Toán tử tuyến tính xác định trù mật và L2 đánh giá cho phương trình a

Trong những năm 1965, trong bài báo nổi tiếng [2], H¨ormander đã đưa ramột lời giải rất đẹp, rất tự nhiên và sáng sủa cho bài toán tồn tại nghiệm, chínhquy hóa nghiệm của phương trình ¯

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-NGUYỄN THỊ MAI

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

-NGUYỄN THỊ MAI

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT

Chuyên ngành TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THẠC DŨNG

Hà Nội - 2016

Mục lục

Lời cảm ơn 2Lời mở đầu 3

Lời cảm ơn

Để bản luận văn này được hoàn thành, trước hết em xin gửi lời cảm ơn sâusắc tới thầy giáo - TS Nguyễn Thạc Dũng, người đã tận tình hướng dẫn, chỉbảo em trong suốt thời gian làm luận văn Sự chỉ dạy của thầy về kiến thức và

cả cách làm việc sẽ giúp em rất nhiều trong quá trình học tập và làm việc saunày

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới lãnh đạo và toàn thể các thầy

cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường ĐH Khoa học Tự Nhiên - ĐHQuốc gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.Cuối cùng em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn chia

sẻ, động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành luận văn này.Mặc dù đã cố gắng nhưng bản luận văn này vẫn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý từ phía thầy cô và bạn bè

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 11 năm 2016

Nguyễn Thị Mai

Phương trình ¯như trên là một trong những phương trình quan trọng nhấtcủa lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức Việc giải phương trình ¯ gắnliền với bài toán xác định hàm chỉnh hình, bài toán thác triển hàm chỉnh hình,xác định các nhóm đối đồng điều Dolbeaux trên các miền chỉnh hình, Bởi tínhquan trọng của phương trình ¯ trong giải tích phức nhiều biến, hình học phức

và tô pô, bài toán giải phương trình ¯và tìm các ứng dụng của nó cho đến nayvẫn thu hút được sư quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học lớn trên thếgiới

Trong những năm 1965, trong bài báo nổi tiếng [2], H¨ormander đã đưa ramột lời giải rất đẹp, rất tự nhiên và sáng sủa cho bài toán tồn tại nghiệm, chínhquy hóa nghiệm của phương trình ¯ bằng các phương pháp của lý thuyết giảitích hàm trên các không gian Hilbert Nhận thấy rằng, toán tử ¯ là một toán

tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật giữa các không gian Hilbert xác định.H¨ormander đã chứng minh một loạt các ước lượng L2 đánh giá cơ bản và vậndụng các ước lượng này cùng với lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert đểgiải quyết trọn vẹn bài toán tồn tại và chính quy hóa nghiệm cho phương trình ¯nói trên Ngay sau khi phương phápL2 đánh giá Hormander được giới thiệu, chođến nay đã có nhiều thành tựu phát triển phương pháp nói trên và ngày càngnhiều ứng dụng của phương pháp L2 đánh giá được phát hiện Phương pháp

L2 đánh giá H¨ormander là một trong những công cụ quan trọng trong hình họcphức, hình học đại số, lý thuyết đa thế vị, tô pô và nhiều lĩnh vực khác

Nội dung chính của luận văn này là trình bày lại một phần phương pháp L2

đánh giá H¨ormander dựa trên tài liệu tham khảo [1] Đây là một quyển sách diễngiải tốt phương pháp của H¨ormander Người đọc có thể tham khảo thêm bàibáo gốc của H¨ormander [2] và cuốn sách chuyên khảo [3] cũng của H¨ormander

để tìm hiểu thêm về các kết quả L2 đánh giá cũng như ứng dụng trong giải tíchphức nhiều biến của lý thuyết này Luận văn đã trình bày lại một cách chi tiết

và chặt chẽ một phần các kết quả trong chương hai của cuốn sách [1] Tuy nhiên,luận văn không phải trình bày lại hoàn toàn từng mục theo đúng thứ tự trongtài liệu [1] mà trong luận văn này, tác giả đã sắp xếp lại các nội dung và đưathêm các lập luận, dẫn giải để người đọc dễ theo dõi hơn và thấy dễ hiểu hơn

