Thuật toán giải một lớp quy hoạch phi tuyến không lời và bài toán bu tuyến tính

Nhưng thuật toan vơi hiện qua ngày cảng băng đa được xây đựng dựa trên cơ sở phat triên phương pháp cắt cua Hoàng "yy hoặc theo những phương phap khac như phường phap cua Horsb: +} „ phư

NGUYEN VAN THOAT

THUAT TOAN GIAI MOT LOP QUY HOẠCH

PHI TUYEN KHONG LOI Va

BAI TOAN BU TUYEN TINH

ws Kk =—

/~/à nội - 1981

VIEN KHOA HOU VIET NAW

VIEN POA HOG

————— ———

NGUYEN VAN THOÁI

“HUAP TOAN GIẢI MOT LOP QUI HOACH

PHI JEN KHONG LOI

Lost Ya Bal ““OAN BU ‘TUYKN TINH

Wã hiệu ck yên ngành : 1.01.09

( Tốm tất luận ár Phố tiến sÌ T-4n - Ly)

Người hướng đẫn : ö.8 HOANG TUY

Ha NOI - 1982

Luận ấn được hoản thanh tại Viện

“oán học Viện Khoa học Việt nam

Người nhận xết 1 ‡

Người nhận xét 2

Cc quan nhận xết

Thởi gian và địa điểm bảo vệ luận

ấn sẽ được thông bảo tzên báo Nhân dan trước một tuần lễ,

1, Mở đân : rong khoảng mửơi lãm năm trở lại đây có một lớp

bài boán quy hoạch phi tuyến không lôi được nhiều người

nghiên cứu, đó lä lớp bài toán bỉm cực tiêu của một hàm löa { bay tổng quát hơn, tựa 1om) và liên bụcbrên một tập 181

đóng, gội bắt Là bai toan quy hoạch lỏm Đây là một lớp bài

toan quan trọng, xấết ca về mặt ly thuyết cúng như ứng dụng

VÊ mặt ly thuyêb , bai toan quy hoạch 1om là nhịp câu nối quy hoạch phi tuyến vơi quy boạch tổ hợp và cac bai toan khac nhw# baitoan Đủ v.y Yẽ mặt ưng dụng, rất nhiều vấn

đề trong kinh tế, kỹ thuật vả ngay ca trong quoc phòng có

thể phat biểä đưởi đạng uột bài toán quy hoạch lõm,

Mở đầu cho các công trinh nghiên cứu về bai toán quy

hoạch lõm lá một bai báo cua Hoang Tyy công bế trên bạp chí DẠN cua Viện hẳn lâm khoa học Liên xô năm 196% [13] 0”

đố Hoàng Tụy đa xết một trường hợp riêng nhưng rat co ban cua bài toán quy hoạch lom ~ trưởng hợp miện bảng buộc là

tập lôi giơi nội *) , từ đó đền nay bài toán nay đa được nhiÊu người ở nhi?u nưức khac nhau nghiên cứu Nhưng thuật

toan vơi hiện qua ngày cảng băng đa được xây đựng dựa trên

cơ sở phat triên phương pháp cắt cua Hoàng "yy hoặc theo những phương phap khac như phường phap cua Horsb: +} „ phương phạp của Falk và Hoffman [2] v.v Những thuật

toan ma đưới hình thức này hay hình thức khác, phải thực

hiện việc duyệt các đỉnh của đa điện chấp nhận thi đi nhiên

cố tỉnh chát hưu hạn ( vì số đỉnh là hữu hạn), Và nghiệm thu được 1ä nghiệm chính xae Oòn lại, trong hữu hất eỐe

phương pháp tÌm nghiệm xấp xÌ thì vấn đỡ hội tụ của thuật

toán hoặc chưa được xét đến, hoặc chí được xét đưới đạng

thé

Trong luận án nảy, mục tiêu cua chung tới nhằm giai quyét nhưng vân đê chỉnh sau đây :

