Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn
Trang 1§1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ:
1 Định nghĩa:
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: lim 0
n
n u hay un 0 khi n
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi n ,
nếu
nlim (vn – a) = 0 Kí hiệu:
nlim v n = a hay v n a khi n
2 Một vài giới hạn đặc biệt:
Từ định nghĩa ta suy ra các kết quả sau:
a)
nlim 1 0
n ;
nlim 1k 0
n với k nguyên dương;
b)
nlim n 0
q nếu q 1;
c) Nếu un = c (c là hằng số) thì
nlim u n =
nlim c = c
* Chú ý: Từ nay về sau thay cho
nlim u n = a, ta viết tắt là limun = a
II– ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN:
Định lí:
a) Nếu limun = a và limvn = b thì:
lim(un + v n) = a + b; lim(un – v n) = a – b;
lim(un v n) = a.b; lim
b
a v
u
n
n (nếu b0)
b) Nếu un0 với mọi n và limun = a thì a0 và lim u n a
CHƯƠNG IV GIỚI HẠN
Trang 2III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:
Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với q<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn
Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) hay S=u1+u2+u3+…+un+… Khi đó:
S =
q
u
1
1 q 1
IV– GIỚI HẠN VÔ CỰC:
1 Định nghĩa:
Ta nói dãy số (un) có giới hạn khi n , nếu un có thể lớn hơn một số
dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu: limun = hay un = khi n
Dãy số (un) được gọi là có giới hạn khi n nếu lim u n
Kí hiệu: limun = hay u n khi n
* Nhận xét: limun = lim u n
2 Một vài giới hạn đặc biệt: Ta thừa nhận các kết quả sau:
a) lim k
n với k nguyên dương b) lim n
q nếu q > 1
3 Định lí:
a) Nếu limun = a và limvn = thì lim 0
n
n
v
b) Nếu limun = a > 0, limvn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim
n
n
v
c) Nếu limun = và limvn = a > 0 thì limun v n =
Trang 3LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1 Giới hạn đặc biệt:
1
k
n
lim n 0 ( 1)
2 Định lí :
a) Nếu lim u n = a, lim v n = b thì
lim (u n + v n ) = a + b
lim (u n – v n ) = a – b
lim (u n v n ) = a.b
lim n
n
u a
v b (nếu b 0) b) Nếu u n 0, n và lim u n = a
thì a 0 và lim u n a
c) Nếu u n v n ,n và lim v n = 0
thì lim u n = 0
d) Nếu lim u n = a thì lim u n a
3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = 1
1
u q
q 1
1 Giới hạn đặc biệt:
limq n (q 1)
2 Định lí:
a) Nếu lim u n thì lim 1 0
n
u
b) Nếu lim u n = a, lim v n = thì lim n
n
u
v = 0
c) Nếu lim u n = a 0, lim v n = 0 thì lim n
n
u
v =
0 n n 0
neáu a v neáu a v
d) Nếu lim u n = +, lim v n = a thì lim(u n v n ) = 0
0
neáu a neáu a
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0
0,
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
a b a b a b; 3a3b 3a2 3ab 3b2 a b
Dùng định lí kẹp: Nếu u n v n ,n và lim v n = 0 thì lim u n = 0
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0
Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu
Trang 4§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM:
Kí hiệu: K = (a; b) hoặc K = (-; b) hoặc K = (a; +) hoặc K = (-; +)
1 Định nghĩa:
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên
K\{x0}
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn K\{x0} và xn x0, ta có f(x) L
Kí hiệu: f x L
x
( )
lim
0
hay f(x) L khi xx0
* Nhận xét:
0
limx x
x
x
x x cc
0
lim , với c là hằng số.
