- Trong thực tế quá trình học tập có nhiều HS không tự giác về nhà làm bài tập toán, nhiều học sinh lười suy nghĩ tìm cách giải một bài toán số học.. - Trong quá trình giảng dạy môn Toán
Trang 1
A- MỞ ĐẦU:
I Đặt vấn đề:
1 Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết
- Trong thực tế quá trình học tập có nhiều HS không tự giác về nhà làm bài tập toán, nhiều học sinh lười suy nghĩ tìm cách giải một bài toán số học
- Trong quá trình giảng dạy môn Toán 6 nói chung và phần Số học 6 nói riêng, có thể nhiều giáo viên chưa có thời gian để đề cập đến việc khai thác, mở rộng thêm các bài toán từ những bài toán cho trước, để qua đó giúp phát triển năng lực tư duy, tự học, tự nghiên cứu của các em học sinh, đặc biệt là đối với các em học sinh khá giỏi Tuy nhiên khai thác, mở rộng bài toán như thế nào cho phù hợp, để từ đó có thể đưa các dạng bài toán mở rộng về dạng bài toán quen thuộc để giải là một vấn đề không dễ dàng đối với các em học sinh
- Qua quá trình giảng dạy, học tập và nghiên cứu, tôi nhận thấy rằng việc quy các bài toán từ lạ về quen là một điều rất quan trọng để tìm ra lời giải hợp lí cho từng bài toán
2 Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới
Việc khai thác, mở rộng từ những bài toán cho trước sẽ giúp cho các em học sinh có được một hệ thống bài tập mà khi giải nó, nếu tuân theo quy tắc, phương pháp của bài toán cho trước thì việc giải sẽ dễ dàng hơn, từ đó giúp học sinh có thể phát hiện những vấn đề mới chưa được học, …Đồng thời nó sẽ giúp cho người dạy có được cái nhìn sâu hơn, rộng hơn về một bài toán Qua đó, có những phương pháp hợp lí trong giảng dạy, giúp học sinh phát triển về tư duy toán học, biết cách tìm tòi các vấn đề tương tự hoặc cao hơn, rộng hơn từ những vấn đề đã biết
3 Phạm vi nghiên cứu của đề tài
- Sách giáo khoa, sách bài tập Toán 6 (tập 1,2)
- Nâng cao và phát triển Toán 6 (Vũ Hữu Bình)
- Chuyên đề bồi dưỡng Số học 6 (Nguyễn Đức Tấn)
- Tuyển tập 250 bài toán Số học 6 (Võ Đại Mau)
- 500 bài toán nâng cao lớp 6 (Nguyễn Đức Tấn – Tạ Toàn)
II Phương pháp tiến hành:
1 Cơ sở lý luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp của đề tài
Để học tốt bộ môn Số học 6, bên cạnh việc học lí thuyết và luyện tập các bài toán cơ bản ở lớp thì việc làm bài tập ở nhà, bài tập mở rộng là không thể thiếu
Bài tập mở rộng giúp cho học sinh đào sâu, mở rộng thêm kiến thức
a-Giải được một dạng toán mở rộng
Trang 2b-Từ bài toán mở rộng, khai thác ra các dạng toán khác để khi giải quy về bài toán ban đầu
2 Các biện pháp tiến hành
- Thực hành trên chính đối tượng học sinh (chủ yếu là học sinh khá, giỏi)
- Tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp
- Nghiên cứu từ các loại sách tham khảo
- Thực hiện bồi dưỡng học sinh
B- NỘI DUNG:
I Mục tiêu:
Nhiệm vụ của đề tài nghiên cứu này là giúp HS phát triển được tư duy thông qua cách khai thác một bài toán số học, giúp học sinh quy được các bài toán lạ về dạng toán quen thuộc để giải
II Mô tả giải pháp của đề tài:
1 Thuyết minh tính mới:
Thực trạng học sinh hiện nay là tư duy giải toán, đặc biệt là các bài toán mở rộng còn nhiều hạn chế Vì vậy khi gặp một bài toán mà không phải là các dạng đã học thì lại gặp khó khăn trong việc tìm phương pháp giải
Sau đây tôi xin minh hoạ bằng một bài toán cụ thể Từ đó mở rộng ra các bài toán khác:
Bài toán I Tính tổng: S = 1 1 1
1.2 2.3 99.100
Giải
Ta nhận thấy: 1 1 1
1.2 2; 1 1 1
2.3 2 3; …; 1 1 1
99.100 99 100
Như vậy: S = 1 1 1
1.2 2.3 99.100
= 1 1 1 1 1 1 1 1
= 1 1 99
100 100
-Từ đó ta có bài toán tổng quát:
S = 1 1 1
1.2 2.3 n.(n 1)
=
1
n 1 n 1
(với n N*)
-Từ bài toán trên, ta có thể khai thác, mở rộng thêm một số bài toán sau:
*Bài 1: Tính tổng: A = 3 3 3 3
2 6 12 9900
Bài toán trên có thể biến đổi để đưa về phương pháp của bài toán I như sau:
Lượt giải
Trang 3A = 3. 1 1 1 1
= 3. 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 99.100
= 3 1 1 1 1 1 1
= 3 1 1 3. 99 297
-Ta có nhận xét rằng: 99
100 không phải là một số nguyên nên ta có bài toán:
*Bài 2: Chứng minh rằng 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 99.100 không phải là một số nguyên
Lượt giải
1.2 2.3 3.4 99.100= 99
100 Từ đó suy ra điều phải chứng minh
-Từ đó ta có bài toán tổng quát: Chứng minh rằng 12 12 12 12
2 3 4 n (n N*) không phải là số nguyên
*Bài 3: Cho M = 12 12 12 12
2 3 4 100
Chứng minh rằng: M < 1
Cách giải
Ta nhận xét rằng: 12 1
2 1.2; 12 1
3 2.3; …; 12 1
100 99.100
Do đó: M = 12 12 12 12
2 3 4 100
M < 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 99.100 = S = 99
100< 1 Vậy M < 1
-Từ đó ta có bài toán tổng quát:
Cho N = 12 12 12 12
2 3 4 n (n N*) Chứng minh rằng N < 1
-Khai thác bài toán này ta có:
2
1 3
1
2 4
; 1 12 8
3 9
; …; 1 12 9999
100 10000
Từ đó ta có bài toán:
*Bài 4: Cho P = 3 8 9999
4 9 10000 Chứng minh rằng: P > 98
Cách giải
Trang 4P = 3 8 9999
4 9 10000
= 1 1 1 1 1 1
= 1 12 1 12 1 12
= 99 – 12 12 1 2
Mà: 12 12 12
2 3 100 < 1 (theo bài 2)
Nên P > 99 – 1 = 98
-Từ đó ta có bài toán tổng quát:
Cho Q =
2
Chứng minh rằng: Q > n – 2
-Ta lại có nhận xét:
2
1 5
1
2 4
; 1 12 10
3 9
; …; 1 12 10001
100 10000
Từ đó ta có bài toán:
*Bài 5: Cho K = 5 10 17 10001
4 9 16 10000
Chứng minh rằng: K< 100
Cách giải
Do từ 2 đến 100 có 99 số nên K có 99 số hạng Do đó:
K = 1 12 1 12 1 1 2
= 99 + 12 12 12
= 99 + 1 1 1
< 99 + 1 1 1
K < 99 + S = 99 + 1 1
100
= 100 – 1
100
Vậy K < 100
-Từ đó ta có bài toán tổng quát sau:
Cho L =
2
( n N*) Chứng minh rằng L < n
Trang 5*Bài 6: Cho C = 12 12 12 1 2
Chứng minh rằng: C < 1
2
Cách giải
C = 12 21 2 21 2 2 1 2
2 1 2 2 2 3 2 100
= 12 1 12 12 1 2
< 12.(1 1)
2 (theo bài 2) Hay C < 1
2
-Từ đó ta có bài toán tổng quát:
Cho D = 12 12 12 1 2
2 4 6 (2n) (n N*) Chứng minh rằng D < 1
2