a Trinh bay mgt cach có hệ thống và thống nhất những văn để eơ sơ về quy hoạch lon, Đó lả những tỉnh chất cơ

ban, một số ứng đụng quan trọng và những phương phạp giai

*) Trường hợp tổng quát cũng đã được Hoang Ty , Trần

Vũ Thiệu, Nguyễn Quang Thai xet trong [a4] °

tiév baéu hiện có

+) Xây đựng một lớp thuật tcan hội ty cho bai toan quy

hoạch Lom voi niền rang bhộc là aộš tập đa điệp 181 giới nội ( đa điện),

e Trên cơ sở cua thuật toan hội tụ nởi trên, xây dựng

nhưng phương phạp giai cho hai bai toan co mối Liên hệ gần

gui với quy hogch lom 14 bai toấn phụ phí cố định với hầm

tục tiêu lõm và bài toan bù tuyen tỉnh

đ Lập chương trình và thư nghiệm nhưng thuật toan đa xây đựng trên may» tÍnh điện tử

` Yới những nội đung trên, luận #n được chia thành 5

chương và mộ phần phụ lục Sau phân mơ đâu, chương 1 trÌnh

bảy những tính chất co ban và một sổ ứng dựng của bài toán

quy hoạch lõm, Một sỐ phương phấp giải tiêu biêu đã biệt

được giơi thiệu trong chương 2 Chương 5 xây đựng một lợp

thuật toan hội tụ cho trường hợp miên rằng buộc là đa điện

Hai hình thực cai biên của thuật toan này được ap dụng dé giai b bat toán phụ phá c6 định vơi ham mục tiêu 10m trong chương

4 va bai toan bồ tuyên tinh +: 2ng chương 5 Cuổi cùng , phần php lye gigi thiệu nhưng chương trình mẫu và việc thử nghiệm cac thuật toan noi trên, đồng thei da ra những kết quả tỉnh

?®ừ chương 5 tro đi , những điền trình bay đều la nhưng kết

qua mới của tác giả luận an ( hoặc kết qua chung cua tac gia

luận an vơi nhưng người khắc) Những kết qua đổ đa được

công bỏ trong cađ cống trình [3 „ 1Ô , 1Ì , 12 ]

2 #hưng vấn d@*eo sở v# bài toán quy hoạch Jom Bai

toắp quy hoạch 108 có đạng tông quất :

-3-

trong đó # : B9-+R7 là hầm tựa lom , liên tục , Còn D là

một bập lôi đa điện ( khốc 1B1) cố Ít nhất một đỉnh thuậc RỀ,

Đễ chứng minh những tính chất cơ ban ewa bài toán QML, mụt

SỐ sự kiện cơ ấơ SẼ khúc löi và hầm tựa 5m trêa tap 184 đađược chọn lọc và trình bảy trong phần đâu cha chương 1 ( cao mệnh đề 1¿1 - 1.5 ) „ Mệnh /ẽ 1.*# khẳng định một trong những

- tỉnh chất cơ bản nhất của bài toán QHU là nghiện tối ưu, nếu

¿ồn tại, sẽ đạt được Ít nhất bại một đỉnh của khắc lồi rang buộc Một điều kiện đủ quan trọng về sự bồn tại nghiệm được

nêu trong mệnh đề 4.5 , Mệnh đồ 1.6 cho phốp đưa mọi bài

toáa QHL về một bài toán mà khủc lồi zầng buộc nỀm trọn trong

nh và có Hột đỉnh tại điểm gốc

Phần con lai cra chương 1 giới thiệu những ứng đụng của bải toán QHL theo nghĨa : Nhiều bài toán thuộc các lĩnh vực khác nhau có thể quy về bải toán QHU, Trong số đồ dang cha ý

