Luận văn thạc sĩ Bài toán bù tuyến tính suy rộng

27 2.6 Một đặc trưng của nón đa diện trong các không gian hữu hạn chiều... Chương 1: trình bày những kiến thức cơ bản về không gian Hinbert vàtoán tử trong không gian Hilbert, tập lồi và

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học :

PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Thái Nguyên – 2014

Mục lục

1.1 Không gian Hilbert 6

1.2 Khái niệm về không gian Hilbert 6

1.3 Tôpô yếu trong không gian Hilbert 14

1.4 Toán tử trong không gian Hilbert 14

2 Bài toán bù tuyến tính suy rộng 19 2.1 Giới thiệu bài toán bù tuyến tính 19

2.2 Một số kết quả cho nón đa diện 20

2.3 Kết quả tồn tại trong trường hợp nón tổng quát 22

2.4 Ví dụ 26

2.5 Một số kết quả nhiễu 27

2.6 Một đặc trưng của nón đa diện trong các không gian hữu hạn chiều 30

Tài liệu tham khảo 33

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để tôihoàn thành luận văn này

-Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô của trường Đại học Thái Nguyên

đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp

đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014

Nguyễn Thị Hồng Hà

H Không gian Hilbert

Rn không gian Hilbert n-chiều

k.k chuẩn trong không gian Hilbert

x⊥y x trực giao với y

S⊥ phần bù trực giao của S

H∗ không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục

RanT = {T x : x ∈ H} ảnh của toán tử T

KerT = {x ∈ H : T x = 0} hạt nhân của toán tử T

A∗ toán tử liên hợp của toán tử A

K∗ nón đối ngẫu của nón K

GLCP(T, K, q) bài toán bù tuyến tính suy rộng

Mở đầu

Bài toán bù tuyến tính có một vị trí rất quan trọng Nhiều tác giả trong

và ngoài nước đã nghiên cứu và thu được những kết quả quan trọng của nótrong k trong không gian hữu hạn chiều và không gian vô hạn chiều Luậnvăn này trình bày một cách có hệ thống những nội dung cơ bản nhất về bàitoán bù tuyến tính suy rộng Luận văn gồm 2 chương

Chương 1: trình bày những kiến thức cơ bản về không gian Hinbert vàtoán tử trong không gian Hilbert, tập lồi và hàm lồi

Chương 2: trình bày về bài toán bù tuyến tính và sự tồn tại nghiệm củanó

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Nội dung chính của chương bao gồm một số kiến thức cơ sở về khônggian Hilbert thực và toán tử đơn tuyến tính trên không gian Hilbert

Những nội dung trình bày trong chương này chủ yếu lấy từ [1] và [2]

Cho H là không gian vector trên trường số thực R

iii) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi,

iv) hx, xi ≥ 0, hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0

Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của x và y Không gian véc tơ H

cùng với một tích vô hướng xác định được gọi là không gian có tích vôhướng và thường được viết là (H, h., i)

Tập S ⊂ H được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ S, đoạn thẳng nối x, y

đều nằm trong S Nói cách khác, S ⊂ H là tập lồi khi và chỉ khi:

∀x, y ∈ S, ∀λ ∈ [0, 1] ta có x = λx1 + (1 − λ) x2 ∈ S

Cho S ⊂ H là một tập hợp khác rỗng S được gọi là nón nếu ∀λ > 0

và x ∈ S ta luôn có λx ∈ S

Nón S được gọi là nón lồi nếu S là tập lồi

Nón S được gọi là nón lồi đóng nếu S vừa là nón lồi vừa là tập đóng.Định nghĩa 1.5

Cho một tập hợp khác rỗng S ⊂ H Nón đối cực của S, được ký hiệu

là S∗, là tập hợp {y ∈ H | hy, xi ≤ 0, ∀x ∈ S} Nếu S là tập rỗng thì nónđối cực sẽ là H

ϕ(t) = hx, xit2 + 2hx, yit + hy, yi

là một tam thức bậc hai biến t Do tính không âm của ϕ(t)ta phải có

∆ = hx, yi2− hx, xi.hy, yi ≤ 0 Từ đây suy ra |hx, yi| ≤ kxkkyk, ta có điềuphải chứng minh

