HH 12

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Phần tính AB uuur , uuur uuurAB CD.. tích vô hướng, AB CDuuur uuur× tích hữu hướng và cos... c Tính đường cao h với vr2 ,vr3 là vectơ chỉ phương củ

HÌNH HỌC 12

1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Phần tính AB

uuur , uuur uuurAB CD (tích vô hướng), AB CDuuur uuur× (tích hữu hướng ) và cos

AB CD

AB CD

Abs AB AbsCD

=

uuur uuur uuuur uuur

uuur uuur

xin xem lại Hướng dẫn sử dụng (phần vectơ)

Ví dụ 1 : Cho các vectơ ar=(2;7;5) , b = −( 3; 4;7)

r

, cr=(0; 7; 3)− − a) Tìm tọa độ của các vectơ : ur= − +3ar 2b cr−r ;vr=2b c ar− +r r ; gr=5cr+3ar−7br

b) Tính độ dài của u v gr r r, ,

c) Tính tích vô hướng của a b c b u g v u , , ,

r r

r r r r r r

d) Tìm k , h và t sao cho gr=2kv hu tcr− r+ r

Giải :

Vào chương trình tính vectơ ấn ba lần MODE 3 ( màn hình hiện chữ VCT ) a) Nhập vào các vectơ : ấn SHIFT 5 (nghĩa là chương trình vectơ VCT ) Màn hình hiện :

, ấn tiếp 1 ( Dim ) Màn hình hiện :

Chọn ấn 1 ( ta chọn vectơ A ) Máy hỏi

Ta nhập số chiều cho vectơ ar ấn 3 =

Nhập tọa độ vào ấn 2 = 7 = 5 =

Nhập vectơ br ấn SHIFT 5 1 2 3

Nhập tọa độ của br ấn (− ) 3 = 4 = 7 =

Tiếp tục ấn SHIFT 5 1 3 3 để nhập tọa độ của vectơ cr

Nhập tọa độ của cr ấn 0 = (− ) 7 = (− ) 3 =

Ta bắt đầu tính ur= − +3ar 2b cr−r

Ấn SHIFT 5 3 1 ( Gọi lại vectơ ar )

ấn tiếp × ( (−) 3 ) + 2 × SHIFT 5 3 2 ( Gọi lại vectơ br ) − SHIFT 5 3 3 ( Gọi lại vectơ cr ) = Kết quả : u1 = −12

ấn tiếp „ Kết quả : u2 = −6

ấn tiếp „ u3 =2

Vậy ur= −( 12; 6; 2)−

Tính tương tự như trên bằng cách gọi lại a b cr, ,r r rồi đưa vào biểu thức của vectơ ,

v gr r , ta tính được :vr= −( 4; 22;22) ; gr=(27; 42;67)−

b) Tính độ dài của u v gr r r, ,

Tính ur : Đặt vectơ A trong máy thay cho ur

Ấn SHIFT 5 1 1 3 =

Nhập tọa độ cho vectơ ur : (−) 12 = (−) 6 = 2 =

SHIFT ) ( Abs là tính độ dài của vectơ) SHIFT 5 3 1 =

Kết quả : u r = 13.5646

Tính tương tư , ta được : vr =31.3687, gr =83.5583

a) Tính tích vô hướng của a b c b u g v ur , , , r rr r r r r

Tính a brr :Nhập vectơ ar và vectơ br như câu a)

Ấn SHIFT 5 3 1 ( Gọi lại vectơ ar )

Ấn tiếp SHIFT 5 „ 1 ( Dot dùng để tính tích vô hướng )

Ấn SHIFT 5 3 2 ( Gọi lại vectơ br )

Ấn = Kết quả : a b r r = 57

Ta tính được : c b. = −49, u g =62, v u = −40

r

b) Tìm k , h và t sao cho gr=2kv hu tcr− r+ r

Với kết quả tìm được ở trên , ta có (27; 42;67) 2 ( 4; 22; 22)− = k − − −h( 12; 6; 2)− +t(0; 7; 3)− −