cd cde bal toan : Wat 1udi ting quat ( Generalized lattice , Paint problem ), quy hogch nguyên 0-1 hin hyp wi ham mặc tiêu 10m, quy hoạch song tuyến, bầi toán phụ phí c8 định với hàm myc tiéu los, bai toan bi tuy6n tinh Cac Định lỹ 1.1 — 1.5

nêu ro mối quan hệ tương đương giưa các bằi toán kể trên với

QEL Biêng đổi với các trưởng hựp bài toán phụ phí cô định

và bãi toán bì tuyến tính ta có các định ly 4.1 wa 5.1

Ba thuật btoap tiêu biểu hiện có cho bãi toán QHL với

miền răng buộc giới nội được giơi thiệu trong chương 2, Đố

la thuật boán cơ sở của Hoằng Ty, thuật toán đơc lương con

liên tiếp của Falk - Hoffman và thuật toán kẽt hợp phương

pháp ước lượng non với kỹ thuật nhắnh cận của Rorgt CA ba

= &

thuật toấa này được trình bảy theo một cach nhÌn thống nhữt vổi đây đủ các chà tiết lý luận cần thiết và các định lý hội

%ụ Những ý kiến thảo luận về các thuật boán đa được nêu rõ

để qua đỗ có thê thấy được mối liên hộ giữa chúng với lớp

thuật toán xây dựng trong các chương sau

7 Một lếp thuật toán hội tụ giải bài toán QHL : Vấn đỡ

nãy chiếm toàn bộ nôi đung chương 7 Lớp thuật toán se được xây đựng trên cơ sở của nguyên lý cắt Hoàng Ty, xết hợp với

KỸ thuật nhánh cận Bài toán QHL xót ở đây được giá thiết thoa man những điều kiện sau :

(i) Tap { x: f(x) 2a } giới nội với mọi số thực a (ii) Đa điện D có đạng biểu điễn

D -{*z er” : ax < b], trong đố A là một

nzn ~ ma trận và b £ Rữ

(1i1) Điểm gốc O€BỀ là một đỉnh khong thénihda của D

CAn lưu ý răng cac giả thiết (1) và (111) không lâm giản tính tông quất của bài toán (Mục 5.5) Giả thiết " đa điện"

là cần thiết trong phạm vi nghiên cứu của luận án, tuy nhiên đối với bài boán bù tuyến tỉnh xết trong chương 5 , gia

thiết này cũng se được giam nhẹ,

Mö tà tổng quất thuật toán : |

-kuất phất tử hình nôn lôi đa điện MỸ, đỉnh ở 5° = 0 va

cổ e cạnh đi qua n đỉnh kề ø1, ,a” (điều nẫy có thể được theo giả thiếp (11i)) Ước lượng một cân đưới fl (M°) cho

# trên tập Daw’ Đặt &= min { tix) 1 xe {s°, -.8}}

x° = argy, và định nghĩa tập 97%, gdm mot phần tư là MỸ.

~ 5 -

ở bướu lặp kjk = 0,1 , - Gỗ bộ ba % sx, Wn

CM: tre tot obett a a at được , © = argh , 9, : tập

nốn lði đa điện mỗi nốn đều có n cạnh và đỉnh ở O) và tương

ứng mỗi M 6 OR, đã có, (SQ là cân dưới cho f trên tập

DAM,

Loại bỏ những M € 3fqvới M @) 2% , cho MR, 1a tap

nón côn lại Nếu Roz đồng : xẾ lả nghiệm tối ưu với

bị tối ưu , y+ Trai lai, chọn nón a™ BB sae cho

”„ (MỸ) = min {Man : Me Zữ,Ì chia MỀ thành một øố hữu hạn

non Li da điện, n cạnh, đình & 0

ghị a eee ys ako sao cho MỸ = x kb

Bei voi mdi wD „ vớg lượng một cặn đưới MO MED) cho

fx) trên DAME , qua đố thu được một điểm xf:h e na gÈ2h

mo sảnh x voi các điêm xh*È và cho xEfỦ là điệm vất

nhất trong số đó, với Ầqwv:= f(x°“Ì) , Xác định SÍố,,;iả tập

có được tờ ỞŨ dp thuy MỸ bởi MỸ? , , M UY, gạu đố

a đa cổ chuyển qua bước lặp k+l

“huặt toán trên gồm hai thủ +huèt tục cơ bản là chia non (tại mỗi bước lặp k chia một :húnm MỸ thành nhưng nốn con)

