Tài liệu xử lý số liệu - chương 4

Tài liệu xử lý số liệu - chương 4 Biến đổi Fourier rời rạc

Chương 4 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)

4.1 Định nghĩa và tính chất

4.1.1 Định nghĩa

Biến đổi Fourier rời rạc (DTFT) của x(n) mô tả như sau:

X(ej) = 









n

jn

e ) n (

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT – Discrete Fourier Transform) N điểm của x(n)

mô tả như sau:

X(k) = 







1 N

0 n

N / kn 2 j

e ) n (

Biến đổi Fourier ngược (IDFT – Inverse DFT):

x(n) = 





1 N

0 k

N / kn 2 j

e ) k ( X N

1

(4.3)

VD: Xét tín hiệu:

x(n) =





khác 0

L n 0 1

Biến đổi Fourier N điểm (N > L) của x(n) là:

X(k) = 







1 N

0 n

N / kn 2 j

e ) n (







1 L

0 n

N / kn 2 j







1 L

0 n

n N / k 2 j

e

X(k) =

N / k 2 j

N / kL 2 j

e 1

e 1













Mà: 1 – e-jL = 1 – cosL + jsinL = 2sin2L/2 + j2sinL/2cosL/2 = 2sinL/2(sinL/2 + jcosL/2) = 2jsinL/2(cosL/2 – jsinL/2) = 2jsinL/2e-jL/2

N kL j

e N k j

e N kL j

/ /

) / sin(

2

) / sin(

2













= j k ( L 1 ) / N

e ) N / k sin(

) N / kL





4.1.2 Tính chất của DFT N điểm

 Tuần hoàn:

Nếu x(n) và X(k) là một cặp biến đổi DFT N điểm thì:

 Tuyến tính:

Nếu:

x1(n) DFT N

X1(k)

x2(n) DFT N

X2(k) thì: a1x1(n) + a2x2(n) DFT N

a1X1(k) + a2X2(k) (4.6)

 Đối xứng:

Xét x(n) = xR(n) + jxI(n) và DFT N điểm X(k) = XR(k) + jXI(k) thì:

XR(k) = 

     

1 N

0 n

I R

N

kn 2 sin ) n ( x N

kn 2 cos ) n (

XI(k) = 

     

N 1 0 n

I R

N

kn 2 cos ) n ( x N

kn 2 sin ) n (

Và:

xR(n) = 

     

1 N

0 k

I R

N

kn 2 sin ) k ( X N

kn 2 cos ) k ( X N

1

(4.9)

xI(n) = 

     

1 N

0 k

I R

N

kn 2 cos ) k ( X N

kn 2 sin ) k ( X N

1

(4.10)

Nếu x(n) chẵn: x(n) = x(-n) thì

Nếu x(n) lẻ: x(n) = -x(-n) thì

Nếu x(n) là tín hiệu thực, xI(n) = 0:

XR(k) = XR(-k)

XI(k) = - XI(-k)

Nếu x(n) là tín hiệu ảo, xR(n) = 0:

XR(k) = -XR(-k)

XI(k) = XI(-k)

 Tích chập vòng tròn:

Nếu:

x1(n) DFT N X1(k)

x2(n) DFT N X2(k) thì: x1(n) x2(n)  DFT N

Trong đó: biểu diễn tích chập vòng tròn:   





1 N

0 m

2

1(m)x (n m)mod N x

 Đảo trên miền thời gian:

N

N

Nếu:

x(n) DFT N X(k) thì: x1(N - n) DFT N X(N – k) (4.16)

 Dịch chuyển thời gian và dịch chuyển tần số:

Nếu:

x(n) DFT N

X(k) thì: x(n - 1) DFT N

X(k)ej2kl/N (4.17)

và x(n)ej2kl/N  DFT N

 Liên hiệp phức:

Nếu:

x(n) DFT N

X(k) thì: x*(n) DFT N X*(N - k) (4.19)

 Tương quan:

Nếu:

x(n) DFT N

X(k)

và y(n) DFT N

Y(k) thì: rxy(l) DFT N

trong đó: rxy(l) =   





1 N

0 m

N mod ) l m (

* y ) m ( x

 Nhân:

Nếu:

x1(n) DFT N X1(k)

x2(n) DFT N X2(k) thì: x1(n)x2(n)  DFT N

N

1

X1(k) X2(k) (4.21)

 Định lý Paserval:

Nếu:

x(n) DFT N

X(k)

và y(n) DFT N

Y(k)







0 k

1 N

0 n

) k (

* Y ) k ( X N

1 ) n (

* y ) n (

N

4.2 Biến đổi Fourier nhanh (FFT – Fast Fourier

Transform)

4.2.1 Tính toán DFT trực tiếp

Từ công thức định nghĩa DFT, ta có:

X(k) = 









1 N

0

kn 2 sin j N

kn 2 cos ) n (

Nếu x(n) là tín hiệu thực:

XR(k) = 



 1

N

0

kn 2 cos ) n (

XI(k) = 





N 1 0

kn 2 sin ) n (

|X(k)| = X (k) X2(k)

I 2

) k ( X

) k ( X arctg )

k (

R

I



Nếu x(n) là tín hiệu phức, các thành phần thực và ảo tính toán theo công thức (4.7) và (4.8) Để thực hiện tính toán theo công thức này, đòi hỏi các phép toán sau:

- 2N2 hàm lượng giác

- 4N2 phép nhân số thực

- 4N(N – 1) phép cộng số thực

4.2.2 Thuật toán FFT cơ số 2

4.2.2.1 Trên miền thời gian

Xét DFT N điểm, giả sử N = 2v (N là một lũy thừa của 2):

X(k) = 







1 N

0 n

N / kn 2 j

e ) n (



1 N

0 n

kn N

W ) n (

x trong đó WN = ej2/N

X(k) = N1  

n

N / kn 2 j

e ) n ( x

chaün

+N1  

n

N / kn 2 j

e ) n ( x

leû

= 



1 2 / N

0 n

nk 2 N

W ) n 2 (







1 2 / N

0 n

) 1 n ( k N

W ) 1 n 2 (

) 2 / N /(

2 j N / 4 j 2 N / 2 j 2

W          

(4.28) trở thành:

X(k) = 



1 2 / N

0 n

nk 2 / N

W ) n 2 (





1 2 / N

0 n

kn 2 / N k

N x(2n 1)W W

Trong đó: F1(k) và F2(k) lần lượt là DFT N/2 điểm của f1(n) và f2(n) với f1(n) và

f2(n) mô tả như sau:

f2(n) = x(2n+1)

Do F1(k) và F2(k) tuần hoàn nên: F1(k) = F1(k + N/2) và F2(k) = F2(k + N/2)

N j

k N 2 / N N / 2 j k N / 2 j 2 / N k N / 2 j 2 / N k

Nên:

X(k + N/2) = F1(k) WNkF2(k) (4.31)

F1(k) là DFT N/2 điểm nên cần N2/4 phép nhân trên số phức Như vậy, khi dùng DFT trực tiếp, ta phải cần tính toán cho N2 phép nhân trên số phức còn khi sử dụng FFT cơ số 2, ta cần 2(N2/4) + N/2 = N2/2 + N/2 phép nhân trên số phức

Hình 4.1 – Sơ đồ biểu diễn bước thứ nhất trong thuật toán FFT cơ số 2 Xét DFT N/4 điểm xây dựng từ f1(n) và f2(n) như sau:

v12(n) = f1(2n+1)

v21(n) = f2(2n)

v22(n) = f2(2n+1) Quan hệ giữa DFT N/2 điểm và DFT N/4 điểm mô tả như sau:

F1(k) = V11(k) + k

2 / N

F1(k+N/4) = V11(k) - k

2 / N

W V12(k)

F2(k) = V21(k) + k

2 / N

W V22(k)

F2(k+N/4) = V21(k) - k

2 / N

W V22(k) trong đó Vij là biến đổi DFT N/4 điểm của vij(n)

