Chương 8 BIẾN đổi FOURIER rời rạc và BIẾN đổi FOURIER NHANH

Chương 8 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH Trong chương 3 ta thấy chuỗi Fourier liên tục thời gian CTFS liên hệ thời gian liên tục với tần số rời rạc, biến đổi Fourier

Chương 8

BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH

Trong chương 3 ta thấy chuỗi Fourier liên tục thời gian (CTFS) liên hệ thời gian liên tục với tần số rời rạc, biến đổi Fourier liên tục thời gian (CTFT) liên hệ thời gian rời rạc với tần số rời rạc Sự biểu diễn hai hình thức Fourier trên là CTFS và CTFT, là không tuần hoàn trong miền tần số nhưng hai phép biến đổi DTFS và DTFT thì toàn hoàn trong miền tần số đó là kết quả của sự lấy mẫu thời gian

Trong chương này, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) và biến đổi Fourier nhanh được xét đến như

sự trình bày Fourier thứ ba mà áp dụng cho tín hiệu không tuần hoàn rời rạc thời gian có chu kỳ giới hạn DFT và FFT thì rất hữu ích trong sự phân tích và xử lý nhiều vấn đề của hệ thống và tín hiệu biến biến thời gian LTI Chúng cho phép xử lý bằng máy tính và vi xử lý tín hiệu số Thật ra, DFT và FTT

đã được nói đến trong chương 3 (phần 3.9)

Hình 8.1: minh họa biến đổi thời gian-tần số cho sự phân tích Fourier khác nhau

8.1 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)

Với tín hiệu không tần hoàn, x(n) nhìn chung nó tồn tại ở mọi thời điểm, biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) được định nghĩa (phần 3.5) như

Tín hiệu tương tự tuần hoàn Phổ rời rạc không tuần hoàn

Tín hiệu tương tự không tuần hoàn Phổ liên tục không tuần hoàn

spectrum

e n x

1)

e n h



  H e d n

 2 ( )2

1)

8.1.1 Rời rạc tần số liên tục 

Một số vấn đề của DTFT, đó là vấn đề của sự tính toán số (bằng máy tính hoặc vi xử lý số) Đầu tiên, tổng vô hạn (8.1) và (8.3) không thể xử lý được, trong thực tế cả chuỗi x(n) cũng được giới hạn về chiều dài hoặc cắt cụt đi, để giảm sự vô hạn của nó Mặc khác frequency  thì liên tục và theo nguyên tắc ta phải tính (8.1) và (8.3) tại những giá trị vô hạn của  dù tổng thì giới hạn về mặt thời gian Vì vậy tần số  phải được rời rạc hóa Thứ hai, như biến đổiX (  )và H (  ) là những giá trị liên tục, vì vậy ở đây vấn đề tính tích phân cần được xét đến Điều này cũng dẫn đến sự cần thiết để rời răc hoặc lấy mẫu tần 

Với tín hiệu không tuần hoàn x(n) và đáp ứng xung h(n), cách chúng ta lấy mẫu chúng? Càng nhiều mẫu được lấy, những mẫu sẽ diễn tả tín hiệu tốt hơn nhưng lại tốn nhiều thời gian cho sự tính toán Trả lời cho câu hỏi quan trọng này nằm ở định lý lấy mẫu miền tần sô, đó là một dạng khác của định lý lấy mẫu ở miền thời gian (phần 1.3.2) Định lý phát biểu như sau:

Phổ tần số liên tục của tín hiệu tồn tại trong một chu kỳ thời gian hữu hạn T0 giây có thẻ trình bày một cách hoàn toàn bằng những mẫu tần số mà được lấy tại những khoảng tần số ít hơn 1/H0 Hz (mẫu/giây) Phổ tần số có thể được phục hồi từ những mẫu tần số (hình 8.2)

8.1.2 DFT và đảo của nó

Đầu tiên, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) cũng như biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) được lấy mẫu tại những khoảng bằng nhau Xét một tín hiệu nhân quả x(n) DTFT của nó có được từ (4.1) với ngưỡng dưới của tổng là không

n

n j

e n x

(

N

n

n j

e n x

Bây giờ tính X (  )tại N giá trị rời rạc bằng nhau của  trong chu kỳ 2:

