Giáo trình bài tập cnvldc polymer ungdung 2012

Về mặt lý thuyết, khi bỏ qua tính nhớt, các phương trình vi phân chuyển động của lưu chất sẽ đơn giản hơn, trong một số trường hợp và điều kiện nhất định, ta có thể tìm được lời giải giả

Chương 6: DÒNG CHẢY THẾ VÀ LỰC NÂNG LỰC CẢN

2 Lưu chất lý tưởng có thể áp dụng cho lưu chất ít nhớt, hay lưu chất chuyển động với số Re rất lớn, khi đó tính nhớt ít ảnh hưởng đến dòng chảy Trong thực tế có một số lưu chất đặc biệt có

độ nhớt hầu như bằng không khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ tới hạn, chẳng hạn Helium, khi nhiệt độ nhỏ hơn 2,17oK thì độ nhớt đột ngột giảm xuống 0 Các loại lưu chất mang đặc tính này, được gọi là siêu lưu chất

3 Về mặt lý thuyết, khi bỏ qua tính nhớt, các phương trình vi phân chuyển động của lưu chất sẽ đơn giản hơn, trong một số trường hợp và điều kiện nhất định, ta có thể tìm được lời giải giải tích khá dễ dàng Các kết quả này có thể được sử dụng để kiểm tra các kết quả thực nghiệm số trên các mô hình toán hoặc hiệu chỉnh mô hình vật lý

4 Các lý thuyết về chuyển động của lưu chất lý tưởng được áp dụng nhiều trong các lãnh vực như khí động, chuyển động sóng…

6.1 Chuyển động thế (chuyển động không quay)

Trước khi đi vào nội dung chính, ta cần trình bày qua một số khái niệm có liên quan đến chuyển động thế

Fr = r ∫

AnB s d

Fr. r

Ví dụ trọng lực là trường lực có thế

A

B n

m

Hình 6.1

Ar. r = ∫A B A rrd s

• Trường dòng chảy có thế:

Về mặt toán học, một trường vận tốc uv được gọi là có thế, nếu ta có thể tìm thấy một hàm số thế

vận tốc φ sao cho thỏa điều kiện sau:

Dòng chảy thoả phương trình (6.1) được gọi là dòng chảy có thế

Phương trình (6.1) có thể viết lại như sau:

A

z y

∂

∂

B A

dz z

dy y

z

∂

∂ϕ

(6.3a) hay, dưới dạng vectơ, ta có thể viết:

ϕ

∂

∂

Ta có thể tìm được vi phân toàn phần của φ như sau:

+ Trong hệ tọa độ Descartes:

6.1.1 Phương trình Bernoulli cho chuyển động thế

Như được chứng minh trong Chương 3, phương trình Euler (3.38b) chính là phương trình

Bernoulli có thể áp dụng với mọi điểm trong trường chuyển động ổn định, chịu tác dụng của trọng lực (lực khối có thế), lưu chất lý tưởng (không ma sát), không nén được và chuyển động có thế

(không quay), như sau:

22

1

u z

6.1.2 Hàm thế vận tốc

6.1.2.1 Định nghĩa dòng chảy có thế và hàm thế vận tốc

Dòng chảy có thế là trường dòng chảy sao cho tồn tại một hàm số thế vận tốc φ(x,y,z,t) [hay

φ(x,y,z) đối với chuyển động ổn định] thỏa phương trình (6.3a) trong hệ toạ độ Descartes (oxyz)

hay thỏa phương trình (6.4a) trong toạ độ trụ (r, θ, z), hoặc thoả phương trình (6.3b) dưới dạng vectơ

6.1.2.2 Điều kiện dòng chảy có thế

Lấy rort hai vế của phương trình vectơ (6.3b), ta được:

™ Ghi chú:

∂

∂

u r r

).(1

.k r

(6.8) với )ur(u r,uθ , k r

là vectơ đơn vị của trục oz trực giao với mặt phẳng của trường chuyển động

• Toán tử Div )(ur trong toạ độ cực:

∂

∂

θθ

u r

u r r

r).(1

Đường đẳng thế là đường cong trong không gian sao cho giá trị hàm số thế φ bằng hằng số Vì vậy

ta có:

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

dz z

dy y

dx x

ϕϕ

ϕ

hay,

Phương trình (6.12) là phương trình vi phân của đường đẳng thế Tích phân phương trình vi phân này, ta sẽ được phương trình đường đẳng thế

6.1.2.5 Ý nghĩa vật lý của đường đẳng thế

x dx u dy u dz

A s d

Đối với chuyển động phẳng, lưu chất không nén được, ta có thể kết luận như sau:

• Luôn luôn tồn tại hàm dòng, không phụ thuộc vào điều kiện dòng chảy quay hay không quay

• Phương trình liên tục là điều kiện cần và đủ đối với sự tồn tại của hàm dòng

• Trường vận tốc được truy ra từ hàm dòng Ψ tự động thỏa phương trình liên tục

Ta có thể tìm được vi phân toàn phần của Ψ như sau:

+ Trong hệ tọa độ Descartes

y

u x

∂

∂).kr = 0r

Như vậy trong dòng thế phẳng, hàm dòng thỏa phương trình Laplace

6.1.3.2 Quan hệ giữa đường Ψ = const và đường dòng

Phương trình có Ψ = const , suy ra dΨ = 0, suy ra:

u

Phương trình (6.20) là phương trình của đường dòng

Vậy các đường cong có Ψ = const chính là các đường

dòng

6.1.3.3 Ý nghĩa vật lý của đường dòng

Xét dòng chảy giữa hai đường dòng C1 và C2, gọi A

C1

C2

O

Hình 6.2

và B là hai điểm lần lượt trên C2 và C1 Gọi M là một điểm trên đường cong bất kỳ nối hai điểm A

và B Vận tốc tại M là ur Lưu lượng đi giữa hai đường dòng C1 và C2 có thể được tính như sau:

∫

=

AMB

ds n u

q r.r

Với ds là đoạn vi phân nằm trên tiếp tuyến với đường cong qua A và B, tại M Và nr là vectơ đơn

vị, pháp tuyến với đường cong qua AB, tại M Ta có thể viết:

6.1.3.4 Sự trực giao giữa họ đường dòng và đường đẳng thế

Tại giao điểm của đường dòng và đường đẳng thế, ta có:

y

∂

Ψ

∂ = 0 ⇒ ϕ ⊥ ψ Vậy, hai họ đường dòng và đường đẳng thế trực giao nhau

6.1.3.5 Hàm thế phức

Vì cả hai hàm thế ϕ(x,y), hàm dòng ψ(x,y) đều thoả phương trình Laplace, nên theo lý thuyết của hàm biến phức, ta có thế xây dựng một hàm biến phức như sau:

Với z = x + i.y; với i là số ảo ( i = −1), z là biến ảo

Hoặc z = r.eiθ = r(cosθ + isinθ)

ϕ ϕ

,

Hình 6.3

W(z) được gọi là thế phức của dòng chảy

Do đó người ta có thể nghiên cứu trực tiếp dòng thế qua việc nghiên cứu hàm thế phức này Khi cho trước hàm thế phức w(z), ta có thể dùng các phép biến đổi toán học để đưa về dạng (6.22) Từ đó ta rút ra được: hàm thế là phần thực và hàm dòng là phần ảo

6.1.3.6 Phương pháp nghiên cứu dòng thế phẳng thông qua hàm dòng, hàm thế và thế phức

Khi giải các bài toán có liên quan đến dòng thế phẳng, chúng ta gặp hai loại bài toán chính như sau:

™ Cho trước hàm thế ϕ(x,y), hoặc hàm dòng ψ(x,y) hoặc hàm thế phức w(z), xác định trường

vận tốc của dòng chảy Đây là loại bài toán tìm đạo hàm:

• Nhờ vào phương trình (6.22), ta có thể tìm thấy hàm thế ϕ(x,y) hoặc hàm dòng ψ(x,y)

• Nhờ vào các công thức (6.3c), (6.4b), (6.14) và (6.16) ta có thể tìm được các thành phần

vận tốc trong hệ toạ độ Descartes hay trong tọa độ cực tại một điểm bất kỳ trong trường chuyển động

• Để tìm áp suất tại một điểm bất kỳ trong trường chuyển động, ta dùng phương trình

Bernoulli (6.5) áp dụng đối với điểm cần tìm và một điểm cho trước (po, uo), thường là điểm

ở xa vô cùng

• Dùng phương pháp vi tích phân, ta có thể tìm được lực do dòng chảy tác dụng lên một đoạn mặt cong nào đó dựa trên áp suất đã tìm được ở bước trên Cần chú ý tính chất của áp suất thủy động là tác dụng vuông góc với mặt chịu lực đối với dòng lưu chất lý tưởng (không có

ma sát nhớt)

• Tìm lưu lượng đi qua một đọan cong (thực tế là diện tích cong tạo bởi một đoạn thẳng

(đường sinh) vuông góc với mặt phẳng xoy, có chiều dày là 1 m, trợt dọc theo đoạn cong) nối hai điểm A và B, ta áp dụng công thức (6.21)