Theo giả thiết {xn}hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại sốα > 0

sao cho kxnk ≤ α với mọi số tự nhiên n Vì vậy, ta có

Cho S là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H Khi

đó, với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ S sao cho kx − yk = inf{kx − zk |

z ∈ S}

Ta kí hiệu d(x, S) = inf{kx − zk | z ∈ S}

Hai phần tử x và y của không gian Hilbert H gọi là trực giao nếu

hx, yi = 0, kí hiệu x⊥y

Nếu S là một tập con của không gian Hilbert H thì tập

S⊥ = {x ∈ H | x⊥y ∀y ∈ S}

gọi là phần bù trực giao của S

Từ định nghĩa ta có thể suy ra tính chất đơn giản sau :

Giả sử S là một không gian con đóng của không gian Hilbert H Khi

đó mỗi phần tử x ∈ H biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng

kzk = kx − yk ≤ kx − (y + αu)k

= kz − αuk

Từ đó suy ra

kzk2 ≤ hz − αu, z − αu

= kzk2 − αhu, zi − αhz, ui + α2kuk2

Chọn α = hz, ui và kuk, ta suy ra 0 ≤ −|hz, ui|2 Do đó, hz, ui = 0 với mọi

u ∈ S và kuk = 1 Như vậy ta đã chỉ ra z ∈ S⊥

Tiếp theo ta chứng minh sự biểu diễn là duy nhất, giả sử x = y1+ z1 với

y1 ∈ S, z1 ∈ S⊥ Khi đó, y − y1 = z1− z, ta có y − y1 ∈ S và y − y1 ∈ S⊥

Từ đó suy ra hy − y1, y − y1i = 0 Do vậy y = y1 và do đó z = z1 Vậy định

lý được chứng minh

Định nghĩa 1.7

Theo định lý trên, mọi x ∈ H đều biểu diễn được duy nhất dạng

x = y + z với y ∈ S, z ∈ S⊥ Như vậy, H = S ⊕ S⊥ Ánh xạ P : H → S,xác định P (x) = y với x = y + z ∈ S ⊕ S⊥, được gọi là phép chiếu trựcgiao từ H lên S

trong định lý trên ta suy ra

hf (x)i = |ha, xi| < kak × kxk (1.3)

hf (x)i = |ha, ai| = kak × kak (1.4)nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.1)

Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liêntục f(x)trên không gian Hilbert H Tập hợp

Định lý vừa chứng minh cho phép ta thiết lập một tương ứng đôi mộtgiữa hàm tuyến tính liên tục f trên H và véc tơ a ∈ H Tương ứng đó là

véc tơ a sinh ra nó thì ta có H∗ = H, nghĩa là: Không gian Hilbert trùngvới không gian liên hợp của nó.

Giả sử {xk} hội tụ yếu đến x và f ∈ H Với mọi ε > 0 tồn tại

k0 ∈ U (f, x, ε) với mọi k ≥ k0 Nhưng điều đó có nghĩa là|f (xk)−f (x)| < ε

với mọi k ≥ k0 Vậy f (xk) → f (x)

Bây giờ giả sử f (xk) → f (x) với mọi f ∈ H∗ Lấy lân cận tùy ý có dạng

U (f1, f2, , fp, x, ε) của x Vì fi(xk) → fi(x) với i = 1, , p nên tồn tại

k0 để |fi(xk) − fi(x)|ε với mọi k ≥ k0, i = 1, 2, , p Điều này có nghĩa là

xk ∈ U (f1, f2, , fp, x, ε) với mọi k ≥ k0, tức là xk hội tụ yếu đến x.Mệnh đề 1.3

Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert H là compact yếu

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H Với mỗi

y ∈ H cố định ta xét phiếm hàm f : H → R được xác định như sau:

f (x) = hAx, yi , x ∈ H.Định nghĩa 1.9

Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H,

ánh xạ A∗ : H → H được xác định như sau:

∀y ∈ H, A∗y = y∗

trong đó

hAx, yi = hx,A∗yi = hx, y∗i.Khi đó A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A

Định lý 1.7

Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử liên tục từ

H vào H Khi đó: A∗∗ = A và kA∗∗k = kAk

Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử liên tục từ

H vào H

A là một phép đồng phôi khi và chỉ khi A∗ là một phép đồng phôi và

(A∗)−1 = (A−1)∗

Định nghĩa 1.10

Với M ⊂ H, ta kí hiệu spanM là không gian tuyến tính nhỏ nhất của

H chứa M, intM là phần trong của M trong H, ∂M là biến của tập M

và M⊥ = {x ∈ H : hx, ei = 0 ∀e ∈ M } = 0 Với mỗi toán tử T, chúng taviết RanT = {T x : x ∈ H} KerT = {x ∈ H : T x = 0} lần lượt là ảnh vànhân của T

Định nghĩa 1.11

Cho H là một không gian Hilbert, T là một toán tử tuyến tính bị chặntrên H, K và L là những nón lồi đóng trong H Ta nói T là đồng dươngcộng trên K nếu:

Định nghĩa 1.14.