1,

2,1,0,

e n x k

X

N

n

kn N

j 

(DFT) (8.8)

k được gọi là hệ số phổ và X(k) gọi là tần số lấy mẫu Chuỗi x(n) có giá trị thực hoặc phức

Biến đổi ngược, tín hiệu x(n) được phục hồi như

) 1 ( , , 2 , 1 , 0 ,

) ( )

Ta thấy DFT và IDFT thì giống như chuỗi Fourier rời rạc thời gian của x(n) tại chu kỳ N (phần 3.4)

Từ sự định nghĩa của DFT, ta dễ dàng thấy rằng X(0) là thực nếu x(n) thực

DFT áp dụng cho hệ thống

1 , , 2 , 1 , 0 ,

) ( )

(

1

0

) / 2

e n h k

H

N

n

kn N

j 

(DFT) (8.10)

1 , , 2 , 1 , 0 , )

(

1 )

(

1

0

) / 2

 



N n

e k H N n

h

N

k

kn N

j 

(IDFT) (8.11)

Sự định nghĩa ở (8.8), (8.9), (8.10) và (8.11) là DFT N điểm Nếu ta tính X(k) từ (8.8) ở ngoài dải0k N1, ví dụ với Nk 2N1 hoặc 2N1k 0, ta sẽ thấy giá trị được lặp lại, nghĩa là, X(k) tuần hoàn với chu kỳ N giống như vây, Nếu ta tính x(n) từ (8.9) ta sẽ thấy giá trị lập lại nghĩa là x(n) tuần hoàn với chu kỳ N (tại thời điểm ban đầu ta xét x(n) là một chuỗi có chiều dài N từ

Vì vậy

kn N j kn

kn N j kn

1 1

) ( )

1

0

) / 2 (

(b) Từ sự định nghĩa của DFT

N

n

kn N j

e k

Tổng có giá trị là N với k= 0, và 0 khi k 0 Vì vậy

) ( ) (

(c) Từ sự định nghĩa của DFT

1 , , 1 , 0 1

) ( )

(

1

0

, ) / 2 ( )

/ 2 ( )

/ 2 ( 0 3

e e

e n n k

X

N

n

kn N j kn N j kn N

(d) Từ sự định nghĩa của DFT

0

) / 2 (

4( )

N

n

n k N j N

n

kn N j n

e e

) / 2 (

N k N j









(e) Chú ý rằng x5(n)là xung chữ nhật số (thấy ) có độ rộng không mẫu

Như trong (4.10a) và (4.10b), ta viết

n

kn N

W

W W

k X

(

0

0 1

0 5

) / sin(

) / sin(

) (

0 2

/ ) 1 ( ) / 2 ((

2 / 2 /

2 / 2

/ 2

/ ) 1 ( 5

0

0 0

N k

N kn e

W W

W W

W k X

n k N j

k N k

N

kn N kn

N n

k N

cos)

e e

n n

Vì vậy

n k j N

n

n k j

N

e k

1

0

) ( 2

1 1

0

) ( 2

) (

N

n

n k k j N

n

n k k j

N

e k

Tổng thứ nhất bằng không với k k0, và bằng N với k k0 Tổng thứ hai bằn không với

) ( N k0

k   , và bằng N với k  ( N  k0) Vì vậy biến đổi là

0 0

2

1 ,)

otherwise

, 0

Ta có thể hiểu ( 2  / N) k là tần số DFT và viết

1, ,1,0,

) ( )

e n x X

W

n

n j k

k



1 , , 1 , 0 ,

) ( )

e X n

N

k

k N

) ( )

( )

(

3

0

) 2 / ( 3

0

) 4 / 2 ( 4

n h e

n h k

H

n

kn j n

kn

Bây giờ

6 3 2 1 )

0 ( , 0

3

0

01 ) 2 /

2 2 3

2 )

( ,

3

0

1 ) 2 / (

2 2

) ( ,

3

0

2 ) 2 /

e e

e e

H k

2 2 3

2 3

) ( ,

3

0

3 ) 2 / ( 2

(b) Trong hình 8.3 ta có thể tưởng tượng rằng đáp ứng tần số liên tục (đường chấm) được lấy mẫu đồng nhất tại 4 điểm Bây giờ ta muốn biết liệu đáp ứng xung có phục hồi một cách đầy

