Tài liệu xử lý số liệu - chương 2

Tài liệu xử lý số liệu - chương 2 - Tín hiệu rời rạc theo thời gian

Chương 2 TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN

2.1 Tín hiệu rời rạc theo thời gian

Tín hiệu tương tự thường liên tục theo thời gian Bằng cách lấy mẫu tín hiệu, ta được tín hiệu rời rạc theo thời gian, còn gọi là tín hiệu số (digital signal) Chương này sẽ trình bày về hệ thống xử lý tín hiệu số (về phương diện mạch thì gọi là DSP – Digital Signal Processor)

Trong chương 1, ta đã khảo sát tín hiệu rời rạc s(nT) với n là các số nguyên Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử chu kỳ lấy mẫu T = 1 Từ đó, tín hiệu rời rạc là s(n) Một ví dụ của tín hiệu rời rạc thời gian như hình 2.1: tại thời điểm n, biên độ s(n) có thể dương, âm, thực hay phức Tóm lại, s(n) có thể nhận giá trị bất kỳ, kể cả bằng 0 hay 

Để biểu diễn tín hiệu rời rạc s(n), ta sử dụng chuỗi biên độ với ký hiệu 

xác định gốc thời gian n = 0 Khi biểu diễn tín hiệu vô hạn, ta sử dụng dấu … ở hai đầu của chuỗi

a Tín hiệu vô hạn

b Tín hiệu hữu hạn Hình 2.1 – Tín hiệu rời rạc thời gian

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

…

…

Hình 2.1a: s(n) = {…,-3,2,4,-2,1,1,-5,5,4,2,…}: tín hiệu vô hạn

2.1.1 Các tín hiệu rời rạc sơ cấp đặc biệt

- Hàm xung đơn vị: còn gọi là mẫu đơn vị

0n1

0n1

(2.2)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Hình 2.2 – Hàm xung đơn vị

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Hình 2.3 – Hàm bước đơn vị

…

0n

1 2 3 4 5 6

a < -1 Hình 2.5 – Hàm mũ thực

Khi đó:

x(n) = rnejn = rn(cosn + jsinn) (2.5)

Do x(n) là hàm phức nên nó sẽ gồm 2 thành phần: phần thực xR(n) và phần ảo xI(n):

xR(n) = rncosn

2.1.2 Phân loại tín hiệu rời rạc

Việc phân loại tín hiệu sẽ dựa vào đặc tính của tín hiệu Tín hiệu có các cách phân loại sau:

2.1.2.1 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất

Năng lượng của tín hiệu:

N

2

) ( 1 2

2

)n(

1lim

2

)n(



N

0 n

1lim





 =

1N2

1Nlim

2.1.2.2 Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn

Một tín hiệu s(n) gọi là tuần hoàn với chu kỳ N (N > 0) nếu và chỉ nếu:

Giá trị N nhỏ nhất gọi là chu kỳ cơ sở của tín hiệu tuần hoàn Nếu không tồn tị giá trị N nào để phương trình (2.12) thỏa mãn thì tín hiệu gọi là không tuần hoàn

Năng lượng của tín hiệu tuần hoàn s(n) là hữu hạn trong một chu kỳ khi giá trị của tín hiệu là hữu hạn Tuy nhiên, trên toàn bộ tín hiệu thì giá trị này là vô hạn Mặt khác, công suất trung bình của tín hiệu là hữu hạn và tương đương với công suất trung bình của tín hiệu trong một chu kỳ Công suất trung bình của tín hiệu tuần hoàn:

P = 



1 N

0 n

2

)n(sN

2.1.3 Các phép toán đơn giản trên tín hiệu rời rạc

2.1.3.1 Biến đổi trên miền thời gian

- Dịch:

Tín hiệu s(n) được gọi là dịch trên miền thời gian nếu thay biến n bằng n-k với k là số nguyên

Nếu k > 0: tạo thành tín hiệu trễ

Nếu k <0: tạo thành tín hiệu sớm

- ảnh gương: tín hiệu s(-n) gọi là tín hiệu ảnh gương của s(n)

Chú ý rằng hoạt động dịch và ảnh gương không có tính giao hoán Gọi TD

là hoạt động làm trễ tín hiệu (time delaying) và RT là hoạt động ảnh gương (reflection) Ta có:

TDk[s(n)] = s(n – k), k >0

Từ đó:

TDk{RT[s(n)]} = TDk{s(-n)} = s(-n + k) RT{TDk[s(n)]} = RT{s(n – k)} = s(-n – k) (2.20)

 TDk{RT[s(n)]}  RT{TDk[s(n)]}

- Co: tín hiệu s(µn) với µ nguyên gọi là tín hiệu co của s(n)

Ta có: s(n) là tín hiệu lấy mẫu của tín hiệu gốc s(t) với chu kỳ lấy mẫu 1 nên s(µn) cũng là tín hiệu lấy mẫu của s(t) nhưng sử dụng tần số lấy mẫu µ Như vậy, quá trình co tín hiệu lấy mẫu thực chất là tăng chu kỳ lấy mẫu của tín hiệu µ lần  quá trình này còn gọi là giảm tần số lấy mẫu (downsampling)

2.1.3.2 Biến đổi biên độ

Quá trình biến đổi biên độ của tín hiệu lấy mẫu bao gồm: cộng, nhân và

mà không cần quan tâm đến cấu trúc của hệ thống (hệ thống xem như là một

"hộp đen" đối với người sử dụng)  ta chỉ cần biết quan hệ giữa ngõ vào và ngõ

H

ra của hệ thống (input-output relationship) Khi đó, hệ thống thường được mô tả bằng phương trình tín hiệu vào – ra

3nn

Bộ sớm cũng có thể thực hiện giống như bộ trễ

VD: Biểu diễn các hệ thống theo sơ đồ khối:

2

1)n(x2

1)1n(x4

Hệ thống động hay có nhớ là hệ thống sử dụng thêm trạng thái sớm hay trễ của tín hiệu Nếu ngõ ra tín hiệu chỉ xác định được khi phải biết tất cả các giá trị từ n – N đến n thì hệ thống được gọi là nhớ với chu kỳ N

)kn(

)kn(

với mọi x(n) và khoảng dịch k

VD: Xác định các tín hiệu sau là bất biến hay biến thiên theo thời gian

 y(n) = x(n) – x(n – 1) (bộ sai phân)

y(n,k) = x(n – k) – x(n – k – 1)

Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k:

y(n – k) = x(n – k) – x(n – k – 1)

 hệ thống bất biến theo thời gian

 y(n) = nx(n) (bộ nhân thời gian)

y(n,k) = (n – k)x(n – k) Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k:

y(n – k) = nx(n – k)

 hệ thống biến thiên theo thời gian

 y(n) = x(-n) (bộ tạo ảnh gương)

y(n,k) = (-n – k) Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k:

y(n – k) = x(-(n – k)) = x(-n + k)

 hệ thống biến thiên theo thời gian

 y(n) = x(n)cosn (bộ điều chế)

y(n,k) = x(n – k)cos(n – k) Tạo trễ tín hiệu y(n) một khoảng k:

y(n – k) = x(n – k)cos(n – k)

 hệ thống bất biến theo thời gian

2.2.1.3 Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến Định lý: Hệ thống là tuyến tính nếu và chỉ nếu:

H[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1H[x1(n)] + a2H[x2(n)] (2.26) với mọi tín hiệu ngõ vào x1(n), x2(n) và các hằng số a1, a2

Nghĩa là nếu x(n) = 0 mà y(n)  0 thì hệ thống là phi tuyến Hệ thống thỏa

mãn phương trình (2.29) gọi là hệ thống lỏng (relaxed system)

VD: Xác định các tín hiệu sau là tuyến tính hay phi tuyến

 y(n) = nx(n)

y1(n) = nx1(n)

Ta có thể xác định hệ thống phi tuyến dựa vào (2.29) như sau: nếu x(n) =

0 thì y(n) = ex(n) = e0 = 1  0 nên hệ thống là phi tuyến

2.2.1.4 Hệ thống nhân quả và không nhân quả Định lý: Hệ thống là nhân quả nếu và chỉ nếu ngõ ra của hệ thống chỉ phụ

thuộc vào các ngõ vào ở hiện tại và quá khứ (x(n), x(n – 1), x(n – 2), …) mà không phụ thuộc vào ngõ vào ở tương lai (x(n + 1), x(n + 2), …) Hệ thống không thỏa mãn điều kiện này gọi là không nhân quả