Nón K trong không gian H được gọi là mỏng nếu K khả ly và vector

0 không thuộc vào bao đóng yếu của tập {k ∈ H : kkk = 1}

Lưu ý rằng, mọi nón trong không gian hữu hạn chiều của H đều mỏng(xem [5])

Với α > 0 và phần tử e 6= 0 cố định trong không gian Hilbert khả ly H

lim inf ϕ(y) ≥ ϕ(x)

khi y hội tụ yếu đến x trong K

Trong chương 1 đã trình bày một số khái niệm về không gian hilbert, toán

tử trong không gian Hilbert, định nghĩa về tập lồi , nón lồi, nón lồi đóng các kết quả cơ bản sẽ dùng trong những phần sau

Chương 2

Bài toán bù tuyến tính suy rộng

Chương 2 sẽ trình bày một số kết quả về bài toán bù tuyến tính suy rộngtrong không gian Hilbert Các kết quả trình bày trong chương này được lấy

từ bài báo [5]

Có rất nhiều kết quả liên quan đến bài toán bù tuyến tính trong cáckhông gian hữu hạn chiều cũng như trong không gian vô hạn chiều (xem[5], [4] và những tài liệu trích dẫn trong đó)

Bài toán bù tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều được phát biểunhư sau:

Tìm vectơ z ∈ Rn sao cho

Cho H là một không gian Hilbert, K là một nón lồi trong H Bàitoán bù tuyến tính trong không gian Hilbert là:

Tìm x ∈ K sao cho

hT x + q, ki > 0, (∀k ∈ K) và hT x + q, xi = 0,

trong đó T là một toán tử tuyến tính trên H và q là một phần tử của H.Bài toán trên được gọi là bài toán bù tuyến tính suy rộng trên khônggian Hilbert và được kí hiệu GLCP(T, K, q)

Định nghĩa 2.2

Bài toán GLCP(T, K, q) được gọi là chấp nhận được nếu tồn tại x ∈ K

sao cho T x + q ∈ K∗, trong đó

Định lý 2.1 Cho K là một đa diện và T là một toán tử đồng dươngtăng cường trên K Nếu bài toán bù tuyến tính suy rộng GLCP(T, K, q)

chấp nhận được thì nó có nghiệm

Chứng minh.

Nếu dimH < ∞ thì, bằng cách sử dụng phép biến đổi bảo toàn tíchhướng, ta có thể giả sử H = Rn với một n nào đó và sử dụng tích vô hướngthông thường trên Rn Vì K là một nón đa diện, tồn tại số nguyên dương

m và ánh xạ tuyến tính B : Rm → Rn sao cho B(Rm+) = K Dễ dàng thấyrằng bT = B∗T B là một toán tử đồng dương cộng trên Rm+ Vì bài toán bùtuyến tính suy rộng GLCP(T, K, q)chấp nhận được, tồn tại x0 ∈ K sao cho

với mọi x ∈ Rm+ Như vậy, GLCP(T,Rb ∗+, B∗q) chấp nhận được Theo Định

lý Lemke [16], tồn tại bx ∈ Rm+ sao cho

hT (Bx + q, Bxib > (x ∈ Rm+) và hT (Bx) + q, Bb xi = 0b (2.2)

và ta thấy rằng Bxb là nghiệm của GLCP(T, K, q)

Trong trường hợp tổng quát, giả sử X là một không gian hữu hạn chiềucủa H chứa K Kí hiệu P là phép chiếu vuông góc từ H lên X và đặt

S = P T Khi đó, S : X → X là toán tử đồng dương cộng trên K và

hSx0 + P q, ki = hT x0+ q, ki 0 ∀k ∈ K

Như vậy, bài toán GLCP(S, K, P q)chấp nhận được trênK Theo như trườnghợp hữu hạn chiều đã xét ở trên, tồn tại x ∈ K sao cho

hSx + P q, ki 6 0 ∀k ∈ K và hSx + P q, xi = 0 (2.3)

nghiệm của GLCP(T, K, q).

