PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử qui chiếu hay gặp Chương 1, giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương pháp khử Gauss Chương 2 và th

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

MỞ ĐẦU

Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn dựa

trên cuốn: Giáo trình Phương pháp Phần tử hữa hạn – Lý thuyết, bài tập và chương trình Matlab GS.TS Trần Ích Thịnh, TS Ngô Như Khoa NXB Khoa học Kỹ thuật 2007 Và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp

- Đại học Thái Nguyên Nội dung giáo trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Kỹ thuật cơ khí, v.v Với các nội dung:

- Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng,

- Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau,

- Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH

Giáo trình biên soạn gồm 11 chương

Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần

tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3) Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương 4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5) Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7) Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và khung Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và hai chiều Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn

Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 11) đều có chương trình Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình

Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc

MỤC LỤC

Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1

7 LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT 6

8 NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 6

9 SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 7

Chương 2 ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 9

Chương 3 THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG 17

2.1 Nguyên tắc chung 22

2 RỜI RẠC KẾT CẤU HOÁ BẰNG PHẦN TỬ TAM GIÁC 49

3.1 Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều 107

5 PHẦN TỬ VỎ 129

Chương 1

GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1 GIỚI THIỆU CHUNG

Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và

hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng

Hiện có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: ANSYS, ABAQAUS, SAP, v.v

Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp

2 XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị,

ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.) Ta chia V ra nhiều miền con v e

- Xấp xỉ nút trên mỗi miền con v e chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào

3 ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN

3.1 Nút hình học

Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH

Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử v e

có dạng đơn giản hơn Mỗi phần tử v e

cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ

nằm trong v e

hoặc trên biên của nó

3.2 Qui tắc chia miền thành các phần tử

Việc chia miền V thành các phần tử v e

phải thoả mãn hai qui tắc sau:

- Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1)

- Tập hợp tất cả các phần tử v e

phải tạo thành một miền càng gần với miền V

cho trước càng tốt Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử

4 CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp

Phần tử ba chiều

Phần tử tứ diện

5 PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC

Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức

tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký

hiệu là v r Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong

không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực v e

nhờ một phép biến đổi hình học r e Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2)

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau:

a Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm  trong

phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của v r

Hình 1.2 Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác

b Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên

đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng

- Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản

-  (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử

6 MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU

Phần tử qui chiếu một chiều

Phần tử qui chiếu hai chiều

Phần tử qui chiếu ba chiều

Phần tử tứ diện



vr

0,1,0 0,0,0

1



vr

1 0,0

1



vr

1 0,0

7 LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT

Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột:

 = [x , y, z, yz, xz, xy] T (1.2) Trường hợp biến dạng bé:

T

x

v y

u x

w z

u y

w z

v z

w y

v x

0 0 0

0 5

0 0 0

0 0

0 0

5 0 0 0 0

0 0

0 1

0 0

0 1

0 0

0 1

2 1 1

, ,

,

E D

E là môđun đàn hồi,  là hệ số Poisson của vật liệu

8 NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

Thế năng toàn phần  của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:



V

T dv

T V

T

P u TdS u FdV u W

T V

T V

T

P u TdS u dV f u dV

1 2

Trong đó: u là véctơ chuyển vị và P i là lực tập trung tại nút i có chuyển vị là u i

Áp dụng nguyên lý cực tiểu thế năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ứng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn định

9 SƠ ĐỒ TÍNH TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Một chương trình tính bằng PTHH thường gồm các khối chính sau:

Khối 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin mô tả

nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, hệ số dẫn nhiệt ), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin về liên kết của kết cấu (điều kiện biên);

Khối 2: Tính toán ma trận độ cứng phần tử k và véctơ lực nút phần tử f của mỗi

Khối 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của các đại

lượng theo yêu cầu

Sơ đồ tính toán với các khối trên được biểu diễn như hình sau (Hình 1.3);

Tính toán ma trận độ cứng phần tử k Tính toán véctơ lực nút phần tử f

Giải hệ phương trình KQ = F (Xác định véctơ chuyển vị nút tổng thể Q)

Đọc dữ liệu đầu vào

- Các thông số cơ học của vật liệu

- Các thông số hình học của kết cấu

- Các thông số điều khiển lưới

- Tải trọng tác dụng

- Thông tin ghép nối các phần tử

- Điều kiện biên

Xây dựng ma trận độ cứng K và véctơ lực chung F

Áp đặt điều kiện biên

(Biến đổi các ma trận K và vec tơ F)