Suy ra :

k h t

k h t





 Vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn như đã trình bày ở phần

trên , ta giải được :

69 16 41 8 75 2

k

h

t

 =





 =





 =



Vậy

69 41 75

gr= vr− ur+ cr

Ví dụ 2 : Cho đường thẳng (d)

x y z

− + + =



− + + − =

 Cho biết vectơ chỉ phương của (d)

Giải :

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x – y + z + 4 = 0 là nr1 =(2,−1,1)

của –x + 2y + 3z – 1 = 0 là nr2= (−1 , 2 , 3)

Do đó (d) có vectơ chỉ phương là ur = nr1 ×nr2

( Dùng chương trình VCT ta tính được ur = nr1 ×nr2

Cách ấn như sau :

Ấn 3 lần MODE và chọn 3 (VCT) (màn hình hiện VCT) Ấn SHIFT 5 chọn 1 (Dim) sau đó chọn 1 (A)

Nhập VctA = nr1 = ( 2,−1 , 1) như sau :

Thấy máy hiện VctA(m) m? ấn 3 (không gian 3 chiều) máy hiện VctA1 ? ấn 2 =

máy hiện VctA2 ? ấn –1 =

máy hiện VctA3 ? ấn 1 =

Lại ấn SHIFT 5 chọn 1 (Dim) sau đó chọn 2 (B)

Nhập VctB = nr2 = (−1, 2, 3) tương tự

Sau khi đã nhập xong VctA = nr1 = (2 ,–1 , 1) ;

VctB = nr2 = (–1 , 2 , 3)

Ấn SHIFT 5 3 1 ( Gọi lại vectơ nr1 )

× (dùng để tính tích hữu hướng )

Ấn SHIFT 5 3 2 ( Gọi lại vectơ nr2 )

Ta được màn hình VctA × VctB

Ấn = Kết quả −5 , ấn tiếp „ Kết quả −7 , „ Kết quả 3 Vậy u n n r = × = r1 r2 (-5, -7 , 3) (dấu × (hữu hướng) lấy ở phím × ).

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho M(1 , 3 , 2) ; N(4 , 0 , 2) ;

P(0 , 4 , –3) ; Q(1 , 0 , –3)

a) Viết phương trình mặt phẳng (MNP)

b) Tính diện tích tam giác MNP

c) Thể tích hình chóp QMNP

Giải :

a) Vectơ pháp tuyến của (MNP) là nr=M Nr×M Pr

Nhập M Nr = VctA ; M Pr= VctB như trên

( nhập thẳng từ hiệu các tọa độ điểm)

Sau đó ghi vào màn hình VctA×VctB và ấn =

Kết quả : nr= (15 , 15 , 0)

(MNP) còn qua M(1 , 3 , 2 ) nên có phương trình là:

15(x–1) + 15(y–3) + 0(z–2) = 0 hay x + y – 4 = 0

b) Cách 1

Diện tích

1

2

S = MN MPr r − MN MPr× r Dùng chương trình VCT , ta tính được S=10.6066 đvdt

(Nhập VctA MN=uuuur ; Vct MP=uuur như ví dụ 1 và cuối cùng ghi

0.5 (( VctA VctA) ( VctB VctB ) - (VctA VctB) ) • • • 2

và ấn =

Dấu – (nhân vô hướng ) có bằng cách ấn SHIFT VCT „ 1

( Dot )

Cách 2 :

1

2

S = Abs MN MPuuuur uuur×

Sau khi nhập VctA MN VctB=uuuur; =MPuuur

Ghi vào màn hình : 0.5 Abs(VctA×VctB) và ấn =

Abs (tính độ dài ) ghi bằng phím SHIFT )

c) Thể tích V= M N M P M Q

r r r

⋅

× ) (

6 1

Dùng chương trình VCT

Nhập VctA , VctB , VctC như phần a) ( thực ra chỉ nhập

VctC MP=uuur ) và cuối cùng ghi :