Định lý 2.2

Giả sử rằng

i) T là một toán tử đồng dương cộng trên K,

ii) Ánh xạ x 7→ hT x, xi là nửa liên trục dưới yếu trên K,

iii) K là nón mỏng,

iv)  k ∈ K | T k ∈ K∗, hT k, ki = 0 và < q, k >= 0 = {0}.Khi đó, nếu GLCP(T, K, q) chấp nhận được thì tập nghiệm củaGLCP(T, K, q) khác rỗng và compact yếu

K | kxk = 1} với ε0 = x0/kx0k và kí hiệu Kn là nón lồi đóng sinh bởi

{ε0, ε1, ε2, , εn} Ta có mỗi Kn là nón đa diện chứa x0 Vì Kn ⊂ K, theo(i) T là đồng dương cộng trên Kn với mỗi n = 1, 2, 3,

Bây giờ ta cố định n Vì x0 là chấp nhận được đối với GLCP(T, Kn, q),theo định lý 2.1 tồn tại xn ∈ Kn sao cho

hT xn + q, ki > 0 (k ∈ Kn) và hT xn+ q, xni = 0 (2.4)

Ta khẳng định rằng, dãy {xn} bị chặn khi n → ∞ Thật vậy, nếu {xn}

không bị chặn thì, không giảm tổng quát, ta có thể giả sử rằng kxnk → ∞

Khi đó, từ (3.1) ta có

hT un+ qn, uni = 0 (n = 1, 2, 3 ) (2.5)với un := xn/kxnk và qn := q/kxnk → 0 Vì {u ∈ K | kxnk 6 1} là tập lồiđóng, bị chặn trong không gian Hinbert H, ta có {un} (hoặc một dãy concủa nó) hội tụ yếu đến một phần tử d ∈ K Theo (ii) và (3.2), ta nhận được

hT d, di 6 0 và theo (i) suy ra

0 ∈ [bao đóng yếu của{x ∈ K : kxk = 1}].

Điều này mâu thuẫn với (iii) Như vậy, dãy{xn}(hoặc một dãy con của nó)

bị chặn Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử rằng {xn} hội tụ yếu đếnphần tử x0 ∈ K Bây giờ (2.1), theo (ii), cho ta

hT x0+ q, x0i 6 0

Hơn thế, sử dụng cách viết k = lim kn với kn ∈ Kn, (2 1) chỉ ra

hT x0+ q, ki > 0 với tùy ý k ∈ K

Vì vậy , x0 là một nghiệm của bài toán GLCP(T, K, q)

Cuối cùng, bằng cách lập luận tương tự ta chỉ ra tập nghiệm của bài toánGLCP(T, K, q) bị chặn: giả sử nó không bị chặn, bằng cách tương tự như

đã thực hiện, ta có thể xây dựng một phần tử d ∈ K thoả mãn (2.3); (2.4);(2.5) và, theo (iii), sẽ dẫn đến mâu thuẫn Vì tập nghiệm của GLCP(T, K, q)

đóng yêu trong K ta suy ra nó là tập compact yếu

Nhận xét về những giả thiết của định lí 2.1:

1) Điều kiện (i) và (ii) thỏa mãn khi T đơn điệu trên H

2) Tính chấp nhận được của GLCP(T, K, q) tương đương với

q ∈ [K∗− T (K)] Khi có (i), q ∈ int [K∗ − T (K)] suy ra (iv) thỏa mãn(xem [4], Proposition 2.3)

3) Nếuint(K∗) khác rỗng thì q ∈ int [K∗− T (K)] khi và chỉ khi(T x + q) ∈int(K∗) với x ∈ K nào đó (so sánh với [4, p 349])

4) Nếu K là compact địa phương theo chuẩn thì điều kiện (iii) thỏa mãn

Theo nhận xét (1) và (2) thì định lí (2.1) đã khái quát được kết quả sau củaBorwein [4] : Nếu T đơn điệu trên H, K compact địa phương theo chuẩn và

K∗ − T (K) = H thì tập nghiệm của bài toán GLCP(T, K, q) khác rỗng và

bị chặn với q bất kì (so sánh với [4, p 353] và Corollary 2.1)