Tính toán các đại lượng khác (Tính toán ứng suất, biến dạng, kiểm tra bền, v.v)

Chương 2

ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN

Áp dụng phương pháp PTHH trong các bài toán kỹ thuật thường liên quan đến một loạt các phép toán trên ma trận Vì vậy, các phép toán cơ bản trên ma trận và phương pháp khử Gaussian (Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính sẽ

là 2 nội dung chính được đề cập trong chương này

1 ĐẠI SỐ MA TRẬN

Các công cụ toán học về ma trận được đề cập trong phần này là các công cụ

cơ bản để giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, có dạng như sau:

n n nn n

n

n n

n n

b x a x a x a

b x a x a x a

b x a x a x a

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 22

21

1 12

x x x



2 1

b b b

 2 1

1.1 Véctơ

Một ma trận có kích thước (1 n) được gọi là véctơ hàng, ma trận có kích thước (n 1) được gọi là véctơ cột Ví dụ một véctơ hàng (1 4):

c

0 1 0

0 0 1

I

1.3 Phép cộng và phép trừ ma trận

Cho 2 ma trận A và B, cùng có kích thước là (m n) Tổng của chúng là 1 ma trận C = A + B và được định nghĩa như sau:

1

5 8 1

5

2 3

5

2 3





k kj ik

70 54 4

6

5 2

5 4 4 1 3

5 8 2

Chú ý:

- Điều kiện để tồn tại phép nhân 2 ma trận AB là số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B

- Trong phần lớn các trường hợp, nếu tồn tại tích 2 ma trận AB và BA, thì tích 2 ma trận không có tính chất giao hoán, có nghĩa là AB  BA

1.6 Chuyển vị ma trận

Chuyển vị của ma trận A = [a ij ] kích thước (m n) là 1 ma trận, ký hiệu là A T

có kích thước là (n m), được tạo từ ma trận A bằng cách chuyển hàng của ma trận A thành cột của ma trận A T Khi đó, (A T

Trong nhiều bài toán kỹ thuật, các phần tử của ma trận không phải là 1 hằng

số, chúng là các hàm số 1 biến hay nhiều biến Ví dụ:

y x

xy x y x A

4 6

A dx

trình PTHH trong các chương sau Xét ma trận vuông A, kích thước (n n) với các hệ số hằng, véctơ cột x = {x 1 x 2 x n } T chứa các biến Khi đó, đạo hàm của

Ax theo 1 biến x p sẽ là:

p p

a Ax dx

d



) (

n n

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A a

a a

a a

a

a a

a A

3 33

32

2 23

22

11

2 1

2 22

21

1 12

11

Công thức (2.11) là công thức tổng quát Theo công thức này, định thức của ma

trận vuông có kích thước (n n) được xác định theo phương pháp truy hồi từ định thức các ma trận có kích thước (n-1 n-1) Trong đó, ma trận chỉ có 1 phần

A

Trong đó, adjA là ma trận bù của A, có các phần tử a ij   1ijdet(A ji) và A ji là ma

trận thu được từ A bằng cách loại đi hàng thứ j và cột thứ i

12 22

1

22 21

12 11 1

det

1

a a

a a

A a

a

a a A

0 3 0

0 0 2

1.12.Ma trận tam giác

Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới, tương ứng là các ma trận có tất cả các phần tử nằm dưới hay nằm trên đường chéo chính bằng không

Ví dụ, các ma trận được minh hoạ dưới đây tương ứng là ma trận tam giác

trên A và ma trận tam giác dưới B:

0 4 0

11 3 2

0 4 3

0 0 2

b Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán kỹ thuật, kích thước của

ma trận A là rất lớn và các phần tử của A thường là số thực với miền xác định rất rộng; do đó, việc tính toán ma trận nghịch đảo của A là rất phức tạp và dễ gặp

phải sai số do việc làm tròn trong các phép tính Vì vậy, phương pháp khử Gauss

là một công cụ rất hữu ích cho việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính

2.1 Mô tả

Chúng ta sẽ bắt đầu mô tả phương pháp khử Gauss thông qua một ví dụ minh hoạ sau đây; sau đó tìm hiểu giải thuật khử Gauss tổng quát

Xét hệ phương trình:

1 5

1  x  x 

2 3

1  x  x 

4 7

0x1x2 x3  (21)

5 20

0x1x2 x3  (31)

