SKKN Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng một số bài toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của pisa - ninh văn quang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANGTRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1 TỔ TOÁN------ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN KHAI THÁC BÀI TOÁN TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG

TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1

TỔ TOÁN - -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MÔN TOÁN

KHAI THÁC BÀI TOÁN TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT

ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN

THỰC TIỄN CÓ DẠNG CÂU HỎI THI CỦA PISA

Người thực hiện: Ninh Văn QuangGiáo viên trường THPT Lạng Giang số 1

Lạng Giang, tháng 9 năm 2014

MỤC LỤC

Phần I: Mở đầu……… ……… 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 2

III Nhiệm vụ nghiên cứu 2

IV Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

V Phương pháp nghiên cứu 3

VI Những đóng góp của đề tài 3

Phần II: Nội dung nghiên cứu và kết quả 4 Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài 4

Chương II: Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng một số bài toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của PISA

Chương III: Kết quả nghiên cứu 5 18 Phần III: Kết luận và đề nghị ………

Danh mục tài liệu tham khảo

19 21

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chúng ta đều biết, Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tớimột nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trêntoàn thế giới Mục tiêu giáo dục trong thế kỉ 21 là học để biết, học để làm, học

để cùng chung sống, học để khẳng định mình Vì thế vai trò của các bài toán cónội dung thực tiễn trong dạy học bộ môn toán luôn được ưu tiên hàng đầu Toánhọc ngày càng giữ vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoahọc, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt Toán học lấy thực tiễn làmđộng lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng Toán học có nguồn gốc từthực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại Toán học là công cụ đắclực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên Để đáp ứng được

sự phát triển của kinh tế, của khoa học khác, của kỹ thuật và sản xuất đòi hỏiphải có con người lao động có hiểu biết có kỹ năng và ý thức vận dụng nhữngthành tựu của Toán học trong những điều kiện cụ thể để mang lại hiệu quả laođộng thiết thực Chính vì lẽ đó, sự nghiệp giáo dục và đào tạo trong thời kì đổimới hiện nay phải góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho người học tiềmnăng trí tuệ, tư duy sáng tạo, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh tri thức, năng lực giảiquyết vấn đề, đáp ứng được yêu cầu của thực tiễn

Việt Nam đang tham gia Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (gọi tắt

là PISA) Đây là một chương trình đánh giá có chất lượng và đáng tin cậy vềhiệu quả của hệ thống giáo dục, trong đó có lĩnh vực Toán học, được xây dựng

và điều phối bởi Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD Bài thi của PISAchú trọng khả năng học sinh vận dụng kiến thức và kĩ năng của mình khi đốimặt với các tình huống thực tiễn, và ta gọi đó là các bài toán thực tiễn

Qua giảng dạy tôi thấy các em học sinh luôn gặp khó khăn khi tiếp cận

các bài toán cực trị hình học Hơn nữa, việc vận dụng các bài toán cực trị hìnhhọc vào giải quyết các bài toán thực tiễn lại càng khó khăn hơn.

Vì những lí do trên, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm với tiêu

đề: "Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng một số bài

toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của PISA" với mong muốn giúp các em học

sinh làm quen với những bài toán có nội dung thực tiễn và sử dụng kiến thức, kĩnăng của chính các em để giải quyết các bài toán thực tiễn đó; đồng thời giúpcác thầy cô và các em học sinh tìm hiểu và tự xây dựng một số bài toán có dạnggiống như câu hỏi thi của PISA

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Giúp các em học sinh bậc THPT làm quen với những bài toán có nội dungthực tiễn và biết sử dụng kiến thức, kĩ năng của chính các em để giải quyết các bài toán thực tiễn đó

Giúp các thầy cô và các em học sinh tìm hiểu để có thể tự xây dựng một

số bài toán có dạng giống như câu hỏi thi của PISA

Quy lạ về quen, gắn Toán học với thực tiễn và thực tiễn với Toán học Làm rõ hơn câu nói "Học đi đôi với hành"