(1f 6) (VctA×VctB).VctC và ấn = Kết quả :

15 2

V =

đvtt

Ví dụ 3 : Tính khoảng cách từ điểâm M1(1 , 1 , 2) đến đường thẳng

(D) có phương trình :

a) 







−

=

=

+

−

=

t z

t y

t x

1 2 1

1 2

1

1

−

−

=

= + v z

x

c)  



=

− + +

−

= + +

−

0 1 3 2

0 4

2

z y x

z y x

( 2 )

) 1 (

Giải :

Ta biết khoảng cách từ M1 đến đường thẳng (D) qua M0 và có

Vectơ chỉ phương ur là

1

( )

Abs M M u d

Abs u

×

uuuuuur r r

a) ur= ( 1 , 2 , − 1 ) , M0(−1,0,1) , M Muuuuuuro 1= (2 , 1, 1)

Nhập M Muuuuuuro 1 = VctA ; ur = VctB

và ghi vào màn hình Abs(VctA×VctB) ÷ AbsB và ấn =

Kết quả : d = 2.1213

b) Giải giống hệt câu a)

c) Tìm điểm M o∈(D) như sau

Tự cho z = 0 rồi vào chương trình giải phương trình bậc nhất 3 ẩn để giải hệ

x y

x y

− + =



− + − =



Ta được

7 2 ( , , 0) ( )

3 3

o

M − − ∈ D

Nhập tiếp theo VctA = nr1= (2 , –1 , 1)

VctB = nr2= (–1 , 2 , 3)

VctC = M Muuuuuuro 1 (nhập trực tiếp từ tọa độ M o , M1)

Ghi vào màn hình VctA×VctB và ấn =

(được vectơ chỉ phương nr của (D) )

Và ghi tiếp và màn hình Abs(VctC×VctAns)÷AbsVctAns và ấn = ( VctAns ghi bằng cách ấn SHIFT 5 3 4 )

Kết quả : d = 3.4467

Ví dụ 4 : Cho hình hộp mà ba cạnh tại một đỉnh được xác định bởi 3 vectơ

1 (3,5,-1)

vr = ; vr2 =(2,1,7) ; vr3 =(5,-2,1)

a) Tính diện tích toàn phần S

b) Tính thể tích V

c) Tính đường cao h với vr2 ,vr3 là vectơ chỉ phương của mặt đáy

Giải :

a) S = 2(vr1 ×vr2 +vr2 ×vr3 +vr3 ×vr1)

Nhập VctA=vr1 ; VctB=vr2 ; VctC=vr3

Rồi ghi vào màn hình

2(Abs(VctA×VctB)+ Abs(VctB×VctC)+ Abs(VctC×VctA)) và ấn =

Kết quả : S = 225.5906 đvdt

b) V = (vr1×vr2 ).vr3

Cách 1 : Ghi vào màn hình E = (VctA×VctB).VctC

Và ấn =

V = 219 (lấy giá trị tuyệt đối)

Cách 2 : Dùng chương trình ma trận (MAT)

Ấn MODE ba lần rồi chọn 2 (MAT) (màn hình hiện MAT)

Ta biết vr1= (x1 ,y1 ,z1) vr2 = (x2 ,y2 ,z2) vr3= (x3 ,y3 ,z3)

nếu đặt MatA = 









3 2 1

x x x

3 2 1

y y

y











3 2 1

z z z

= 







5 2 3

− 2 1 5

−











1 7 1

thì V = (vr1×vr2 ).vr3 = detMatA

Cách ấn : Khi đã vào màn hình ma trận (có hiện MAT)

Ta ấn tiếp SHIFT MAT chọn 1 (Dim) , chọn tiếp 1 (A)

Máy hiện MatA(m×n) m ? ấn 3 =

Máy hiện MatA(m×n) n ? ấn 3 =

Máy hiện MatA11 ấn 3 =

Máy hiện MatA12 ấn 5 =

Máy hiện MatA13 ấn −1 =

Máy hiện MatA21 ấn 2 =

Máy hiện MatA33 ấn 1 =

(đã nhập xong ma trận A (MatA)