đủ từ những mẫu này hay không

Đầu tiên, DFT đảo được cho bởi

1 , , 1 , 0 ,

) ( 4

1 ) (

3

0

) 2 / (



N k

e k H n

4

1 )

( 4

1 ) 0 (

) ( 4

1 ) 1

(

:

1

3 ) 2 / ( 2

) 2 / ( 1 ) 2 / ( 0

) 2 / (

1 ) 2 / ( 3

0 2

j j

k j k

e j e

e j e

e k H h

20000 





(b) Tần số gốc tương tự  rad/sec liên hệ với tần số số  rd/sample bằng ( 1.39), nhưng ở đây ta viết

s k

f k





DFT N điểm nghĩa rằng DTFT được lấy mẫu tại N điểm tần số Vì vậy tần số DFT

1, ,1,0,

1000

22

()(k X R k jX I k X k e j k

Với

) ( ) ( )

( k X2 k X2 k

và

) ( ) (

) ( arg )

R I

arctg k

x

Tìm phổ biên độ và phổ pha của DFT 10 điểm

Giải

Với DFT 10 điểm, N = 10 và chuỗi số bắt đầu từ n = 0 đến n N19 Vì vậy chuỗi được cho có

7 mẫu, ta cộng thêm 2 mẫu không tại phần cuối của nó để bậc tổng số là 10 mẫu Vì vậy chuỗi được thêm không vào là

 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 

) ( n 

0

) / 2 (

) ( )

(

n kn n

kn N j

W e

n x k

Bằng cách sử dụng công thức chuỗi hình học hữu hạn, ta có

9 , , 1 , 0 ,

) 0 / sin(

) 2 / sin(

1 ) (

5 / 4

7 2

k e

W

W W

k X

k j k

k k

) 2 / sin(

) (

k

k k

) 2 / sin(

, 5 4

0 ) 10 / sin(

) 2 / sin(

, 5

4 ) (

k

k k

n x

,0

1 ,,1,0,)

(a) Tìm DFT của nó

(b) Dẫn xuất ra số điểm DFT với N L

Giải

(a) Từ(8.1) DFT được cho bởi

2 / ) 1 (

1

0 1

0

)2/sin(

)2/sin(

11

)()

L j

L

n

n j L

n

n j

e L e e

e e

n x X

Phổ biên độ và pha của X() có được từ kết quả trên với chiều dài L (ví dụ 3.5.1)

(b) DFT N điểm X (k)của x(n) là DTFT X() tính tại N khoảng tần số đồng nhất (8.7):

1, ,1,0,)/sin(

)/sin(

1

1)

/ 2

N k

N kL e

e k

N kL j

0,)(

k L k X

Điều này giống với ví dụ 8.1.1b và 8.1.1e

Dù DTFT X()trình bày tuần tự x(n) trong miền tần số vì  liên tục, nhưng L điểm DFT không cung cấp đủ chi tiết đặc tính phổ của x(n) vì khoảng tần số giữa những điểm tần số không đủ gần Giải pháp cho vấn đề này là lấy N điểm DFT với N > L, điều này đồng nghĩa với việc tăng chiều dài của chuỗi tín hiệu L đển N bằng cách cộng thêm N-L mẫu không (đây là cách thêm không như trên)

Ví dụ 8.1.6 [Trích từ A Antoniou, 2006]

(a) Tìm phổ DFT của chuỗi tuần hoàn với chu kỳ N = 10

(b) Bây giờ chuỗi được thêm không vào cuối để chiều dài từ 10 thành 20 Tìm phổ DFT sau khi thêm không

(b) Với sự thêm không để tăng từ 10 đến 20 mẫu Tính toán giống như trong (a) ta có phổ được

N x x

x

) 1 ( ), , 1 ( ), 0 (

) 1 ( ), , 1 ( ), 0 (

Thật ra, x và X là những vector cột N1 nhưng được viết ở dạng chuyển vị Đầu tiên ta định nghĩa