Quá trình biến đổi trên sẽ tiếp tục thực hiện cho đến DFT 2 điểm Từ đó, ta được bảng so sánh độ phức tạp tính toán khi thực hiện DFT trực tiếp với FFT như sau:

N Độ phức tạp của phép nhân trên

DFT

N 2

Độ phức tạp của phép nhân trên

FFT (N/2)log 2 N

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

16

64

256

1024

4096

16384

65536

262144

1048576

4

12

32

80

192

448

1024

2304

5120

Sơ đồ mô tả cho FFT 8 điểm như sau:

Hình 4.2 – Sơ đồ thực hiện FFT 8 điểm

Hình 4.3 – Thuật toán thực hiện cho FFT 8 điểm Thuật toán thực hiện DFT trên được xây dựng dựa cơ sở theo sơ đồ hình bướm sau:

Hình 4.3 – Tính toán cho sơ đồ hình bướm cơ sở của thuật toán FFT

4.2.2.2 Trên miền tần số

Xét DFT N điểm:

X(k) = 



1 N

0 n

kn N

W ) n (

x = 



1 2 / N

0 n

kn N

W ) n (



1 N

2 / N n

kn N

W ) n ( x

X(k) = 



1 2 / N

0 n

kn N

W ) n (





1 2 / N

0 n

kn N 2

/ kN

Trong đó: kN / 2 j 2 kN / 2 N jk k

W        

a

b

A = a + W'Nb

B = a - W'Nb

X(k) =  









1 2 / N

0 n

kn N k

W ) 2 / N n ( x ) 1 ( ) n (







1 2 / N

0 n

kn 2 N

W ) 2 / N n ( x ) n ( x







1 2 / N

0 n

kn 2 / N

W ) 2 / N n ( x ) n (







1 2 / N

0 n

n N kn 2

W ) 2 / N n ( x ) n ( x







1 2 / N

0 n

kn 2 / N n

W ) 2 / N n ( x ) n (

Ta định nghĩa hai chuỗi N/2 điểm g1(n) và g2(n) như sau:

g1(n) = x(n) + x(n + N/2)

N

W ) 2 / N n ( x ) n (

Khi đó:

X(2k) = 



1 2 / N

0 n

kn 2 / N

1(n)W g

X(2k+1) = 



1 2 / N

0 n

kn 2 / N

2(n)W

Như vậy, việc tính toán DFT N điểm có thể thực hiện thông qua DFT N/2 điểm của 2 chuỗi g1 và g2 Quá trình tính toán mô tả như sau:

Hình 4.4 – Bước thứ nhất của thuật toán FFT trên miền tần số

Các sơ đồ thực hiện cho thuật toán FFT trên miền tần số mô tả như sau:

Hình 4.5 – Thuật toán FFT 8 điểm trên miền tần số

Hình 4.6 - Tính toán cho sơ đồ hình bướm cơ sở của thuật toán FFT trên miền tần số

4.2.3 Thuật toán FFT cơ số 4

4.2.3.1 Trên miền thời gian

Xét DFT N điểm có N là lũy thừa của 4 (N = 4v

), ta có thể dùng thuật toán FFT

cơ số 2 để thực hiện tính toán DFT Tuy nhiên, quá trình tính toán sẽ hiệu quả hơn nếu

sử dụng thuật toán cơ số 4 được mô tả như sau đây

Ta có:

X(p,q) = 3𝑙=0 𝑊𝑁𝑙𝑞𝐹(𝑙, 𝑞) 𝑊4𝑙𝑝, p = 0, 1, 2, 3 (4.40) trong đó:

a

b

A = a + b

B = (a – b)W'Nb

F(l,q) = 𝑥(𝑙, 𝑚)𝑊𝑁/4𝑚𝑞

𝑁

4 −1

𝑙 = 0, 1, 2, 3

𝑞 = 0,1, … ,𝑁

4 − 1 (4.41)

