Bài toán bù tuyến tính liên tục

Mët sè ành ngh¾a.. Khæng gian compact Hausdorff.. Thuªt to¡n cõa Lemke.. Mët sè ành ngh¾a.. Mð rëng thuªt to¡n cõa Lemke... èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu B i to¡n bò tuy¸n t½nh li¶n töc

LÍI CƒM ÌN

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi

2 T¡c gi£ ch¥n th nh c£m ìn PGS TS Nguy¹n N«ng T¥m ¢ tªn t¼nhh÷îng d¨n, t¤o i·u ki»n cho t¡c gi£ ho n th nh luªn v«n Th¤c s¾ T¡cgi£ xin b y tä láng bi¸t ìn c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡n bë cæng nh¥n vi¶ncõa Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ quan t¥m gióp ï

T¡c gi£ ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c b¤n çng nghi»p

ð Trung t¥m GDTX-HNDN Hç Tòng Mªu - huy»n Löc Y¶n - t¿nh Y¶nB¡i, °c bi»t l  ð Tê tü nhi¶n cõa Trung t¥m, ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªnlñi cho t¡c gi£

H  Nëi, ng y 08 th¡ng 12 n«m 2013

T¡c gi£ luªn v«n

L÷ìng ùc T¥m

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan luªn v«n n y l  k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæid÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS Nguy¹n N«ng T¥m

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu, tæi ¢ k¸ thøa th nh qu£ khoa håc cõac¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn C¡c k¸t qu£ tr½ch d¨ntrong luªn v«n n y ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc

H  Nëi, ng y 08 th¡ng 12 n«m 2013

T¡c gi£ luªn v«n

L÷ìng ùc T¥m

Möc löc

1.1 Mët sè ành ngh¾a 4

1.2 Khæng gian compact Hausdorff 7

1.3 ë o, khæng gian câ ë o 7

1.4 ë o Borel 8

1.5 B i to¡n bò tuy¸n t½nh húu h¤n chi·u 9

1.6 Thuªt to¡n cõa Lemke 9

2 B i to¡n bò tuy¸n t½nh li¶n töc 11 2.1 Giîi thi»u b i to¡n 11

2.2 ành lþ tçn t¤i nghi»m 12

2.2.1 Mët sè ành ngh¾a 12

2.2.2 C¡c ành lþ 13

2.3 Mð rëng thuªt to¡n cõa Lemke 24

2.4 V½ dö v  th£o luªn 32

K¸t luªn 46

Mð ¦u

1 Lþ do chån · t i

Nhi·u b i to¡n xu§t hi»n trong nhúng l¾nh vüc kh¡c nhau, ch¯ngh¤n nh÷: quy ho¤ch to¡n håc, lþ thuy¸t trá chìi, cì håc v  kinh t¸,th÷íng câ còng mët d¤ng to¡n håc v  câ thº ph¡t biºu nh÷ sau:

T¼m x ∈ Rn, sao cho x ≥ 0, Mx + q ≥ 0, (Mx + q)T

x = 0,trong â q ∈ Rn v  M l  ma trªn c§p n×n ¢ cho B i to¡n n y ÷ñc gåi

l  b i to¡n bò tuy¸n t½nh v  vi»c nghi¶n cùu nhúng kh½a c¤nh kh¡c nhaucõa nâ ÷ñc tr¼nh b y kh¡ ¦y õ trong quyºn chuy¶n kh£o [7] Mët sèt¡c gi£, trong â iºn h¼nh câ Allen, Borwein, Gowda v  Karamardian

¢ nghi¶n cùu mð rëng b i to¡n bò tuy¸n t½nh vîi nhúng gi£ thi¸t têngqu¡t hìn [4] Mët trong nhúng mð rëng b i to¡n bò tuy¸n t½nh cho khænggian væ h¤n chi·u (khæng gian câ ë o) ÷ñc Anderson v  Aramendanghi¶n cùu trong [5] (÷ñc °t ra trong [4]) nh÷ sau:

Cho X l  mët khæng gian compact Hausdorff, M(X) l  tªp t§tc£ c¡c ë o Borel ch½nh quy x¡c ành tr¶n X v  M : X × X → R,

q : X → R l  nhúng h m li¶n töc Khi â b i to¡n bò tuy¸n t½nh li¶n

w(y)dµ(y) = 0

Nhúng kh½a c¤nh tçn t¤i nghi»m v  thuªt to¡n gi£i b i to¡n (CLCP)

¢ ÷ñc nghi¶n cùu trong [5] Theo tæi ÷ñc bi¸t, cán nhi·u v§n · cõa

b i to¡n (CLCP) v¨n ch÷a ÷ñc nghi¶n cùu ¦y õ, v½ dö nh÷: t½nh ch§tcõa tªp nghi»m, sü ên ành cõa b i to¡n

Sau khi ÷ñc håc nhúng ki¸n thùc v· To¡n gi£i t½ch, vîi mongmuèn t¼m hiºu s¥u hìn v· nhúng ki¸n thùc ¢ håc, mèi quan h» v  ùngdöng cõa chóng, tæi ¢ chån · t i nghi¶n cùu: B i to¡n bò tuy¸n t½nhli¶n töc

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu têng quan v· b i to¡n bò tuy¸n t½nh li¶n töc, i·u ki»ntçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n, c§u tróc tªp nghi»m v  thuªt to¡n gi£i b ito¡n

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

C¡c i·u ki»n º £m b£o sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n bò tuy¸nt½nh li¶n töc

Mð rëng thuªt to¡n cõa Lemke cho b i to¡n bò tuy¸n t½nh húuh¤n º gi£i b i to¡n ph¦n bò tuy¸n t½nh li¶n töc.

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

B i to¡n bò tuy¸n t½nh li¶n töc trong khæng gian Hausdorff pact

com-5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Thu thªp t i li»u, åc, ph¥n t½ch v  têng hñp º ÷ñc mët nghi¶ncùu têng quan v· b i to¡n, sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n, thuªt gi£i

b i to¡n

6 Dü ki¸n âng gâp mîi cõa · t i

Nghi¶n cùu têng quan b i to¡n bò tuy¸n t½nh li¶n töc

âng gâp mët sè k¸t qu£ mîi v· c§u tróc tªp nghi»m v  t½nh ên

ành b i to¡n bò tuy¸n t½nh li¶n töc

H  Nëi, ng y 08 th¡ng 12 n«m 2013

T¡c gi£ luªn v«n

L÷ìng ùc T¥m

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc bê trñ

Ch÷ìng n y tr¼nh b y nhúng kh¡i ni»m v· khæng gian compactHausdorff, ë o, khæng gian câ ë o, ë o Boren Tr¼nh b y B ito¡n bò tuy¸n t½nh húu h¤n chi·u, thuªt to¡n gi£i b i to¡n v  mët sèki¸n thùc câ li¶n quan kh¡c, xem nh÷ l  cæng cö s³ dòng ¸n trong c¡cch÷ìng sau

Ta nâi h m f l  tüa lçi n¸u tªp {x ∈ X | f(x) ≤ γ} l  lçi vîi méi γ ∈ R

ành ngh¾a 1.2 Mët h m sè f : E 7→ (−∞, +∞] ÷ñc gåi l  nûa li¶ntöc d÷îi t¤i x0 ∈ E n¸u vîi måi ε > 0, tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 sao cho

f (x) ≥ f (x0) − ε ∀x ∈ U

Ta nâi f l  mët h m nûa li¶n töc d÷îi n¸u f l  nûa li¶n töc d÷îi t¤i måi

; Tªp hñp t§t c£ c¡c phi¸m

h m tuy¸n t½nh tr¶n E ÷ñc gåi l  èi ng¨u ¤i sè cõa E kþ hi»u l  E∗

ành ngh¾a 1.6 Cho F , E l  hai khæng gian vectì tæpæ, mët d¤ngsong tuy¸n t½nh x¡c ành tr¶n F × E vi¸t l  h., i, vîi hx, yi tuy¸n t½nhtheo x vîi méi y ∈ E v  tuy¸n t½nh theo y vîi méi x ∈ F N¸u