1 1

1 ,

11

N N N N

N N N N

n

kn

N

W W

W W W

0

12 9 6 3

8 6 4 2

4 3 2 1

0 0 0 0

N

N N N N

N N N N

N N N N

N N N N

W

W W W W

W W W W

W W W W

W W W W

Từ điều này xW1 X Thật ra, ở đây không cần tính nghịch đảo W1 của W, vì tính chất định nghĩa DFT và IDFT, W1W */N Vì vậy ma trận IDFT là

X W N

6 4 4 4 2 4

3 4 2 4 1 4

111

1111

W W W

W W W

W W W

Từ thuộc tính đối xứng và tuần hoàn (phần 8.2) ta có

,1,

j j

1012

0011

11

111

1

11

111

1

X

Đó là

(8.16)

 T

j 1 0, j, - 1 2,

Bây giờ IDFT là

X x

4

6 4 4 4 2

4

3 4 2 4 1

1

4

1

W W W

W W W

W W W

1012

11

1111

11

1111

41

j

j

j j

j j

Đây là

]0,0,1,[)(n  1

x như mong đợi

bx (n)

và a và b là những hằng số

Thuộc tính tuyến tính có thể diễn tả như: DFT là sự kết nối tuyến tính của nhiều tín hiệu cũng có DFT tuyến tính

8.2.4 Đối xứng (với tín hiệu thực)

Xét trường hợp tín hiệu thực thì từ định nghĩa DFT là đối xứng

10

n

kn N N

n

n k N

W n x k

0

) (

) ( )

( )

N

n

kn N

W n x

Như ta biết từ (8.12d) WN*  WN 1, vì vậy nếu x(n) thực phần bên phải của công thức trên làX*( k )Nếu x(n) thực thì X(0) cũng thực vì vậy X(N)X*(0) cũng thực Sự đối xứng này còn được gọi là liên hiệp phức đối xứng

Quan trọng hơn, khi N chẵn, thường là mũ của 2, DFT X(k) sẽ là một hàm đối xứng của k qua điểm giữa N/2 ( nhìn lại ví dụ 8.1.2), đặc biệt, phổ biên độ đối xứng chẵn và phổ pha đối xứng lẻ qua điểm giữa

20

,22

N k k

N X k

,22

N k k

N k

Thật ra CTFT (3.16) và DTFT (3.44) cũng thể hiện thuộc tính đối xứng

Vì vậy với tín hiệu có giá trị thực ta chỉ cần tính nửa bên phải đầu tiên của X(k) Nếu N lẻ đối xứng có giá trị là một nửa số nguyên 0.5N Hình 8.5 chỉ sự đối xứng của hai trường hợp trên N chẵn

và lẻ Hình 8.6 minh họa phổ biên độ và pha của tín hiệu thực

Hình 8.5: Đối xứng của DFT với tín hiệu thực

Hình.8.6 : Phổ biên độ và pha DFT 256 điểm của tín hiệu

Dịch chuyển thời gian của chuỗi x(n), cĩ cả trễ và tới trước, hoặc dịch chuyển tần số của phổ X(k), với

k tăng hoặc giảm, là một dịch vịng, khơng phải dịch tuyến tính, vì x(n) và sự mở rộng tuần hồn của

nĩ và X(k) thì tuần hồn tại chu kỳ N Xét một chuỗi x(n) bao gồm những mẫu từ x(0) đến x(N-1)

Một dịch tới trước nghĩa là dịch sang phải 1 mẫu, chuỗi mới sẽ bắt đầu từ x(1) đến x(N) với X(N) = x(0) vì sự tuần hồn Dịch tiếp tục cho chuỗi từ x(2) đến x(N+1 với x(N) = x(0), và x(N+1) = x(1)…Sử dụng cánh minh họa dịch vịng để minh họa những mẫu được sắp xếp quanh một đường trịn

với gốc thời gian (n = 0) cố định Hình 4…minh họa điều này

Xét x(n) là một chuỗi với chiều dài hữu hạn N trong khoảng [ 0 , N  1 ] và khơng bên ngồi Một chuỗi tuần hồn xp(n) được hình thành từ x(n) như sau

xp(n) = x(n mod N) (Mở rộng tuần hồn) (8.23)

Với mod N là tốn hạng module, mà được định nghĩa như

,

, ,

mod

Với n dương, tốn tử module là phần dư sau khi chia n cho N, ví du

0 mode 3 = 0 , 1 mod 3 = 1, 2 mod 3 = 2, 3 mod 3 = 0, 4 mod 3 = 1, 9 mod 3 = 0, 11 mod 3 = 2