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Khai thác một số bài toán hình học về tổng khoảng cách nhỏ nhất Từ đóxây dựng một số bài toán có nội dung thực tiễn, đảm bảo mục đích nghiên cứu

đã đề ra

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

1 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu qua sách giáo khoa, tài liệu tham khảo,

- Nghiên cứu qua các tiết thực nghiệm trên lớp

VI NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn, tính hệ thống và tínhcập nhật, phù hợp với xu thế phát triển giáo dục trong giai đoạn hiện nay và sau này Bên cạnh đó giúp học sinh phát huy tính tự lực, khả năng tư duy, sáng tạo,

để nhận biết rồi tự tìm ra hướng giải quyết bài toán, biết gắn bài toán với thực tiễn và giải quyết tình huống thực tiễn

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Việc đưa vào bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất và từ đó xây dựng nênmột số bài toán thực tiễn không chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những kiếnthức quan trọng trong môn Hình học mà còn giúp cho học sinh làm quen với cácphương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượngxung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiêncứu, tìm tòi, khám phá, tạo cho học sinh bản lĩnh khi đứng trước những tìnhhuống có thật cần giải quyết trong thực tế Ngoài ra còn có thể mang lại nhiềuhứng thú trong việc tìm tòi, nghiên cứu hình học và các bộ môn khác

Theo hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, giáo viên cần tậptrung thiết kế các hoạt động sao cho các em học sinh có thể tự lực khám phá,chiếm lĩnh các tri thức mới dưới sự chỉ dẫn của thầy cô Một đặc điểm cơ bảncủa hoạt động học là hướng vào người học, giúp người học cải biến chính mình.Nếu người học không chủ động tự giác, không có phương pháp học tập phù hợp,tích cực thì mọi nỗ lực của người thầy chỉ đem lại những kết quả hạn chế

II CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Toán học là môn khoa học trừu tượng nhưng lại có phạm vi ứng dụng rấtrộng rãi Học tốt môn toán và đặc biệt là toán hình đối với học sinh là một vấn

đề không hề đơn gian Học sinh thường gặp khó khăn trong việc tiếp nhận cáckiến thức và phương pháp và càng khó hơn trong việc vận dụng các kiến thức vàphương pháp ấy vào việc giải các bài toán thực tiễn Đối với các thầy, cô giáodạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải giúp học sinhhiểu được một cách rõ ràng, nắm được một cách chắc chắn những gì mà thầy, côgiáo muốn truyền đạt Người thầy trong quá trình truyền đạt tri thức phải là

M M

A A

người hướng dẫn và “mở đường” cho các em, còn các em phải tự mình xâydựng được các kĩ năng, tích lũy được các kinh nghiệm giải toán, từ đó mà chấtlượng học tập của học sinh sẽ ngày được nâng lên

Các bài toán liên quan đến tổng khoảng cách nhỏ nhất là những bài toán khó nên học sinh sẽ gặp khó khăn khi học tập và nghiên cứu, việc áp dụng thànhthạo các bài tập ở dạng này đối với nhiều học sinh là chưa được tốt Khi viết chuyên đề này tôi luôn quan tâm đến vấn đề dạy cho học sinh dễ hiểu bài để có thể vận dụng tốt kết quả của bài toán, giúp học sinh biết gắn các bài toàn này vớithực tiễn cuộc sống

Chương II: KHAI THÁC BÀI TOÁN TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN CÓ DẠNG CÂU HỎI THI CỦA PISA

Bài toán 1:

Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d.Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất

Hướng dẫn

Ta có: MA + MB  AB (Bất đẳng thức trong tam giác)

Dấu “=” xảy ra khi A, M, B thẳng hàng

Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của đường thẳng AB và đườngthẳng d

Bài toán 2: (Bài toán gốc)

Trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt A, B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất

Lời giải

* Phân tích:

Giả sử ta đã tìm được điểm M thuộc d để có tổng MA + MB nhỏ nhất.Lấy A' đối xứng với A qua d

