Giao trinh bai tap đề cuối kỳ 2014 2015 ca 2

Tính thể tích vật thể được tạo ra khi D quay quanh trục Ox.. Sinh viên không được sử dụng tài liệu.. Chủ nhiệm bộ môn PGS.TS.Nguyễn Đình Huy..

Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh

Khoa Khoa Học Ứng Dụng

Bộ môn Toán - Ứng dụng

ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY

HKI -2014-2015

Môn Thi: Giải tích 1 Ngày thi: 31/01/2015

Thời gian: 90 phút

CA 2 Hình thức thi: TỰ LUẬN

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x

2− 2x + 1

x2 − 4 . Câu 2: Tìm tất cả các giá trị m > 0 để tích phân I =

1

R

0

x3+ x23

x2+ arctan xmdx hội tụ

Câu 3: Tính tích phân suy rộng sau: I =

+∞

R

0

√ x

x3+ 1dx.

Câu 4: Cho miền phẳng D :

y ≥ 0, y ≤√

3x, x2+ y2 ≤ 4 Tính thể tích vật thể được tạo ra khi D quay quanh trục Ox

Câu 5: Tìm nghiệm phương trình: xy0− y(2y ln x − 1) = 0, thỏa điều kiện y(1) = 1

Câu 6: Tìm nghiệm của phương trình y00+ 2y0+ y = 2 cos x

Câu 7: Giải hệ phương trình :

(

x0(t) = 7x(t) + 3y(t) − 2,

y0(t) = 3x(t) − y(t) + 8t

Đề gồm 7 câu

Sinh viên không được sử dụng tài liệu

Chủ nhiệm bộ môn

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy

Đáp án CA 2

1 ) y = x

2− 2x + 1

x2− 4 TXD: x 6= ±2 TCĐ: x = ±2, TCN: y = 1

y0 = 2x

2− 5x + 4

(x2− 4)2) Cực đại (1, 0), cực tiểu (4,

3

4)

BBT:

f (x) 1 % +∞ || −∞% 0 & −∞ || +∞& 3 % 1

Vẽ ĐT

2 ) Tìm m > 0 để tp HT: I =

1

R

0

x3+ x23

x2+ arctan xmdx

Hàm f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2], Ta sẽ so sánh khi x → 0+ Lưu ý: Không nhận xét f dương thì trừ 0.25đ

α > 2 : f ∼ x

2

x2 = 1

x43

Suy ra Tp PK

α = 2 : f ∼ x

2 3

2x2 Suy ra Tp PK

α < 2 : f ∼ x

2 3

xα = 1

xα− 2 3

Suy ra tp HT khi và chỉ khi α − 2

3 < 1 ↔ α <

5 3 Vậy I hội tụ khi và chỉ khi 0 < α < 5

3

3 ) Tính I =

+∞

R

0

√ x

x3+ 1dx Đặt t =

√

x ⇒ I =

+∞

R

0

2t2dt

t6+ 1 =

2

3arctan t

3

+∞

0

= π 3

4 ) Tính Vx, D : y ≥ 0, y ≤√

3x, x2+ y2 ≤ 4

Vx = πR01 x√

3
2dx +R12 √

4 − x2
2

dx= 8π

3 .

5 ) Tìm nghiệm phương trình vi phân xy0− y(2y ln x − 1) = 0 thỏa điều kiện y(1) = 1

y0+ 1

xy = 2

ln x

x y

2 Đặt z = y−1

Ta được pt z0− 1

xz = −2

ln x

x =⇒ z = x



2ln x + 1



Thay điều kiện: C = −1 Vậy nghiệm y = 1

2 (ln x + 1) − x

6 ) Giải y00+ 2y0+ y = 2 cos x

Nghiệm thuần nhất ytn = C1e−x+ C2xe−x

yr = A cos x + B sin x

=⇒ A = 0, B = 1 Vậy y = C1e−x+ C2xe−x+ sin x

7 ) Giải hệ phương trình vi phân

(

x0(t) = 7x(t) + 3y(t) − 2,

y0(t) = 3x(t) − y(t) + 8t

Cách 1: Khử x, ta được pt y00− 6y0+ 16y = −56t + 2

=⇒ y(t) = C1e−2t+ C2e8t+ 7

2t −

23

16 Suy ra x = −C1e

−2t+ C2e8t−3

2t +

11

6 . Cách 2: Khử y, ta được pt x00− 6x0+ 16x = 24t − 2

Cách 3: Dùng TR - VTR

P = −1 3

3 1

 , D = −2 0

0 8

 , P−1 = 1

10P

 X

Y



= P−1 x

y



→ X Y



=



C1e5 + 65t − 12

C2e808t − 1

10t + 161



→ x y



= P X

Y



2< sup>t −

23

16 Suy x = −C1e

−2t+ C2< /sub>e8t−3

2< sup>t +...

3x, x2< /small>+ y2< /small> ≤

Vx = πR01 x√

3
2< /sup>dx +R12< /sup> √... 1

xy = 2< /sup>

ln x

x y

2< /small> Đặt z = y−1

Ta pt z0− 1

xz = ? ?2< /sup>

ln x

x