Về mặt cấu trúc, luận văn được chia thành hai chương Trong chương một,tác giả trình bày lại các kết quả cơ bản về lý thuyết toán tử tuyến tính, đóng,xác định trù mật trong không gian Hilbert Sau đó, tác giả trình bày các kếtquả cơ bản về không gian Hilbert L2(p,q)(Ω, ϕ)-các dạng vi phân song bậc (p, q)

với các hệ số bình phương khả tích ứng với độ đo e−ϕdV, trong đó Ω là mộtmiền mở trong Cn và dV là độ đo Lebesgue trên Ω, còn ϕ là hàm trơn trong Ω.Tác giả chứng minh trong mục hai của chương này rằng toán tử ¯ là toán tửtuyến tính, đóng, xác định trù mật từ không gian Hilbert L2(p,q)(Ω, ϕ1)vào khônggian Hilbert L2(p,q+1)(Ω, ϕ2)với ϕ1, ϕ2 là các hàm trơn trongΩ Trong chương hai,tác giả trình bày các L2 đánh giá H¨ormander và giải phương trình ∂α = f¯ Cụthể, trong mục đầu tiên của chương này, tác giả chứng minh rằng các dạng viphân trong không gianL2(p,q+1)(Ω, ϕ 2 ) được xấp xỉ bởi các dạng vi phân song bậc

(p, q + 1)với các hệ số là các hàm trơn có giá compact với chuẩn đồ thị GT rất tựnhiên (xem chi tiết trong Định nghĩa 2.9) Nhờ sự xấp xỉ này, trong mục hai, tácgiả chứng minh được một hệ thức L2 cho các dạng vi phân f ∈ L2(p,q)(Ω, ϕ) Theo

lý thuyết về toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật, những hệ thức nhưvậy đảm bảo là điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình ¯.Chương hai kết thúc bằng việc chứng minh được sự tồn tại nghiệm của phươngtrình ¯

Vì thời gian và kiến thức có hạn, cũng như sự hạn chế về không gian của mộtcuốn luận văn, tác giả chưa thể trình bày được bài toán chính quy hóa nghiệmcho phương trình ¯, cũng như trình bày các ứng dụng của phương pháp này.Các độc giả muốn quan tâm thêm có thể tham khảo các tài liệu [1, 2, 3] như đãnói ở trên

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một vài kiến thức cơ bản về toán tửxác định trù mật trong không gian Hilbert Sau đó, chúng ta sẽ giới thiệu khônggian Hilbert L2(p,q)(Ω, ϕ) các dạng vi phân song bậc (p, q) bình phương khả tích.Chúng ta định nghĩa toán tử ¯ trên không gian L2(p,q)(Ω, ϕ) và chứng minh rằngtoán tử ¯là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật

1.1 Toán tử xác định trù mật trong không gian Hilbert

Cho H1 và H2 là các không gian Hilbert trên trường số phức Ta kí hiệu tích

vô hướng của H1 bởi (x, y)1 với x, y ∈ H1 và tích vô hướng của H2 bởi (x, y)2 với

x, y ∈ H2 Cho D ⊂ H 1 là một tập con trù mật của H1 và cho T : D → H2 là mộttoán tử tuyến tính Khi đó ta ký hiệu miền xác định và miền giá trị của toán

tử T lần lượt bởi D = DT, T (D) = RT Nếu miền xác định của T trù mật trongkhông gian H1, ta nói T là một toán tử tuyến tính xác định trù mật Xuyên suốtmục này ta luôn giả thiết rằng T là toán tử tuyến tính xác định trù mật.Định nghĩa 1.1 Cho T : D → H2 là một toán tử tuyến tính Đồ thị GT của T

được định nghĩa nghĩa như sau

GT = {(x, T x)|x ∈ DT} ⊂ H1× H2.

