Trên đờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng ABC tại A, lấy điểm S với AS = h.. 1 Hy là đờng thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng SBC.. Chứng tỏ rằng khi S di đ
Trang 1Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1: (7 điểm)
1) Xét tính đơn điệu của hàm số: y=3 2
) x 3 2 ( (x-5)
2) Cho hàm số y=
2 x
c bx
ax 2
Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 và đờng tiệm cận
xiên của đồ thị vuông góc với đờng thẳng y=
2
x
1
3)Giải bất phơng trình:
2
x x
2 +2x > 2x.3x 2
x x
2 + 4x2.3x
Bài 2: (4 điểm)
Trong tất cả các nghiệm của bất phơng trình: log x 2 y 2 ( x y ) 1
Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất
Bài 3(5 điểm)
Giải phơng trình:
x 1 2 ) x 1 ( ) x 1 ( x 1
2) sin3x.(1- 4sin2x) =
2 1
Bài 4:(4 điểm)
ABC là tam giác đều cạnh a Trên đờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, lấy điểm S với AS = h
1) Hy là đờng thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax thì đờng thẳng Hy luôn luôn đi qua một điểm cố định
2) Hy cắt Ax tại S' Xác định h theo a để SS' ngắn nhất
Hớng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi
Lớp 12
Bài 1:
Câu 1: (2 điểm)
điểm
Trang 2y'= (-3)
3
2
3 1
) x 3 2
( (x-5) + 3
2
) x 3 2
điểm
=
3
x
3
2
3
30
x
6
+ 3(2-3x) =
3
x 3 2
12 x 5
0,25
điểm
Điểm tới hạn: x=
3
2
; x=
5
12
0,25
điểm
x - 2/3 12/5 +
điểm
Hàm số đồng biến trong khoảng (-; 2/3) (12/5; +) 0,25
điểm
Hàm số nghịch biến trong khoảng (2/3; 12/5) 0,25
điểm
Câu 2: (2 điểm)
Đờng tiệm cận xiên có hệ số góc k =
2 x
c bx ax lim
2
điểm
Đờng tiệm cận xiên vuông góc với đờng thẳng y=
2
1 x 2
1
điểm
Xét y=
2 x
c bx
x 2
2
) 2 x
(
c b 2 x
x
2
0,25
điểm
Để hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 điều kiện cần là:
1 ) c b 2
(
)
1
(
y
0 c b 2 6
)
1
(
'
y
0,5
điểm
=>
0
c
3 b
0,25
điểm
Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số
y=
2
x
x
3
x
2 2
điểm
Trang 3Kết luận: a=2, b=-3, c=0 0,25
điểm
Câu 3: (3 điểm)
Bất phơng trình trở thành:
x x
2 +2x)(1-2x.3x)>0 (*) 0,5
điểm
Tập xác định: -2 x
3
1
0,25
điểm
(*)
0 3 x 2 1
0 x 2 x 3 x 5 2 ) II (
0 3 x 2 1
0 x 2 x 3 x 5 2 ) (
x 2 x 2
0,5
điểm
Xét hệ (I): Giải (1) ta đợc -1< x 1/3 0,5
điểm
Đặt f(x) = 1-2x.3x ta thấy:
điểm
Khi 0<x 1/3 3 3
1 x
3 3 3
3 1
3
1 2 3 x 2
Do đó f(x) =1-2x.3x > 0
Nghiệm của (I) là:
3
1 x
1
điểm
Xét hệ (II): Giải (3) ta đợc 2x1 0,25
điểm
Nhng f(x) = 1-2x.3x > 0 x 0 nên bất phơng trình (4) không
thỏa mãn với những giá trị của x thuộc khoảng nghiệm của (3)
điểm
Tóm lại, bất phơng trình đã cho có nghiệm
3
1 x
1
điểm
Bài 2: (4 điểm)
Xét 2 trờng hợp:
+TH1: x2+ y2 > 1 khi đó dễ thấy bất phơng trình
1 ) y x ( log x 2y 2 (1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9) 0,5 điểm
Ta có (1) x+y x2+ y2 x+2y x2 + y2 + y (2) 0,5 điểm
Gọi S= x+2y x=S - 2y thay vào (2) ta đợc
S(S-2y)2 +y2+y 5y2 -(4S-1)y +S2 - S 0 (3) 0,5 điểm
Bất phơng trình (3) có nghiệm nên ta phải có 0,
) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 (
Trang 4Vậy
2
10 3 S 2
10
Với S =
2
10
3 thì = 0 khi đó (3) y=
10
2 2
1 10
1 S 4
0,25
điểm
Suy ra x= S -2y =
10
2 2
1
(thỏa mãn x2+ y2 > 1) 0,5 điểm
+TH2: 0< x2 + y2 < 1 Khi đó (1) 0 <x+y<x2+y2
=> S=x+2y < x2+y2+y<1+1=2<
2
10
3 (do x2 + y2 < 1, y 1) 0,5 điểm
Tóm lại: với nghiệm
10 2 2
1 y
10 1 2
1 x
thì tổng x+2y lớn nhất 0,25
điểm
Bài 3: (5 điểm)
điểm
x 1 2 ) x 1 ( ) x 1 ( 2
x 1 x 1 2
x 1
2
x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2
x 1 x
1
0,75đ
1+x-1+x = 2 x=
2
Câu 2: (2 điểm)
Vì cosx=0 không phải là nghiệm của phơng trình:
Vì cosx=0 => x= k
2 thì sin3( k
2 ).[1-4sin2( k
2 )]
2
1
0,25
điểm
Nhân hai vế của phơng trình với cosx ta đợc:
Sin3x.(cosx - 4sin2x.cosx) =
2
1
cosx
điểm
sin6x =sin(
2
2 k x 2 x 6
2 k x 2 x 6
5
2 k 10 x
7
2 k 14 x
Bài 4: (4 điểm)
A
B
C S
' S
I J
O h
x
Trang 5a) (2 điểm)
Gọi I là trung điểm của BC, ta có AI BC, SA mp(ABC)
Nên SI BC (định lý 3 đờng vuông góc) 0,5 điểm
Kẻ CL SB thì SI CL = H
Gọi J là trung điểm của AB; O là trực tâm của ABC
Ta có CJ mp(SAB) => CJ SB (1)
Mặt khác CL SB (2)
Vì OH trong mp(SAI) nên OH BC => OH mp(SBC) 0,5 điểm Hay OH là đờng thẳng Hy Vậy Hy luôn luôn đi qua điểm O cố định 0,5
điểm
b) (2 điểm)
Xét SIS' ta có IA SS', S'H SI
Nên AS.AS' = AI.AO => AS' =
h 2
a 2
0,5 điểm
Vậy SS' = SA + AS' = h+
h 2
a 2
2
a
điểm
Dấu "=" xảy ra khi h=
h 2
a 2
=> h=
2
2
điểm
Chú ý:
1)Bài hình không có hình vẽ thì không chấm
2)Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì ngời chấm cho điểm tơng ứng phần đúng đó.