5) Không có các điều kiện (iii) và (iv) các kết quả trên có thể sai

6) Khi T là tự liên hợp, điều kiện (iv) (khi có (i)) trở thành

P (K) và cuối cùng ta có

P (K) ∩ KerT ∩ q⊥ ⊂ RanP ∩KerP = {0}

Như vậy, tất cả các điều kiện của định lí ( 2.1) đều thỏa mãn cho bài toánGLCP(T, P (K), q) và do đó nó có nghiệm Điều này suy ra bài toán

v = α(1,14,19, ) và u = β(γ,12,13, ), trong đó α, β, γ được chon saocho α, β > 0, kuk = kvk = 1 và hu, vi = 0 Chúng ta xác định toán tửchiếu P : `2 → `2 bởi P : x → hx, ui u + hx, vi v Vì là phép chiếu, P đơnđiệu trên `2 và do đó P đồng dương cộng trên `+2 Cũng từ tính đơn điệucủa P suy ra tính nửa liên tục dưới yếu của toán tử x 7→ hP x, xi Nếu

0 6= x ∈ KerP thì hx, vi = 0 và một thành phần nào đó của x phải phủ

là số âm Điều đó chỉ ra `2 ∩KerP = {0} Tuy `+2 khả li, ta vẫn có: 0

thuộc bao đóng yếu của x ∈ `+2 | kxk = 1 Kí hiệu en là phần tử của

`2 với 1 là thành phần thứ n, các thành phần còn lại đều bằng 0.

Đặt q := −u Khi đó với n > 1

Theo Mangasrian ([?]) ta phải chỉ ra b đúng Giả sử tồn tại x ∈ K

Giả sử b) không suy ra c) , mặc dù q ∈ (K∗− T (K)) hoặc

q ∈ ∂ (K∗− T (K)) trong cả hai trường hợp ∃ {qn}sao cho q /∈ ∂ (K∗ − T (K))

và qn → q(n → ∞) khi thay đổi n thì tồn tại ξn với kξnk = 1 và α ∈ R

c ⇒ d

Giả sử c) đúng rõ ràng GLCP(T, K, q) chấp nhận được Giả sử có

ξ 6= 0 sao cho ξ ∈ K, tξ ∈ K∗, hT ξ, ξi = 0 và hq, ξi = 0

ii) Giả sử rẳng K∗ có phần trong khác rỗng và T là đồng dương cộng trên

K Giả sử rẳng tồn tại một x ∈ K sao cho T x + q ∈ intK∗ Borwein([3]) đã chỉ ra rằng bài toán GLCP(T, K, q) có tập nghiệm compact, cóthể rỗng Vì T x + q ∈ intK∗ suy ra q ∈ int[K∗ − T (K)], định lý 2.4

về bản chất đã chỉ ra rằng GLCP(T, K, q) có tập nghiệm khác rỗng.iii) Với không gian hữu hạn chiều tính compact của tập nghiệm tươngđương với tính bị chặn, bởi vì tập nghiệm của bài toán GLCP(T, K, q)

luôn đóng

định trên các không gian phản xạ.

gian hữu hạn chiều

Định lý 2.5

Với dimH < ∞ các mệnh đề sau là tương đương

i) Tồn tại một toán tử S : H → H sao cho S(H) không đóng;

ii) Tồn tại một phép chiếu trực giao P : H → H sao cho P(K) làkhông đóng

iii) Tồn tại toán tử P : H → H là đồng dương cộng trên K và q ∈ K

sao cho GLCP(T,K,q) là chấp nhận nhưng không có nghiệm;

iv) K không phải là đa diện;

v) Tồn tại toán tử chiếu P : H → H với dim(RanP ) = 2 mà P(K) làkhông đóng

Chứng minh

i) ⇒ ii): Giả sửi)đúng VìH/KerS đẳng cấu với RanS (vìdimH < ∞)

và Π : H → H/KerS là ánh xạ thương nên tập K + KerS không đóngtrong H Kí hiệu P là phép chiếu trực giao lên (KerS)⊥ Vì KerP = KerS

nên K + KerP không đóng Vì vậy P (K) không đóng trong H Ta có ii)

ii) ⇒ iii): Giả sửP là phép chiếu lên H sao cho P (K) không đóng trong

H Kí hiệuulà điểm giới hạn của P (K) mà không thuộcP (K) Đặt q = −u

và kí hiệu I là toán tử đồng nhất trên H Ta chỉ ra P (K)∗ − P (K) = H