CHƯƠNG i MỆNH đề tập hợp

 Tập hợp còn được minh họa bằng một vòng kín gọi là giản đồ Ven b a  Một tập hợp có thể có một phần tử, có hiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào.. Mệnh đề:

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

1 Tập hợp:

 Tập hợp là một khái niệm toán học, thường đặt tên bởi các chữ cái in hoa Ví dụ tập hợp A là tập hợp các chữ cái a, b, c Để chỉ a là một phần tử của A, ta kí hiệu:

a  A đọc là a thuộc A

Để chỉ e không chứa trong tập A, ta kí hiệu: e  A đọc là e không thuộc A hay

e không là phần tử của A

 Các phần tử của một tập hợp thường được viết trong hai dấu ngoặc nhọn "{" và

"}", cách nhau bởi dấu ";" (nếu có phần tử là số) hoặc dấu ","

 Có hai cách viết một tập hợp:

 Liệt kê các phần tử của tập hợp:

Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 được viết: B = {0, 1, 2, 3, 4}

 Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó

Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 được viết: B={x  Nx < 4}, trong đó N là tập số tự nhiên

 Tập hợp còn được minh họa bằng một vòng kín (gọi là giản

đồ Ven)

b a

 Một tập hợp có thể có một phần tử, có hiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào

Ví dụ: C = {x}

D = {1; 2; 3; ; 100}

E = {2; 4; 6; 8; }

Tập hơp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu 

2 Tập hợp con:

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập

A gọi là tập hợp con của tập hợp B

Ví dụ: Tập hợp A = {2; 4; 6; 8} là con của tập hợp B = {1; 2;

3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

9 7 5

3 8

6 4 2

A

1

3 Các tập hợp số thường sử dụng:

N = {0; 1; 2; 3; 4; }

N* = {1; 2; 3; 4; }

Z: tập hợp số nguyên

Q: Tập hợp số hữu tỷ

R: Tập hợp số thực

CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

§1 MỆNH ĐỀ

I- MỆNH ĐỀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN:

1 Mệnh đề:

 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

 Một câu khẳng định đúng là một mệnh đề đúng

Một câu khẳng định sai là một mệnh đề sai

 Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

* Chú ý: Người ta thường dùng các chữ cái in hoa P, Q, để kí hiệu cho một mệnh

đề nào đó Ví dụ: Cho mệnh đề P:"4 là một số chẵn"

2 Mệnh đề chứa biến:

Xét câu: "n chia hết cho 3", đây chưa phải là một mệnh đề vì ta không khẳng định được tính đúng sai của nó

 Khi n = 4 ta được "4 chia hết cho 3" là một mệnh đề sai

 Khi n = 15 ta được "15 chia hết cho 3" là một mệnh đề đúng

Ta gọi P(n): "n chia hết cho 3" là một mệnh đề chứa biến

II- PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ:

Cho mệnh đề P Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và

kí hiệu P Ta có: P đúng khi P sai, P sai khi P đúng

III- MỆNH ĐỀ KÉO THEO:

Cho hai mệnh đề P và Q Mệnh đề " Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo,

kí hiệu P  Q

Mệnh đề P  Q được phát biểu là " P kéo theo Q" hay "Từ P suy ra Q" hay " Vì

P nên Q"

Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P  Q Khi đó ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí;

P là điều kiện đủ để có Q;

Q là điều kiện cần để có P

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

IV- MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG:

Mệnh đềQ  Pđược gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q

Nếu cả hai mệnh đềP  QvàQ  Pđều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương Khi đó ta kí hiệuP  Q (đọc P tương đương Q hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q hoặc P khi và chỉ khi Q)

Mệnh đềP  Q đúng khi cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại

V- KÍ HIỆU VÀ :(được sử dụng trong các mệnh đề chứa biến)

1 Mệnh đề chứa kí hiệu , :

 Kí hiệu:  (đọc là "với mọi")

 Kí hiệu:  (đọc là "có một" (tồn tại một) hay "có ít nhất một" (tồn tại ít nhất một))

 Mệnh đề:

 "Với mọi x thuộc X sao cho P(x)" kí hiệu là "x  X:P(x)"(*)

(*) đúng nếu với bất kì x 0 X ta có P(x 0 ) là mệnh đề đúng

(*) sai nếu có một x 0 X sao cho P(x 0 ) là mệnh đề sai

 "Tồn tại x thuộc X sao cho P(x)" kí hiệu là "x  X:P(x)"(**)

(**) đúng nếu có ít nhất một x 0 X ta có P(x 0 ) là mệnh đề đúng

(**) sai nếu với bất kì x 0 X sao cho P(x 0 ) là mệnh đề sai

2 Phủ định của mệnh đề chứa các kí hiệu , :

 Phủ định của mệnh đề"x  X :P(x)" là mệnh đề "x  X:P(x)"

 Phủ định của mệnh đề"x  X :P(x)" là mệnh đề "x  X:P(x)"

1 Mệnh đề

 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

 Một mệnh đề khơng thể vừa đúng, vừa sai

2 Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P

 Mệnh đề "Khơng phải P" đgl mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P

 Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng

3 Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q

 Mệnh đề "Nếu P thì Q" đgl mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P  Q

 Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P  Q

Khi đó: – P là giả thiết, Q là kết luận;

– P là điều kiện đủ để có Q;

– Q là điều kiện cần để có P

4 Mệnh đề đảo

Cho mệnh đề kéo theo PQ Mệnh đề QP đgl mệnh đề đảo của mệnh đề PQ

5 Mệnh đề tương đương

Cho hai mệnh đề P và Q

 Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P  Q  Mệnh đề P  Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P  Q và Q  P đều đúng