Với n dương chọn dấu để 0niN N, ví dụ (for N = 3)

4 mod 3 = 4 – 3 = 1, 9 mod 3 = 9 – 3N = 0, 11 mod 3 = 11 – 3N = 2

Với n âm chọn dấu để 0 < n + iN < N, ví dụ (for N = 3)

4 mod 3 = 4 – 3 =1, 9 mod 3 = 9 – 3N = 0, 11 mod 3 = 11 – 3N = 2

Với n âm ta chọn dấu để 0niN  N, ví dụ (for N = 3)

(-1) mod 3 = -1 + N = 2, (-2) mod 3 = -2 + N = 1, (-3) mod 3 = -3 + N = 0

(-4) mod 3 = -4 + 2N = 2, (-5) mod 3 = -5 + 2N = 1, (-9) mod 3 = -9 + 3N = 0

Hình 8.8 minh họa sự hoạt động n mod 3 Chú ý rằng kết quả thì tuần hồn với chu kỳ 3

x(2)

0 -1

dịch chuyển tới (trì hoãn)

3

Hình 8.8 Sự hoạt động của n mod 3

Chuỗi tuần hoàn xp(n) định nghĩa trong (8.23) được gọi là sự mở rộng tuần hoàn của x(n) Chú

ý rằng xp(n) = x(n) với 0nN1 và xp(n) mở rộng x(n) một cách tuần hoàn trong cả hướng âm

và hướng dương Từ sự mở rộng tuần hoàn (8.23) sự mở rộng tuần hoàn của chuỗi x(n) được dịch thời gian bởi n0 là

Một dịch vòng của mẫu n0 của chuỗi x(n) có N mẫu có thể diễn tả

]

N mod ) n x[(n ) n (n

Sự mở rộng tuần hoàn của thuộc tính dịch thời gian tương ứng như dịch vòng Ta có thể suy luận N mẫu của tín hiệu x(n) được chuyển thành những điểm xung quanh đường tròn (hình 8.6), thì sự mở rộng tuần hoàn xp(n – n0) sẽ trình bày tín hiệu x(n) mà được dịch ngược chiều kim đồng hồ bởi n0

mẫu Hình 8.9 minh họa dịch tuyến tính và dịch vòng tương ứng với chuỗi gồm 5 điểm

x cs

Ví dụ 8.2.2

Cho tín hiệu

) 5 ( 2 ) ( ) (

2

10 4

k X e k

e k

-2 -3 -4

(b) Nhân X1(k) với mũ phức  j(2/N)km tương ứng với dịch tròn x1(n) đi m điểm Here m = -2 means x1(n) is shifted backward 2 points Thus

) 8 ( ) 3 ( 2 ] 10 mod ) 2 [(

-1

3

-2 -3

xp(-n)

5

5

Cho tín hiệu

)3()2(2)1(3)(4)

n

kn j

W n x e

n x k

0

*

)(

])([)

()

(

N

n

n N k N

N

n

kn N N

n

kn N

W n x

W n x W

n x k

X

Điều này có nghĩa X*(k) là DFT của x*(n) mà dịch vòng đi (N – n) điểm Vì vậy tín hiệu y(n) là

] , 1 , 1 , 1 , , [

]}

mod ) [(

) ( { ) (

2 3 2

3

* 2

DFT dịch thời gian vòng với chuỗi N điểm x(n) mẫu n0 được cho bởi

X(k) W

) n (n

N 0

(8.26)Với X(k) là DFT của x(n) Ngược lại, với dịch tần số vòng ta có đôi biến đổi

)modN]

k )[(k k (k X x(n)

0

2

)(

1)(

N

k N

n

k X N n

1 N n

là công suất phổ tại tần số k (nghĩa là, tại tần số fk được cho trong 8.6b) và cũng được gọi là mật độ

phổ công suất (PDS) hoặc phổ công suất (phổ) mật độ (PSD), cũng được gọi là periodogram, và chú thích là S N (k):