1 Vîi méi x ∈ F , x 6= 0 tçn t¤i y ∈ E sao cho: hx, yi 6= 0 v ,

2 Vîi méi y ∈ E, y 6= 0 tçn t¤i x ∈ F sao cho: hx, yi 6= 0

th¼ hF, Ei ÷ñc gåi l  mët c°p èi ng¨u

Nhªn x²t 1.1 N¸u hF, Ei l  mët c°p èi ng¨u th¼ hE, F i công l  c°p

èi ng¨u

ành ngh¾a 1.7 N¸u hF, Ei l  mët c°p èi ng¨u th¼ tçn t¤i mët ph²pnhóng tü nhi¶n tø F l¶n èi ng¨u ¤i sè E cõa F nhªn ÷ñc b¬ng c¡ch

çng nh§t x vîi phi¸m h m tuy¸n t½nh hx, i Ta câ thº x¡c ành mëttæpæ tr¶n F gåi l  tæpæ y¸u, kþ hi»u l  σ (E, F ) b¬ng c¡ch x¡c ành cì

ành ngh¾a 1.9 Cho hF, Ei l  mët c°p èi ng¨u, X ∈ E v  A : X 7→ F

Ta nâi r¬ng A l  ìn i»u tr¶n X n¸u

hAx − Ay, x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ X

Ta nâi r¬ng A l  gi£ ìn i»u tr¶n X n¸u ∀x, y ∈ X ta câ:

hAy, x − yi ≥ 0 ⇒ hAx, x − yi ≥ 0Nhªn x²t: N¸u A l  ìn i»u tr¶n X th¼ A l  gi£ ìn i»u tr¶n X

ành ngh¾a 1.10 Mët tªp X ⊂ E ÷ñc gåi l  mët nân n¸u λx ∈ X,vîi måi x ∈ X v  måi λ ≥ 0 Nân X ÷ñc gåi l  nân lçi n¸u X l  mëtnân v  X l  mët tªp lçi, tùc l : λx + µy ∈ X vîi måi x, y ∈ X v  måi

λ, µ ≥ 0

1.2 Khæng gian compact Hausdorff

ành ngh¾a 1.11 (Khæng gian Hausdorff ) Khæng gian tæpæ X gåi l mët T2-khæng gian ho°c khæng gian Hausdoff n¸u méi c°p iºm kh¡cnhau x1, x2 ∈ X, tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa x1 v  mët l¥n cªn V cõa x2

1.3 ë o, khæng gian câ ë o

ành ngh¾a 1.13 Mët hå M nhúng tªp con cõa mët tªp hñp X gåi l mët ¤i sè nhúng tªp hñp con cõa X n¸u:

1 X ∈ M v  vîi måi A ∈ M, A = X\A ∈ M;

2 Vîi måi hå húu h¤n tuý þ A1, , An ∈ M, Sn

i=1

Ai ∈ M

ành ngh¾a 1.14 M gåi l  mët σ-¤i sè nhúng tªp con cõa X n¸u:

1 X ∈ M vîi måi A ∈ M, A = X\A ∈ M;

ành ngh¾a 1.16 Gi£ sû M l  mët σ-¤i sè nhúng tªp hñp con cõamët tªp X H m sè µ : M → [0, ∞] gåi l  mët ë o n¸u:

1 µ(∅) = 0;

2 µ l  σ-cëng t½nh, tùc l  n¸u A1, A2, l  mët hå ¸m ÷ñc nhúngtªp hñp æi mët ríi nhau thuëc M th¼