VD:

y(n) = x(n) – x(n – 1) là nhân quả y(n) = x(n2) là không nhân quả y(n) = x(2n) là không nhân quả

2.2.1.5 Hệ thống ổn định và hệ thống bất ổn Định lý: Một hệ thống lỏng là ổn định nếu và chỉ nếu bất kỳ ngõ vào bị

chặn nào cũng sẽ có ngõ ra bị chặn, nghĩa là tồn tại 2 số Mx, My hữu hạn sao cho:

VD:

y(n) = 2x(n) là ổn định y(n) = y2(n – 1) + x(n) Giả sử x(n) = 2(n) và y(-1) = 0

y(0) = y2(-1) + x(0) = 2 y(1) = y2(1) + x(1) = 22 + 0 y(n) = y2(n – 1) + x(n – 1) = 22n không bị chặn  hệ thống bất ổn

2.3 Hệ LTI rời rạc (Discrete Time Linear Time

Invariant)

2.2.3 Đáp ứng

Thông thường ta giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian để thuận lợi trong việc phân tích và thiết kế Hệ thống cũng thường xét là hệ thống nhân quả và lỏng (nghĩa là nếu ngõ vào bằng 0 thì ngõ ra cũng bằng 0)

kn()k(x

Chú ý rằng (2.34) chỉ ứng dụng tính chất tuyến tính của hệ thống mà không dùng tính chất bất biến theo thời gian nên có thể áp dụng cho bất kỳ hệ thống tuyến tính lỏng nào

Trong hệ thống bất biến thời gian, đáp ứng xung của hàm trễ là:

Công thức (2.36) chính là tích chập của tín hiệu ngõ vào x(n) và đáp ứng xung đơn vị h(n) Quá trình tính tích chập y(n0) có thể mô tả như sau:

 Tạo ảnh gương: tạo ảnh tại k = 0 để tạo thành h(-k)

 Dịch h(-k) sang phải nếu n0 > 0 và sang trái nếu n0 < 0 để tạo thành h(n0 – k)

 Nhân x(k) với h(n0 – k) để tạo chuỗi v(n0) = x(k)h(n0 – k)

 Cộng tất cả các giá trị của chuỗi v(n0) để tính giá trị ngõ ra tại n = n0

VD: Xác định ngõ ra của hệ thống có đáp ứng xung h(n) = {1,2,1,-1} với

Xét hai chuỗi:

w(n) = x(n – k)h(k) = v(n – k) Như vậy, v(n) và w(n) là 2 chuỗi có số lượng phần tử giống nhau nhưng vị trí khác nhau Do đó:

k

)n(v)

kn(v)

n(

và ngõ vào là hàm bước đơn vị: x(n) = u(n)

Ta dùng phương trình (2.38), thực hiện tạo ảnh gương của x(k)

y(-1) = 0 Tại n = 1:

a1a

1 n n

0 k

1)n(y

v(n) = h1(k)h2(n – k) = (½)k(¼)n-ku(k)u(n-k) Như vậy, v(n)  0 khi k  0 và n – k  0  n  k  0 Nghĩa là v(n) = 0 khi n < 0

k n 4 1 k 2



n

0 k

k n 4

h(n) = 

 1 i

i(n)

2.3.2 Hệ LTI nhân quả

Hệ LTI nhân quả là hệ chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống tại thời điểm hiện tại và quá khứ mà không phụ thuộc vào thời điểm tương lai Do đó, tại

0 1

k

0 k

n(x)k(hkhông phụ thuộc vào các trạng thái n > n0 khi các hệ số h(k) = 0 với k < 0 Nghĩa là:

)kn(x)k(

)kn(x)k(

VD: Xác định ngõ ra của hệ LTI với đáp ứng xung:

h(n) = anu(n), |a| < 1

và ngõ vào là hàm bước đơn vị: x(n) = u(n)

Do h(n) và x(n) là nhân quả nên áp dụng (2.48):

n

)kn(u)n(u

a1

0)n(h)n(h

)n(

*h

Trong đó h*(n) là liên hiệp phức của h(n) Ta có:

*h

a hữu hạn

1 m

m k

a1

a1lim

Như vậy hệ thống ổn định khi |a| < 1

VD: Xét điều kiện để hệ thống ổn định với đáp ứng xung:

0na

n n

h = 

 0 k

k

a +

b

11b

11b

1lim

1 m

k

a +

1bb

11lim

1 m

 



 hữu hạn khi |a| < 1 và |b| > 1

2.3.4 Đáp ứng xung vô hạn và hữu hạn

Ở các phần trước, ta gọi đáp ứng xung của hệ thống là h(n) Để thuận tiện hơn, ta chia đáp ứng xung thành 2 phần: đáp ứng xung có thời gian hữu hạn (FIR – Finite duration Impulse Response) và đáp ứng xung có thời gian vô hạn (IIR – Infinite duration Impulse Response) Do hệ thống FIR chỉ có giá trị trong một khoảng thời gian xác định nên đối với hệ thống FIR:

h(n) = 0 khi n < 0 và n ≥ M Ngõ ra của hệ thống FIR là:

y(n) = 





1 M

0 k

) k n ( x ) k ( h

Như vậy, ngõ ra y(n) là kết hợp tuyến tính của các tín hiệu lấy mẫu x(n), x(n – 1), … x(n – M + 1) Ta gọi hệ thống FIR là hệ thống nhớ hữu hạn

2.4 Phương trình sai phân

2.4.1 Hệ rời rạc đệ quy và không đệ quy

Xét một hệ thống tính trung bình tích lũy của tín hiệu x(n):

) k ( x 1 n

1

(2.51) Hay:

(n + 1)y(n) = 



1 n

0 k

) k (

x + x(n) = ny(n-1) + x(n)

y(n) = x ( n )

1 n

1 ) 1 n ( y 1 n

y(n) = F{x(n),x(n – 1), …, y(n – 1), y(n – 2),…} (2.53) Ngược lại, nếu ngõ ra y(n) chỉ phụ thuộc ngõ vào thì hệ thống gọi là không đệ quy:

k

) k n ( x

k

) k n ( x

Chú ý rằng (2.57) là tổng chập của x(n) với đáp ứng xung h(n) = anu(n) 

hệ thống mô tả bằng phương trình sai phân bậc 1 là hệ nhân quả và đáp ứng này gọi là đáp ứng buộc của hệ thống (forced response) Như vậy, hệ thống đệ quy lỏng mô tả bằng phương trình sai phân bậc 1 là hệ IIR LTI với đáp ứng xung h(n)

Trong trường hợp hệ thống có y(-1) ≠ 0 và ngõ vào x(n) = 0 n Đáp ứng của hệ thống trong trường hợp này (zero – input response) là:

h(n)

z-1

a

yzi(n) = an+1y(-1), n ≥ 0 (2.58) Khi đó, đáp ứng này gọi là đặc tính của hệ thống do nó độc lập với ngõ vào và còn được gọi là đáp ứng tự do của hệ thống (free response) Tổng đáp ứng của hệ thống có thể mô tả như sau:

y(n) = yzi(n) + yzs(n) Dạng phương trình sai phân tổng quát mô tả như sau:

1 k

0 k

N gọi là bậc của phương trình sai phân (bậc của hệ thống)

2.4.3 Đáp ứng của hệ LTI đệ quy

Đáp ứng xung của hệ thống LTI định nghĩa là đáp ứng của hệ thống với ngõ vào là hàm xung đơn vị Trong trường hợp hệ thống đệ quy, h(n) chính là đáp ứng buộc của hệ thống khi ngõ vào là hàm xung đơn vị và giá trị đầu bằng 0

Với hệ thống đệ quy bậc 1, đáp ứng buộc của hệ thống (2.55):

k

) k n ( x

k

)kn(

)kn(x)k(

)kn(x)k(

2.5 Thực thi của hệ thống rời rạc

2.5.1 Cấu trúc của hệ thống LTI

Xét hệ thống bậc 1:

y(n) = - a1y(n – 1) + b0x(n) + b1x(n – 1) (2.64) được mô tả như hình vẽ:

Hình 2.10 – Dạng trực tiếp 1 Dạng biểu diễn của hệ thống sử dụng cả bộ trễ ở cả ngõ ra và ngõ vào gọi

là cấu trúc dạng trực tiếp loại 1 Hệ thống trên hình 2.10 được biểu diễn ở dạng 2

hệ thống ghép liên tầng Tầng đầu tiên không đệ quy mô tả như sau:

Tầng thứ hai là tầng đệ quy:

Theo tính chất giao hoán của hệ LTI, ta có thể thay đổi vị trí của hai tầng

đệ quy và không đệ quy:

y(n) = b0w(n) + b1w(n – 1) Hai phương trình sai phân (2.67) mô tả như hình vẽ sau:

Hình 2.11 Theo hình 2.11, hai bộ trễ đều tạo thành tín hiệu w(n – 1) nên có thể ghép thành chỉ một bộ trễ như sau:

y(n) = − 𝑁𝑘=1𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘)+ 𝑀𝑘=0𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) (2.68) Cấu trúc trực tiếp loại 1 và loại 2 của (2.68) mô tả như sau;

Hình 2.13 – Cấu trúc trực tiếp loại 1

Hình 2.14 – Cấu trúc trực tiếp loại 2 Xét trường hợp của phương trình (2.68) với ak = 0 (k = 1, …, N):

hệ thống trung bình động (MA system) Hệ thống này chính là hệ thống FIR với đáp ứng xung:

2.5.2 Hệ thống FIR đệ quy và không đệ quy

Xét phương trình cơ bản của hệ thống nhân quả , đệ quy:

y(n) = F[y(n – 1), …, y(n – N), x(n), …, x(M)] (2.72) Hay cụ thể hơn là phương trình sai phân biểu diễn hệ LTI:

y(n) = − 𝑁𝑘=1𝑎𝑘𝑦(𝑛 − 𝑘)+ 𝑀𝑘=0𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) (2.73) Mặt khác, hệ thống nhân quả không đệ quy mô tả bằng phương trình:

Cấu trúc của hệ thống mô tả như sau:

Hình 2.15 – Cấu trúc không đệ quy của hệ FIR

y(n) = 1

𝑀+1 𝑀𝑘=0𝑥 𝑛 − 𝑘 = 1

𝑀+1 𝑀𝑘=0𝑥(𝑛 − 1 − 𝑘)+ 1

𝑀+1 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 − 1 − 𝑀) y(n) = y(n – 1) + 1

Phương trình (2.77) chính là phương trình đệ quy của hệ FIR với cấu trúc sau:

Hình 2.16 – Cấu trúc đệ quy của hệ FIR

2.6 Tương quan của tín hiệu rời rạc

2.6.1 Chuỗi tương quan chéo và tự tương quan

Xét hai tín hiệu năng lượng x(n) và y(n) Tương quan chéo (crosscorrelation) giữa hai tín hiệu này rxy(l) định nghĩa như sau:

So sánh (2.65) và (2.66):

Như vậy, ryx(l) là ảnh gương của rxy(l)

VD: Xác định chuỗi tương quan chéo của các chuỗi sau:

2.6.2 Tính chất của chuỗi tương quan và tương quan

chéo

Xét 2 tín hiệu năng lượng x(n), y(n) và kết hợp tuyến tính của 2 tín hiệu này ax(n) + by(n – l) trong đó a, b là các hằng số bất kỳ Năng lượng của tín hiệu này là:

2 2

)ln(yb)n(x

ax = a2rxx(0) + b2ryy(0) + 2abrxy(l) (2.85)

Ta có:

a2rxx(0) + b2ryy(0) + 2abrxy(l)  0 (2.86) Giả sử b  0:

0)0(rb

a)l(r2b

a)0(

)l(r)l(

)l(r)

l(

yy xx

x = rxx(l)

 chuỗi tự tương quan là chẵn  chỉ cần tính cho trường hợp l  0

VD: Tính chuỗi tự tương quan của x(n) = anu(n), 0 < a < 1

Hình 2.15 – Tính toán tự tương quan của chuỗi x(n) = anu(n) Xét l  0:





l n

l n n

n l

aa

rxx(l) = a-l(a2l + a2l+2 + …) = al(1 + a2 + a4 + …) =

a1

a1lima

2 m 2 m





0 n

l n n

n l

aa

rxx(l) =

a1

rxx(0) =

a1

1a1

2.6.3 Tương quan của chuỗi tuần hoàn

Xét hai tín hiệu công suất x(n) và y(n) Tương quan chéo giữa hai tín hiệu này là:

1M2

1M2

0 n

)ln(y)n(xN

0 n

)ln(x)n(xN

1

(2.94) Hai chuỗi tương quan rxy(l) và rxx(l) cũng là chuỗi tuần hoàn có chu kỳ N