Bài toán cực trị điện xoay chiều

file bao gồm tất cả lý thuyết, cách giải cùng các tính chất quan trọng về phần cực trị điện xoay chiều. Ngoài ra còn mở rộng về phần bài toán về máy phát điện xoay chiều, đồ thị cũng như kinh nghiệm giải nhanh

MỤC LỤC

1 Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp 4

1.1 Hiệu điện thế (U) 4

1.1.1 Giá trị R làm cho UR cực đại 4

1.1.2 Giá trị R làm cho UL, UC, ULC, Ud cực đại 4

1.1.3.a URL không đổi khi R biến thiên 5

1.1.3.b URC không đổi khi R biến thiên 5

1.1.3.c UR không đổi khi R biến thiên 5

1.2 Công suất (P) 6

1.2.1.a Có hai giá trị R1 R2 cho cùng một giá trị công suất 6

1.2.1.b Giá trị của R làm cho Pmạch cực đại 7

1.2.1.c Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R 7

1.2.2 Giá trị R làm cho PR cực đại 9

1.2.3 Giá trị R làm cho Pd cực đại 10

2 Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp 10

2.1 Hiệu điện thế (U) 10

2.1.1 Giá trị ZL để UR, UC, URC cực đại 10

2.1.2.a Giá trị ZL để UL cực đại 10

2.1.2.b Có hai giá trị L1  L2 cho cùng giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo L1 và L2 12

2.1.3 Giá trị ZL để hiệu điện thế URL cực đại 13

2.2 Công suất (P) 14

2.2.1 Có hai giá trị L1 L2 cho cùng giá trị công suất 15

2

2.2.2 Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng 15

3 Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp 16

3.1 Hiệu điện thế (U) 16

3.1.1 Giá trị ZC để UR, UL, URL cực đại 16

3.1.2.a Giá trị ZC để UC cực đại 17

3.1.2.b Có hai giá trị C1  C2 cho cùng giá trị UL và giá trị ZC để UCmax tính theo C1 và C2 18

3.1.3 Giá trị ZC để hiệu điện thế URC cực đại 18

3.2 Công suất (P) 18

3.2.1 Có hai giá trị C1 C2 cho cùng giá trị công suất 19

3.2.2 Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng 19

4 Sự thay đổi  trong mạch R-L-C mắc nối tiếp 20

4.1 Hiệu điện thế (U) 20

4.1.1 Giá trị  làm cho UR cực đại 20

4.1.2.a Giá trị  làm cho UL cực đại 20

4.1.2.b Có hai giá trị 1 ≠ 2 cho cùng giá trị UL 22

4.1.3.a Giá trị  làm cho UC cực đại 23

4.1.3.b Có hai giá trị 1 ≠ 2 cho cùng giá trị UC 24

4.2 Công suất (P) 24

4.2.1 Giá trị  làm cho Pmax, PRmax, Pdmax 24

4.2.2 Có hai giá trị 1  2 cho cùng công suất và giá trị  làm cho Pmax tính theo 1 và 2 25

4.2.3 Khảo sát sự biến thiên công suất theo  25

5 Một số bài toán khác 27

6 Cực trị trong máy điện 28

4

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐIỆN XOAY CHIỀU

(MẠCH CÓ R, L, C MẮC NỐI TIẾP)

Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công

thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều

là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn )

Bổ đề :

• Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó

Dấu bằng xảy ra khi a = b

• Hàm số bậc hai , với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

Không nói đến r là r = 0

1 Mạch chỉ có R biến thiên

1.1 Hiệu điện thế (U)

1.1.1 Giá trị R làm cho UR cực đại

Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự

1.1.2 Giá trị R làm cho UL, UC, ULC, Ud cực đại

L, C, r = const  muốn các giá trị này cực đại thì cường độ dòng điện qua mạch phải cực đại

1.1.3.a URL không đổi khi R biến thiên

Đoạn mạch RLC nối tiếp mắc theo thứ tự C , L(r=0) , R

1.1.3.b URC không đổi khi R biến thiên

Đoạn mạch RLC nối tiếp mắc theo thứ tự L(r=0), C, R

1.1.3.c UR không đổi khi R biến thiên

6

UR = const khi R biến thiên  ZL = ZC và UR = U

Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự

1.2 Công suất (P)

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : uU0cos( t u)

R là một biến trở, các giá trị R0 , L và C không đổi

Gọi R m == R + r

- Công suất tiêu thụ trên mạch là :

2 2

- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên

có hai nghiệm phân biệt R1 và R2 Theo định lý Viète (Vi-et):

Lưu ý: Công thức ở trên khác với trường hợp 2 điện áp tức thời vuông pha:

- Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra Vậy: R m Z LZ C

- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:

Hệ số công suất của đoạn mạch khi đó là:

Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất

Lưu ý: Khi Z LZ C r thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho công suất toàn mạch cực đại là R = 0

1.2.1.c Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người

ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:

- Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:

8

2 2

m m

m L C m

2 L C

U P

U P

Nhận xét đồ thị :

 Từ đồ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị của công suất

 Công suất đạt giá trị cực đại khi R Z LZ C  r 0

 Trong trường hợp R Z LZ C  r 0 thì đỉnh cực đại nằm ở phần R< 0 do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0 (r tăng dần thì trục P của đồ thị dịch chuyển dần theo chiều dương trục R)

 Nếu r = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R làm cho công suất của toàn mạch cực đại là R Z LZ C

Kết luận:

 Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy

 Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở R

nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở

- Vì r; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường

độ dòng điện qua mạch cực đại Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng Imax khi giá trị của biến trở R = 0

2 Mạch chỉ có L biến thiên

2.1 Hiệu điện thế (U)

2.1.1 Giá trị ZL để UR, UC, URC cực đại

C, R = const  muốn các giá trị này cực đại thì cường độ dòng điện qua mạch phải cực đại

 2 2

Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự =

2.1.2.a Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax

Cách 1:

và U là các hằng số không đổi Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này theo biến

số là ZL Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp Với

phương pháp dùng giản đồ Vecto bài toán này có thể giải dể hơn

và rút ra nhiều kết luận hơn

- Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta

R Z Z

Z



2 2 max

C L

2.1.3 Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRrmax

- Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :

4

02

C C

R Z Z R

- Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên ULR đạt giá trị lớn nhất

Ta thu được kết quả sau:

Khi

2 2

42

RLm

C C

U U

R Z Z



2.2 Công suất (P)

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : uU0cos( t u)

L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi

R và C không đổi

vậy thì Imax và giá trị

C

R L

U P

Khi đó Zmin = R , Cosmax = 1

- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:

0

1 2 0

L L L

2.2.2 Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng ZL

- Ta có công suất toàn mạch là:

- Đạo hàm của P theo biến số ZL ta có:

16

- Đồ thị của công suất theo ZL :

- Nhận xét đồ thị:

 Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất

U P

 2 2

L L

U U

và C có giá trị thay đổi

Z R  Z Z R  Z Z do đó ta thấy rằng bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:

Pmax khi ZC = ZL

Với hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị công suất ta có

Với giá trị C0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại

Khi đó Zmin = R, Cosmax = 1, Imax

Lưu ý: Nếu cuộn dây có r ≠ 0 thì cũng có kết quả tương tự

3.2.2 Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng

U P

20

- Đồ thị của công suất theo giá trị ZC

Không dùng giản đồ mà sử dụng đại số

Nhiều bài toán cho omega1,2 phải đưa về Zl0=Zc0=x rồi từ đó suy ra mối quan hệ giữa x với Zl1ZL2ZC1ZC2 dựa trên mối quan hệ giữa các giá trị omega để giải dễ hơn

VD: Mạch có cùng công suất với

Thì =

4.1 Hiệu điện thế (U)

UR cực đại  Imax  Zmin ZL = ZC  0 1

Z

2 2

U P

- Biến đổi biểu thức A ta thu được :

2 2

11

R A

LC R C x

LC R C L

Lm

U L U

nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho Amin trong miền xác định của x Khi đó

 rất lớn làm cho ZL rất lớn làm cho I = 0 Do đó không thể tìm giá trị  làm cho ULmax

22

Nếu điều kiện đề bài không thỏa mãn R 2 C<2L thì đồ thị có dạng:

UC

4.1.3.a Giá trị  làm cho UC cực đại

- Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị  làm cho

Cm

U L U

, từ công thức này ta thấy rằng công suất của mạch đạt

4.2.2 Có hai giá trị 1  2 cho cùng công suất và giá trị  làm cho Pmax

- Vì 1 2 nên nghiệm (1) bị loại

- Khai triển nghiệm (2) ta thu được : 1 2 1

LC

- Theo kết quả ta có : 02 1 2 1

LC

    với 0 là giá trị cộng hưởng điện

- Ta có

2 2

2 2

21

Máy phát điện xoay chiều 1 pha có điện trở trong không đáng kể, mắc vào đoạn mạch nối tiếp

RLC Rôto có tốc độ quay là n1 và n2 thì I1 = I2 Khi rôto có tốc đọ quay là n0 thì Imax

ngoài và được chia đều cho hai nhánh còn lại Khi mắc cuộn 1 vào điện áp hiệu dụng U thì ở cuộn 2 khi để hở có điện áp hiệu dụng U2 Khi mắc cuộn 2 với điện áp hiệu dụng U2 thì điện áp hiệu dụng ở cuộn 1 khi để hở là