Bë ba (X, M, µ) gåi l  mët khæng gian ë o, trong â M l  mët

σ-¤i sè nhúng tªp hñp con cõa tªp hñp X, µ : M → [0, ∞] l  mët ë

o

ành ngh¾a 1.17 Cho µ l  mët ë o tr¶n khæng gian ë o (X, M).Mët tªp A ⊂ X ÷ñc gåi l  mët nguy¶n tû n¸u: µ (A) > 0 v  vîi måitªp con o ÷ñc B cõa A v  µ(B) < µ(A) th¼ µ (B) = 0

ë o µ ÷ñc gåi l  mët ë o nguy¶n tû n¸u måi tªp o ÷ñc câ

ë o d÷ìng ·u chùa mët nguy¶n tû

1.4 ë o Borel

ành ngh¾a 1.18 Cho mët khæng gian tæpæ (X, τ), σ-¤i sè sinh bði

hå t§t c£ c¡c tªp hñp mð trong X gåi l  σ-¤i sè Borel cõa khæng gian

X, kþ hi»u l  M(X) C¡c ph¦n tû cõa M(X) gåi l  c¡c tªp hñp Boreltrong khæng gian X

ành ngh¾a 1.19 (ë o Boren) Cho X l  mët khæng gian compactHausdorff v  M(X) l  σ-¤i sè Borel Mët ë o µ x¡c ành tr¶n σ ¤i

sè Borel M(X) ÷ñc gåi l  mët ë o Borel

ành ngh¾a 1.20 (ë o ch½nh quy ngo i) Mët ë o µ ÷ñc gåi l ch½nh quy ngo i tr¶n B thuëc M(X) n¸u

Tø i·u ki»n h¤n ch¸ z ≥ 0, w ≥ 0 v  wizi = 0 suy ra z v  w khæng ¥m

v  câ ½t nh§t mët th nh ph¦n cõa c°p (zi, wi) ph£i b¬ng 0 i·u ki»n

n y câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng 0 ≤ z⊥w ≥ 0

1.6 Thuªt to¡n cõa Lemke

Thuªt to¡n cõa Lemke gi£i B i to¡n 1.1 ÷ñc tr¼nh b y trong [7]nh÷ sau:

B÷îc 0 (Khði t¤o): Nhªp (q, M), n¸u q ≥ 0 th¼ døng: z = 0 l nghi»m cõa (q, M) Tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i ta gi£ sû tçn t¤i ch¿ sè k º

q + Mk.zk ≥ 0 vîi måi zk > zk Kþ hi»u wr l  th nh ph¦n cõa w (nâ l duy nh§t theo gi£ thi¸t khæng suy bi¸n) b¬ng 0 khi zk = zk iºm tüa

hwr, zki (b¥y gií th nh ph¦n wk v  zk l  cì b£n cán wr v  zr l  khæng

cì b£n) Chån bi¸n thay êi l  th nh ph¦n cõa wr tùc l  zr

B÷îc 1 (X¡c ành bi¸n ch°n) Dòng ph²p kiºm tra t¿ sè cüc tiºu

º x¡c ành câ hay khæng câ bi¸n cì sð ch°n t½nh t«ng cõa bi¸n thay

êi N¸u khæng x£y ra th¼ døng

B÷îc 2 (Sü xoay) Bi¸n thay êi bà ch°n iºm tüa l  (bi¸n ch°n,bi¸n thay êi) N¸u zk ho°c wk l  bi¸n ch°n, ta t¼m ngay ÷ñc nghi»mcõa (q, M) N¸u khæng ta quay l¤i b÷îc 1 dòng th nh ph¦n cõa bi¸nch°n g¦n nh§t nh÷ l  mët bi¸n thay êi mîi

Ch֓ng 2

B i to¡n bò tuy¸n t½nh li¶n töc

Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· b i to¡n bò tuy¸n t½nh li¶n töc, i·uki»n tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n Tr¼nh b y mët mð rëng thuªt to¡ncõa Lemke gi£i b i to¡n bò tuy¸n t½nh li¶n töc v  mët sè v½ dö minhhåa cho thuªt to¡n

2.1 Giîi thi»u b i to¡n

Cho X l  mët khæng gian compact Hausdorff, M(X) l  tªp t§tc£ c¡c ë o Borel ch½nh quy x¡c ành tr¶n X, v  M : X × X → R,

q : X → R l  nhúng h m li¶n töc Khi â b i to¡n bò tuy¸n t½nh li¶ntöc ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

X

w(y)dµ(y) = 0

M (x, ˆy)dµ(x) + q(ˆy) < 0, vîi måi µ sao cho µ ≥ 0.