X(p,q) = X(𝑁

Từ đó, quá trình thực hiện DFT N điểm có thể thông qua thực hiện 4 DFT N/4 điểm Biểu thức thực hiện mô tả như sau:

𝑋(0, 𝑞) 𝑋(1, 𝑞) 𝑋(2, 𝑞) 𝑋(3, 𝑞)

=

𝑊𝑁0𝐹(0, 𝑞)

𝑊𝑁𝑞𝐹(1, 𝑞)

𝑊𝑁2𝑞𝐹(2, 𝑞)

𝑊𝑁3𝑞𝐹(3, 𝑞)

(4.44)

Sơ đồ mô tả quá trình thực hiện:

Hình 4.7 - Tính toán cho sơ đồ hình bướm cơ sở của thuật toán FFT cơ số 4

Để giảm lượng phép toán trên số phức, biểu thức (4.44) có thể biểu diễn ở dạng sau:

𝑋(0, 𝑞) 𝑋(1, 𝑞) 𝑋(2, 𝑞) 𝑋(3, 𝑞)

=

𝑊𝑁0𝐹(0, 𝑞)

𝑊𝑁𝑞𝐹(1, 𝑞)

𝑊𝑁2𝑞𝐹(2, 𝑞)

𝑊𝑁3𝑞𝐹(3, 𝑞)

(4.45)

Sơ đồ thực hiện của DFT 16 điểm:

Hình 4.8 – Sơ đồ thực hiện của DFT 16 điểm dùng thuật toán cơ số 4

4.2.3.2 Trên miền tần số

X(p,q) = 𝐺(𝑙, 𝑞)

𝑁

4 −1

Trong đó:

F(l,q) = 3𝑚 =0𝑥(𝑙, 𝑚)𝑊4𝑚𝑞,

𝑞 = 0, 1, 2, 3

𝑙 = 0,1, … ,𝑁

Hình 4.9 - Sơ đồ thực hiện của DFT 16 điểm dùng thuật toán cơ số 4 trên miền tần số

4.2.4 Ứng dụng của thuật toán FFT

 Tính toán nhân chập vòng tròn

Dựa vào tính chất nhân chập vòng tròn, ta có mô hình như sau:

Hình 4.10

VD: Tính nhân chập vòng tròn N điểm của x1(n) = x2(n) =





khác 0

1 N n 0 1

X1(k) = X2(k) = 



1 N

0 n

kn N

W

1 = e j k(N1)/N

) N / k sin(

) N / kN





= ej k/Ne jk

) N / k sin(

) k





FFT

FFT

IDFT x(n)

X(k)

V(k) = X(k)Y(k) v(n)

X1(k) = X2(k) =





khác 0

0 k N

 V(k) =





khác 0

0 k

N2

 v(n) = 





1 N

0 k

N / kn 2 j

e ) k ( V N

1

=





khác 0

1 N n 0 N

 Tính toán DFT của hai chuỗi thực

Xét 2 chuỗi x1(n), x2(n) là 2 chuỗi thực có chiều dài N và x(n) là chuỗi phức định nghĩa như sau:

x(n) = x1(n) + jx2(n) (0 ≤ n < N) (4.49) Biểu diễn x1(n) và x2(n) theo x(n) như sau:

x1(n) = 𝑥 𝑛 +𝑥∗(𝑛)

x2(n) = 𝑥 𝑛 −𝑥∗(𝑛)

𝑗 2

Do tính chất tuyến tính của DFT:

X1(k) = 𝐷𝐹𝑇 𝑥 𝑛 +𝐷𝐹𝑇[𝑥∗ 𝑛 ]

2

X2(k) = 𝐷𝐹𝑇 𝑥 𝑛 −𝐷𝐹𝑇[𝑥∗ 𝑛 ]

𝑗 2

Mà DFT[X*(n)] = X*(N – k) nên:

X2(k) = [X(k) – X*(N – k)]/j2 Như vậy, DFT của hai chuỗi thực có thể tính toán thông qua DFT của chuỗi phức x(n)