Ta có MA = MA', suy ra MA' + MB cũng nhỏ nhất

Mà A' và B lại nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng d

Theo kết quả của Bài toán 1, M là giao điểm của đường thẳng A'B và đường thẳng d

* Cách dựng:

- Dựng A’ đối xứng với A qua d

- Đường thẳng A'B cắt đường thẳng d tại điểm M cần tìm

* Chứng minh:

Với điểm M đã dựng và điểm M' bất kì thuộc d mà M' không trùng với M,

ta có:

M'A + M'B = M'A' + M'B

Luôn tìm được duy nhất điểm M thỏa mãn đề bài.

Trực tiếp từ Bài toán gốc có thể xây dựng nên các bài toán thực tiễn và cóthể chọn các bài toán này làm câu hỏi trong các kỳ đánh giá năng lực học sinhphổ thông của PISA trong lĩnh vực Toán học (được gọi là các câu hỏi thi PISA)

Bài toán thực tiễn 1: Bồ câu nhặt thóc

Ở hai đầu sân phơi thóc có hai cái cây Một con chim bồ câu bay từ ngọn cây thứ nhất xuống sân nhặt thóc ăn rồi bay ngay lên ngọn cây thứ hai Hỏi bồ câu phải nhặt thóc tại vị trí nào trên sân để chiều dài đường bay của nó là ngắn nhất.

Sân phơi thóc

Vị trí 2 R

Mặt hồ

Vị trí 1 S

I

S'

Đây là bài toán thực tiễn và được đặt trong không gian Tuy nhiên ở bàitoán này và kể cả các bài toán thực tiễn sau đây nữa chúng ta đều quy được vềxét trong mặt phẳng

Ở bài toán này, chiều dài đường bay của bồ câu chính là tổng khoảng cách

từ vị trí nhặt thóc trên sân đến hai ngọn cây Dễ dàng thấy được việc xác định vịtrí nhặt thóc của bồ câu trên sân để chiều dài đường bay của bồ câu là ngắn nhấtgiống như việc xác định điểm M để tổng khoảng cách từ M tới hai điểm A và B

là nhỏ nhất trong Bài toán gốc Tuy trong thực tế, việc tìm điểm đối xứng củangọn cây thứ nhất qua mặt sân là không khả thi, nhưng ta có thể dựa vào tỉ lệchiều cao của hai cái cây để suy ra tỉ số mà vị trí nhặt thóc cần tìm chia đoạnthẳng nối hai gốc cây

Bài toán gương phẳng sau đây không xuất phát từ Bài toán gốc nhưng lại

có cách giải quyết tương tự

Bài toán thực tiễn 2: Mặt hồ phản chiếu

Từ một vị trí trên bờ hồ bên này cần chiếu tia sáng tới vị trí nào trên mặt

hồ phẳng lặng để tia sáng phản xạ hắt vào một vị trí trên bờ hồ bên kia.

Mặt hồ phẳng lặng giống như gương phẳng Vị trí cần tìm trên mặt hồ làđiểm tới I Tia tới là SI, tia phản xạ là IR Khi biết S và R thì việc xác định I

Bài toán 3:

Trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt A, B nằm về cùng một phía đối

với đường thẳng d Tìm hai điểm M, N thuộc đường thẳng d sao cho MN = a (a

là một số dương không đổi) và đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất

Lời giải

* Phân tích:

- Dựng hình bình hành AMNA1, suy ra AA1 = MN = a, AM = A1N

- Từ đó, đường gấp khúc AMNB có độ dài bằng độ dài đường gấp khúc AA'NB,

và bằng: a + A1N + NB Vậy đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất khi tổng A1N + NB nhỏ nhất Đến đây chính là Bài toán gốc

* Cách dựng:

- Dựng hình bình hành AMNA1

Từ Bài toán 3 có thể liên hệ tới một bài toán thức tiễn như sau:

Bài toán thực tiễn 3: Bồ câu nhặt thóc trên sân

Ở hai đầu sân phơi thóc có hai cái cây Một con chim bồ câu bay từ ngọn cây thứ nhất xuống một vị trí trên sân, vừa nhặt thóc ăn bồ câu vừa nhảy đi được 5 bước, sau đó bay lên ngọn cây thứ hai Hỏi bồ câu phải đáp xuống vị trí nào trên sân để chiều dài đường đi của nó là ngắn nhất.