Ấn tiếp SHIFT MAT „ chọn 1 (Det)

Ấn SHIFT MAT chọn 3 (MAT) chọn 1 (A)

để có màn hình : Det MatA ấn = Kết quả : V = 219

(Câu b) được giải như trên thì nhanh hơn)

c) Đường cao h định bởi

( 2 3)

V d

Abs v v

=

×

r r Ghi vào màn hình : E ÷ Abs(VctB×VctC) và ấn =

Kết quả h = 5.8635

Ví dụ 5 Cho 2 đường thẳng chéo nhau:

(d) : c

z z b

y y a

x

x− o = − o = − o

(d’) : '

' '

' '

'

c

z z b

y y a

x

x− o = − o = − o Thì khoảng cách h giữa (d) và (d’) chéo nhau là

( ') ' ( ')

u u MM d

Abs u u

×

=

×

uuuur

r r

r với ur= (a , b , c) ; ur’ = (a’ , b’, c’) là các vectơ chỉ phương của (d) , (d’) và M(x o,y o,z o) ∈ (d) , M’(x'o,y'o,z'o) ∈ (d’)

Áp dụng bằng số : Trong không gian Oxyz cho

(d) : 1

1 1

1

+

=

−

= y z

x

(d’) :

2 0

x y z

x y z

+ − + =



 − + − =

 thì (d) qua M(0 , 1 , –1) và có vectơ chỉ phương ur=(2 , 1 , –1) còn (d’) có vectơ chỉ phương ur’= (2 , 1 , –1) × (1 , –1 , 1) = (0 , –3 , –3) và qua

1 5 M'( ,- , 0)

3 3 (tính được tọa độ M’ bằng cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (d’) với z = 0)

Nhập ur = VctA , ur’= VctB , M Mr' =VtcC

(VctC được nhập trực tiếp từ tọa độ các điểm M , M’)

Xong ghi vào màn hình :

(VctA×VctB).VctC ÷Abs(VctA×VctB)

Kết quả h = 2.3094

Ghi chú Muốn tính góc α của d, d’ với (d ) có vectơ chỉ phương ur và

(d’) có vectơ chỉphương ur’ thì dùng công thức

cosα = '

'

u u u u

r r r

r ⋅

Nhập ur = VctA , ur’ = VctB

Rồi ghi vào màn hình ( ở D)

cos − 1 ((Vct

A.VctB)÷(AbsA×AbsB) và ấn = 0’’’

Ghi chú : Nếu ur= (a , b , c) ; ur’ = (a’, b’, c’) lần lượt là các vectơ chỉ phương của (d),(d’) và M o(x o,y o,z o) ∈ (d),M ' o(x'o,y'o,z'o) ∈ (d’) thì phương trình của đường thẳng vuông góc chung của (d) , (d’) là

o

o

u u u M M

u u u M M







r

r

Trong đó M(x , y) là điểm thuộc đường vuông góc chung

VctA = ur , VctB = ur' ta cứ ghi vào màn hình như sau

VctA×(VctA×VctB) và ấn =

Ta được VctAns = (a”,b”,c”)

Sau đó ghi tiếp vào giấy

"(a x x− o)+b y y"( − o)+c z z"( − o) = 0

Tương tự cho dòng thứ hai của hệ phương trình xác định đường

vuông góc chung

Bài toán : (d) có phương trình 1

3 4

2 8

− y z x

(d) có phương trình 1

1 2

2

−

=

− y z x

thì ur= (8 , 4 , 1) và M o(1,2,3)∈(d)

ur'= (2 ,-2 ,1) và M'o(1,0,−1)∈(d')

Áp dụng công thức trên (và tính bằng máy) , ta được

Phương trình đường vuông góc chung là

1 0

x y



 + − =



Bài tập thực hành :