và ước lượng cặn ( với mỗi nón M tính một cận đưới (8) cho ftrén Dram) Có nhiêu phương phap Khác nhau thực hiện hai

thu tục as 6 đây, để đam báo tính hội tụ cua thuat toán, các

thủ bục đổ căn co những tÍnh chất sau :

#Ính vét kiêu : Một quá trình chia nốn được gọi lãä vét kiệt nếu trons trưởng hợp phải kéo đài vô tận thỉ nó bạo ra

Ít nhất mật day v3 han qua } gồm những nón con lồng nhau tao đân thành 4 tia tức là MỸQ+l co MES (¢ gq = 1,2, )

- 6 «=

_.-

ÁÀ x4 „ | ex*: 6 >o } với Một điền xỶ nặc đố

7 &

tính nhất quấn : Một phương phấp ước lượng cận được gọi là

nhất quần nều với mỗi đây nón vô hạa lồng nhau beo đân thành

một tỉa Jx) ,tacd K - M i) 30 khi q7ve©

YVổi các khải niệm trên, ta cổ tính chấb hội ty sam đây (

Định lỹ 5,1)

Nếu quá trình chia nón là vét kiệt và phương pháp ước lượng

cận lä nhất quấn thÏ : hoặc thuật toán kết thúc tại 1 bước

lặp k với nghiệm tối ưu chính xác xF, hoặc s8 tạo ra một đãy +

vô hạn {x} mà mỗi điểm tụ đều lầ một nghiện tối ưu Hơn

nữa, mỗi điểm xÈ '1ã một nghiện xấp xÌ với sai số không quá

Dựa trên cơ sở định lý hội tụ, vấn đồ phàt/Ẩuyất 1a xy

đựng một quả trình chia nón vết kiệt và một phương phấp ước €

lượng cận nhất quấn: Cách chia nón chúng tôi đề nghị là tại

mỗi bước lặp k chia nón MỀ thành 2 nón con sao cho nếu

quá trình kéo dải vô bận thÌ sẽ tạo ra aft day nda mà giao i của mỗi nón với đôn hình T° = [s gi snkg 22 | teo |

dẫn thành một điểm và ảo đổ đây nón se teo dân thành một 91a,

trong luận ấn, quả trnh chia nón này được chứng mình 1ã có

tĨnh vết kiệt, Còn về phương phấp ước lượng cận thÌ cơ sở cua

nổ là nguyên lý cắt Hoằng Tụy, Giả sử M lả nổh cần xét

Trên cạnh thử ‡ của nỗ ( ¡ z 1, ¿ n) lẩy một điềm

sao cho f(yÌ) «= ( trị tết nhất đa đạt được đổn bước K)

Cho H Là siêu phẳng qua yÌ, , zˆ, Nếu H để hắn tap

MAD về nột phía yới điềm O = s° thi di nhiên 35

MaDc [ E°z › aoe rx] va do đồ

r(x) 2 ain { £(s°) , fly"), eee, ety") } = % với

mọi x € M/AD „ Như vậy có thể đặt a (MD = A Trai

lại, cho H“lã siêu phẳng song song với H , đi qua điểm

2€MAD cỗ khoảng cách lửa nhất tới H va z1 1À giao của

cạnh thử ¡ của M với R* (¡ = 1, ,a) Như vậy MA D€[s9,z°`, z°J

và áo đồ có thể đặt

aU) = max { Mosant); win { £(59),2(2), ,22)}

a

( Mant 14 nén sinh ra M)