™ Cho trước trường vận tốc uv , yêu cầu tìm hàm thế ϕ(x,y) hoặc hàm dòng ψ(x,y) Đây là loại

bài toán tìm tích phân, là giải phương trình vi phân Laplace (6.11c) hoặc (6.18) Trong quá

trình lấy tích phân xuất hiện hai hằng số tích phân Hai hằng số tích phân này sẽ được xác định cụ thể dựa vào hai điều kiện ở xa vô cùng và điều kiện biên

• Điều kiện ở xa vô cùng:

Điều kiện ở xa vô cùng là các giá trị của vận tốc và áp suất ở nơi mà dòng chảy không chịu ảnh hưởng của các điểm đặc biệt, hay của vật rắn

• Điều kiện biên:

Khi trường dòng chảy bị giới hạn bởi thành rắn dọc theo đường cong Σ Điệu kiện biên có thể có dạng sau:

i) ψ = const, hay

ii)

n

∂

∂ϕ

= 0 (với nr là phương pháp tuyến của biên ∑)

™ Phương pháp chồng chập nhiều chuyển động thế:

Vì hàm thế ϕ(x,y) hoặc hàm dòng ψ(x,y) đều được mô tả bằng các phương trình vi phân đạo hàm riêng loại tuyến tính, phương trình Laplace, nên ta có thể chồng chập nhiều chuyển động thế đơn giản thành một chuyển động thế phức hợp (tổng hợp nhiều dòng thế phẳng); hoặc phân tích chuyển động thế phức tạp thành nhiều chuyển động thế đơn giản hơn

Gọi ϕ1 và ϕ2 là hai chuyển động thế Cả hai thỏa phương trình Laplace:

2 1 2

x

∂

∂ ϕ+

y

2 1 2

∂

∂ ϕ

2 2 2

x

∂

∂ ϕ+

y

2 2 2

∂

∂ ϕ

Rồi thì ta đạt được chuyển động tổng hợp của hai chuyển động thế này là: ϕ = ϕ1 + ϕ2

Chuyển động tổng hợp này cũng thỏa phương trình Laplace:

2 2 1

Công thức (6.14a) cho:

dΨ = - uy.dx + ux.dy, suy ra:

dΨ = - U.sin(α).dx + U.cos(α).dy

do đó, Ψ(x,y) = U[cos(α).y - sin(α).x] + C = uxy - uy.x + C

Chọn Ψ=0 khi qua gốc tọa độ (0, 0), suy ra C=0 Khi đó ta được hàm dòng:

Ψ(x,y) = U[cos(α).y - sin(α).x] = ux.y - uy.x (6.25)

• Xác định hàm thế:

Công thức (6.3d), cho:

dφ = ux.dx + uy.dy = U.cos(α).dx + U.sin(α).dy

φ(x, y) = U.[cos(α).x + sin(α).y] + C

Chọn φ =0 khi qua gốc tọa độ (0, 0), suy ra C=0 Khi đó ta được hàm thế:

φ(x, y) = U.[cos(α).x + sin(α).y] = ux.x + uy.y (6.26)

• Điểm giếng (điểm hút), ngược lại với điểm nguồn, là một điểm trong trường dòng chảy mà tại

đó, lưu chất được lấy ra với một lưu lượng hằng số

• Cường độ điểm nguồn (hay giếng) là lưu lượng thể tích của nguồn hay giếng trên một đơn vị chiều dày Cường độ điểm nguồn có giá trị dương, trong khi đó cường độ điểm hút có giá trị

Đường đẳng thế, φ = C

• Điểm nguồn (giếng) đặt tại điểm M(x o, yo):

Ta có thể tìm thấy các công thức sau:

ϕ = ±

π2

q

ψ = ±

π2

q

arctg(

o

o x x

y y

• Đường đẳng thế là các vòng tròn đồng tâm, có tâm tại điểm nguồn (giếng), trực giao với các đường dòng

ur r

Γ > 0: ngược chiều kim đồng hồ ; Γ < 0: thuận chiều kim đồng hồ

ƒ Vận tốc dòng chảy theo phương xuyên tâm xoáy sẽ bằng không, và chỉ tồn tại thành phần vận tốc theo phương pháp tuyến với đường thẳng xuyên tâm

ƒ Xét vòng tròn tâm O(0, 0), bán kính r Trong hệ toạ độ cực, ta có công thức tính vận tốc như sau:

• Hàm dòng, hàm thế của dòng xoáy tự do có tâm O:

Áp dụng công thức (6.16a) và (6.4c), ta có thể tìm được:

ψ =

-π2

Γ.ln(r) = -

π4

Γ.ln(x2 + y2) (6.38)