Có thể thấy bài toán trên được xét trong không gian nhưng được quy vềxét trong mặt phẳng và nó trở thành Bài toán 3 ở trên Đường đi của bồ câu

M

N

P x

- Lấy điểm A đối xứng với P qua Ox và B đối xứng với P qua Oy

- Đường thẳng AB cắt các cạnh Ox và Oy lần lượt tại M, N

* Chứng minh:

Ta có:

PM = AM

NP = NB

Chu vi tam giác PMN là PM + MN + NP = AM + MN + NB ≥ AB

Dấu "=" xảy ra khi A, M, N, B thẳng hàng

Khi đó chu vi tam giác MNP là nhỏ nhất

M

N

P x

y A

Hướng dẫn

Tương tự như Bài toán 4, ta lấy P1 đối xứng với P qua AB và P2 đối xứng với P qua AC Đường thẳng P1P2 cắt AB và AC lần lượt tại các điểm M và N cần tìm

M

N

P B

P 2

P 1

C

Bây giờ thay vì sử dụng phép lấy đối xứng qua hai cạnh của một góc nhọn

ta xét đến phép lấy đối xứng qua hai đường thẳng song song

Bài toán 6:

Cho hai đường thẳng song song d và d' Hai điểm A và B nằm khác phíađối với cả d và d' như hình vẽ Hãy tìm điểm M thuộc d và điểm N thuộc d' saocho MN vuông góc với d và d', đồng thời đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏnhất

Lời giải

* Phân tích :

- Giả sử hai đường thẳng song song d và d' cách nhau một khoảng bằng a

(a > 0)

- Vì M thuộc d, N thuộc d', MN vuông góc với d và d' nên MN = a

- Tịnh tiến điểm A theo vectơ MN

để được điểm A'

- Dễ thấy độ dài đường gấp khúc AMNB bằng độ dài đường gấp khúc AA'NB

và bằng: AA' + A'N + NB = a + A'N + NB Do đó, đường gấp khúc AMNB có

độ dài nhỏ nhất khi tổng A'N + NB nhỏ nhất Vì A' và B nằm khác phía đối với d' nên tổng A'N + NB nhỏ nhất khi A', N, B thẳng hàng, tức là N là giao điểm của A'B và d'

* Cách dựng

- Tịnh tiến điểm A theo vectơ MN để được điểm A'

- Đường thẳng A'B cắt đường thẳng d' tại điểm N

- Qua N dựng một đường thẳng vuông góc với d, cắt d tại M

AM' + M'N' + N'B = A'N' + M'N' + N'B = A'N' + a + N'B = a + (A'N' + N'B)

Mà A'N' + N'B ≥ A'B, A'B = A'N + NB

Do đó AM' + M'N' + N'B ≥ a + (A'N + NB) = MN + (A'N + NB) = MN + (AM + NB) = AM + MN + NB Vậy đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất

* Biện luận: Do A'B chỉ cắt d' tại điểm N duy nhất nên chỉ tìm được duy nhất cặp điểm M, N thỏa mãn yêu cầu đề bài

Từ Bài toán 6 ta có thể xây dựng một bài toán thực tiễn sau

B N

M d

d'

Làng B N

Bài toán thực tiễn 4: Xây cầu ở đâu?

Hai làng A và B nằm ở hai bên bờ một con sông Cần bắc một cây cầu phục

vụ cho việc đi lại của nhân dân hai làng (đi từ làng này qua cầu rồi sang làng kia) sao cho đường đi là ngắn nhất Hãy tìm địa điểm thích hợp trên bờ sông để bắc cây cầu đó, biết rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song và cầu phải bắc vuông góc với hai bờ sông.

