Chương IV bất đẳng thức và bất phương trình

A.Mục tiêu : Qua bài học học sinh cần nắm vững : 1. Về kiến thức và kỹ năng : Định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức như : biến đổi tương đương , phản chứng , biến đổi hệ quả , sử dụng các bất đẳng thức cơ bản .... Đặc biệt , học sinh vận dụng được các tính chất của bất đẳng thức ( thực chất là các phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả ) , vận dụng được bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối để chứng minh được một số bất đẳng thức 2. Về tư duy : So sánh , đối chứng , chọn lọc , thay đổi từ các tính chất của đẳng thức để có các tính chất của bất đẳng thức của bất đẳng thức . Phân biệt được đâu là phép biến đổi hệ quả , đâu là phép biến đổi tương đương 3. Về thái độ : Cẩn thận , chính xác , chặt chẻ , biến đổi có cơ sở . Tạo cơ sở cho thực hiện các biến đổi bất phương trình sau này

Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

c khi bc ac

a > b 0và cd 0acbd

a > b 0và nN* a n b n

b a b

x|0 | | | |

|

a x a a

| (a > 0)

a x hoăo a x a

a ab

b a abc c

2 2 2

b a b

g/ (a + b + c)2  3(a2 + b2 + c2 ) h/ a2 + b2 + 1  ab + a + b

3 Với a, b, c > 0 :

ab b

a b

a

e

abc a

c c b b a d c

b a ab

c ca

c c

a a

c c

b b

a b c

b a b

2)(

2

(

/

8))(

)(

(/1

11/

/

2 2 2 2 2

411

h/ 4

d c b a

k/

d c b a d c

b

161

a2 1 2 m/ (a + b)(b + c)(c + a)8abc

n/  a  b2 2 2(ab) ab p/

c b a c b

91

11

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x

x 1

94

với 0 < x < 1

5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhầt của hàm số sau trên TXĐ của hàm số y = x1 5x

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

2 Bất phương trình

a) Bất phương trình tương đương

* Hai bất phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

Nếu f1(x) < g1(x) tương đương với f2(x) < g2(x) thì ta viết: f1(x)g1(x) f2(x) g2(x)

* Bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với bất phương trình

b bất phương trình vô nghiệm 0

b < 0 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

* Cho nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b ( a 0) Ta có :

x  x0 

f(x) = ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a

* Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a0) Ta có:

Nếu 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi xR

Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x

(tức là x1 < x < x2) và f(x) cùng dấu với hệ số avới mọi x nằm ngòai đọan [x1 , x2 ] (tức là x < x1 hoặc x > x2)

* Để tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn âm hoặc luôn dương ta áp dụng:

B BÀI TẬP

1 Giải bất phương trình :

3

15

214

3/4

213

22

13

/

9

5412

118

143/2

3518

)2(34

13

d x

x x

c

x x

x b

x x

83

37

54/3

82

53

5

134

32

/

01

032

053/25

22

38

747

56/4

35)32(

2

2

81558

/

x x

x x

e x

x

x x

d

x x

x c x

x

x x

b x

x

x x

)3)(

e/ f(x) =

13

24



1

3

2 2

5 Giải bất phương trình :

12

313

4/

;12

51

2/

;12

52/

;12

43

d x

x

c x

x b x

;52

73)(

/

;9

6)

(/

;96

4)32()(

/

;54)

(/

;12)

(/

;752)(

/

2

3 2

2

2

2 3 2

2

2 2

x x x x

f g x

x

x x

f

f

x

x x x x f e x

x

x x x

x

f

d

x x x f c x

x x f b x

x x

f

a

8 Giải các bất phương trình sau :

;1

134

32/

;36)2116(

/

;1

87)1

(

3

/

;1

15

4/

;2)