Ta nói rằng T là một toán tử đóng nếu đồ thị GT của nó là một không giancon đóng của H1× H 2

Định nghĩa 1.2 Cho y ∈ H2 Ta nói rằng y ∈ DT∗ nếu tồn tại một hằng số

c = c(y) > 0 sao cho với ∀x ∈ DT, ta có

|(T x, y)2| ≤ c||x||1.

Từ định nghĩa, ta nhận thấy DT∗ là một không gian con của H2 Thật vậy,

dễ thấy DT∗ ⊂ H 2 Giả sử y1, y2∈ DT∗, khi đó với mọi x ∈ DT, ta có

|(T x, αy 1 + βy 2 ) 2 | = |(T x, αy 1 ) 2 + (T x, βy 2 ) 2 |

≤ |α(T x, y 1 ) 2 | + |β(T x, y 2 ) 2 |

≤ c1|α|||x||1+ c2|β|||x||1

≤ (c1|α| + c2|β|)||x||1.

Tức là αy1+ βy2 ∈ DT∗ Vì vậy, DT∗ là một không gian con của H2 Do T chỉ

là toán tử tuyến tính xác định trù mật, để định nghĩa toán tử liên hợp T∗, tacần bổ đề sau

Bổ đề 1.3 Với mỗi y ∈ DT∗ tồn tại duy nhất z ∈ H1 sao cho

(x, z)1 = (T x, y)2

với ∀x ∈ DT Đặt z = T∗y, khi đó T∗ : DT∗ → H1 là một toán tử tuyến tính vàthỏa mãn

(x, T∗y)1= (T x, y)2 (1.1)với ∀x ∈ DT, y ∈ DT∗

Chứng minh Với y ∈ DT∗ cố định và với mọi x ∈ DT, xét phiếm hàm

Do vậy ϕ(x) là hoàn toàn xác định và không phụ thuộc vào dãy {xν} Do vậy,

ta có thể thác triển ϕ thành một phiến hàm tuyến tính bị chặn trên H1 Theođịnh lý biểu diễn Riesz, tồn tại duy nhất z ∈ H1 sao cho

với α ∈ C, y ∈ DT∗ Do vậy, T∗ là một toán tử tuyến tính

Từ Bổ đề 1.4 đến Bổ đề 1.6 dưới đây, ta sẽ chứng minh rằng nếu T là mộttoán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật thì T∗ cũng là một toán tử tuyếntính đóng, xác định trù mật Trước hết, ta chứng minh T∗ là một toán tử đóngnếu T là toán tử tuyến tính xác định trù mật

Thật vậy, vì (yn, xn) ∈ GT∗ nên yn ∈ DT∗ và zn = T∗yn Vì zn hội tụ đến z0 nên

{zn} là bị chặn, do đó tồn tại một hằng số M > 0 sao cho ||zn|| < M với ∀n Vớimỗi x ∈ DT, ta có

|(T x, yn)2| = |(x, zn)1| ≤ ||x||||zn|| ≤ M ||x||1.

Dễ dàng thấy rằng với tích vô hướng như trên, H là một không gian Hilbert.Hơn nữa, ta định nghĩa toán tử J : H → H như sau

Khẳng định 1: Nếu u ∈ H2 thỏa mãn (u, v)2 = 0 với ∀v ∈ DT∗ thì u = 0.Thật vậy, giả sử u ∈ H2 sao cho (u, v) = 0 với ∀v ∈ DT∗ Khi đó ta có

h(0, u), (T∗v, v)i = (0, T∗v) + (u, v) = 0,

vì vậy (0, u) ∈ (GT∗)⊥ Hệ quả là (0, u) ∈ J GT Do đó theo định nghĩaJ GT, tồn tại

x ∈ DT sao cho (0, u) = (−x, T x), điều đó có nghĩa là x = 0, u = T x hay u = 0.Khẳng định 2: Nếu ϕ là một phiến hàm tuyến tính bị chặn trên H2 thỏamãn ϕ = 0 trên DT∗ thì ϕ = 0

Thật vậy, giả sử ϕ là một phiến hàm tuyến tính bị chặn trên H2, thì bằngđịnh lý biểu diễn Riesz, ta kết luận rằng tồn tại z ∈ H2 sao cho

ϕ(v) = (v, z)2 (v ∈ H2).

Từ khẳng định 1, ta thấy rằng nếuϕ = 0 trên DT∗ thì z = 0, nghĩa là ϕ = 0 trên

H2

Cuối cùng, sử dụng khẳng định 2, ta sẽ chứng minh rằng DT∗ là trù mậttrong H2 bằng phương pháp phản chứng Thật vậy, giả sửDT∗ là không trù mậttrong H2 Đặt U = DT∗ , khi đó U ⊂ H2 là một không gian con đóng Do DT∗

không trù mật trong H2, tồn tại a ∈ H2 sao cho d(a, U ) > 0 Theo hệ quả củađịnh lý Hahn-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính bị chặnf : H2→R sao cho

f (a) = 1, f (U ) = 0 Vì f (U ) = 0, ta có f (DT∗ ) = 0 Theo khẳng định 2, ta nhậnđượcf ≡ 0 Điều này là mâu thuẫn với f (a) = 1 Do đó, giả thiết phản chứng làsai hay DT∗ là trù mật trong H2

Phần còn lại của chứng minh, ta sẽ chỉ ra rằng T = T∗∗

Định lý 1.7 (Định lý Banach - Steinhauss) Giả sửX là một không gian Banach,

Y là một không gian tuyến tính định chuẩn và {Tα}α∈A là tập hợp các toán tửtuyến tính bị chặn của X vào Y Khi đó một trong hai trường hợp sau đây sẽxảy ra

1 Tồn tại một hằng số M > 0 sao cho ||Tα|| ≤ M ∀α ∈ A

2 Tồn tại một tập con trù mật E của X sao cho sup

Nhận xét rằng, với mỗi α ∈ A cố định, do Tα là toán tử liên tục trên X, ta cóánh xạ fα(x) = ||Tα(x)|| cũng là ánh xạ liên tục trên X Do vậy {x | fα(x) > n}

là tập mở với mỗi n ∈N cố định Do đó, với mọi n ∈ N, ta có

Vn = [

α∈A

{x | fα(x) > n}

là tập mở

Ta có hai trường hợp sau đây

Trường hợp 1: Tồn tại một số N ∈N sao cho VN không trù mật trong X.Khi đó tồn tại x0 ∈ X và r > 0 sao cho nếu ||x|| ≤ r thì x0+ x / ∈ VN Vì vậy

ϕ(x0+ x) ≤ N Do đó theo định nghĩa của ϕ(x), với mọi α ∈ A, ta có

Điều này có nghĩa là khẳng định (1) trong Định lý 1.7 xảy ra

Trường hợp 2: Tất cả Vn là tập con trù mật của X.Khi đó, theo định lý Baire về phạm trù, E :=T∞n=1Vn là trù mật trong X, vàvới x ∈ E = T∞n=1Vn ta có ϕ(x) = ∞ Tức là khẳng định (2) trong Định lý 1.7xảy ra

Định lý dưới đây được dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho toán tử T

tuyến tính, đóng xác định trù mật

Định lý 1.8 Giả sử D là một không gian con trù mật trongH1 và T : D → H2

là một toán tử đóng Cho F là một không gian con đóng của H2 và cho F ⊃ RT.Khi đó các khẳng định sau là tương đương

(a) F = RT.

(b) Tồn tại một hằng số c > 0 sao cho

||y||2 ≤ c||T∗y||1

với mọi y ∈ F ∩ DT∗

Chứng minh (a) =⇒ (b).