M°t kh¡c, (CLCP) bao gií công câ nghi»m khi q ≥ 0, mi¹n l  µ = 0.Trong ph¦n n y ta s³ t¼m i·u ki»n º (CLCP) câ nghi»m

ành ngh¾a 2.5 Ta nâi h m M (x, y) l  çng d÷ìng n¸u

Chùng minh º chùng minh ành lþ ta sû döng bê · sau:

Bê · 2.1 (Xem Theorem 4 [8]) Cho hF ; Ei l  mët c°p èi ng¨u,

X ⊂ E l  mët tªp σ (E, F ) lçi âng v  A : X → F l  mët ¡nh x¤ gi£

ìn i»u sao cho ¡nh x¤ bi¸n x 7→ hAx, xi l  mët σ (E, F ) nûa li¶n töcd÷îi tr¶n X Gi£ sû tçn t¤i mët vectì x0 ∈ E sao cho

x0 ∈ X, −Ax0 ∈ τ − int Xo,vîi Xo l  cüc cõa X, tùc l  Xo = {u ∈ F | hu, xi ≤ 0 ∀x ∈ X} Khi

â tçn t¤i mët vectì x ∈ X sao cho

hAx, x − yi ≤ 0 vîi måi y ∈ X

N¸u X l  mët nân th¼ i·u n y câ ngh¾a l 

vîi måi µ ∈ M(X).

Vªy M l  nûa x¡c ành d÷ìng tr¶n X

Bði vªy, i·u ki»n b i to¡n (CLCP) câ iºm ch§p nhªn ÷ñc ch°t

l  tçn t¤i µ ∈ M+(X) vîi M+(X) l  nân lçi âng v 

Theo Bê · 2.1 suy ra tçn t¤i µ ∈ M+(X), sao cho

−Aµ = −w ∈ Mo+(X) v  hAµ, µi = 0

i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi tçn t¤i µ ∈ M+(X), sao cho

Ta nhªn ÷ñc i·u m¥u thu¨n.

Bê · 2.2 C¡c ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng

(i) (CLCP) câ iºm ch§p nhªn ÷ñc ch°t vîi måi q ∈ C(X);(ii) (CLCP) câ iºm ch§p nhªn ÷ñc vîi måi q ∈ C(X);

(iii) tçn t¤i mët ë o ˆµ ∈ M+(X) sao cho

Vªy (CLCP) câ iºm ch§p nhªn ÷ñc.

(ii)⇒(iii): L§y q(y) = ε vîi måi y ∈ X v  ε < 0 Khi â, tçn t¤i

M (x, y)dµ(x) ≥ −q(y) = −ε ∀y ∈ X

i·u n y d¨n tîi

Suy ra µq l  iºm ch§p nhªn ÷ñc ch°t cõa (CLCP).

Tø ành lþ 2.1 v  Bê · 2.2 ta nhªn ÷ñc h» qu£ sau:

H» qu£ 2.1 Cho M (x, y) l  nûa x¡c ành d÷ìng N¸u mët trong ba i·uki»n cõa bê · tr¶n l  óng, th¼ (CLCP) câ nghi»m vîi måi q ∈ C(X)

Chùng minh Tø gi£ thi¸t v  Bê · 2.2 suy ra (CLCP) câ iºm ch§p nhªn

÷ñc ch°t vîi måi q ∈ C(X) M°t kh¡c, M (x, y) l  nûa x¡c ành d÷ìngn¶n theo ành lþ 2.1 suy ra (CLCP) câ nghi»m vîi måi q ∈ C(X)

ành lþ 2.2 Cho f (x, y) l  h m thüc li¶n töc x¡c ành tr¶n X × X.Th¸ th¼, câ mët v  ch¿ mët trong hai i·u sau x£y ra

i·u n y l  m¥u thu¨n, v¼ hai t½ch ph¥n tr¶n câ còng gi¡ trà.