)(

1 1

0 2

j j

W W W W

W W W W

W W W W

W W W W

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

9 4 6 4 3 4 0 4

6 4 4 4 2 4 0 4

3 4 2 4 1 4 0 4

4 0 4 0 4 0 0 4

3 3 4

j

j X

Hoặc

 ,3 3,2,3 3)

Bảng 8.1 cho ta thuộc tính của DFT Nhân chập sẽ được thảo luận sau

Bảng: 8.1 những thuộc tính chính DFT của một chuỗi thời gian có chiều dài N

) ( )

ax  )

(n

x real )

( n

x 

)(n n0

x p 

) (

0 x n

WN n

)(

*

n x

)(

*

n

x p  , real x(n) x(n) * h(n)

) ( ) ( n h n x

) ( )

) ( )

)()

X(-k)

)(

0X k

W p kn

)(k k0

X p N 

][

*

k

X p ) (

*

k X

) ( ) ( k H k X

n

n x

)(

*)(

N

) ( ) ( k Y* k X

()

()]

2(

j j

e k X e

k X n

]2,0,2,[)()()]

] 2 , 0 , 2 , [ ) ( ) ( )]

(

j j

j j

k X k X n x DFT

Ví dụ 8.2.6

Tìm DFT của tín hiệu

 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 

) ( n 

x

Giải

Tín hiệu chỉ có hai mẫu nhưng được thêm không để có chiều dài N  8 DFT là

7, ,1,0,

1

)(

)

(

4 /

1

0

) 8 / 2 ( 7

e W

nk j n

0 1

)

3

(

1 1

)

2

(

707 0 707 1 1

)

1

(

2 1

2 /

4 /

X

j e

X

j e

X

X

j

j j

1)2()68()6(

707.0293.0)3()58()5(

X X

j X

X X

j X

X X

X

Ngược lại DFT của chuỗi đó là:

kn N N

n N

n

kn N j

W n x e

n x k

0

) / 2 (

) ( )

( )

Vì vậy X(k) là X(z) khi thay z bằng k

N k N j

W

e ( 2  / ) 

: 11

X(k) là X(z) được tính trên vòng tròn đơn vị tại những điểm W N k

Nhớ rằng DTFT của x(n) cũng có biến đổi z trên vòng tròn đơn vị (phần 4.2.5) tại z  ej Bằng định thức Euler

)sin(

)

k j

Hình 8.10: DFT 8 điểm và biến đổi z tương ứng trên vòng tròn đơn vị

2  j

j

)1(

2   j

-1

) 1 (

2   j j



)1(

2  j

8.3 NHÂN CHẬP TRÒN VÀ THÊM KHÔNG

Nhân chập tuyến tính của x(n) với chiều dài Nx với h(n) có chiều dài Nh được định nghĩa trong (2.6) được lặp lại ở đây:

h n x n

()

Trường hợp DFT của hai chuỗi x(n) và h(n) được cho có cùng chiều dài N (nếu không, ta phải thêm không để chúng bằng nhau) Cho x(n) và h(n) là chuỗi N điểm, và cho hp(n) là sự mở rộng tuần hoàn của h(n), thì nhân chập tròn của x(n) với h(n), được chú thích c(n), định nghĩa như

p (n m) x(m)h

h(n) x(n)

N mod m) x(m)h[(n h(n)

x(n)

thay vào đó ta viết x(n)h(n) ta có thể đặc biệt chiều dài N và viết x (n) h (n)

Nhân chập vòng c(n) là tuần hoàn, và có thuộc tính giao hoán với nhân chập tuyến tính, nghĩa

là,

)()()()(n h n h n x n

Trong DFT, thuộc tính nhân chập vòng trong miền thời gian là

)()()

()

Ngược lại, ta có thuộc tính của nhân chập tròn trong tần số (cũng được gọi là thuộc tính modulation)

)()(1)

()

N n

h h

Bước 3

Tạo h(n – m) với n dương, ta dịch vòng h(-m) theo ngược chiều kim đồng hồ và với n âm dịch vòng h(-m) theo cùng chiều kim đồng hồ Sau đó, ta lấy tổng của tích x ( m ) h ( n  m )như trên Ở đây h(1- m) được chỉ trong hình 8.11c và kết quả là y(1)10 Dịch tiếp (hình 8.11d) sẽ cho ta y(2)6 Tiếp tục ta sẽ có y(3)14 Kết quả nhân chập là