2 Định lí về giới hạn hữu hạn:
Định lí:
a) Giả sử
( )
lim
0
x f
x
( )
lim
0
x g
x
x M Khi đó:
f x g x L M
x
( ) ( )
lim
0
; f x g x L M
x
( ) ( )
lim
0
;
f x g x L M
x
xlim ( ) ( )
0
M
L x
g
x f
x
( )
) ( lim
0
(nếu M 0 ) b) Nếu f(x) 0 và f x L
x
( )
lim
0
, thì L 0 và f x L
x
( )
lim
0
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x x0)
3 Giới hạn một bên:
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b) Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi xx0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 x n b và xn x0,
ta có f(x n) L Kí hiệu: f x L
x
x
( )
lim
0
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0) Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, ax n x0 và xn x0,
ta có f(x n) L
Kí hiệu: f x L
x
x
( )
lim
0
Định lí: lim f(x) L khi và chỉ khi lim f(x) lim f(x) L
Trang 5II– GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC:
Định nghĩa:
a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x nếu vói dãy số (xn) bất kì, xn > a và x n , ta có
L
x
f( n)
Kí hiệu: f x L
( ) lim hay f(x) L khi x
b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-; a) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x nếu vói dãy số (xn) bất kì, xn < a và x n , ta có
L
x
f( n)
Kí hiệu: f x L
( ) lim hay f(x) L khi x
* Chú ý:
a) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
c c
x
lim và c c
x
lim ; lim 0
k
x x
c và lim 0
k
x x
c
b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi xx0 vẫn còn đúng khi x hoặc
n
x
III– GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ:
1 Giới hạn vô cực:
y = f(x) có giới hạn là khi x nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và x n , ta có f(x n)
Kí hiệu:
( )
x hay f (x) khi x
* Nhận xét:
( )
( ( ))
2 Một vài giới hạn đặc biệt:
a)
nlim k
x với k nguyên dương
b)
nlim k
x nếu k là số lẻ
c)
nlim k
x nếu k là số chẵn
Trang 6LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
3 Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích: f(x).g(x)
Nếu
( )
lim
0
x f
x
x L 0 và
( )
lim
0
x g
x
x (hoặc ) thì lim ( ) ( )
0
x g x f
x
x được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:
) ( lim
0
x f
x
0
x g
x
x lim ( ) ( )
0
x g x f
x
x
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương:
) (
) (
x g
x f
) ( lim
0
x f
x
x lim ( )
0
x g
x
x Dấu của g(x) lim (( ))
x f
x
x
L > 0
0
Nhận xét: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x
0
x , x
0
x ,
x , x -
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực
1 Giới hạn đặc biệt:
lim
;
0
lim
(c: hằng số)
1 Giới hạn đặc biệt:
lim k
x
nếu k chẵn x
nếu k lẻ
lim
x
c x
0
1 lim
x x ;
0
1 lim
x x
x x x x
Trang 72 Định lí:
a) Nếu
0
lim ( )
và
0
lim ( )
0
lim ( ) ( )
0
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
0
( ) lim
( )
x x
f x L
(nếu M 0)
b) Nếu f(x) 0 và
0
lim ( )
thì L 0 và
0
c) Nếu
0
lim ( )
thì
0
lim ( )
3 Giới hạn một bên:
0
lim ( )
2 Định lí:
Nếu
0
lim ( )
0 và
0
lim ( )
thì:
0 0
0
lim ( )
x x
x x
nếu L và g x cùng dấu
f x g x nếu L và g x trái dấu
0
0
0 lim ( ) ( )
lim lim ( ) 0 ( ) 0 ( )
lim ( ) 0 ( ) 0
x x
x x
nếu g x
f x nếu g x và L g x
g x
nếu g x và L g x
* Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: 0
0,
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định
Một số phương pháp khử dạng vơ định:
0
a) L =
0
( ) lim ( )
x x
P x
Q x
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x 0 )= Q(x 0 ) = 0 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn
b) L =
0
( ) lim ( )
x x
P x
Q x
với P(x 0 )=Q(x 0 )=0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu
c) L =
0
( ) lim ( )
x x
P x
Q x
với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn khơng đồng bậc Giả sử: P(x) = m u x( ) n v x với u x( ) m ( )0 n v x( )0 a
Ta phân tích P(x) = m u x( ) a an v x( )
: L =
( ) lim ( )
x
P x
Q x
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x – Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên
Trang 8§3 HÀM SỐ LIÊN TỤC
I– HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 K Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim ( ) ( 0)
0
x f x f
x
Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được gọi là hàm số gián đoạn tại điểm đó
II– HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG:
Định nghĩa:
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi
điểm của khoảng đó
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và lim f(x) f(a)
a x
, lim f(x) f(b)
b x
Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như (a; b], [a; +), được định nghĩa một cách tương tự
* Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên
khoảng đó
O
x y
b a
Hàm số liên tục trên (a; b)
y
O
x
Hàm số không liên tục trên (a; b)
III– MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN:
Định lí 1:
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng
Định lí 2: Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 Khi đó:
a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0;
b) Hàm số
) (
) (
x g
x f
y liên tục tại x0 nếu g(x0)0
Trang 9Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn
tại ít nhất một điểm c( b a; )sao cho f(c) = 0
f(b)
f(a)
O
x y
b a
f(b)
f(a)
O
x
y
b a
lim ( ) ( )
Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x 0 )
B2: Tính
0
lim ( )
(trong nhiều trường hợp ta cần tính
0
lim ( )
0
lim ( )
B3: So sánh
0
lim ( )
với f(x 0 ) và rút ra kết luận
2 Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đĩ
3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x 0
Hàm số y = ( )
( )
f x
g x liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) 0
6 Nếu y = f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c(a;b): f(c)=0
Nĩi cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0
cĩ ít nhất một nghiệm c (a; b)
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] Đặt m =
;
min ( )
a b f x , M =
;
max ( )
a b f x Khi đĩ với mọi T (m; M) luơn tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = T