Lý thuyết đồ thị và một số dạng toán thi olympic

tập, còn E là một đa tập với các phần tử đều thuộc tích Đề các V × V.Đa đồ thị có hướng cũng được biểu diễn trên mặt phẳng tương tự như đồ thị có hướng, trong đó các cung có cùng đỉnh đầ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NÔNG THANH LOAN

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI OLYMPIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NÔNG THANH LOAN

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI OLYMPIC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

1 Một số khái niệm, kết quả cơ bản và ứng dụng 3

1.1 Các định nghĩa cơ bản và ứng dụng 3

1.2 Hành trình, đường, chu trình, vết và mạch 16

1.3 Tô màu đồ thị và ứng dụng 24

2 Một số lớp đồ thị đặc biệt và ứng dụng 37 2.1 Cây và ứng dụng 37

2.2 Đồ thị Euler và ứng dụng 43

2.3 Đồ thị Hamilton và ứng dụng 47

2.4 Đồ thị phẳng và ứng dụng 55

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết đồ thị là một ngành toán học hiện đại, tuy có lịch sử pháttriển mới hơn một thế kỷ nhưng có ứng dụng quan trọng vào nhiềungành khoa học, kĩ thuật hiện đại: Vật lí, hoá học, sinh học, tin học,điều khiển học, vv Trên thực tế có nhiều bài toán liên quan tới mộttập các đối tượng và những mối liên hệ giữa chúng, đòi hỏi toán học phảiđặt ra một mô hình biểu diễn một cách chặt chẽ và tổng quát bằng ngônngữ kí hiệu, đó là đồ thị Trong khoảng mấy chục năm gần đây, người

ta đã quan tâm nhiều tới lý thuyết đồ thị và các ứng dụng của nó Đó là

do lý thuyết đồ thị đã chứng tỏ được là một mô hình hữu hiệu cho tínhtoán tối ưu Lý thuyết đồ thị còn là đối tượng nghiên cứu của Hình họcđại số và Đại số giao hoán Ngày nay khái niệm lý thuyết đồ thị đã xâmnhập không chỉ vào các lĩnh vực khoa học tự nhiên truyền thống nhưtoán học, vật lý học hay hoá học, mà còn vào nhiều lĩnh vực khoa học

tự nhiên và xã hội khác Các bài toán đồ thị ngày càng xuất hiện nhiềuhơn trong các kì thi Olympic Toán của các quốc gia cũng như các kì thiToán quốc tế Thông thường đây là các bài toán khó không chỉ với họcsinh Việt Nam mà cả đối với cả học sinh quốc tế nói chung Đề tài “Lýthuyết đồ thị và một số dạng toán thi Olympic” nhằm tìm hiểu một sốvấn đề về lý thuyết đồ thị và ứng dụng, đặc biệc là ứng dụng trong việcgiải một số dạng toán thi học sinh giỏi

Luận văn được viết dựa chủ yếu trên tài liệu chính để tham khảo là[6] và một số đề thi Olympic của các nước Bên cạnh việc tìm hiểuứng dụng của lý thuyết đồ thị trong toán sơ cấp thì việc tìm hiểu nhữngvấn đề cơ bản của lý thuyết đồ thị cũng là một mục đích chính của luậnvăn Luận văn là sự tổng hợp, phân tích các dạng toán, sưu tầm các ví

dụ từ nhiều nguồn tài liệu Cấu trúc luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Một số khái niệm, kết quả cơ bản và ứng dụng Chương

1 trình bày tóm tắt một số khái niệm, kết quả cơ bản và ứng dụng, cácđịnh nghĩa cơ bản và ứng dụng, hành trình, đường, chu trình, vết vàmạch, tô màu đồ thị và ứng dụng

Chương 2 Một số lớp đồ thị đặc biệt và ứng dụng Chương 2 trình

bày một số lớp đồ thị đặc biệt như cây, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton,

đồ thị phẳng và ứng dụng chủ yếu trong các bài toán Olympic

Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả nhận được sự hướng dẫn

và giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ Trần Nguyên An Tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớpCao học toán khoá 8 đã truyền thụ đến cho tác giả nhiều kiến thức vàkinh nghiệm nghiên cứu khoa học

Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đãtạo mọi điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình họctập và hoàn thành luận văn này

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016

Tác giả

Nông Thanh Loan

Lý thuyết đồ thị được bắt đầu như một lĩnh vực toán học từ nhữnglập luận nổi tiếng của Euler về bảy chiếc cầu ở K¨onigsberg trong mộtbài báo công bố vào năm 1736 Nhưng bài báo này của Euler là côngtrình duy nhất về lý thuyết đồ thị trong suốt gần một trăm năm sau đó.Khoảng giữa thế kỷ 19 người ta mới quay trở lại với các vấn đề của lýthuyết đồ thị, đặc biệt là ở nước Anh Nguyên nhân của sự quay trở lại

đó xuất phát từ những nghiên cứu về mạng điện, về các mô hình tinhthể và về các cấu trúc phân tử của các chất Sự phát triển của logichình thức đã đẩy đến việc nghiên cứu các quan hệ hai ngôi dưới dạng lýthuyết đồ thị Sau đó nhiều bài toán khác cũng đã được phát triển trênngôn ngữ lý thuyết đồ thị

đồ thị khác nhau Song tựu chung lại ta có thể xếp chúng vào các loạichính sau đây: đồ thị có hướng, đồ thị vô hướng, đa đồ thị có hướng, đa

đồ thị vô hướng

Định nghĩa 1.1.1 (Đồ thị có hướng) Một đồ thị có hướng G là một

cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V là một tập, còn E là một tập con của tích Đề các V × V.

Các phần tử của V được gọi là đỉnh, còn các phần tử của E được gọi

là các cung của đồ thị có hướng G Cụ thể hơn, nếu (a, b) ∈ E thì (a, b)

được gọi là cung của G với đỉnh đầu là a, đỉnh cuối là b và có hướng đi

e

Hình 1.1: Ví dụ một đồ thị có hướng

Ví dụ 1.1.2 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d, e, f} và

E = {(a, a), (a, b), (b, d), (d, b)(c, e), (e, a)} Khi đó G là đồ thị có hướng

được biểu diễn bằng Hình 1.1

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng Nếu

(a, b) ∈ E thì các đỉnh a và b được gọi là liên thuộc với cung (a, b) Khi

đó a và b cũng được gọi là kề nhau Hai cung bất kỳ của G được gọi là

kề nhau nếu chúng có đỉnh chung Cung dạng (a, a) với a ∈ V được gọi

là khuyên Đỉnh không liên thuộc với một cung nào được gọi là đỉnh cô

lập Số các đỉnh của G, tức là |V |, được gọi là cấp của G, còn số các

cung của G, tức là |E|, được gọi là cỡ của G.

Trước khi đưa ra định nghĩa đồ thị vô hướng, ta giới thiệu khái niệm

đa tập Một sự tụ tập các vật có bản chất tùy ý, trong đó có thể có

những vật không phân biệt được với nhau (và có thể coi như là sự lặp

lại của cùng một vật), được gọi là đa tập hợp hay ngắn gọn là đa tập.

Các vật trong đa tập cũng được gọi là các phần tử Ta cũng dùng cácphương pháp xác định tập hợp để xác định đa tập Nhưng đối với đatập, ta cần xác định số các phần tử không phân biệt được với nhau, số

lượng các phần tử của một đa tập A cũng được gọi là lực lượng của A

và được ký hiệu là |A|.

Ví dụ 1.1.4 A = {a, a, a, b, c, c} là một đa tập với |A| = 6.

Theo định nghĩa, hiển nhiên mỗi tập cũng là đa tập, nhưng ngược lại,

một đa tập có thể không là tập hợp Chẳng hạn, đa tập A ở trên không

là tập hợp

Nếu các phần tử của một đa tập A đều là phần tử của một tập B, thì ta sẽ nói rằng A là đa tập trên B Chẳng hạn, đa tập A ở trên là một đa tập trên tập B = {a, b, c}.

Định nghĩa 1.1.5 (Đồ thị vô hướng) Một đồ thị vô hướng G là một

cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V là một tập, còn E là tập với các phần

tử là các đa tập lực lượng 2 trên V

Các phần tử của V cũng được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của E được gọi là các cạnh của đồ thị có hướng G Nếu e = {a, b} là một cạnh

của G thì a và b được gọi là các đỉnh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộc với e Ta cũng thường ký hiệu cạnh {a, b} ngắn gọn là ab.

Người ta cũng thường biểu diễn đồ thị vô hướng trên mặt phẳng tương

tự như ta biểu diễn đồ thị có hướng: các đỉnh của đồ thị được biểu diễnbằng các chấm tròn, còn các cạnh thì được biểu diễn bằng một đườngcong nối các đỉnh của cạnh Điểm khác biệt ở đây là không có mũi tênchỉ hướng trên các đường cong đó.

Ví dụ 1.1.6 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d} và

E = {{a, a}, {a, b}, {b, d}, {b, c}, {c, d}}.

Khi đó G là đồ thị vô hướng được biểu diễn bằng Hình 1.2.

Đồ thị có hướng được định nghĩa ở trên cũng thường được gọi là đơn

đồ thị có hướng Lý do là vì với hai đỉnh a và b bất kỳ tồn tại duy nhấtmột cung với đỉnh đầu là a và đỉnh cuối là b Với lý do tương tự, đồ thị

vô hướng được định nghĩa ở trên cũng thường được gọi là đơn đồ thị

vô hướng Tuy nhiên, trong một số ứng dụng ta cần có nhiều cung vớicùng đỉnh đầu và đỉnh cuối hay cần có nhiều cạnh cùng liên thuộc vớihai đỉnh đã cho Vì vậy, người ta đưa ra khái niệm đa đồ thị có hướng

và đa đồ thị vô hướng

Định nghĩa 1.1.7 (Đa đồ thị có hướng và đa đồ thị vô hướng) Một

đa đồ thị có hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V là một

tập, còn E là một đa tập với các phần tử đều thuộc tích Đề các V × V.

Đa đồ thị có hướng cũng được biểu diễn trên mặt phẳng tương tự như

đồ thị có hướng, trong đó các cung có cùng đỉnh đầu và đỉnh cuối phải

được biểu diễn bằng các đường cong khác nhau Tương tự một đa đồ

thị vô hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E), ở đây V là một tập,

còn E là một đa tập với các phần tử đều là đa tập lực lượng 2 trên V

Trong biểu diễn trên mặt phẳng của đa đồ thị vô hướng, các cạnh khácnhau nhưng có các đỉnh đầu mút như nhau phải được biểu diễn bằngcác đường cong khác nhau

Hình 1.4: Ví dụ một đa đồ thị vô hướng

Ví dụ 1.1.8 Cho G1 = (V, E1) với V = {a, b, c, d, e, f} và

E1 = {(a, c), (a, c), (c, a), (d, c)(a, d), (d, a), (b, a), (d, b), (d, b)} là một đa

đồ thị có hướng, còn cặp G2 = (V, E2) với V = {a, b, c, d} và

E2 = {{a, d}, {a, d}, {d, a}, {c, d}, {a, c}, {c, a}, {b, a}, {c, b}, {c, b}} là một

đa đồ thị vô hướng G1 và G2 được biểu diễn trên mặt phẳng tương ứngnhư trên Hình 1.3 và Hình 1.4

Đồ thị G ′ = (V ′ , E ′ ) được gọi là đồ thị con của đồ thị G = (V, E) nếu

V ′ ⊆ V và E ′ ⊆ E Đồ thị con G ′ = (V ′ , E ′ ) của đồ thị G = (V, E) được

gọi là đồ thị con bao trùm của G nếu V ′ = V Nếu E ′ chứa tất cả các

cung hay cạnh của G, mà cả hai đỉnh liên thuộc với nó đều thuộc V ′,

thì G ′ = (V ′ , E ′ ) được gọi là đồ thị con của G = (V, E) cảm sinh bởi tập đỉnh V ′ hay cũng được gọi là đồ thị con cảm sinh bởi G = (V, E) trên tập đỉnh V ′ Khi đó G ′ cũng được ký hiệu là G ′ = G[V ′]

Ta thường phải xây dựng các đồ thị mới từ các đồ thị đã cho bằng

cách xóa hay thêm một số đỉnh hoặc cạnh Nếu W ⊆ V , thì G − W =

G [V \ W ], tức là đồ thị con của G nhận được từ G bằng cách xóa đi

cách đỉnh thuộc W và mọi cung (hay cạnh) liên thuộc với các đỉnh trong

W Tương tự, nếu E ′ ⊆ E thì G − E ′ = (V, E \ E ′ ) Nếu W = {w} và

E ′ = {(x, y)} (hay E ′ = {x, y} ) thì ký hiệu ở trên được đơn giản viết

thành (G −w) và G−(x, y) (hay (G−xy) ) Tương tự, nếu x và y không

kề nhau trong G thì G + (x, y) (hay G + xy ) là đồ thị nhận được từ G bằng cách nối x với y bằng cung (x, y) (tương ứng, bằng cạnh xy) Nếu

G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là hai đồ thị đã cho, thì hợp của hai đồ

thị này, ký hiệu là G1∪ G2, là đồ thị với tập đỉnh là V1∪ V2 và tập cung

(hay cạnh) E1 ∪ E2 Nếu cả hai đồ thị G1 và G2 là đồ thị vô hướng, thì

kết nối của hai đồ thị G1 và G2, ký hiệu là G1+ G2, là đồ thị nhận được

từ G1 ∪ G2 bằng cách thêm vào tất cả các cạnh dạng xy với x ̸= y và

x ∈ V1, y ∈ V2

Hiển nhiên là nếu một đồ thị vô hướng không có khuyên có cấp bằng

n thì cỡ m của nó thỏa mãn 0 ≤ m ≤ (n

2

)

Đồ thị vô hướng cấp n và cỡ

m = 0 được gọi là n-đồ thị rỗng hay n-đồ thị hoàn toàn rời rạc và được

kí hiệu là O n hay E n Còn đồ thị vô hướng không có khuyên cấp n và cỡ

m = (n

2

)

được gọi là n-đồ thị đầy đủ và thường được ký hiệu là K n

Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng không có khuyên với |V | = n.

Ta định nghĩa đồ thị bù của G, ký hiệu là G , là đồ thị vô hướng với tập đỉnh cũng là V , còn tập cạnh là E(K n)\E.

Lớp đồ thị đặc biệt sau đây gọi là đồ thị m-phần cũng thường được chú ý Một đồ thị vô hướng không có khuyên G = (V, E) được gọi là đồ thị m-phần nếu ta có thể phân hoạch V thành dạng V = V1∪V2∪ ∪V m

với V i ̸= ∅, i = 1, 2, , m sao cho các đỉnh trong cùng V i , i = 1, 2, , m,

là không kề nhau Nếu G là đồ thị m-phần và tồn tại cạnh nối một đỉnh bất kỳ của V i với một đỉnh bất kỳ của V j cho mọi i ̸= j thì G được gọi

là m-phần đầy đủ Đồ thị 2-phần đầy đủ, trong đó các phần V1 và V2 có

Định nghĩa 1.1.9 Ta định nghĩa bậc của đỉnh v trong đồ thị vô hướng

G, ký hiệu là deg G (v) hay ngắn gọn là deg(v) nếu như G được hiểu ngầm,

và gọi chúng tương ứng là bậc nhỏ nhất và bậc lớn nhất của các đỉnh

của G Nếu δ(G) = ∆(G) = k, thì mọi đỉnh của G đều có bậc là k và G được gọi là đồ thị chính qui bậc k hay ngắn gọn là k-chính qui Một đồ thị vô hướng được gọi là chính qui nếu nó là k-chính qui với một k nào đấy Đồ thị vô hướng k-chính qui cũng được gọi là đồ thị bậc k.

Có những đồ thị khác nhau nhưng khi đổi tên các đỉnh của các đồthị đó thì chúng lại có thể trùng nhau Những đồ thị như thế đượcđọi là đẳng cấu và trong lý thuyết đồ thị người ta thường đồng nhất

chúng Cụ thể hơn, đồ thị có hướng (tương ứng, vô hướng) G = (V, E)

và G ′ = (V ′ , E ′) được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại song ánh

φ : V → V ′ sao cho (a, b) ∈ E (tương ứng, {a, b} ∈ E) khi và chi khi

(φ(a), φ(b)) ∈ E (tương ứng, {φ(a), φ(b)} ∈ E) Song ánh φ như trên

được gọi là đẳng cấu của G và G ′ Hai đồ thị đẳng cấu với nhau G và

e f

Hình 1.5: Ví dụ hai đồ thị vô hướng đẳng cấu

Ví dụ 1.1.10 Giả sử G = (V, E) và G ′ = (V ′ , E ′) là các đồ thị vô hướng

trong Hình 1.5 Khi đó G ∼ = G ′ và ánh xạ φ : V → V ′ với

Chứng minh Mỗi x ∈ N(v) ta tương ứng với e = {v, x} ∈ E Dễ thấy

rằng tương ứng này là song ánh giữa N (v) và E(v) = {{v, x} ∈ E|v ̸= x}.

Vì mỗi cạnh {v, x} ∈ E với v ̸= x có hai đỉnh liên thuộc với nó là v

và x, nên trong tổng ở vế phải mỗi {v, x} ∈ E với v ̸= x đã được tính

đúng hai lần: một lần trong E v và một lần trong E x Do đó,

Mặt khác, ta có E2 = E \ E1 là tập tất cả khuyên của G Ký hiệu

V1 = {v ∈ V |{v, v} /∈ E}, V2 = {v ∈ V |{v, v} ∈ E} Khi đó, vì với mỗi

đỉnh v ∈ V2, ta có đúng một khuyên {v, v} ∈ E, nên |V2| = |E2| Vì vậy,

Ta có thể sử dụng khái niệm bậc của đỉnh (định nghĩa 1.1.9) và một

số kết quả trên của lý thuyết đồ thị để giải một số bài toán ở phổ thông

Ta thường sử dụng một số kết quả sau:

(i) Trong mọi đồ thị G, tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn, bằng hai lần tổng tất cả các cạnh của G (Xem Định lý 1.1.11) (ii) Trong mọi đồ thị có n đỉnh (n ≥ 2) không có khuyên, bao giờ

cũng có ít nhất hai đỉnh cùng bậc

(iii) Nếu một đồ thị G với n đỉnh (n > 2) có đúng hai đỉnh cùng bậc thì G phải có đúng một đỉnh bậc 0 hoặc đúng một đỉnh bậc n − 1.

Bài toán sau là trường hợp cụ thể của (ii)

Bài toán 1.1.12 Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, mỗi đội phải đấu

một trận với các đội khác Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng cóhai đội đã đấu được một số trận như nhau

Giải Ta chuyển bài toán về đồ thị: Cho tương ứng mỗi đội bóng với một

đỉnh của đồ thị; khi hai đội đã đấu với nhau thì ta nối hai đỉnh tươngứng bằng một cạnh; bậc của mỗi đỉnh bằng số trận mà đội tương ứng

đã thi đấu Ta phải giải bài toán sau:

Cho đồ thị với 10 đỉnh Chứng minh rằng bao giờ cũng có hai đỉnh cùng bậc.

Thật vậy, trong một đồ thị có 10 đỉnh, không thể có đồng thời một

đỉnh (A chẳng hạn) bậc 0 và một đỉnh (B chẳng hạn) bậc 9 Bởi vì nếu

B có bậc 9 thì B là đầu mút của 9 cạnh nối B với 9 đỉnh còn lại, trong

đó có A, do đó A không thể có bậc 0; ngược lại, nếu A có bậc 0 thì B

nhiều lắm cũng chỉ có bậc 8 Có 10 đỉnh, mà mỗi đỉnh chỉ có thể có mộttrong 9 bậc (từ 0 đến 8, hoặc từ 1 đến 9), vì vậy theo nguyên lý Dirichletphải có ít nhất hai đỉnh có cùng bậc

Bài toán sau là trường hợp cụ thể của (iii)

Bài toán 1.1.13 Có 10 đội bóng thi đấu với nhau, mỗi đội phải đấu

một trận với các đội khác Có một lúc, người ta nhận thấy có đúng haiđội (*) đã đấu một số trận như nhau Chứng minh rằng lúc đó hoặcđúng một đội chưa thi đấu trận nào, hoặc đúng một đội đã thi đấu vớitất cả đội khác

Giải Ta chuyển bài toán về đồ thị:

Cho đồ thị G có 10 đỉnh Chứng minh rằng nếu G có đúng hai đỉnh cùng bậc thì G phải có đúng một đỉnh bậc 0 hoặc đúng một đỉnh bậc 9.

Trước hết, ta chứng minh rằng nếu G có đúng hai đỉnh cùng bậc thì bậc đó không thể là 0 mà cũng không thể là 9 Thực vậy, nếu G có đúng

hai đỉnh cùng bậc và bậc này là 0 (các đỉnh khác có bậc đôi một khác

nhau) thì khi loại bỏ hai đỉnh cô lập này đi, ta được một đồ thị G ′ với 8đỉnh có bậc đôi một khác nhau, điều này là vô lý với bài toán trên Còn

nếu G có đúng hai đỉnh cùng bậc và bậc này là 9 thì đồ thị bù ¯ G của G

có hai đỉnh cùng bậc 0 và các đỉnh khác có bậc đôi một khác nhau, vô

lý với lập luận ở trên

Như vậy, bài toán đã được chứng minh

Sau đây là bài toán ứng dụng khái niệm đồ thị có hướng đã trình bày

ở phần 1.1

Bài toán 1.1.14 Trên tập hợp S, cho quan hệ → giữa các cặp phần tử

của S với các tính chất sau:

1) Với mọi phần tử khác nhau a, b ∈ S, có đúng một quan hệ a → b hoặc

b → a;

2) Với mọi bộ ba phần tử khác nhau a, b, c ∈ S, nếu có a → b và b → c

thì cũng có c → a.

Hỏi tập hợp S có thể chứa nhiều nhất là bao nhiêu phần tử?

Giải Ta vẽ đồ thị với đỉnh là các phần tử của S.

và xét ba đỉnh a, b, d thì ta phải có b → d; nhưng nếu xét ba đỉnh b, c, d

thì ta phải có d → b, điều đó mâu thuẫn với giả thiết là có một và chỉ

một trong hai quan hệ b → d hoặc d → b.

(3) Mỗi phần tử của B đều thuộc ít nhất hai tập con A i

Hỏi với giá trị nào của n thì chúng ta có thể đánh dấu mọi phần tử của B bởi các con số 0 và 1 sao cho A i có đúng n phần tử được đánh

Xây dựng đồ thị đầy đủ K 2n+1 , trong đó mọi đỉnh v i đại diện cho

một tập hợp A i và mọi cạnh (v i , v j ) = e ij(1 ≤ i, j ≤ 2n + 1, i ̸= j) đại

diện cho phần tử chung của A i , A j Vì thế câu hỏi có thể được thay đổi

thành: Tính chất gì của n thoả mãn điều đó bằng cách gán các cạnh của K 2n+1 là 0 hoặc 1, đúng n cạnh của 2n cạnh bất kỳ đến đỉnh v i

được đánh số 0 ?

K 2n+1 có n(2n + 1) cạnh Nếu yêu cầu của việc đánh số có thể làm

được, thì có 12n(2n + 1) cạnh được đánh số 0 Vì thế n phải là số chẵn.

Ngược lại, nếu n = 2m là chẵn, chúng ta gán cạnh (v i , v i −m),

Bài toán 1.1.16 (China Mathematical Competition, 1986) Có n người,

hai người bất kỳ trong số đó có một cuộc trò chuyện bằng điện thoại

với nhau ít nhất một lần Bất kỳ n − 2 người trong số đó có cuộc nói

chuyện bằng điện thoại 3m lần, trong đó m là một số tự nhiên Hãy tìm n.

Giải Ta có n ≥ 5 Ký hiệu n người bởi n đỉnh A1, A2, , A n Nếu

A i , A j có một cuộc trò chuyện bằng điện thoại, thì có một cạnh (A i , A j)

Như vậy, có một cạnh nối 2 đỉnh trong n đỉnh Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử rằng đó là cạnh (A1, A2)

Giả sử không có cạnh nối đỉnh A1 và A3 Xem xét n − 2 đỉnh

A1, A4, A5, , A n ; A2, A4, A5, , A n và A3, A4, A5, , A n Chúng

ta biết số cạnh nối từ các đỉnh A1, A2, A3 bất kỳ đến tất cả các đỉnh

A4, A5, , A n là bằng nhau và chúng ta ký hiệu là k.

Thêm đỉnh A2 vào tập hợp A1, A4, A5, , A n , thì có S = 3 m +k +1

cạnh nối n − 1 đỉnh Lấy bất kì đỉnh nào từ n − 1 đỉnh, số cạnh nối

n −2 đỉnh còn lại luôn là 3 m Vì thế có k + 1 cạnh nối mỗi đỉnh và n −2

với n = 3 Mâu thuẫn Như vậy có một cạnh nối A1, A3

Tương tự, cũng có một cạnh nối A2 và A3 Ngoài ra, phải có các

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng Một

hành trình (đường đi) có hướng trong G là một dãy v0e1v1e2v2 e n v n

sao cho với mọi i = 0, 1, , n, v i ∈ V , còn với mọi i = 1, 2, , n, e i ∈ E

và e i = (v i −1 , v i ) Khi đó n được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh

đầu, còn v n được gọi là đỉnh cuối của hành trình có hướng trên Tương

tự, một hành trình vô hướng trong G là một dãy v0e1v1e2v2 e n v n sao

cho với mọi i = 0, 1, , n, v i ∈ V , còn với mọi i = 1, 2, , n, e i ∈ E và

hoặc e i = (v i −1 , v i ) hoặc e i = (v i , v i −1 ) Khi đó n cũng được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v n được gọi là đỉnh cuối củahành trình vô hướng trên

Một hành trình (có hướng, vô hướng) được gọi là khép kín (chu trình)nếu đỉnh đầu và đỉnh cuối của nó trùng nhau

Hình 1.7: Dùng để minh hoạ cho hành trình trong đồ thị

Ví dụ 1.2.2 Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng như ở Hình 1.7 Khi

đó:

1 v1e1v2e9v6e6v5e7v2e2v3 là một hành trình có hướng với đỉnh đầu là

v1, đỉnh cuối là v3 và độ dài bằng 5

2 v1e1v2e7v5e4v4e3v3e2v2e7v5e6v6 là một hành trình vô hướng với đỉnh

đầu là v1, đỉnh cuối là v6 và độ dài bằng 7

3 v2e9v6e6v5e7v2 là một hành trình có hướng khép kín

4 v2e7v5e5v4e3v3e2v2 là một hành trình vô hướng khép kín

Trong trường hợp hành trình có hướng, mỗi cung e i đều có đỉnh đầu

là đỉnh đứng trước và đỉnh cuối là đỉnh đứng sau e i trong dãy, tức là nó

được xác định bởi chính hai đỉnh đó Vì vậy người ta thường đơn giản

gọi dãy các đỉnh v0v1v1v2 v n của G là hành trình có hướng trong G

nếu với mọi i = 0, 1, , n − 1, (v i , v i+1) là một cung của G Tình huống

có hơi khác với trường hợp hành trình vô hướng Nếu trong G giữa hai

đỉnh v i và v j có cả hai cung là e1 = (v i , v j ) và e2 = (v j , v i) thì hai dãy

con v i e1v j và v i e2v j là hai đoạn khác nhau trong hành trình Vì thế, cung

giữa v i và v j cần được chỉ ra cụ thể Tuy nhiên nếu trong G chỉ có một

cung giữa v i và v j ( hoặc là (v i , v j ) hoặc là (v j , v i) nhưng không đồng thời

cả hai), thì cung giữa hai đỉnh đó cũng được xác định duy nhất trong G

bởi v i và v j Do đó để đơn giản ta cũng thay đoạn v i e1v j với e1 = (v i , v j)

hay v i e2v j với e2 = (v j , v i ) của hành trình bằng v i , v j

Định nghĩa 1.2.3 Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng),

trong đó các đỉnh đều khác nhau được gọi là một đường (hay hành trình

sơ cấp) có hướng (tương ứng, vô hướng) Một hành trình có hướng (tương

ứng, vô hướng), trong đó các cung đều khác nhau được gọi là một vết

có hướng (tương ứng, vô hướng) Một hành trình có hướng (tương ứng,

vô hướng) khép kín, mà khi xóa đỉnh cuối thì trở thành một đường có

hướng (tương ứng, vô hướng), được gọi là một chu trình có hướng (tương

ứng, vô hướng) Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng) khép

kín, trong đó các cung đều khác nhau, được gọi là một mạch (hay hành

trình đơn giản) có hướng (tương ứng, vô hướng).

Trên đây ta đã đưa ra các định nghĩa của hành trình, đường, chutrình, vết và mạch (có hướng, vô hướng) trong đồ thị có hướng Cáckhái niệm tương tự cũng có thể định nghĩa trong đồ thị vô hướng Tuynhiên, ta nhận xét thấy rằng trong đồ thị vô hướng giữa hai đỉnh bất kỳchỉ có nhiều nhất là một cạnh Vì thế, các khái niệm trên có thể địnhnghĩa trong đồ thị vô hướng đơn giản như sau

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng Một hành

trình (vô hướng) trong G là một dãy các đỉnh v0v1v2 v n sao cho với mọi

i = 0, 1, , n − 1, {v i , v i+1 } là một cạnh của G Các cạnh {v i , v i+1 },

i = 0, 1, , n − 1, cũng được gọi là các cạnh của hành trình v0v1v2 v n

Khi đó n được gọi là độ dài, v0 được gọi là đỉnh đầu, còn v n được gọi làđỉnh cuối của hành trình trên Một hành trình được gọi là khép kín nếuđỉnh đầu và đỉnh cuối của nó trùng nhau Một hành trình được gọi làđường nếu các đỉnh của hành trình đó đều khác nhau Một hành trìnhđược gọi là vết nếu các cạnh của hành trình đó đều khác nhau Mộthành trình khép kín được gọi là chu trình, nếu nó có độ dài ít nhất là 3

và khi xóa đi đỉnh cuối thì trở thành đường Một hành trình khép kínđược gọi là mạch nếu mọi cạnh của nó đều khác nhau

a

b

c d

Định nghĩa 1.2.6 (Tính liên thông) Một đồ thị (có hướng, vô hướng)

G = (V, E) được gọi là liên thông yếu hay cũng gọi tắt là liên thông, nếu

với hai đỉnh v i và v j khác nhau bất kỳ của G tồn tại một hành trình vô hướng trong G với đỉnh đầu là v i và đỉnh cuối là v j Trong trường hợpngược lại, đồ thị được gọi là không liên thông

G2

G = (V, E)

Hình 1.9: Đồ thị G với hai thành phần liên thông là G1 và G2

Đồ thị con liên thông G ′ = (V ′ , E ′) của một đồ thị (có hướng, vô

hướng) G = (V, E) được gọi là một thành phần liên thông của G, nếu

G ′ = G[V ′ ] và với mọi V ′′ ⊆ V , mà thực sự chứa V ′ , đồ thị G[V ′′] là

không liên thông

Ví dụ 1.2.7 Đồ thị có hướng G = (V, E) cho trong Hình 1.9 là đồ thị

không liên thông Nó có hai thành phần liên thông là G1 và G2

Đối với đồ thị có hướng ngoài kiểu liên thông định nghĩa ở trên người

ta còn định nghĩa kiểu liên thông một chiều và kiểu liên thông mạnhnhư sau

Định nghĩa 1.2.8 Đồ thị có hướng G = (V, E) được gọi là liên thông

một chiều, nếu với hai đỉnh khác nhau bất kỳ v i và v j, tồn tại một hành

trình có hướng với đỉnh đầu là v i và đỉnh cuối là v j hoặc một hành trình

có hướng với đỉnh đầu là v j và đỉnh cuối là v i (hoặc cả hai hành trìnhđó).

Định nghĩa 1.2.9 Đồ thị có hướng G = (V, E) được gọi là liên thông

mạnh, nếu với hai đỉnh bất kỳ khác nhau v i và v j, luôn tồn tại cả hành

trình có hướng với đỉnh đầu là v i và đỉnh cuối là v j và hành trình có

hướng với đỉnh đầu là v j và đỉnh cuối là v i

Bài toán 1.2.10 Trong phòng có n người (n ≥ 3), mỗi người quen với

ít nhất hai người khác Chứng minh rằng có thể chọn ra một số người

để xếp ngồi quanh một bàn tròn sao cho mỗi người đều ngồi giữa haingười quen

Giải Ta cho tương ứng mỗi người với một đỉnh của đồ thị "Hai người

quen nhau" ứng với hai đỉnh được nối bởi một cạnh (hai đỉnh kề nhau);

"mỗi người quen với ít nhất hai người khác" ứng với mỗi đỉnh có bậc

≥ 2; "một số người ngồi quanh bàn tròn sao cho mỗi người ngồi giữa hai

người quen" ứng với mỗi dãy đỉnh nối tiếp lập thành một chu trình sơcấp Ta phải chứng minh bài toán đồ thị sau đây:

Cho đồ thị G với n đỉnh (n ≥ 3), bậc của mỗi đỉnh đều ≥ 2 Chứng minh rằng trong G bao giờ cũng có một chu trình sơ cấp.

Xét tất cả các đường đi sơ cấp có thể có trong G Vì số đỉnh của G

là hữu hạn, nên số đường đi này là hữu hạn và trong đó có đường đi p

có độ dài lớn nhất, ta gọi đó là AB N P

Vì A có bậc ≥ 2 nên ngoài cạnh AB, còn có ít nhất một cạnh nữa

có đầu mút tại A, giả sử đó là AY Nếu Y không trùng với bất cứ đỉnh nào của đường đi p thì ta có đường đi Y AB N P có độ dài lớn hơn độ dài của p (vì có thêm cạnh Y A), trái với giả thiết đường đi p có độ dài lớn nhất Do đó Y phải trùng với một đỉnh nào đó của p, giả sử Y ≡ F

Khi đó ta có chu trình AB EF A Bài toán được chứng minh.

Bài toán 1.2.11 Một lớp học có 40 học sinh về nghỉ hè Biết rằng mỗi

em có địa chỉ của ít nhất 20 bạn, và nếu A có địa chỉ của B thì B cũng

có địa chỉ của A, chứng minh rằng bất cứ hai em nào trong lớp cũng có

thể liên lạc với nhau (biết địa chỉ)

Giải Ta cho tương ứng mỗi bạn với một đỉnh của đồ thị; "hai bạn có

địa chỉ của nhau" tức là 2 đỉnh tương ứng được nối bởi một cạnh; "mỗi

em có địa chỉ của ít nhất 20 bạn" tức là mỗi đỉnh có bậc ít nhất là 20.Khi đó, hai bạn có thể liên lạc với nhau nếu tồn tại một đường đi nốihai đỉnh tương ứng Ta có bài toán về đồ thị như sau:

Một đồ thị 40 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc ít nhất bằng 20, là một đồ thị liên thông.

nhau) nên mọi đỉnh của G ′ có bậc không vượt quá 19, trái với giả thiết

Vậy đồ thị G phải liên thông.

Bài toán 1.2.12 (International Mathematical Competition, 1991) Cho

G là một đồ thị liên thông gồm k cạnh Chứng minh rằng có thể đánh

số các cạnh bằng tất cả các số 1, 2, , k sao cho tại mỗi đỉnh mà ở đó

có ít nhất hai cạnh của đồ thị, ta đều có ước chung lớn nhất của các sốnguyên viết trên các cạnh của đỉnh này bằng 1

Giải Xuất phát từ một đỉnh A0 bất kỳ của G, ta vạch một đường đi đơn giản p0 (đường đi không qua cạnh nào 2 lần) và đánh số các cạnh

của nó với các số liên tiếp 1, 2, , m (m ≤ k ), cho đến khi nào không đi

được nữa (đến một đỉnh mà mọi cạnh qua đó đã được đánh số rồi) Nếu

còn cạnh của G chưa được đánh số thì một trong các cạnh đó phải có

đầu mút ở một đỉnh A1 thuộc p0 (nếu trái lại thì G không liên thông).

Từ A1 ta lại vạch một đường đi đơn giản p1 cho đến khi không đi được

nữa, và đánh số các cạnh của p1 với các số tiếp theo: m + 1, m + 2 Ta lặp lại quá trình này cho đến bao giờ tất cả các cạnh của G được đánh

số

Cách đánh số các cạnh như vậy thoả mãn yêu cầu bài toán:

Giả sử A là một đỉnh bất kỳ của G, nối với p cạnh (bậc của A bằng

P ≥ 2 ) Nếu A ≡ A0 thì A0 là đầu mút của một cạnh đã được đánh số

1, do đó ước số chung lớn nhất của mọi số viết trên các cạnh qua A0 là

bằng 1 Nếu A ̸= A0 thì ta xét đường đi đơn giản đầu tiên qua A Vì A

có bậc ≥ 2, nên qua A có hai cạnh được đánh hai số liên tiếp r và r + 1,

ước số chung lớn nhất của mọi tập hợp số chứa r và r + 1 là bằng 1.

9 11

10

Hình 1.10

Hình 1.10 cho một thí dụ minh hoạ cách đánh số các cạnh: đường đi

p0 từ A0 qua các cạnh được đánh số 1, 2, 3, 4, 5; đường đi p1 qua A1 được

đánh số 6, 7, 8; đường đi p2 qua A2 được đánh số 9, 10; đường đi p3 qua

A3 được đánh số 11

Bài toán 1.2.13 (Russian Mathematical Competition, 1969) Ở một

quốc gia, hệ thống đường bay được bố trí như sau: Mỗi thành phố cóđường bay thẳng đến nhiều nhất là ba thành phố khác và từ bất cứthành phố nào cũng có thể bay đến một thành phố khác với nhiều nhất

là một lần chuyển tiếp Trong quốc gia đó, có nhiều nhất là bao nhiêu

thành phố?

Giải Từ A, có đường bay thẳng đến nhiều nhất là 3 thành phố khác

B, C, D Từ mỗi thành phố A, C, D đã có đường bay đến A, nên có

đường bay thẳng đến nhiều nhất là 2 thành phố nữa Do giả thiết: Từmỗi thành phố có thể bay đến một thành phố khác với nhiều nhất là một

lần chuyển tiếp, nên số thành phố nhiều nhất có thể là 1 + 3 + 3.2 = 10.

Đồ thị trong hình trên cho ta thấy tồn tại một hệ thống sân bay nhưvậy ở 10 thành phố

Tô màu đồ thị có liên quan chặt chẽ tới sự phân hoạch của tập hợp

Vì vậy, các kết quả về tô màu đồ thị được ứng dụng trong các bài toán

có liên quan tới sự phân hoạch của các đối tượng Trong phần này ta sẽ

đề cập tới các khái niệm và kết quả chính về tô màu đỉnh, tô màu cạnh

Định nghĩa 1.3.1 Một tô màu đỉnh của một đồ thị, mà ta sẽ đơn giản

gọi là một tô màu, là một phép gán các màu cho các đỉnh sao cho hai

đỉnh kề nhau bất kỳ có màu khác nhau Nếu số màu khác nhau, mà tadùng để tô trong một tô màu của đồ thị, nhỏ hơn hoặc bằng k thì tô

màu đó cũng được gọi là k-tô màu Tập tất cả các đỉnh được tô bởi cùng

một màu trong một tô màu của đồ thị được gọi là lớp đỉnh đồng màu

của tô màu đó Như vậy, một k-tô màu phân hoạch tập đỉnh của đồ thị thành k lớp đỉnh đồng màu.

Sắc số của một đồ thị G, kí hiệu là χ(G), là số tự nhiên k nhỏ nhất

để G có một k-tô màu Đồ thị G được gọi là đồ thị k-tô màu được nếu

χ(G) ≤ k và được gọi là k-sắc nếu χ(G) = k.

Cây là một đồ thị mà trong đó hai đỉnh bất kì đều được nối với nhaubằng đúng một đường đi

Bài toán 1.3.2 Giả sử G là đồ thị cấp p Khi đó, hiển nhiên là G có

p-tô màu và χ(G)-tô màu.

Ví dụ 1.3.3 Xét đồ thị G được biểu diễn bằng Hình 1.11(a) Khi đó G

không thể có 1-tô màu, nhưng G có 2-tô màu, 3-tô màu, 4-tô màu như

được chỉ ra tương ứng trên Hình 1.11(b), 1.11(c), 1.11(d) Mỗi số nguyêndương trong các hình này là tượng trưng cho một màu Như vậy, đồ thị

G này là 2-sắc, tức χ(G) = 2.

Ví dụ 1.3.4 χ(K p ) = p, χ(K p − x) = p − 1, ở đây x là một đỉnh bất kỳ: χ(K m,n ) = 2, χ(C 2n ) = 2, χ(C 2n+1 ) = 3; χ(T ) = 2 cho mọi cây T không

tầm thường

Đồ thị không có cả đỉnh lẫn cạnh được gọi là đồ thị rỗng Hiển nhiênrằng một đồ thị 1-sắc khi và chỉ khi nó là đồ thị rỗng, tức là nó không

có một cạnh nào Các đồ thị 2-sắc được mô tả bởi định lý dưới đây

Vấn đề đặc trưng các đồ thị k-sắc với k ≥ 3 còn chưa được giải quyết.

Thậm chí còn chưa tìm được phương pháp hữu hiệu để xác định sắc sốcủa một đồ thị bất kỳ Tuy nhiên người ta đã tìm được các đánh giá

khác nhau cho χ(G) Dưới đây ta xem xét một vài đánh giá đó.

Định lý 1.3.6 Với mọi đồ thị G ta luôn có χ(G) ≤ 1 + maxδ(G ′ ), ở

đây maximum được lấy theo mọi đồ thị con cảm sinh G ′ của G.

Hệ quả 1.3.7 Với đồ thị G bất kỳ ta luôn có χ(G) ≤ 1 + ∆(G).

Brooks đã chính xác hoá kết quả ở Hệ quả 1.3.7 Cụ thể là ông ta đãchứng minh được kết quả sau đây

Định lý 1.3.8 (Brooks, 1941) Đồ thị G bất kỳ luôn có ∆(G)-tô màu,

trừ hai trường hợp ngoại lệ được kể ra dưới đây:

1 ∆(G) = 2 và G có thành phần liên thông là một chu trình độ dài lẻ;

2 ∆(G) ̸= 2 và G có thành phần liên thông là đồ thị K ∆(G)+1

Đánh giá tiếp theo cho χ(G) có liên quan tới một tham số khác của

đồ thị gọi là số độc lập đỉnh (vertex-independence number) của đồ thị

G và được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.3.9 Tập hợp các đỉnh của một đồ thị G được gọi là độc

lập, nếu không có hai đỉnh nào trong tập đó kề nhau Số đỉnh của tập

độc lập có nhiều phần tử nhất trong G được gọi là số độc lập đỉnh của

đồ thị G và được ký hiệu là α(G).

Định lý 1.3.10 Với mọi đồ thị G = (V, E) cấp n, ta luôn có

n α(G) ≤ χ(G) ≤ n − α(G) + 1.

Định nghĩa 1.3.11 Một tô màu cạnh của một đồ thị là một phép gán

các màu cho các cạnh của đồ thị đó sao cho hai cạnh kề nhau bất kỳ

có màu khác nhau Nếu số màu khác nhau, mà ta sử dụng trong một

tô màu cạnh của một đồ thị, nhỏ hơn hoặc bằng k, thì tô màu cạnh đó cũng được gọi là k-tô màu cạnh Số tự nhiên k nhỏ nhất để đồ thị G có

k-tô màu cạnh được gọi là sắc số cạnh của G và được kí hiệu là χ ′ (G) Hiển nhiên là χ ′ (G) ≥ ∆(G) Cận trên cho χ ′ (G) được chứng minh

trong định lý sau đây

Định lý 1.3.12 (Vizing, 1964) ∆(G) ≤ χ ′ (G) ≤ ∆(G) + 1.

Ta thường gặp các bài toán trong đó những đối tượng được xem xéttừng cặp có thể có những quan hệ khác nhau Thí dụ: Giữa các thànhphố trong một nước, có những thành phố đã có và những thành phố chưa

có đường bay nối liền nhau; giữa những người đến dự một cuộc họp, cónhững người đã quen biết nhau, có những người chưa quen nhau Trongnhững trường hợp như vậy, chuyển qua dùng đồ thị, ta sẽ sử dụng bàitoán tô màu của đồ thị ứng với các quan hệ nhất định Ta làm rõ điều

đó qua một số bài toán sau:

Bài toán 1.3.13 Có 6 đội bóng thi đấu với nhau (mỗi đội phải đấu

một trận với 5 đội khác) Chứng minh rằng vào bất cứ lúc nào cũng có

ba đội trong đó từng cặp đã đấu vói nhau rồi hoặc chưa đấu với nhautrận nào

B C

D

A

B C

D

A

B C

D

Hình 1.12

Giải Vào bất cứ lúc nào giữa hai đội bóng có quan hệ: Hoặc đã đấu với

nhau rồi, hoặc chưa đấu với nhau Ta cho tương ứng mỗi đội bóng vớimột đỉnh của đồ thị, hai đỉnh được nối với nhau bằng cạnh màu đỏ nếuhai đội tương ứng đã đấu với nhau, và được nối với nhau bằng cạnh màuxanh nếu hai đội tương ứng chưa đấu với nhau Ta có một đồ thị đầy đủvới cạnh được tô một trong hai màu xanh đỏ Bài toán phải giải chính

là bài toán về đồ thị sau:

Chứng minh rằng trong một đồ thị đầy đủ có 6 đỉnh và có các cạnh được tô màu đỏ hoặc xanh bao giờ cũng tìm thấy một "tam giác" có các cạnh cùng màu.

Ta có thể tìm thấy dễ dàng lời giải của bài toán phát biểu dưới dạng

này Thật vậy, nếu G là đồ thị đầy đủ có 6 đỉnh thì mỗi đỉnh của G là

đầu mút của 5 cạnh; vì mỗi cạnh có màu xanh hoặc đỏ, nên mỗi đỉnh

của G phải là đầu mút của ít nhất ba cạnh cùng màu.

Giả sử đỉnh A là đầu mút của ba cạnh màu đỏ AB, AC, AD (Hình

1.12a) Ta xét ba cạnh BC, BD và CD:

Nếu có ít nhất một cạnh màu đỏ, thí dụ BD, thì tam giác ABD có

các cạnh màu đỏ (Hình 1.12b);

Nếu không có cạnh nào màu đỏ, tức là ba cạnh màu xanh, thì BCD

là tam giác có ba cạnh cùng màu (Hình 1.12c)

Trong mọi trường hợp, ta đều có một tam giác có ba cạnh cùngmàu

Bài toán 1.3.14 Có 5 thành phố, từ mối thành phố có đường bay đến

một số thành phố khác Biết rằng cứ lấy ba thành phố bất kỳ trong nămthành phố đó thì có hai thành phố có đường bay trực tiếp đến nhau vàhai thành phố chưa có đường bay như vậy

Giải Xét đồ thị đầy đủ có 5 đỉnh: mỗi đỉnh ứng với một thành phố,

cạnh đỏ nói hai đỉnh tương ứng với hai thành phố đã có đường bay trựctiếp đến nhau, cạnh xanh nối hai đỉnh ứng với hai thành phố chưa cóđường bay trực tiếp Theo giả thiết, trong ba cạnh nối ba đỉnh bất kỳ,

có một cạnh đỏ, một cạnh xanh, nghĩa là không có tam giác nào có bacạnh cùng màu Từ đó, suy ra rằng trong 4 cạnh có đầu mút tại mỗi

đỉnh phải có 2 và chỉ 2 cạnh đỏ (vì nếu tại A có ba cạnh AB, AC, AD cùng màu đỏ thì do một trong ba cạnh BC, CD, BD có màu đỏ nên sẽ

có một tam giác có ba cạnh màu đỏ, như ABD trong Hình 1.13, trái với

giả thiết)

Như vậy, câu a) của bài toán đã được chứng minh Chỉ còn phải chứng