 Tính toán DFT 2N điểm của chuỗi thực

Xét y(n) là chuỗi 2N điểm, ta định nghĩa;

x2(n) = y(2n + 1) Xét chuỗi x(n) = x1(n) + jx2(n), theo (4.52):

X1(k) = [X(k) + X*(N – k)]/2

X2(k) = [X(k) – X*(N – k)]/j2 Ứng dụng thuật toán FFT trên miền thời gian, ta được:

Y(k) = 𝑁−1𝑛=0𝑦 2𝑛 𝑊2𝑁2𝑛𝑘 + 𝑁−1𝑛=0 𝑦 2𝑛 + 1 𝑊2𝑁(2𝑛+1)𝑘 = 𝑁−1𝑥1 𝑛 𝑊𝑁𝑛𝑘

𝑛=0 + W2Nk 𝑁−1𝑛=0 𝑥2(𝑛)𝑊𝑁𝑛𝑘 (4.54) Tương tự, ta tính được:

Y(k) = X1(k) + W2Nk X2(k) (k = 0, 1, …, N – 1) (4.55)

k (k) (k = 0, 1, …, N – 1)

4.3 Tính toán FFT dùng xấp xỉ lọc tuyến tính

Thuật toán Goertzel thực hiện dựa trên khai triển tuần hoàn hệ số pha 𝑊𝑁𝑘 Do

𝑊𝑁−𝑘𝑁 = 1 nên:

X(k) = 𝑊𝑁−𝑘𝑁 𝑁−1𝑛=0 𝑥 𝑛 𝑊𝑁𝑘𝑛 = 𝑁−1𝑛=0 𝑥 𝑛 𝑊𝑁−𝑘(𝑁−𝑛) (4.56)

Ta xét chuỗi yk(m):

yk(m) = 𝑁−1𝑥 𝑛 𝑊𝑁𝑘(𝑚 −𝑛)

Chuỗi yk(m) chính là tích chập giữa x(n) và 𝑊𝑁−𝑘𝑛𝑢(𝑛) Đây chính là một mạch lọc với đáp ứng xung h(n) = 𝑊𝑁−𝑘𝑛𝑢(𝑛) Từ đó:

Mạch lọc với đáp ứng xung h(n) có hàm hệ thống là:

H(z) = 1

Mạch lọc này có một điểm cực trên đường tròn đơn vị tại zp = 𝑊𝑁−𝑘 = 𝑒𝑗𝑘 2𝜋 /𝑁 Như vậy, X(k) chính là ngõ ra của mạch lọc tại thời điểm N và toàn bộ DFT của x(n)

có thể tính toán bằng cách đưa qua một khối gồm các bộ lọc đơn cực song song với tần

số tương ứng với tần số của DFT (k = k2π/N)

Từ (4.57), ta xác định phương trình sai phân như sau:

yk(n) = 𝑊𝑁−𝑘yk(n – 1) + x(n), yk(-1) = 0 (4.60) Hàm hệ thống của phương trình sai phân là:

H(z) = 1−𝑊𝑁

𝑘 𝑧−1

Dạng trực tiếp loại 2 của hệ thống mô tả bằng phương trình sai phân sau:

vk(n) = 2𝑐𝑜𝑠2𝑘𝜋

𝑁 𝑣𝑘 𝑛 − 1 − 𝑣𝑘 𝑛 − 2 + 𝑥(𝑛) (4.62)

yk(n) = vk(n) – 𝑊𝑁𝑘vk(n – 1) (4.63) với điều kiện đầu vk(-1) = vk(-2) = 0

Hình 4.11

z-1

z-1

−𝑊𝑁𝑘 2𝑐𝑜𝑠2𝑘𝜋

𝑁

-1

vk(n)

4.4 Ảnh hưởng của quá trình lượng tử đến DFT

4.4.1 Lỗi lượng tử khi dùng DFT

Xét tín hiệu hữu hạn phức x(n) có biến đổi DFT – N điểm là X(k)







  1

0 1

0

/ 2

) ( )