Điễm z nỗi ở trên se là một đại điện để chọn nghiện

chấp nhận tốt nhất đếZ bước tiếp theo

Tzong luận án,.phương pháp ước lượng cận này được chứng

minh là nhất quan

Như vậy với cách chia nón về ước lượng cận đã trÌnh bầy

th theo định lý 5.1, ta cổ được một lớp thuật toán hội tụ Mỗi thuật tổán của lớp đố súng sẽ cho một nghiệm bối ưu

xấp xỉ của bài toán QHL Một nghiệm xấp xỈ = được gọi là

€ ~ bối.ưu với sai số £ >O cho trước,nếu f(x) > f(XZ) =É

với mọi x €D

Nếu trong thuật toán da mô tả tại mỗi bước lặp :

điều kiện để loại bỏ uột nón M € Ms, 1a iM) > H =

(thay vi „ (M) > X{ ) thi ta sẽ được một thuật toán hưu hạp

cho phấp tìm được nghiệm Ê -tối ưu, Tức là với sai số £ cho trước bất kỳ , thuật toán bao giờ cung đẫn tới một nghiệm

& -t6i ưu sau một số hưu hạn bước lặp

4 Bai toán phụ phí cổ định với hậm mục tiêu loo

Bài toán phụ phí cố định với hàu mục tiêu lom được viết

đưới đạng :

„

min { g(x) = x gy(x,) 2 x €D ; (4,1)

i

Trong đó D lä một ởa điện thuộc Re cồn 8 (tb) (i =1, ,0) 1a những han 16m, liên tục trong khoảng (O0, + X2] và thỏa

8x(0) = 0, g;œ®) = & 20 (4.8) Cac dai lugng di duge goi 14 phy phí cố định

Nêu g, (isi, 4 8) 14 những ham tuyén tinh thoa

(4.2) thi (4.1) được gọi lã bài toán phy phí cố định ( The

fixe? - charge problem)

Bằi toán (4,L) nãy sinh tử nhiều vấn đồ thực tiễn , chẳng hạn trong công bác kế hoạch hóa, trong giao thông vận taiv.v Trường hợp hầm mục tiêu tuyến tíah đã được nhiều tac gia

nghiên cứu Một trong số Ít phương pháp giải kha đi thực hiện

-Ư 8 = được ve phương điện tính tốn là phương pháp " xếp đỉnh "

về sau được Mc Keown £ 2} hồn thiện, Tuy nhiên; như các

hiệu quả đối với một lớp bãi tộn nhất định,

?rong chương # của luận án, DAL tốn (3,1) được nghiên cửa

đề xuất là xây dựng lếp bài tốn quy hoạch lom

min { %{x) : xen}

Trong dỗ ham lom f phy thuộc vào mệt than số © , sao cho với tham số & thich hợp thi nghigm ca bai toan (4.1) se

được suy ra tử nghiệm của bài "tốn QHIL ở trên

Xây lưng hàm +) = f(Ks.$)-

- Với mỗi i = l, „n`,đựa vào hàm giŒ)- ta định nghĩa

hầm f,(¢,6) như sau +

iff 4 nfu t < &

g;(t) : nếu t > 6

và hầm f(x, 6 ) được xác định bởi „ ï"

ty (x, 6) + & is 6) 2È tứ,6

rõ rằng với mỗi €>Ơ ; ham tứ, 6 ) lõm và liên tục trên

toan RO, Ngồi ra, tại mỗi điềm x € Re ta c6 ( bd a8 4.1)

A(x) = g(x) - fly, 6 ) 2 0

0<6<€ thi pdi todn QHL xây đựng ở trên cĩ Ít nhất

một aghiém vừa lä nghiệm của bài todn (4.1) ? Djnb ly 4.1