Sinh viên không được sử dụng tài liệu.. Chủ nhiệm bộ môn PGS.TS.Nguyễn Đình Huy 1.
Trang 1Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn Toán - Ứng dụng
ĐỀ THI CUỐI KỲ CHÍNH QUY
HKI -2014-2015
Môn Thi: Giải tích 1 Ngày thi: 31/01/2015
Thời gian: 90 phút
CA 1 Hình thức thi: TỰ LUẬN
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2
x√
4 − x2 Câu 2: Tìm số thực m > 0 để tích phân sau hội tụ I =
+∞
R
0
√
1 + x2
xm(1 + xm+1)dx.
Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =
+∞
R
ln 2
dx (1 − e2x)ex Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi cho miền D giới hạn bởi
y =√
2 − x, x = y, y = 0 quay quanh trục Oy
Câu 5: Tìm nghiệm phương trình vi phân
(xy0 − y) arctany
x = x thỏa điều kiện y(1) = 0
Câu 6: Giải phương trình vi phân y00− 3y0+ 2y = 2xe2x
Câu 7: Giải hệ phương trình vi phân
(
x0(t) = x(t) − y(t) + et,
y0(t) = x(t) + 3y(t) − 3
Đề gồm 7 câu
Sinh viên không được sử dụng tài liệu
Chủ nhiệm bộ môn
PGS.TS.Nguyễn Đình Huy
1
Trang 2Đáp án CA 1
1 ) y = 2
x√
4 − x2 TXD: (−2, 0) ∪ (0, 2) 3 TCĐ: x = 0, x = ±2
y0 = 4x
2− 8
x2p(4 − x2)3 Cực đại (−√
2, −1), cực tiểu (√
2, 1)
BBT:
f (x) −∞ % −1 & −∞|| +∞& 1 % +∞
Vẽ ĐT
2 ) Tìm m > 0 để tp HT: I =
+∞
R
0
√
1 + x2
xm(1 + xm+1)dx =
R1
0 +R1+∞ = I1+ I2 Hàm f (x) > 0, ∀x > 0
x → 0+ : f ∼ 1
xm Suy ra I1 hội tụ khi và chỉ khi m < 1
x → +∞ : f ∼ 1
x2m Suy ra I2 hội tụ khi và chỉ khi m > 1
2 Vậy I hội tụ khi và chỉ khi 1
2 < m < 1.
3 ) Tính I =R+∞
ln 2
dx
ex(1 − e2x) Đặt t = e
x ⇒ I =R+∞
2
dt (1 − t2)t2
I =R2+∞
1
1 − t2 + 1
t2
dt = 1
2ln
t + 1
t − 1 −1
t
+∞
2
I = 1
2 −1
2ln 3.
4 ) Tính Vy, D : y =√
2 − x, y = x, y = 0
Cách 1: Vy = 2πR1
0 x.xdx + 2πR2
1 x√
2 − xdx(1đ) = 38π
15 Cách 2: Vy = πR−10 [(2 − y2)2− y2]dy(1đ) = 38π
15
5 ) Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy0 − y) arctany
x = x thỏa điều kiện y(1) = 0.
y0 = 1
arctany
x
+ y
x Đặt u =
y x
arctan udu = dx
x =⇒ u arctan u −
1
2ln(1 + u
2) = ln |x| + C
Thay điều kiện: C = 0 Vậy nghiệm y
xarctan
y
x +
1
2ln(1 +
y2
x2) = ln |x|
6 ) Giải y00− 3y0+ 2y = 2xe2x
Nghiệm thuần nhất y0 = C1ex+ C2e2x
yr = x(Ax + B)e2x
=⇒ A = 1, B = −2 Vậy y = C1ex+ C2e2x+ (x2− 2x)e2x
7 ) Giải hệ phương trình vi phân
(
x0(t) = x(t) − y(t) + et,
y0(t) = x(t) + 3y(t) − 3
Cách 1: Khử x
y00− 4y0+ 4y = et+ 3 =⇒ y(t) = C1e2t+ C2te2t+ et+3
4 Suy ra x = −C1e2t+ C2(2t − 2)e2t− 2et+ 3
4. Cách 2: Khử y : x00− 4x0+ 4x = −2et+ 3
2
...1< /small> x√
2 − xdx (1? ?) = 38π
15 Cách 2: Vy = πR? ?1< /sub>0 [(2 − y2)2− y2]dy (1? ?) = 38π...
I = 1< /sup>
2 −1< /sup>
2ln 3.
4 ) Tính Vy, D : y =√
2 − x, y = x, y =
Cách 1: Vy = 2πR1< /small>
0... 38π
15
5 ) Tìm nghiệm phương trình vi phân (xy0 − y) arctany
x = x thỏa điều kiện y (1) = 0.
y0 = 1< /sup>
arctany