B¥y gií, gi£ sû (2.3) khæng x£y ra Th¸ th¼, vîi måi µ ∈ M+(X),tçn t¤i yµ ∈ X sao cho

(P*) T¼m λ lîn nh§t, thäa m¢n:

Z

X

f (x, y)dv(y) ≥ 0, x ∈ XZ

X

dv(y) = 1, v ∈ M(X), v ≥ 0

Rã r ng c°p (λ0, µ0), vîi λ0 = 1 v  µ0 = 0 l  iºm trong cõa tªp

iºm ch§p nhªn ÷ñc cõa (P) Do â, ta câ thº ¡p döng ành lþ 3.13 [3]

º ch¿ ra r¬ng (P) v  (P*) câ còng gi¡ trà V¼ vªy, (2.2) nghi»m óng v 

ành lþ ÷ñc chùng minh

ành lþ 2.3 N¸u M (x, y) l  nûa x¡c ành d÷ìng, th¼ nâ l  çng d÷ìngcëng

Chùng minh Nh­c l¤i r¬ng M (x, y) l  nûa x¡c ành d÷ìng n¸u

λZ

X

(M (x, z) + M (z, x)) dµ(x) + λ2M (z, z) ≥ 0,

vîi måi λ > 0 Do â

Chùng minh Ta chùng minh r¬ng câ mët ë o µ ∈ M+(X) sao cho

ch°t n¶n M (x, y) l  x¡c ành d÷ìng V¼ vªy, theo ành lþ 2.1 suy ra(CLCP) câ nghi»m vîi måi q ∈ C(X).

Nhªn x²t 2.2 Lîp h m nûa x¡c ành d÷ìng v  çng d÷ìng ch°t chùalîp c¡c h m x¡c ành d÷ìng Tuy nhi¶n chóng khæng çng nh§t Ch¯ngh¤n, l§y h m h¬ng M (x, y) = k, vîi k > 0 N¸u µ = δb 0 − δ1 th¼

ành lþ 2.5 N¸u M (x, y) x¡c ành d÷ìng th¼ (CLCP) câ duy nh§tnghi»m vîi måi q ∈ C(X)

Chùng minh V¼ M (x, y) l  x¡c ành d÷ìng n¶n nâ l  nûa x¡c ànhd÷ìng v  çng d÷ìng ch°t Theo ành lþ 2.4, suy ra (CLCP) câ nghi»mvîi måi q ∈ C(X) Gi£ sû µ1 v  µ2 l  hai nghi»m cõa (CLCP) vìi q n o

i·u n y m¥u thu¨n vîi M (x, y) l  x¡c ành d÷ìng.

2.3 Mð rëng thuªt to¡n cõa Lemke

Möc ½ch trong ph¦n n y l  tr¼nh b y mët mð rëng thuªt to¡n cõaLemke trong khæng gian húu h¤n chi·u cho (CLCP) Trong ph¦n cán l¤i

ta s³ k½ hi»u X = [0, 1] Ta b­t ¦u b¬ng c¡ch ÷a th¶m mët bi¸n gi£(artificial variable) z v o h» sau :

Rã r ng, Γ kh¡c réng Ta nâi (µ, w, z) l  iºm ch§p nhªn ÷ñc n¸u nâthuëc Γ; nâi (µ, w, z) l  iºm cüc bi¶n n¸u nâ l  iºm cüc bi¶n cõa

Γ Mët iºm ch§p nhªn ÷ñc (µ, w, z) ÷ñc gåi l  h¦u nh÷ bò (almostcomplementary) n¸u

Chó þ r¬ng mët iºm bò ch§p nhªn ÷ñc l  mët nghi»m cõa (CLCP)