*Bài 7: Cho E = 1 1 1 1
5 13 25 19801
Chứng minh rằng E < 1
2
Cách giải
< 1 1 1 1
4 12 24 19800
E < 1 1 1 1
2.2 2.6 2.12 2.9900
E < 1
E < 1
2.S
E < 1
2.(1 – 1
100) = 1 1
2 50 < 1
2
Vậy E < 1
2
*Bài 8: Cho G = 2001 1 1 1 1
Chứng minh rằng G > 1999
Trang 6Cách giải
Nhận xét: 1 1.2
2
; 1 2 2.3
2
2
; …; 1 2 3 99 99.100
2
Do đó:
1.2 2.3 3.4 99.100
= 2001 2 2 2 2
1.2 2.3 3.4 99.100
= 2001 2.S 2001 2 1 1
100
= 2001 – 2 + 1
50
= 1999 + 1
50 > 1999 Vậy G > 1999
-Từ cách giải của bài toán I, ta có bài toán sau:
*Bài 9: Tính tổng: I = 2 2 2 2
1.3 3.5 5.7 97.99
Cách giải
Nhận xét: 2 1 1
1.3 1 3; 2 1 1
3.5 3 5; …; 2 1 1
97.99 97 99
Do đó: I = 1 1 1 1 1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 97 99
= 1 1 98
-Từ bài toán trên, ta có bài toán sau:
*Bài 10: Tính tổng: J = 5 5 5 5
3 15 35 9603
Cách giải
J = 5 5 5 5
3 15 35 9603
= 5 5 5 5
1.3 3.5 5.7 97.99
= 5. 2 2 2
= 5.I 5 98. 245
2 2 99 99
-Dựa vào nhận xét: a2 > (a – 1)(a + 1)
2
Trang 7Ta có bài toán sau:
*Bài 11: Cho T = 32 32 32 32
Chứng minh: T < 2
Cách giải
Ta có: 32 3
2 1.3; 32 3
4 3.5; 32 3
6 5.7; …; 32 3
98 97.99
Do đó:
T < 3 3 3 3
1.3 3.5 5.7 97.99
T < 3 2 2 2 2
T < 3.I 3 98. 49
2 2 99 33< 2
Vậy T < 2
*Bài 12: Cho X = 11 31 59 95 139
17 37 65 101 145 Chứng minh X > 4
Cách giải
X = 11 31 59 95 139
5 3.
X > 5 3. 2 2 2 2 2
X > 5 3. 1 1
X > 5 – 1 + 3
13 = 4 + 3
13 > 4 Vậy X > 4
2 Khả năng áp dụng:
Với những kinh nghiệm trên, GV dạy môn Toán nào cũng có thể áp dụng được và trường nào thuộc bậc THCS cũng có thể áp dụng được
Trang 8C- KẾT LUẬN:
Hiện nay, đa số học sinh khi giải xong một bài toán thì các em thường bằng lòng với kết quả có được Do đó khi gặp những dạng toán còn lạ thì các em trở nên lúng túng, không định hướng được hướng giải Hy vọng rằng với một ít kiến thức tôi nêu ra đây sẽ giúp được cho các em tự tin hơn, có tư duy tốt hơn khi gặp các dạng toán mới Đồng thời, bản thân mong muốn rằng chuyên đề này sẽ góp một phần nhỏ phục vụ cho công tác giảng dạy, góp phần phát triển tư duy của học sinh
Tuy nhiên để giảng dạy tốt cho học sinh các vấn đề mở rộng từ một vấn đề cơ bản đòi hỏi người dạy phải nỗ lực nghiên cứu, tìm hiểu, từ đó sắp xếp hệ thống bài tập một cách hợp lí, chỉ cho học sinh thấy được con đường đưa bài toán về dạng quen thuộc để giải Đồng thời cũng khuyến khích các phương pháp giải của các em để cho các em thấy được sự sáng tạo của người học là vấn đề rất quan trọng
Mặc dù đã nghiên cứu và thu thập rất nhiều, nhưng với kinh nghiệm và khả năng hạn hữu của bản thân, chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ý kiến
đóng góp của bộ phận chuyên môn, của quí thầy cô đồng nghiệp, … để kinh nghiệm
được hoàn chỉnh hơn và có thể ứng dụng vào thực tế việc học tập của học sinh Xin chân thành cảm ơn!
Cát Thắng, ngày 08 tháng 03 năm 2012
Ý kiến của Hội đồng khoa học nhà trường Người viết
BAN GIÁM HIỆU