 1 0 0 0

2

1 4

1 4

3 4

1 0 1 0 0

2

1 0 2

1 2

1 0 0 1 0

2

1 4

1 4

1 4

1 0 0 0 1

0 4

1 4

1 4

1 1 0

0

0

2

1 4

1 4

3 4

1 0 1

0

0

0 4

1 4

5 4

3 0 1

1

0

0 2

1 2

1 2

1 0 1

1 4

1 4

1 4

1 4

3 4

1 0 2

1 2

1 4

1 4

1 4 1

1

A

2 1

n j a

a a

mj

j j

Định nghĩa: Hạng của một ma trận là hạng của hệ vectơ

cột của nó

Hạng của ma trận A ký hiệu là r(A)

II Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con:

1 Khái niệm định thức con của ma trận:

Trong ma trận A, cấp mxn ta chọn s dòng đầu bất kỳ (

n

s

m

s ,  ), xoá đi tất cả các dòng và các cột còn lại (nếu có)

ta được ma trận vuông cấp s Định thức của ma trận vuông

đó được gọi là định thức con cấp s của ma trận A

Định thức con cấp s tạo thành từ các dòng có chỉ số i1 < i2 < … < is và các cột j1 < j2 < … < js được ký hiệu là j j j s

is i i

D 12

2 1

6 5 1 4

3 5 2 1

A

9 0 5 4 5 2 1

r

2 1

2

A thì Ac j1, A c j2, …, A c jr là một cơ sở của hệ vectơ cột của A.

Hệ quả 1: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma

trận

Hệ quả 2: Hạng của một ma trận bằng hạng của hệ vectơ

dòng của nó

Hệ quả 3: Định thức bằng 0 khi và chỉ khi hệ vectơ dòng

( cột ) của nó phụ thuộc tuyến

3 Định thức con cơ sở của ma trận:

Định nghĩa: Định thức con khác 0 cấp cao nhất của ma

trận A được gọi là định thức con cơ sở của ma trận đó

III Hạng của tổng và tích các ma trận:

r(A+B)  r(A) + r(B)

Định lý 2: A, B là 2 ma trận bất kỳ sao cho AB có nghĩa ta

có:

r(AB)  r(A)và r(AB)  r(B)

IV Các phương pháp tìm hạng của ma trận:

1 Phương pháp tính định thức bao quanh:

Cho D là một định thức con cấp r của ma trận A Ta gọi

thêm 1 dòng và 1 cột của A ngoài r dòng và r cột của D

cả các định thức con cấp s+1 bao quanh đều bằng 0hoặc ma trận không có ma trận con cấp s+1 thì hạngcủa A bằng s

+ Nếu trong số các định thức con cấp s+1 bao quanh D

có định thức con D 0 thì ta lại chuyển sang xet cácđịnh thức con cấp s+2 bao quanh D(nếu có)

Lặp lại quá trình này sau một số hưu hạn bước ta xácđịnh được hạng của A

1 4 3 1 0

1 2 2 1 0

1 0 1 2 3

A

0 3 1 0

2 3

12

12   

3 1 0

2 1 0

1 2 3

D

; 0 6 0 2 3

4 3 1 0

2 2 1 0

0 1 2 3

1 3 1 0

1 2 1 0

1 1 2 3

0 0

0 0

0 0

, ,

22

1 1

12 11

sn ss

n s

n s

b b

b b

b

b b

b b

(sn, b ii  0 ,i  1 ,s)

Do 22 0

12

12 s s b11b b ss 

quanh nó đều bằng 0 Vì vậy ta có thể sử dụng các phépbiến đổi sơ cấp để biến đổi một ma trận bất kỳ về dạng(4.1) Khi đó ta có thể xác định được ngay hạng của nó

2 3 3 4 11 2

1 8 9 2 4 1

0 1 9 2 4 1

1 9 7 5 2 3

2 1 21 0 3 0

3 8 21 0 3 0

1 6 34 1 10 0

0 1 9 2 4 1

2 2 13 1

13 0

2 1 21 0 3 0

1 7 0 0 0 0

1 6 34 1 10 0

0 1 9 2 4 1

1 0 7 0 0 0

3 21 8 3 0 0

1 34 6 10 1 0

0 9 1 1 2 1

1 7 0 0 0 0

1 7 0 0 0 0

3 8 21 0 3 0

1 6 34 1 10 0

0 1 9 2 4 1

+ Xác định hạng ma trận, suy ra hạng vectơ

+ Xác định hệ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính (thông qua viếc so sánh hạng với số vectơ)