(

N n

k N N

n

N kn j

W n x e

n

Giả sử phần thực vào phần ảo của x(n) được biểu diễn bằng b bit Theo (4.64), một giá trị 𝑥 𝑛 𝑊𝑁𝑘𝑛 bao gồm 4 phép nhân số thực Do đó, mỗi phép nhân số phức sẽ xảy ra 4 lỗi lượng tử Trong quá trình tính toán DFT, mỗi giá trị X(k) bao gồm N phép nhân số phức nên tổng cộng sẽ có 4N lỗi lượng tử

Để tính toán phương sai của lỗi lượng tử, ta giả sử:

- Lỗi lượng tử do quá trình làm tròn là biến ngẫu nhiên phân bố đều trong khoảng (-/2,/2) với  = 2-b

- 4N lỗi lượng tử không tương quan với nhau

- 4N lỗi lượng tử không tương quan với x(n)

Mỗi lỗi lượng tử có phương sai:

𝜎𝑒2 =∆2

12 =2−2𝑏

Phương sai của 4N phép nhân là:

𝜎𝑞2 = 4𝑁𝜎𝑒2 =𝑁

Như vậy, phương sai của 4N phép nhân tỉ lệ thuận với kích thước N của DFT Trong trường hợp N là lũy thừa của 2 (N = 2𝜗):

𝜎𝑞2 =2

−2(𝑏 −𝜗2)

Ngoài ra, để tránh hiện tượng tràn, cần phải thực hiện co tín hiệu ngõ vào Theo (4.64), ta thấy rằng:

Giả sử phạm vi của tín hiệu trong khoảng (-1,1), ta cần có:

x(n)

N−1

Và giả sử rằng tín hiệu ngõ vào x(n) được co trong khoảng (-1,1), nghĩa là 𝑥(𝑛) < 1, ∀𝑛 Để thỏa mãn (4.69), mỗi điểm trong x(n) phải được chia với N

4.4.2 Lỗi lượng tử khi dùng thuật toán FFT

Ở phần trên, ta đã khảo sát quá trình tính toán DFT bằng thuật toán FFT Trong FFT, số lượng phép nhân thực hiện ít hơn so với tính toán trực tiếp nên lỗi lượng tử trong FFT cũng ít hơn

Xét trường hợp FFT cơ số 2 với N = 8 (hình 4.12) Ta thấy rằng một sơ đồ hình bướm có 1 phép nhân số phức, nghĩa là có 4 phép nhân số thực Khi bỏ qua các phép toán không đáng kể ứng với các hệ số ±1, các sơ đồ bướm ảnh hưởng đến quá trình

tính toán FFT bao gồm: N/2 sơ đồ tại tầng 1, N/4 tại tầng 2, N/8 tại tầng 3, … Như vậy, số lượng sơ đồ bướm ứng với mỗi ngõ ra là:

2𝜗 −1 + 2𝜗 −2+ ⋯ + 1 = 2𝜗 − 1 = 𝑁 − 1 (4.70)

Hình 4.12 – Sơ đồ thực hiện FFT cơ số 2 trên miền thời gian với N = 8

Sơ đồ thực hiện của X(3) mô tả như hình vẽ 4.13 Lỗi lượng tử sẽ được truyền

từ mỗi sơ đồ bướm tới ngõ ra của thuật toán Giả sử rằng lỗi lượng tử của mỗi sơ đồ bướm không tương quan với các sơ đồ khác Từ đó, mỗi ngõ ra của thuật toán FFT có 4(N – 1) lỗi lượng tử Phương sai của lỗi lượng tử tổng cộng là:

𝜎𝑞2 = 4(𝑁 − 1)∆2

12 ≈ 𝑁

Ta thấy kết quả này tương đương với phương pháp tính DFT trực tiếp Điều này xảy ra là do thuật toán FFT không giảm số lượng phép nhân của một ngõ ra mà chỉ tận dụng tính tuần hoàn của 𝑊𝑁𝑘 làm giảm số lượng tính toán của toàn bộ N ngõ ra

Hình 4.13 – Sơ đồ bướm của X(3) với N = 8