2(4

14/

;0)65)(

2 2

2 2

x x

x

x x f x

x x

e x

x x

d

x x

x c x

x

x b x

x x a

72(/

;08

1/

;12

3

34

2 3

i x

x x x h x

x

x x

g

9 Giải các hệ sau :

)10()8(/

;1

18

11

05656/

;20

0)9)(

12

(

/

;04

06

/

;03212

01011/

;07203

018122

/

2

2 2

2 2

2

2

2

2 2

3

2 3 2

2

x x

x x x f x

x x

x x e x

x

x x d

x x

x x c

x x

x

x x

x b x

x

x x

4/

;62634

/

;1245/

;4752/

;021/

2

2 2

x x e x

x x x d

x x c

x x

b x

x

a

13 Giải bất phương trình :

13

2/4

223/

;25

/

;23131/

;524/

;218/

2 2

x f

x x

x e x

x d

x x c

x x

b x

Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Các mệnh đề "a > b"; "a  b"; "a < b" ; "a  b" được gọi là các bất đẳng thức

+ a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức;

+ a>b và c>d (hoặc a<b và c<d) là hai bất đẳng thức cùng chiều;

+ a>b và c<d là hai bất đẳng thức trái chiều;

+ Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d" Nếu

"a>b  c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b"

"a>b  c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b"

3 Các tính chất

a,b,c,dR ta có :

1) a > b  a+c > b+c (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số)

a > b+ c  ac > b (chuyển vế) 3) a > b  ac  bc 

b a

b a

6) Với n nguyên dương: a > b  a2n+1 > b2n+1

a > b>0  a2n > b2n7) Nếu b>0 thì

a>b  a  b; a>b 3a  3b

8) a c

c b

b a

1a1

0ab neáu a

Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp chung:

a) Nếu a,b  0 thì a+b 2 ab

b) Chứng minh a2+b2-ab  0 Khi nào thì đẳng thức xảy ra

1

= (a- 2

)2

b

+ 0 a,b R4

4 3

0 2

a b

b a

b.1 Nế a  0,b  0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max  a = b

b.2 Nếu a  0,b  0 có a.b = const thì a + b là min  a = b

b.4 a 1 2

a

  , a > 0

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương , 0

a

b b

a a

b b

a a

b b

Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1)  4ab => đpcm

5 Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối

0xneáu

;  ,a bR ta có

b a b

a   , dấu '=' xảy ra  a.b  0

b a b

a   , dấu '=' xảy ra khi a.b 0

b a b

a    a.b  0

b a b

Ví dụ 2: Cho x+2y = 2 , chứng minh rằng x2+y2

54

Giải

Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y

BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Với mọi số thực x, y, z Chứng minh rằng: 2xyzx2 y2z2

2(0;1)

ab ab

Giải

Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: ab2 ab (1)

Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương 1 1, : 1 1 2 1





HD: x42 x3Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3 b) Với

y1

HD: b+c  2 bc  (b+c)2  4bc (1)

a+(b+c) 2 a b( c)  1 4a(b+c) (2) lấy (1)x(2) ta được đpcm

d) Cho a, b, c, d  0 Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1)  32abcd

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1

e) Cho a,b,c >0 CMR : (1 )(1 )(1 )8

a

c c

b b a

111

l) Cho a,b,c > 0 CMR :

4 2

2

a bc

ab c

d) (a+b+c)2  3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c

e) a2b+ab2 a3+b3 , với a, b dương Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ?

4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với3 x5 Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất? 5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau

b b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 CMR: 1 a b c 2

1 (ab +by)2  (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR Dấu bằng xảy ra khi nào?

b >

a + c

b + c c) 1 < a

a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a

c) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 e) 2abc  a2 + b2c2 f) (a + b)2 ≥ 4ab

2 + b2

2 o) a

4 + b

2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)

v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

4/ Cho a ,b  [– 1;1] Chứng minh rằng : |a + b|  |1 + ab|

a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì x

1 + x ≥

y

1 + y b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có |a – b|

c2 + a2 ≥

c + b

c2 + b2 10/ Cho a + b + c  0 Chứng minh rằng : a

3 + b3 + c3 – 3abc

a + b + c ≥ 0 11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng :

12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 Chứng minh rằng :

a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : 1

1.2 +

12.3 +

13.4 + …+

1n(n + 1) < 1  n  N 22/ Chứng minh rằng : 1

2! +

23! +

34! + …+

n – 1n! < 1  n  N n ≥ 2 23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng :

3  a + b + c  1

abc 24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng :

2 + 1

3 + b3 ≥ ab(a + b) e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab

2 + 2

a2 + 1 ≥ 2 k) a

a2 + 2 ≥ 4 m) a

a2 +

2

a + 1 ≥ 16 3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý Chứng minh rằng:

a) a2b + 1

b ≥ 2a b) a + b + c ≤ 1

1

a +

1b

< ab < a +b

2

5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a b – 1 + b a – 1  ab

6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :

a) ab + c

b ≥ 2 ac (b  0) b) a + b + c ≥ ab + bc + ca

9/ Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :

a +

1

b + 1

c ) ≥ 9

j) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ac

k) a + b + c + 6

2 ≥ a + b + 1 + c + 2 10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng :

a) (ab + cd)(1

ac +

1

bd ) ≥ 4 b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d)

b )

n + (1 + b

a )

n ≥ 2n+1 n  N 12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng :

a) ab  1

2 + b2 ≥ 1

2 b) c)a4 + b4 ≥ 1

8 d)a

3 + b3 ≥ 1

413/*.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng : a

2 + b2

a – b ≥ 2 2 14/* Chứng minh rằng – 1

2 

(a + b)(1 – ab)(1 + a2)(1 + b2) 

1215/ a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì : b + c

bc ≥

4

b + c b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổng

a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc 16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: (1 + 1

a )(1+

1

b ) ≥ 9 17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

729 18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn 1

Chứng minh rằng abcd  1

81 19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :

a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)

c) (p – a)(p – b)(p – c)  abc

8 d) 1

20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1

24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an  [0;1] ,chứng minh rằng :

28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng :

a + b + c + d ≤

1

4  a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3

1n2

) 1 n ( n

3

1n2

n )

n 33/*.Cho x1,x2,…xn > 0 và x1 + x2 + ….+ xn = 1 Chứng minh rằng

(1 + 1

x1 )(1+ 1

x2 )…(1+ 1

xn ) ≥ (n + 1)n 34/*.Cho các số x1,x2 ,y1,y2,z1,z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22

Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2

35/*.Cho 3 số a ,b ,c  (0;1) Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai:

8 (ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên)







logba

a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc 41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : 1

c + b2c – b ≥ 4 42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1 Chứng minh rằng :

y +

y

x + 10 ≥ 0 g) (xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz(x + y + z)

2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng :

2

3 a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 x

b) Chứng minh rằng: a

2

3 + b

2 + c2 > ab + bc + ca 7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x  y Chứng minh rằng x3 – 3x  y3 – 3y + 4

.Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số :

a) y = x2 + 4

x2 b) y = x + 2 + 1

x + 2 với x > – 2 c) y = x + 1

x – 1 với x > 1 d) y = x

3 +

1

x + 2 với x > – 2 e) y = x

2 + x + 1

x với x > 0 f) y = 4

x +

9

1 – x với x  (0;1) 8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị x0D: f(x0)g(x0)

3 Điều kiện của bất phương trình

Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa

Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình 3x x 1 x2 là

3x0 và x+10

4 Bất phương trình chứa tham số

Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn

III Bất phương trình tương đương

1 Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

2 Định lý

2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ):

Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D Nếu h(x) xác định trên D thì:

f(x) > g(x)  f(x) + h(x) > g(x) + h(x)

* Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được

một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D

+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi xD thì bất phương trình:

* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau

+ Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình

+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương

+ Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu

+ Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) <g(x)  f(x) > g(x) Khi đó ta có thể bình phương 2 vế

* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

A B

A B

B A B

A B

B A B

A B

B A B B A

B A B B A

B

B A B





m m

Nếu m-1 < 0  m < 1 => bpt có nghiệm x <

1

32

m =1 bpt VN

m > 1 bpt có nghiệm x >

1

32





m m

1 5(3 1)

x x

x x

x  1 2 

2x-2 - 0 + +

x-2 - - 0 +

f(x) + 0 - // +

§3 Dấu của nhị thức bậc nhất 1 Định nghĩa: Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f(x) = ax+b (a 0) 2 Định lý : Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a x 

a b  

f(x) trái dấu a 0 cùng dấu a * Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3 Giải Đặt f(x)=0  2x+3= 0  x = 2 3  x 

2 3  

f(x) 0 +

3/ Xét dấu biểu thức được quy về tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất Phương pháp: ta xét dấu từng nhị thức bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu,sau đĩ tổng hợp dấu lại ta được dấu của biểu thức * Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x) Giải Đặt x-2=0 x= 2 5-3x= 0 3 5  x lập bảng xét dấu: x  5 3 2 

x-2 - - 0 +

53x + 0

A 0 + 0

Vậy A < 0  ) (2; ) 3 5 ; (    x ; A > 0  ;2) 3 5 (  x ; A= 0  x=2; 5/3 * Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B = 17 4 ) 3 )( 1 2 (    x x x 4/ Giải bất phương trình (cĩ ẩn ở mẫu số) quy về tích, thương các nhị thứ bậc nhất Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất đĩ Sau đĩ kết hợp với chiều củ bất phương trình ta sẽ tìm được tập nghiệm củ bất phương trình đĩ ( phần nào khơng lấy thì gạch bỏ) Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau a) 1 2 4 3    x x b) x x    2 3 1 3 4 Giải a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho 1

2

4 3







x

x

2

2 2 0 1 2

4 3

















x

x x

x

đặt 2x-2 = 0  x=1

x-2 = 0  x = 2

xét dấu biểu thức f(x)=

2

2 2





x x

x 

5 11 

3 1  2 

-5x-11 + 0 - - -

3x+1 - - 0 + +

2-x + + + 0 -

f(x) - 0 + // - // +

vậy S=(;1)(2;)

b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

x x    2 3 1 3 4  0 2 3 1 3 4      x x  (3 1)(2 ) 0 11 5      x x x Xét dấu biểu thức f(x)= ) 2 )( 1 3 ( 11 5 x x x     Đặt -5x-11 = 0  x = 5 11  2 0 2 3 1 0 1 3          x x x x

Vậy S = ;2) 3 1 ( ) 15 11 ; (   5/ Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối 1 Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x trong phương trình 2 Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình Nếu có từ hai biểu thức trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức trên cùng một bảng, sau đó căn cứ vào bảng xét dấu để giải * Chú ý 1: Các dạng cơ bản của bpt chứa trị tuyệt đối | ( ) | | ( ) | ( (x) g(x) )( f(x) g(x) ) 0 ( ) ( ) |f(x)| g(x)

( ) ( ) f(x)> g(x) |f(x) | g(x) f(x) g(x) f x g x f f x g x f x g x                     3 Ví dụ 3.1 Ví dụ 1: giải phương trình | x-1| + | 2x-4 | = 3 (1) Giải Ta xét dấu các biểu thức x-1;2x-4 x  1 2 

x-1 - 0 + +

2x-4 - - 0 +

nhìn vào bảng xét dấu ta có: * nếu x (;1) thì (1) -(x-1)-(2x-4)=3 -3x = -2  x = 3 2 (nhận) * nếu x [1;2) thì (1) x-1-(2x-4) = 3  x = 0 [1;2)(loại) * nếu x[ 2; ) thì (1) x-1+2x-4 = 3  3x=8 x = 3 8 (nhận) Vậy S =       3 8 ; 3 2