Đề ôn CHK - 2014
ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = xe2
x, x > 0,
6 − (x + 2)2, x ≤ 0
Câu 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =
π
R
0
xm
3
√
1 − cos2xdx.
Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =
+∞
R
e
dx x(ln3x + ln2x + lnx). Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi miền phẳng giới hạn bởi các đường y = (x + 1)2− 1, y =
0, x = 2, quay quanh trục Ox
Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y0+ y
x = x
2y2cos x Câu 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình y” + 4y = sin 2x + 1 thoả điều kiện y(0) = 1/4, y0(0) = 0
Câu 7: Giải hệ phương trình x0(t) = x + 8y + e2t,
y0(t) = 2x + y − 1
ĐỀ SỐ 2:
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ln
2|x|
x2
Câu 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =
1
R
0
lnx px(1 − x)αdx
Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =
0
R
−1
lnn(1 + x)dx
Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra quay khi miền phẳng giới hạn bởi các đường xy = 1, y =
x, x = 9y, quay quanh trục Oy
Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình : (x2+ y2)dx + (xy + x2)dy = 0
Câu 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình y00+ 4y0+ 4y = e2x+ x thoả điều kiện y(0) = 1
4, y
0(0) = 0
Câu 7: Giải hệ phương trình
(
x0 = x − 2y + t2+ 1
y0 = 2x + 5y + t2t
Trang 2Hướng dẫn và đáp số
ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = xe2
x, x > 0,
6 − (x + 2)2, x ≤ 0
a Khảo sát hàm y = xe2x, x > 0
Tiệm cận : lim
x→0 +y = lim
x→0 +
ex2
1 x
= +∞ : Hàm có TCĐ x = 0
lim
x→+∞y = +∞; lim
x→+∞
y
x = 1; limx→+∞(y − x) = lim
x→+∞xex2 − 1= 2 : Hàm có TCX y = x + 2 Cực trị: y0 = e2xx − 2
x ; y
0 = 0 ↔ x = 2
b Bảng biến thiên: Gộp chung cả phần parabol y = 6 − (x + 2)2, x ≥ 0
f (x) −∞ % 6 & 2|| +∞& 2e % +∞
Vẽ đồ thị theo thứ tự:
Vẽ tiệm cận
Xác định các điểm cực trị
Vẽ
Câu 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =
π
R
0
xm
3
√
1 − cos2xdx.
I =
π 2
Z
0
xm
3
√
1 − cos2xdx +
π
Z
π 2
xm
3
√
1 − cos2xdx
Khi x → 0 : f (x) ∼ x
m
3
q
2.x22
x23 −m Tp HT khi và chỉ khi 2
3 − m < 1 ↔ m > −1
3
m
3
p1 − cos(π − x)p1 + cos(π − x)3 ∼
πm
3
q
2.(π−x)2 2
m
(π − x)2 Tp HT ∀m
Vậy tp đã cho HT với m > −1
3 Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =
+∞
R
e
dx x(ln3x + ln2x + lnx). Đặt t = ln x → dt = dx
x Ta được tpsr loại 1 của hàm hữu tỉ:
I =
+∞
Z
1
dt
t + t2+ t3 = ln√
3 − π
√ 3 8
Trang 3Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra khi miền phẳng giới hạn bởi các đường y = (x + 1)2− 1, y =
0, x = 2, quay quanh trục Ox
Vx = π
2
Z
−2
1 − (x + 1)22dx = 512
15 π
Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y0+ y
x = x