N d'

Hướng dẫn

- Tịnh tiến điểm A theo vectơ MN để được điểm A'

- Gọi  là trung trực của đoạn A'B

+ Nếu  cắt d' thì giao điểm của  và d' chính là điểm N cần tìm, và từ đó dễ dàng tìm được M

+ Nếu  // d' thì không thể tìm được các điểm M, N thỏa mãn đề bài

+ Nếu  và d' trùng nhau thì mọi cặp điểm M, N trên d và d' sao cho MN vuông góc với d và d' đều thỏa mãn yêu cầu đề bài



Từ Bài toán 7 ta có thể xây dựng nên bài toán thực tiễn sau

Bài toán thực tiễn 5: Xây cầu chỗ nào?

Hai làng A và B nằm ở hai bên bờ một con sông Cần bắc một cây cầu phục vụ cho việc đi lại của nhân dân hai làng (đi từ làng này qua cầu rồi sang làng kia) sao cho đường đi từ mỗi làng đến cầu là dài bằng nhau Hãy tìm địa điểm thích hợp trên bờ sông để bắc cây cầu đó, biết rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song và cầu phải bắc vuông góc với hai bờ sông.

A

B

Bài toán thực tiễn 6: Đi đường nào gần nhất?

Giữa hai làng A và B bị chắn bởi một hồ nước hình tròn Cần đi thẳng từ làng A đến vị trí M trên bờ hồ để lấy nước, sau đó đi vòng theo bờ hồ và rời bờ

hồ từ vị trí N để đi thẳng đến làng B Hãy tìm vị trí thích hợp của M và N trên

bờ hồ để đường đi (AMNB) là ngắn nhất.

Đây là một bài toán không hề đơn giản, tôi đưa ra với ý nghĩa giới thiệu một bài toán thực tiễn và rất mong chờ cách giải quyết từ bạn đọc

Làng A

Làng B

Chương III: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng

Nghiên cứu thực nghiệm sư phạm vào tháng 9 năm 2014 trên học sinh cáclớp 10A3 và 10A4 Trường THPT Lạng Giang số 1

2 Tiến hành khảo nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm

Cùng đưa ra Bài kiểm tra gồm các bài toán thực tiễn trong bài viết này (từBài toán thức tiễn 1 đến Bài toán thực tiễn 5, thang điểm mỗi bài là 2 điểm) đốivới 44 học sinh lớp 10A3 và 44 học sinh lớp 10A4, tuy nhiên chỉ giới thiệu Bàitoán gốc cho lớp 10A4 mà không giới thiệu cho lớp 10A3 Kết quả điểm kiểmtra của học sinh hai lớp như sau:

số

Điểm từ 8 trở lên

Điểm từ 6.5 đến dưới 8

Điểm từ 5 đến dưới 6.5

Điểm từ 3.5 đến dưới 5

Điểm dưới 3.5

Kết quả kiểm tra cho thấy học sinh lớp 10A4 khi được hướng dẫn khaithác một bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất (Bài toán gốc) đã có những chuyểnbiến rõ rệt so với lớp 10A3 trong việc vận dụng vào giải quyết các bài toán thựctiễn nêu ra Từ chỗ tương đối mơ hồ và không có định hướng trong việc giảiquyết dạng bài toán này, sau khi học tập chuyên đề này các em đã chủ động vàtích cực nhận biết và giải quyết tốt tình huống thực tiễn có liên quan

3 Đề xuất biện pháp

Qua thời gian nghiên cứu và tiến hành khảo nghiệm thực tế, tôi có một vài

đề xuất nhân rộng mô hình giáo viên và học sinh làm quen với việc gắn các bàitoán trừu tượng với những tình huống thực tế gần gũi, góp phần nâng cao chấtlượng, hiệu quả dạy và học trong nhà trường