Ta s³ quan t¥m tîi c¡c iºm cõa Γ vîi µ l  mët ë o nguy¶n tû Ta gåi

w l  bi¸n phö (slack variable)

Cho µ l  ë o nguy¶n tû tªp trung t¤i c¡c x1, , xn vîi khèil÷ñng t÷ìng ùng l  λ1, , λn Bi¸n phö w li¶n k¸t vîi nâ thäa m¢n

Ta nâi c¡c iºm cõa constr (w) l  c¡c iºm ho¤t cõa w Gi£ sû w ch¿

câ húu h¤n iºm ho¤t l  {y1, , ym} N¸u bi¸n phö w l  khæng ¥m, th¼c¡c iºm ho¤t cõa nâ l  cüc tiºu àa ph÷ìng ch°t vîi gi¡ trà khæng Tac¦n quan t¥m ¸n bªc cõa nhúng khæng iºm n y v  v¼ th¸ ta ànhngh¾a d (j) , j = 1, , m, l  c¡c sè nguy¶n khæng ¥m nhä nh§t k sao cho

w(k+1)(yj) 6= 0, ð â w(k+1)(yj) ngh¾a l  ¤o h m c§p (k + 1) cõa w(·)t¤i yj N¸u yj l  iºm trong cõa o¤n [0, 1], th¼ d (j) l  l´ Tø nay v·

sau, ta gi£ sû M (x, ), q ∈ C∞[0, 1] v  d (j) ÷ñc ành ngh¾a tèt, tùc l d(j) < ∞.

÷ñc tr¼nh b y bði Anderson v  Nash [3], ng÷íi ta chùng minh ÷ñc k¸tqu£ sau

ành lþ 2.6 N¸u (µ, w, z) l  iºm ch§p nhªn ÷ñc vîi support(µ) ={x1, , xn} v  constr (w) = {y1, , yn}, th¼ (µ, w, z) l  iºm cüc bi¶nkhi v  ch¿ khi rank (A) = n + 1

V§n · quan trång l  ta ph£i t¼m mët quÿ ¤o cõa c¡c iºm h¦unh÷ bò trong Γ, tùc l  câ thº t¼m ÷ñc mët tia døng ho°c mët iºm bò

º khði t¤o quÿ ¤o n y, ta c¦n mët iºm ban ¦u Ta s³ gi£ sû q khæng

l  mët h m khæng ¥m V¼ n¸u tr¡i l¤i th¼ (CLCP) s³ lªp tùc câ nghi»m

µ = 0 v  w = q °t

z1 = max {−q(y) | y ∈ [0, 1]} , µ1 = 0,

w1(y) = q(y) + z0, y ∈ [0, 1] D¹ th§y r¬ng, (µ1, w1, z1) l  iºm cüc bi¶n h¦u nh÷ bò m  ta s³ chån

l m iºm ban ¦u

Qu¡ tr¼nh xoay têng qu¡t (the general pivot operation) ÷ñc mæt£ nh÷ sau:

Cho (µr, wr, zr) l  mët iºm ch§p nhªn ÷ñc h¦u nh÷ bò L§y gi¡cõa ë o µr l  tªp {x1, xn} v  gåi λi, i = 1, , n l  khèi l÷ñng cõa

µr tªp trung t¤i iºm xi Ti¸p theo, ta l§y constr (wr) = {x1, , xn+1}.Quÿ ¤o cõa c¡c iºm ch§p nhªn ÷ñc h¦u nh÷ bò ÷ñc sinh b¬ng c¡ct«ng khèi l÷ñng cõa iºm ho¤t xn+1 Tùc l , t¤i mët iºm cõa constr (wr)

m  khæng thuëc v o gi¡ cõa µr Ta s³ gi£ sû b­t ¦u vîi d (i) = 1, i =

1, , n, v  {x1, , xn+1} ⊂ (0, 1) K½ hi»u (µθ, wθ, zθ) l  c¡c ph¦n tû cõaquÿ ¤o Mët c¡ch º t«ng khèi l÷ñng cõa iºm xn+1 l  câ thº dòng ë