Giả sử F = RT Do F là không gian con đóng nên mỗi phần tử z ∈ H2 biểuthị duy nhất bởi

z = z1+ z2 (z1∈ F, z2 ∈ F⊥).

Vì F = RT nên z1 = T x với x ∈ DT Do đó, với mọi y ∈ F ∩ DT∗, ta có

|(y, z)2| = |(y, z1)2+ (y, z2)2|

= |(y, z 1 ) 2 |

= |(y, T x)2| = |(x, T∗y)1| ≤ ||x||1||T∗y||1 (1.2)trong đó ở dấu bằng thứ hai, ta đã sử dụng tính chất y ∈ F, z2 ∈ F⊥ nên

||y|| 2 < c||T∗y|| 1

với ∀y ∈ K

Trong trường hợp T∗y = 0, từ (1.2), ta suy ra |(y, z)2| = 0, ∀z ∈ H 2, do đó

y = 0 Do vậy ta vẫn có ||y||2 < c||T∗y||1 Điều này chứng tỏ (b) là đúng Ta cóđiều phải chứng minh

(b) =⇒ (a)

Cố định z ∈ F. Giả sử bất đẳng thức

||y|| 2 ≤ c||T∗y|| 1 (1.6)xảy ra với mọi y ∈ F ∩ DT∗ Ta cần chứng minh rằng z ∈ RT

Nhận xét rằng nếu w ∈ T∗(F ∩ DT∗ ), thì ta có w = T∗y với y ∈ F ∩ DT∗ Dovậy, ta có thể định nghĩa một phiến hàm tuyến tính ϕtrên T∗(F ∩ DT∗ ) sao cho

ϕ(w) = (y, z)2 Thật vậy, ta sẽ chứng minh tính đúng đắn của định nghĩa này.Giả sử w = T∗y1 = T∗y2 thì từ (1.6) ta có

||y1− y2|| ≤ ckT∗(y1− y2)k = ||T∗y1− T∗y2|| = 0.

Từ đó suy ra y1 = y2 Do đó định nghĩa của ϕkhông phụ thuộc vào việc chọn y.Mặt khác, ta có đánh giá

|ϕ(w)| = |(y, z)2| ≤ ||y||2||z||2≤ c||T∗y||1||z||2= c||w||1||z||2.

Do đó ϕ là một phiến hàm tuyến tính bị chặn trên T∗(F ∩ DT∗ ) Theo định lýHahn-Banach ,ϕcó thể thác triển thành một phiến hàm tuyến tính bị chặn trên

H1 Theo định lý biểu diễn Riesz, tồn tại x0∈ H 1 sao cho

ϕ(w) = (w, x0)1 (w ∈ H1),

ở đây ta vẫn kí hiệu hàm thác triển là ϕ(w) Ta sẽ chỉ ra rằng z = T x0

Thật vậy, bởi định nghĩa của ϕ, ta nhận thấy

với mọi y ∈ DT∗ Do đó z = T x0 ∈ RT, nghĩa là F ⊂ RT.

Khi áp dụng phương phápL2 đánh giá H¨ormander cho phương trình ¯, chúng

ta cần hai bổ đề sau để chứng minh tính chính quy hóa của nghiệm

Bổ đề 1.9 ChoD là một không gian con trù mật của H1 và T : D → H2 là mộttoán tử đóng Nếu RT là đóng thì RT∗ đóng

Chứng minh Đặt F = RT, theo giả thiết F là tập đóng Áp dụng Định lý 1.8,

ta nhận được

||f ||2≤ c||T∗f ||1 (f ∈ F ∩ DT∗ ).

Để chứng minh RT∗ là đóng, trước hết ta chứng minh khẳng định sau

Khẳng định: T∗(DT∗ ) = T∗(F ∩ DT∗ ).Thật vậy, lấy f ∈ DT∗ Khi đó f được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

Do đó{fν} là dãy Cauchy trong H2, vì thế tồn tại f0 ∈ H 2 sao cho fν → f0 Hơnnữa, ta có

(T∗fν, fν) → (g, f0).