+ Tìm cơ sở thông qua định thức con cơ sở của ma trận

Ví dụ: Tìm hạng và chỉ ra một cơ sở của hệ vectơ

{X1 = (2,1,0,4); X2 = (-4,-2,1,-7); X3 = (3,1,-1,4); X4 = (1,-4,3,-4); X5 = (0,2,1,5)}

Lập ma trận nhận hệ vectơ làm hệ vectơ đã cho làm

1 3 1 1 0

4 9 1 0 0

2 4 1 2 1

5 4 4 7 4

1 3 1 1 0

2 4 1 2 1

0 1 3 4 2

4 9 1 0 0

1 3 1 1 0

2 4 1 2 1

4 9 1 0 0

4 9 1 0 0

1 3 1 1 0

2 4 1 2 1

2 4 1

0 1 2

X X X

1 1 0

2 2 1

0 4 2

X X X



Chương 2 KHÔNG GIAN VECTƠ

§1: VECTƠ n CHIỀU VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ 1.Khái niệm vectơ n chiều:

x x

.2

a Phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số:

Với mọi vectơ X = (x1, x2,…, xn); Y = (y1, y2, …, yn) và

số thực k ta định nghĩa phép cộng vectơ và phép nhân

vectơ với số như sau:

X + Y = (x1+y1, x2+y2, …, xn+yn)

kX = (kx1, kx2, …, kxn)

Vectơ n chiều 0n = 0 = (0, 0, …, 0) gọi là vectơ không.Vectơ –X = (-1)X = (-x1, -x2, …, -xn) gọi là vectơ đối củavectơ X

b Phép trừ vectơ:

Với mọi vectơ X = (x1, x2, …, xn); Y = (y1, y2, …, yn), hiệu của hai vectơ X và Y được định nghĩa:

X – Y = X + (-Y) = (x1 – y1, x2 – y2, …, xn – yn)

3 Các tínhchất của phép toán vectơ:

Định lý 1: Với mọi vectơ n chiều X, Y, Z và mọi số thực

4.Không gian vectơ số học n chiều Không gian con:

a.Không gian vectơ số học n chiều:

Định nghĩa: Tập tất cả các vectơ n chiều cùng với phép

cộng vectơ và phép nhân vectơ với số được gọi là không gian vectơ số học n chiều, gọi tắt là không gian Rn hay Rn

b Không gian vectơ con:

Định nghĩa: Tập con L  của không gian vectơ Rn được gọi là không gian vectơ con của Rn nếu thoả mãn 2 điều kiện:

(1) X+YL,  X, YL ( L kín đối phépcộng vectơ)

(2) kXL,  XL và  số thực k ( L kín đối với phép nhân vectơ với số)

Từ định nghĩa ta suy ra: + Mọi không gian con L đều chứavectơ 0

3 3 2

1 , , ) / (x x x R x x không phải là không gian con của R3 Thật vậy, ta có:

X = (1, 1, 0); Y = (-1, 1, 0)  L nhưng X + Y = (0, 2,

5 Tích vô hướng của hai vectơ Không gian Euclide:

a Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ n chiều X =

(x1, x2, …, xn); Y = ( y1, y2, …, yn) xi, yi là một số thực, kýhiệu XY ( hoặc (X,Y); <X,Y> ) được xác định:

XY = x1y1 + x2y2 + … + xnyn

Tích vô hướng theo định nghĩa trên đây thoả mãn các tính chất: vectơ n chiều X, Y, Z và mọi số k ta có

XY = YX

k(XY) = (kX)Y

X(Y+Z) = XY + XZ

XX0, XX = 0 X = 0n

b.Khái niệm không gian Euclide:

Định nghĩa: Không gian Euclide n chiều là không gian

vectơ n chiều, trong đó có xác định phép nhân vô hướngtheo định nghĩa trên

Định lý: Với X và Y là hai vectơ n chiều ta luôn có

│XY│║X║ ║Y║ (2.1)