Bài 1 : Cho các vectơ ar= −(1; 3;6) , b =(0;5; 9)−

r

, cr=(4; 3; 5)− −

a) Tìm tọa độ của các vectơ :

3

5

ur= − ar+ br− cr

;vr= − +3br 5cr−9ar ; 5

9

gr= − +cr ar− br

b) Tính độ dài của u v gr r r, ,

c) Tính tích vô hướng của a b c b u g v ur , , , r rr r r r r

d) Tìm k và h sao cho

3

2

gr= kvr+ hur− tbr

Bài 2 : Cho đường thẳng (d)

5

3

5 6 7 10 0

x y z

x y z

− + + + =





Tìm vectơ chỉ phương của (d) và tính khoảng cách từ M ( 3 ;− 7 ; 5 ) đến đường thẳng (d)

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(−6 , 4 , 1) ; B(7 , 1 , 3) ;

C(5 , 7 , –2) ; D(1 , –8 , –7)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) ; (ABC)

b) Tính diện tích tam giác BCD

c) Thể tích hình chóp A.BCD

Bài 4 : Trong không gian cho hai đường thẳng (d1),(d2)có phương trình







= +

−

= +

−

0 10 4

0 23

8 )

( 1

z y

z

x







=+

+

=−

−

0 2 2

0 3

2 )

( 2

z y

z

x d

Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) ĐS : 3 2 = 4 2426

MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIA N

Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu nếu biết

a ) Tâm

2 4 ( ; 3; )

3 5

I −

và đi qua điểm M( − 4 ; 5 ; 7 ) b) Mặt cầu đi qua 4 điểm A (− 1 ; 2 ; 9 ) ; B(2; 4;0)− ;C(1; 7;9)− ;

( 2;0; 4)

D − −

Giải :

a) Bán kính mặt cầu là :

2 2 2

R IM= = − − + + + − =

Ghi vào màn hình :

( 4 ) (5 3) (7 )

ấn =

Kết quả :

27949 225

Vậy :

27949 225

R=

Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là :

x − + + y + − z =

b)

Cách 1 :

Gọi I ( x ; y ; z) là tâm của mặt cầu cần tìm , ta có :

IA IB

IB IC

IC ID

=



 =



 =

 <=>









 + − + =



Vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn , nhập trực tiếp các hệ số a ,

b , c , d Ta được

423 52 56 13 199 52

x

y

z

 = −







⇔ = −



 =



423 56 199

52 13 52

I − −

2 2 423 2 56 2 199 2

( 1 ) (2 ) (9 )

Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là :

x+ + +y + −z =

Cách 2 :

Với máy Vinacal ta có thể giải trực tiếp để tìm các hệ số a , b , c , d bằng cách thay tọa độ của 4 điểm A , B , C , D vào phương trình

0 2

2 2 2

2

2 +y +z + Ax+ By+ Cz+D=

Thay tọa độ của 4 điểm A , B , C , D vào phương trình (1)

Ta được hệ bậc nhất 4 ẩn :













= + +

−

−

= + + +

−

= + +

−

= + + + +

−

0 20 8

4

0 131 18

14 2

0 20 8

4

0 86 18

4 2

D C A

D C B A

D B A

D C B A

Vào chương trình giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn

Ấn MODE ba lần , ấn 1 , rồi tiếp tục ấn 4

Nhập lần lượt các hệ số của phương trình trên , cuối cùng ta được nghiệm :























−

=

−

=

=

=

13 235 52 199 13 56 52 423

D C B A

Vậy phương trình cần tìm là :

0 13

235 26

199 13

112 26

423 2

2

2 +y +z + x+ y− z− =

x

Bài tập thực hành :

Viết phương trình mặt cầu nếu biết

a ) TâmI( − 3 , 5 , 2 ) và đi qua điểm M(2 ; −5 ; 3 )

b) Mặt cầu đi qua 4 điểm A (− 3 ; 5 ; 0 ) ; ; 3 ; 1 )

2

1

B ; ; 3 ; 4 )

2

3

)

1

;

3

;

2

( −

D