]14,6,10,[)()()(n x n h n  10

h

1)1

x

4 ) 3 (

h

1)1

x

2)1

) 2 (

h

1)0

x

4)3

) 0 (

h

1)0

h

1)1

x

3)2

3

(d) y(2)231221(1)46

Hình 8.11: Ví dụ 8.3.1

Điều này giống như trước

Biết nhân chập tuyến tính ta có thể rút giảm nhân chập vòng Nếu y(n) là nhân chập tuyến tính của hai chuỗi x(n) và h(n) có cùng chiều dài N, thì nhân chập vòng tương ứng của hai chuỗi này được cho bởi

) ( ) (

) ( ) ( )

otherwise

N n

n

rN

, 0

1 , , 1 , 0 ,

1 )

( ) ( )

m = 1, vì vậy

) ( )]

4 ( ) ( [ )

2 5 10 14

8 5 -4 0

8 5 -4 0

0 0 0 0 c(n) 10 10 6 14 - - - -

Kết quả như trên

8.3.3 Công thức ma trận của nhân chập vòng

Vì nhân chập vòng là sự biến đổi tuyến tính từ x(n) đến c(n), nó có thể hình thành công thức ma trận như DFT (phần 8.1.3) Đầu tiên viết chuỗi x(n) và c(n) như những vector cột:

N x x

Với ma trận vuông C(h) là những cột được quay của h(n) Ví dụ, với N = 4 ma trận là

N

)2()3()0()1(

)1()2()3()0(

)(

h h h h

h h h h

h h h h

h h h h h

 2 x

4,3

 5 h

453

345)

534

453

345

)x C(

]0, ,0),1(), ,1(),0([)

x

]0, ,0),1(), ,1(),0([)

)()(

)()()(

x

N

zp z

N

m

zp z

z z

m n h m x

m n h m x

n h n x n c

(8.44)

Nx-1

Vì 0mN hvà 0nN, giá trị nhỏ nhất của m và n là –(Nh - 1) Nhưng hz(m) có Nh – 1 zeros padding tại cuối, thì hzp(-m) = 0 với 0mN h Điều này có nghĩa hzp(n – m) có thể được thay thế bằng hz(n – m), mà cho nhân chập tuyến tính xz(n) với hz(n) Nếu ta cộng thêm nhiều không hơn mức cần thiết (N > Nx + Nh -1) kết quả cũng giống như vậy

Ví dụ 8.3.3

Hai chuỗi là

]1,1,0,[)(n  1

x

]4,3,2,1[)(n 

h

(a) Tìm nhân chập vòng và so sánh với nhân chập tuyến tính

(b) Zero-pad chuỗi để nhân chập vòng đưa ra nhân chập tuyến tính

Giải

(a) Sử dụng bất kỳ phương pháp nào được nói trên, ta có

72141301

(n x n h n  7

c

Trong khi nhân chập tuyến tính có thể được tìm thấy như

]4,7,5,7,4,2,[)()()

)

(n  1

x z

]0,0,0,4,3,2,

(n x n h n  1

mà giống như nhân chập tuyến tính

61121403

hình.8.12: Nhân chập vòng hai chuỗi x(n) và h(n) (a) khi N N xN h1(nhân chập vòng khác nhân chập tuyến tính, (b) khi N N xN h1) ở đây không có sự trùng lắp

Kết luận, điều kiện để nhân chập tròn bằng với nhân chập tuyến tính là

1 N N

N x  h c(n)

(8.45)

Hình 8.12 giải thích tại sao nhân chập vòng không bằng với nhân chập tuyến tính Khi

8.4 FAST FOURIER TRANSFORM

Trở lại đôi biến đổi (8.8) và (8.9)

1 ,,1,0,

)()

()

(

1

0

) / 2 ( 1

W n x e

n x k

X

N

n

kn N kn

N j N

1, ,1,0,

)(

1)

(

1)

(

N

k

kn N N

k

kn N j

N n

W k X N e

k X N n

Với w được viết với N ej(2/N), và vì vậy e j(2/N) W N* Sự tính toán của DFT thì giống với sự biến đổi của IDFT Vì vậy bất kỳ thuật toán tính toán cho DFT có thể áp dụng cho IDFT với sự bổ sung thêm một số điểm nhỏ Đầu tiên xét sự tính toán của DFT trực tiếp từ (8.46)