Bất đẳng thức (2.1) được gọi là bất đẳng thức Côsi

Định nghĩa: Góc giữa hai vectơ X, Y  Rn (X, Y 0n) là

Y

XY Cos

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

I.Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính: 1.Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính:

Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số có dạng tổng quát:

mn m

m

n n

n n

b x

a x

a x a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

0

2 2 1

1

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

n mn m

m

n n

n n

x a x

a x a

x a x

a x

a

x a x

a x

a

(1.2)

+ Nghiệm của hệ (1.1) là bộ n số thực có thứ tự ( 1, 2, , n)

mà khi thay j vào vị trí xj ta được m đẳng thức đúng

+ Hệ phương trình (1.1) cho tương ứng với 2 bảng số

m

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

m

n n

b a a

a

b a a

a

b a a

21

1 1 12

Định nghĩa: Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số

như nhau được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập

nghiệm Một phép biến đổi biến một hệ phương trình tuyếntính thành một hệ mới tương đương được gọi là một phép biến đổi tương đương.

Định nghĩa: Các phép biến đổi sơ cấp sau đối với hệ

phương trình tuyến tính được gọi là các phép biến đổi sơcấp:

+ Đổi chỗ hai phương trình của hệ

0.

+ Biến đổi một phương trình của hệ bằng cách lấy hai

vế một phương trình khác ( trong cùng hệ đó) nhân với một

số k bất kỳ rồi cộng vào hai vế phương trình đó.

Các phép biến đổi sơ cấp trên đối với hệ phương trìnhtuyến tính được thực hiện tương ứng trên ma trậ mở rộnglà:

+ Đổi chỗ hai dòng tương ứng của ma trận

+ Nhân dòng tương ứng của ma trận mở rộng với số α

+ Cộng vào một dòng của ma trận mở rộng tích của dòng khác với số k.

II Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss:

1 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác: là hệ có dạng

mm

m m

m m

b x

a

b x

a x

a

b x

a x

a x a

2 22

1 1

2 12 1

mn m

mm

n n m

m

n n m

m

b x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x a

2 2

22

1 1

1 2

12 1

11

(1.3) (m < n; aii0 ( i = 1, 2, …, m)

x1, x2, …, xm gọi là các ẩn chính; các ẩn còn lại gọi là ẩn tự do.

Gán cho các ẩn tự do các giá trị tuỳ ý xm+1 = αm+1 , …,

xn = αn Ta đưa hệ (1.3) về dạng tam giác

m m m

m mm

n n m

m m

m

n n m

m m

m

a a

b x

a

a a

b x

a x

a

a a

b x

a x

2 1

1 , 2 2

2 2

22

1 1

1 , 1 1

1 2

3.Phương pháp khử ẩn liên tiếp:

Xét hệ phương trình tuyến tính (1.1) Không làm mất tính tổng quát ta

giả sử a11 0( nếu không ta đổi chỗ các phương trình hoặc sắp lại thứ tự các ẩn)

+ Khử ẩn x1 trong các phương trình từ thứ 2 trở xuống bằngcách cộng vào 2 vế phương trình thứ i ( i = 2, 3, …, m) tích

vậy ta được hệ tương đương

2

, 2

, 2

, 2

, 22

1 1

2 12 1

mn m

n n

n n

b x a x

a

b x

a x

a

b x

a x

a x a

(1.6 )

Trong (1.6) có khả năng xuất hiện phương trình dạng: 0x1 + 0x2 + … + 0xn = b (1.7)

-Nếu b = 0 thì loại phương trình (1.7) ra khỏi hệ

-Nếu b 0 thì (1.7) vô nghiệm, do đó hệ (1.1) vô

Chú ý: Khi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bằng

phương pháp Gauss ta lưu ý:

(1) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất 1

nghiệm (0, 0,…, 0) gọi là nghiệm không hay nghiệm tầm thường Do đó có 2 khả năng xảy ra:

Hệ có nghiệm duy nhất

Hệ có vô số nghiệm

(2) Mọi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với số

phương trình nhỏ hơn số ẩn đều có vô số nghiệm.

3 3

5 3

2 2

3 5

3 3

2 4

3 2

4 3

1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

0 3

5 3 2

1 2

3 1

5 3 3

2 4 3

2 1

Các bước khử ẩn đối với hệ phương trình trên được thực hiện trên ma trận mở rộng như sau