Chú ý: Nếu mệnh đề P  Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để

có Q

6 Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề

7 Kí hiệu  và 

 "x  X, P(x)"  "x  X, P(x)"

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x  X, P(x)" là "x  X, P(x)"

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x  X, P(x)" là "x  X, P(x)"

8 Phép chứng minh phản chứng

Giả sử ta cần chứng minh định lí: A  B

Cách 1: Ta giả thiết A đúng Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng

Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai Do

A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng

9 Bổ sung

Cho hai mệnh đề P và Q

 Mệnh đề "P và Q" đgl giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P  Q

 Mệnh đề "P hoặc Q" đgl hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P  Q

 Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề: P Q P Q   , P Q P Q  

§2 TẬP HỢP

I- KHÁI NIỆM TẬP HỢP:

1 Tập hợp và phần tử:

 Tập hợp (còn gọi là tập) là khái niệm cơ bản của Toán học

 Để chỉ a là phần tử của tập A, ta viết aA (đọc a thuộc A)

 Để chỉ b không là một phần tử của tập A, ta viết bA (b không thuộc A)

2 Cách xác định tập hợp:

 Liệt kê các phần tử của nó (viết các phần tử của nó trong hai dấu móc{ })

 Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó

 Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình

phẳng được bao quanh bởi một đường kín gọi là

biểu đồ Ven

B

3 Tập hợp rỗng:

 Tập hợp rỗng, kí hiệu là , là tập hợp không chứa phần tử nào

 Nếu A không phải là tập rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử:



II- TẬP HỢP CON:

Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B thì ta nói A là tập hợp con của B và viết A  B (đọc là A chứa trong B) A  B ta cũng viết BA (đọc B chứa

A hay B bao hàm A) Như vậy:

A  B  :x xAxB)

A không phải là một tập con của B ta viết A  B

Ta có: A  B x:xAvàx  B

A  B

B A

A  B Tính chất:

a) A  A với mọi tập hợp A

b) Nếu A  B và B  C thì A  C

B C

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

III- TẬP HỢP BẰNG NHAU:

Khi A  B và B A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết A = B

Như vậy: A = B  ( x:xA xB)

1 Tập hợp

 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa

 Cách xác định tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu mĩc { … }

+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp

 Tập rỗng: là tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu 

2 Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau

 A B      x A x B

§3 CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP

I- GIAO CỦA HAI TẬP HỢP:

Tập C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B

Kí hiệu: C = AB

 AB = {x  xA và xB}



















B x

A x B A x

B A

II- HỢP CỦA HAI TẬP HỢP:

Tập C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B Kí hiệu: C = AB

 AB = {x  xA hoặc xB}















B x

A x B A x

B A

III- HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP:

Tập C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B Kí hiệu: C = A\B

 A\ B = {x  xA và xB}

















B x

A x B A

B A

* Đặc biệt:

Khi B A thì A\B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu B

A

A

§4 CÁC TẬP HỢP SỐ

I- CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC:

1 Tập hợp các số tự nhiên N:

N = {0, 1, 2, 3, }

N* = {1, 2, 3, } = N\{0}

2 Tập hợp các số nguyên Z:

Z = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }

3 Tập hợp số hữu tỉ Q:

Q = {a,b

b

a

Z ,

 (b0)} với

b

a là phân số tối giản

Số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn

* Công thức đổi số thập phân sang số hữu tỉ: n,(a1a2 an) = n +

1 10

2 1



n n

a a a

4 Tập hợp các số thực R:

Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ

Tập hợp các số thực R gồm: các số hữu tỉ và các số vô tỉ

Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại

2 3 2

2

-

0

(-, + chỉ là kí hiệu - không phải là một số)

Ta có quan hệ: N  Z  Q  R

II- CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R:

1 Khoảng:

(a; b) = {xR, a < x < b} a ( b )

(a;  ) = {xR, a < x} (

a

(  ;b) = {xR, x < b} )

b

R = (  ;  ) Mọi số thực R có thể viết: - < x < +

2 Đoạn:

[a; b] = {xR, a  x b} [ ]

âm vô

cực

dương vô cực

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

3 Nửa khoảng:

[a; b) = {xR, a  x < b} a [ b )

(a; b] = {xR, a < x b} a ( ] b

[a;  ) = {xR, a  x} a [

b

Một số tập con của tập hợp số thực

 N*   N Z Q R

 Khoảng: ( ; ) a b x R a x b   ; ( ;a   ) x R a x  ; ( ; )  b x R x b  

 Đoạn: [ ; ] a b x R a x b   

 Nửa khoảng: [ ; ) a b x R a x b   ; ( ; ] a b x R a x b   ;

§5 SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ

I- SỐ GẦN ĐÚNG:

Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng

II- SAI SỐ TUYỆT ĐỐI:

1 Sai số tuyệt đối của một số gần đúng:

Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì a  aa được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a

2 Độ chính xác của một số gần đúng:

Nếu a  aa d thì -d  a - a d hay a - d  a  a + d Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d, và quy ước viết gọn là a = a d

* Chú ý: Sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép đo đạc

đôi khi không phản ánh đầy đủ tính chính xác của phép đo đó

III- QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG

1 Ôn tập quy tắc làm tròn số:

Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0

Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn

2 Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính độ chính xác

cho trước:

Ví dụ: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng biết:

a) a = 2841275 với độ chính xác d = 300; b) 3,1463  0,001