Mặt khác, vì T∗ là một toán tử đóng nên từ đẳng thức trên, ta kết luận rằng

f0 ∈ DT∗ , g = T∗f0 và do đó g ∈ T∗(DT∗ ) Điều này chứng tỏ rằng T∗(DT∗ ) = RT∗

là một tập con đóng Ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.10 Cho T : DT → H 2 là một toán tử tuyến tính Định nghĩa

KerT := {x ∈ DT|T x = 0}.

KerT được gọi là hạt nhân của T

Bổ đề 1.11 ChoT : DT → H2 là một toán tử đóng Khi đóKerT là một khônggian con đóng Hơn nữa, ta có

(RT)⊥= KerT∗, RT∗ = (KerT )⊥.

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh KerT là một không gian con đóng Đểchứng minh điều này, chúng ta lấy một dãy các phần tử bất kìuν ∈ KerT, giả sử

uν → u Ta sẽ chứng minh u ∈ KerT Thật vậy, vì uν ∈ KerT nên T uν = 0 Khi

đó (uν, T uν) → (u, 0) Do T là toán tử đóng nên ta có (u, 0) ∈ GT, tức là 0 = T u,nói một cách khác, u ∈ KerT Do vậy, KerT là một không gian con đóng

Để chứng minh(RT)⊥ = KerT∗, ta sẽ chứng minh(RT)⊥⊂ T∗ và T∗ ⊂ (RT)⊥.

Trước hết, ta chứng minh (RT)⊥ ⊂ KerT∗ Thật vậy, với mỗi y ∈ (RT)⊥ cốđịnh và với mọi x ∈ DT, ta có T x ∈ RT nên

|(T x, y)2| = 0 ≤ ||x||1.

Điều này có nghĩa là y ∈ DT∗ Mặt khác, với mọi x ∈ DT, ta có

0 = (T x, y)2= (x, T∗y)1 (x ∈ DT).

Do T là toán tử xác định trù mật nên từ đẳng thức trên ta thu được T∗y = 0

hay y ∈ KerT∗ Do vậy (RT)⊥ ⊂ KerT∗

Mặt khác, với g ∈ KerT∗ và với mọi f ∈ DT, ta có

Cuối cùng, doRT là không gian con của không gian HilbertH2nên(KerT∗)⊥ = (R⊥T)⊥ = RT Do Bổ đề 1.4, T∗ cũng là toán tử đóng, thay T bởi T∗ trong đẳngthức này, ta thu được RT∗ = (Ker(T∗)∗)⊥ hay RT∗ = (KerT )⊥. Ở đây trong đẳngthức cuối cùng ta đã sử dụng Bổ đề 1.6.

1.2 Không gian L2p,q(Ω, ϕ) và toán tử ∂ xác định trù mật

Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệu không gian Hilbert L2(p,q)(Ω, ϕ) các dạng

vi phân song bậc (p, q) bình phương khả tích Đồng thời, chúng ta sẽ giới thiệutoán tử ¯ trên các không gian này và chứng minh rằng ¯là toán tử tuyến tính,đóng, xác định trù mật

Để bắt đầu mục này, chúng ta cần xây dựng một công thức dạng tích phântừng phần trong Cn Trước hết, ta nhắc lại khái niệm miền với biên trơn.Định nghĩa 1.12 ChoΩ ⊂⊂Rn là một miền với biên lớp Ck , k ≥ 1 và cho ρ làmột hàm xác định của Ω, tức làρ là một hàm giá trị thực lớp C k trong một lâncận G của Ω¯ thỏa mãn

ở đây [dxj] nghĩa là dxj được bỏ qua và ν = (ν1, , νn) là vectơ pháp tuyến đơn

vị hướng ra ngoài đối với biên ∂Ω Nhận thấy rằng, khi ta đặt