2y2cos x Đây là pt Bernulli, ta giải bằng cách đặt z = y−1 → y0 = −z0y2 và thay vào pt đã cho:
z0−1
xz = −x
2cos x ⇒ z = eR 1x dx
Z (−x2cos x)e−R x1dxdx + C
x (−x sin x − cos x + C) Câu 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình y” + 4y = sin 2x + 1 thoả điều kiện y(0) = 1/4, y0(0) = 0
ytn = C1cos 2x + C2sin 2x
yr = x(a cos 2x + b sin 2x) + c
yr ax cos 2x + bx sin 2x + c
y0r cos 2x(a + 2bx) + sin 2x(b − 2ax)
yr00 cos 2x(4b − 4ax) + sin 2x(−4a − 4bx)
V T cos 2x(4b) + sin 2x(−4a)
ytq =C1cos 2x + C2sin 2x − x
4cos 2x +
1 4 Câu 7: Giải hệ phương trình
x0(t) = x + 8y + e2t,
y0(t) = 2x + y − 1 =⇔
(D − 1)x − 8y = e2t(1),
−2x + (D − 1)y = −1(2)
Khử x bằng cách nhân pt (1) với 2, pt (2) với (D-1) và cộng 2 vế 2 pt với nhau:
−16 + (D − 1)2 y = 2e2t+(D−1)(−1) ↔ y”−2y0−15y = 2e2t+1 ↔ y = C1e3t+C2e−5t− 2
15e
2t− 1 15 Tính x từ pt (2)
x = 1
2(y
0− y + 1) = 2C1e3t− 4C2e−5t− 2
15e
2t+16 15
ĐỀ SỐ 2:
Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ln
2|x|
x2
MXĐ: x 6= 0 Nhận xét: Hàm đã cho là hàm chẵn, ta chỉ cần khảo sát với x > 0 Tiệm cận :
lim
x→0y = +∞ ⇒ TCĐ : x = 0
lim
x→∞y = lim
x→∞
2 ln |x|
2x2 = 0 ⇒ TCN : y = 0 Cực trị :
y0 = 2x ln |x| − 2x ln
2|x|
x4 = 2ln |x|(1 − ln |x|)
x3 ; y0 = 0 ↔ x = 1, e
Trang 4Bảng biến thiên
y ||+∞ & 0 % 1
e 2 & 0
Vẽ đồ thị bên phải, sau đó lấy đối xứng qua trục Oy
Câu 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân
I =
1
Z
0
lnx px(1 − x)αdx =
1
Z
0
lnx px(1 − x)αdx +
1
Z
1 2
lnx px(1 − x)αdx
Khi x → 0+ : f (x) ∼ √1
x Tp HT Khi x → 1−: f (x) ∼ 1
p(1 − x)α Tp HT khi và chỉ khi α < 2 Vậy tp đã cho HT khi và chỉ khi α < 2
Câu 3: Tính tích phân suy rộng I =
0
R
−1
lnn(1 + x)dx
Đặt t = ln(1 + x) → x = et− 1, dx = etdt = Ta được tp
I =
0
Z
−∞
tnetdt = tnet− ntn−1et+ n(n − 1)tn−1et+ + (−1)n−1.n!.t.et+ (−1)n.n!.et
0
−∞= (−1)n.n!
Câu 4: Tính thể tích vật thể được tạo ra quay khi miền phẳng giới hạn bởi các đường
xy = 1, y = x, x = 9y, quay quanh trục Oy
Vẽ miền D: xy = 1 là hyperbol có 2 nửa đối xứng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba
Do vậy, ta tính phần phía trên trục Ox quay, rồi nhân với 2
Vy = 2.2π
1
Z
0
x
x − x 9
dx +
3
Z
1
x 1
x −x 9
dx
Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình : (x2+ y2)dx + (xy + x2)dy = 0
Đây là pt đẳng cấp bậc 2
1 + y
2
x2
+y
x+ 1
y0 = 0 ⇒ y0 = −1 +
y 2
x 2
1 + xy Đặt u = y
x → y0 = u + u0x, rồi thay vào pt trên, biến đổi để được pt tách biến udu
u2+ u + 1 = −dx ⇒ ln
r
y2+ x2+ xy
x2
!
−
√ 3
3 arctan
2y + x
x√
3 = C − x Câu 6: Tìm nghiệm riêng của phương trình y00 + 4y0+ 4y = e2x+ x thoả điều kiện y(0) =
1
4, y
0(0) = 0
Câu 7: Giải hệ phương trình
(
x0 = x − 2y + t2+ 1
y0 = 2x + 5y + t2− t