Với tín hiệu giá trị thực x(n)

n x k

0

sincos

)()



Mà cho phần giá trị thực, phần ảo, biên độ và pha như sau

kn n

x k

kn n

x k

) ( ) ( )

X k k

(

N

n

N I

N R

(

N

n

N R

N I

Vì vậy, trong sự tính toán của DFT và IDFT là straighforward Nhưng vấn đề với N lớn ở đây cần một

số lớn sự tính toán theo thời gian Mỗi hệ số đặc biệt X(k) đòi hỏi N phép nhân và cộng phức, vì vậy N

10242 8 Thời gian này thì không dài nhưng trở nên chậm trong những ứng dụng thời gian thực

Thật ra ở đây có những thừa số khác mà giúp ta giảm thời gian tính toán Ví dụ sự nhân có giá trị 1 (không cần nhân) và  j (thay đổi phần thực và ảo) Bảng 8.3 minh họa trường hợp của N =

8 Thay vì 8864giá trị khác nhau, ở đây có 4 giá trị khác nhau (không đề cập tới dấu): 1, j,

2/)1

(8.49a) (8.49b)

(8.50c) (8.50b

(8.50d)

Table.8.3: The values of ej(2/8)kn

Vào năm 1968’s cooley and Tukey đã phát triển thuật toán đối xứng để tính DFT và IDFT gọi

là biến đổi Fourier nhanh (FFT) mà chỉ cần N

Nlog toán hạng thay vì 2 N toán hạng Ví dụ, với 2

1024

210



N , biến đổi trực tiếp cần 6

10 toán hạng trong khi FFT chỉ cần 10 toán hạng 4

Ý tưởng chính của FFT là sự sắp xếp đối xứng cho sự tính toán

Thật ra, thành phần FFT bao gồm nhiều thuật toán khác nhau với những đặc điểm khác nhau như độ phức tạp mã hóa, không gian bộ nhớ, thời gian tính Trong phần này, ta giới thiệu hai thuộc toán FFT: decimation-in-time và decimation-in-frequency Và chiều dài N là mũ của 2 (radix-2 FFT),

ví dụ, N = 8, 16, … , 1024 Kỹ thuật thêm không có thể sử dụng khi cần thiết Ta sẽ thấy rằng DFT được cấu trúc từ DFTs 2 điểm cơ bản

Trước khi thảo luận những thuật toán này, ta nhìn vào bảng 8.4 cho ta những thuộc tính khác nhau của thừa số

Bảng 8.4:Những thuộc tính của k

W

k

*

2 / 2

2 /

4 / 3

2 /

4 / 0

5

4

1

3

2

1

k N k N

k N N

k N

k N N k N

N N

N N

N N

N N N

W W

W W

W W

W W

W

j W

W

j W

W

8.4.1 Phân giải thời gian FFT

Đầu tiên xét DFT 2 điểm mà có hai mẫu đầu vào x(0) và x(1) Mẫu ngõ ra X(0) và X(1) được cho bởi

1,0,)()

1()0()1(

)1()0()0(

1

W x x X

x x X

Vì vậy DFT 2 điểm yêu cầu hai cộng và không có nhân Giản đồ được vẽ trong hình 8.13

Hình 8.13: Giản đồ của DFT 2 điểm (hình cánh bướm cơ bản)

Bây giờ xét trường hợp N = 4.mẫu phổ ngõ ra được cho bởi

4)3()1()2()0()0

4 2

4 (1) (3))

2()0()1

4)3()1()2()0()2

    3

4 2 4 2

4 (1) (3))

2()0()3

j W

4 2

4 1

4 0

Hình 8.14 là giản đồ tín hiệu của DFT 4 điểm gồm hai DFT 2 điểm và một phần kết nối Chú ý rằng ở đây chỉ có 4 loại nhân (hoặc trọng số hoặc sự chuyển): 1, -1, j và –j

)0(

x

)1(

x

+

+

)0(

X

)1(

(8.52a) (8.52b) (8.52c) (8.52d)

)2()0

)2()0