ϕ =

π2

Γ θ =

π2

Γarctg(

x

y

• Hàm dòng, hàm thế của dòng xoáy tự do có tâm M(x o, yo):

Áp dụng công thức chuyển trục toạ độ về M(xo, yo) đối với

công thức (6.38) và (6.39), ta được:

ψ =

-π4

Γ.ln[(x - xo)2+ (y- yo)2] (6.40)

ϕ =

π2

Γ

arctg(

o

o x x

y y

−

−) (6.41)

• Xác định hàm thế phức:

Ta có thể tìm thấy hàm thế phức cho dòng xóay tự do có tâm đặt tại M(xo, yo) như sau:

Hình 6.6: Xoáy tự do

Đường dòng, Đường thế, φ=C

ƒ Đường dòng là các vòng tròn đồng tâm, có tâm là tâm xoáy

ƒ Đường đẳng thế là các đường thẳng xuyên qua tâm xoáy, và trực giao với các đường dòng

ϕ = ϕn + ϕh =

π2

q

ln(rn) -

π2

q

ln(rh) =

π2

e x

e x

• Hàm dòng, hàm thế của lưỡng cực:

ƒ Hàm thế:

Áp dụng công thức (6.44), và biến đổi, ta có:

ln

2 2

2 2

)2(

)2(

y

e x

y

e x

+

−

++

=

π4

q

ln (

2 2)2(

21

y

e x

q

ln (

2 2)2(

21

y

e x

Bỏ qua số hạng bậc cao ⇒

ϕ = lim (e → 0 ; e.q → mo)

π2

q

2 2)2

qe

2 2)2

o m

cos

o m

sin

(6.48a)

ƒ Hàm thế phức:

Ta có thể tìm thấy:

W(z) =

π2

o m

z

1 (6.49)

Nhận xét:

• Đường dòng là các vòng tròn đi qua gốc tọa độ O,

có tâm nằm trên trục Oy

• Đường đẳng thế là các vòng tròn đi qua gốc O, có

tâm nằm trên trục Ox, và trực giao với các đường

dòng

6.3 Chồng nhập nhiều chuyển động thế phẳng cơ bản:

Áp dụng nguyên tác chồng chập được nêu ở mục 6.1.3.6, ta có thể chồng chập nhiều chuyển động thế đơn giản thành một chuyển động thế phức hợp

6.3.1 Dòng chảy đều quanh 1 nguồn: chuyển động quanh ½ cố thể:

• Chuyển động bao gồm: một chuyển động đều có phương song song trục ox, chiều từ trái qua phải, với vận tốc là U; một nguồn đặt tại O, có cường độ là q

• Hàm thế:

Áp dụng công thức (6.26), (6.32), ta có:

φ(x, y) = U.x +

π4

Hình 6.7: Lưỡng cực

Đường dòng, Ψ = C

Đường đẳng thế, φ = C

W(z) = U.z +

π2

∂

Ψ

∂ ; uθ = -

r

∂

Ψ

∂, suy ra:

2 , khoảng cách này tỉ lệ thuận với cường độ điểm nguồn (q) và

tỷ lệ nghịch với vận tốc dòng đều (U)

ƒ Đường dòng đi qua điểm dừng:

Đường dòng đi qua điểm dừng có thể được tìm thấy bằng cách thế tọa độ điểm dừng vào phương trình (6.51a), ta được:

ψ = 2

q

= 2

ƒ Hình 6.8 chỉ ra đường dòng đi qua điểm dừng, nó chạy từ bên trái đi qua điểm dừng, rẻ nhánh

và tiến vô hạn về bên phải, chia trường dòng chảy ra làm hai khu vực không trao đổi lưu chất lẫn nhau, và thành lập nên đường biên của một nửa cố thể

6.3.2 Chuyển động quanh cố thể dạng Rankine

• Chuyển động tổng hợp bao gồm:

9 Chuyển động đều song song trục ox, chiều từ trái

sang phải với vận tốc là U

9 Điểm nguồn đặt tại (-a,0), với cường độ là +q

9 Điểm giếng đặt tại (a, 0), với cường độ là -q

• Hàm thế:

Áp dụng công thức (6.26), (6.33), ta được:

ϕ = U.x +

π4

q

.ln((x+a)2 + y2) -

π4

q

Hay: ϕ = U.x +

π4

2 2

2 2)(

)(

y a x

y a x

y -

π2

Hay ψ = U.y -

π2

q

.ln(z+a) -

π2

q

Hay W(z) = U.z +

π2

q

.ln⎢⎣⎡ − ⎥⎦⎤

+

a z

a z

9 Đường cong (C) có phương trình như sau:

U.y -

π2

2

a y x

ay

−

Đây là một đường cong khép kín, cắt trục ox tại A và B; cắt trục oy tại C và D

ƒ Điểm dừng và vận tốc tại các điểm đặc biệt:

Áp dụng công thức (6.3c) và công thức (6.56), ta có thể tính được vận tốc như sau:

)(

y a x y a x

a y x qa

+

−+

1

2

y a x y a x

qaxy

+

−+

+

Điểm dừng là điểm ở đó hai thành phần vận tốc ux và uy bằng 0

Từ phương trình (6.60a) với uy = 0, ta suy ra được y = 0 Như vậy điểm dừng có thể xảy ra trên trục ox Cho y = 0 và ux = 0 vào phương trình (6.60) và giải ra ta được:

π+

cố thể Rankine

6.3.3 Chuyển động đều quanh hình trụ:

6.3.3.1 Hình trụ đứng yên:

• Khái niệm:

Dòng chảy đều quanh hình trụ tròn là dòng chảy quanh cố thể Rankine khi ta cho a tiến tới 0 Khi

đó cố thể Rankine thành hình trụ tròn Dòng chảy này cũng có thể xem như là một chuyển động tổng hợp của một dòng đều và một lưỡng cực

• Hàm thế:

Áp dụng phương trình (6.26a) và phương trình (6.47a), ta được:

ϕ = U.r.cos(θ) +

π2

o m

o m

Hình 6.10 Dòng chảy quanh trụ tròn không quay

U

y

x

Gieáng Nguoàn

C

D

• Nhận xét:

ƒ Đường dòng khi Ψ=0:

Sử dụng phương trình (6.64b), cho Ψ=0

9 Sin(θ) = 0, suy ra θ=0 hoặc θ=π, đó là các điểm nằm trên trục Ox

9 r = R, đường dòng là (C), là vòng tròn tâm O bán kính bằng R Đường cong kín (C) này chia trường chuyển động ra làm 2 vùng: bên trong và bên ngoài (C) Hai vùng này không có trao đổi lưu chất xuyên qua đường cong (C) Dòng chảy đều như bao quanh một cố thể hình trụ tròn có bán kính R

r

1θ

+ Hai điểm A và B là hai điểm dừng

+ Hai điểm C và D có vận tốc cực đại là uC = uD = 2U

ƒ Sự phân bố áp suất trên (C):

Áp dụng phương trình Bernoulli cho một điểm trên mặt trụ ( trên (C) ) và một điểm ở xa vô cùng, ta có:

Chuyển động đều quanh trụ tròn quay có thể được quan niệm bằng hai cách:

- Chuyển động tổng hợp gồm: chuyển động đều + lưỡng cực + xoáy tự do

- Chuyển động tổng hợp gồm: chuyển động đều quanh hình trụ đứng yên + xoáy tự do

Ở đây, ta giả thiết xoáy tự do thuận chiều kim đồng hồ, nên theo quy ước, lưu số có giá trị là - Г ( với Г > 0 )

• Hàm thế:

Áp dụng công thức (6.26a), (6.47a) và (6.39), ta có:

ϕ = U.r.cos(θ) +

π2

o m r

1cos(θ) -

π2

• Hàm dòng:

Áp dụng công thức (6.25a), (6.48a) và (6.38), ta có:

ψ = U.r.sin(θ) -

π2

o m r

1sin(θ) +

π2

Γ

• Vận tốc trên mặt trụ:

Áp dụng công thức (6.4b):

∂

∂ , suy ra:

• Điểm dừng trên mặt trụ:

Cho uθ = 0, sin(θ) =

-RU

π4

Γ, suy ra:

- Nếu Г < 4πRU, lời giải cĩ hai nghiệm Điểm dừng ở A và B:

Ө =

Arcsin(-RU

π4

Γ

- Nếu Г = 4πRU, lời giải cĩ một nghiệm Điểm dừng ở C

- Nếu Г > 4πRU, lời giải vơ nghiệm Khơng cĩ điểm dừng trên mặt trụ Tuy nhiên, sẽ cĩ điểm dừng ở ngồi mặt trụ Bằng cách dựa vào tính chất đối xứng và điểm dừng nằm trên trục oy, khi đĩ ta cĩ ur = 0, và ở bên dưới trục ox, nghĩa là θ = -

2

π Thế giá trị này vào

y

x

U R.

U R.

.

4 π

= Γ

C : 1 điểm dừng

y

x

U R.

D : điểm dừng nằm ngoài

Hình 6.11 Điểm dừng trên mặt trụ của chuyển động đều quanh trụ trịn quay

Г