1 5

1  x  x 

4 7

0x1x2 x3  (21)

9 27 0

0x1 x2 x3  (32)

Ở đây, ta nhận được hệ phương trình mà ma trận các hệ số lập thành ma trận tam giác trên Từ phương trình cuối cùng (32), ta tìm được nghiệm x3, lần lượt thế các nghiệm tìm được vào phương trình trên nó, (21) và (1) Sẽ nhận được các

ẩn số cần tìm như sau:

3

8

; 3

5

; 3

1

1 2

3  x   x 

x Phương pháp tìm nghiệm khi

ma trận các hệ số là ma trận tam giác trên này được gọi là phương pháp thế

4 7 1 0

1 5 2 1

5 20 1 0

4 7 1 0

1 5 2 1

4 15 1 1

2 3 5 2

1 5 2 1

bằng phương pháp thế ngược, cuối cùng ta nhận được các nghiệm:

3

8

; 3

5

; 3

1

1 2

x

2.2 Giải thuật khử Gauss tổng quát

Giải thuật khử Gauss tổng quát sẽ được biểu diễn thông qua các bước thực hiện đối với một hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau:

n i

nn nj

n n n

in ij

i i i

n j

n j

n j

b b

b b b

x x

x x x

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 3

33 32 31

2 2

23 22 21

1 1

13 12 11

n n n

in ij

i i i

n j

n j

n j

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

3 2 1

3 3

33 32 31

2 2

23 22 21

1 1

13 12 11

b b b





3 2 1

(2.17)

trình còn lại Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu

và làm cho các phần tử từ hàng 2 đến hàng thứ n của cột 1 bằng không nhờ phép

biến đổi (2.18) sau:

i b a

a b b

a a

a a a

i i i

j i ij ij

, , 2 ,

; 1 11

1 1

1 11

1 1

(2.18)

trình còn lại Bước này sẽ tác động đến các phần tử nằm trong vùng đã đánh dấu dưới đây và làm cho các phần tử từ hàng 3 đến hàng thứ n của cột 2 bằng không

1 3 1 2

1 1

1 3 1 2

1 3 1

3 1

33 1 32

1 2 1

2 1

23 1 22

1 1

13 12 11

0 0

0 0

nn nj

n n

in ij

i i

n j

n j

n j

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a a

1 3

1 2 1

n

i

b b

b b b



 (2.19)

Các bước như trên sẽ được lặp lại đến khi trong vùng đánh dấu chỉ còn 1 phần

tử Một cách tổng quát, tại bước thứ k ta có:

, 1

1 ,

1 , 1

, 1

1 ,

1 , 1 1

, 1 1

1 , 1

2 3 2

3 2

33

1 2 1

2 1

23 1 22

1 1

13 12 11

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

k n k

j n k

k

k n i k

j k

k i

k n k k

j k k

k k

n j

n j

n j

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a a

a a

a a a

1 1

3 3

1 2 1

k n

k i

k k

b b b

b b b

j i b

a

a b

b

n k

j i a

a

a a

a

k k k kk

k ik k

i

k i

k kj k kk

k ik k

ij

k ij

, , 1 ,

;

, , 1 ,

;

1 1

1 1

1 1

1 1

) 2 ( 3

) 1 ( 2 1

4 3 2 1

) 1 (

) 3 ( 4 )

3 ( 44

) 2 ( 3 )

2 ( 34 ) 2 ( 33

) 1 ( 2 )

1 ( 24 ) 1 ( 23 ) 1 ( 22

1 14

13 12 11

0

n n n n nn

n n n n

b

b b b b

x

x x x x

a

a a

a a

a

a a

a a

a a

a a a

1

, , n , n i

; a

x a b

x ,

; a

b x

ii

n

i j

j ij i

i nn

Chương 3

THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CHUNG

VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG

Việc ghép các ma trận độ cứng k và các véctơ lực f của các phần tử để tạo ra

ma trận độ cứng K và véctơ lực nút F chung cho cả hệ, từ đó thiết lập hệ phương

trình PTHH là một vấn đề quan trọng

Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng của mỗi phần tử vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng chung và cộng các số hạng của véctơ lực vào véctơ lực chung

Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận

độ cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử ấy, sau đó chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên

Dưới đây ta sẽ xét hai ví dụ

1 CÁC VÍ DỤ

1.1 Ví dụ 1

Một kết cấu được chia ra 8 phần tử tam giác như Hình 3.1 Mỗi phần tử có 3 nút; mỗi nút có 1 bậc tự do (ví dụ nhiệt độ)

Mô tả quá trình ghép nối ma trận độ cứng chung K với giả sử chỉ xét 3 phần tử

đầu tiên: 1, 2 và 3 với các ma trận độ cứng đã biết như sau:

2 6 3

1 3 7 1

3 7 1

2 1 8 2

0 6 4

1 4 9 3

Lời giải

1 Xây dựng bảng ghép nối phần tử (đường đến các nút ngược chiều kim đồng hồ)

Bậc tự

do Phần tử

5 2 1

2 6 3

1 3 7

4 2 1

0 0 0 0 0

0 5 0 2 1

0 0 0 0 0

0 2 0 6 3

0 1 0 3 7

5 4 3 2 1

4 3 2

3 7 1

2 1 8

5 2 4

4 2 0 3 0

2 8 5 0 1 2 1

0 0 0 0 0

3 1 2 0 7 6 3

0 1 0 3 7

5 4 3 2 1

5 3 2

5 0 1

0 6 4

1 4 9

5 3 2

5 4 2 0 0 1 3 0

2 13 0 3

1

0 0 0 6 4

0

1 3 3 4 9 13 3

0 1 0 3

7

5 4 3 2

2 16 4 3 1 6

8 4 31 6 9 4

5 3 6 30 9 7

7 1 9 9 29 3

2 6 4 7 3 22

7 27 2 8 7 3

4 2 25 7 6 8

7 8 7 30 2 6

5 7 4 2 19 1

5 3 8 6 1 23

f

Các nút của phần tử 1 là: (1, 2, 5) Bậc tự do tương ứng của phần tử là:

k k j j i

24 2 8 5 7 2

2 16 4 3 1 6

8 4 31 6 9 4

5 3 6 30 9 7

7 1 9 9 29 3

2 6 4 7 3 22

10 9 4 3 2 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 24 2 0 0 0 0 8 5 7 2

0 0 2 16 0 0 0 0 4 3 1 6

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 8 4 0 0 0 0 31 6 9 4

0 0 5 3 0 0 0 0 6 30 9 7

0 0 7 1 0 0 0 0 9 9 29 3

0 00 2 6 0 0 0 0 4 7 3 22

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

12 11 4 3 10 9

28 7 4 7 5 5

7 27 2 8 7 3

4 2 25 7 6 8

7 8 7 30 2 6

5 7 4 2 19 1

5 3 8 6 1 23

12 11 4 3 10 9

28 7 5 5 0 0 0 0 4 7 0 0

7 27 7 3 0 0 0 0 2 8 0 0

5 7 43 3 0 0 0 0 12 7 7 2

5 3 3 39 0 0 0 0 12 9 1 6

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 2 14 12 0 0 0 0 56 13 9 4

7 8 7 9 0 0 0 0 16 60 9 7

0 0 7 1 0 0 0 0 9 9 29 3

0 0 2 6 0 0 0 0 4 7 3 22

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

5 7 1 4 6 3 1

0 0 5 7 0 0 0 0 1 4 6 3

5 4 2 6 7 9 4

5 4 12 16 0 0 0 0 3 10 6 3

Để chuẩn hoá các bước ghép nối, ta xây dựng bảng định vị index cho mỗi phần

tử Bảng index sẽ cho biết vị trí của mỗi số hạng của q n trong Q n Kích

thước của bảng index là (noe  edof ), với edof là ký hiệu cho số bậc tự do của phần tử và noe là ký hiệu cho tổng số phần tử

Mỗi nút có một bậc tự do

Trở lại ví dụ 3.1, bảng index chính là bảng ghép nối phần tử ở trên

Q Q Q Q Q

- Với phần tử 1 (e =1) :

1 2 4:)

, 1 (

4 2 1





index

Q Q Q

- Với phần tử 2 (e =2)

4 2 5:)

, 2 (

5 2 4





index

Q Q Q

- Với phần tử 3 (e =3)

2 3 5:)

, 3 (

5 3 2





index

Q Q Q

- Với phần tử số 1

 

1 2 3 4 9 10:)

, 1 (

10 9 4 3 2 1





index

Q Q Q Q Q Q

- Với phần tử số 4

9 10 3 4 11 12:)

, 4 (

12 11 4 3 10 9





index

Q Q Q Q Q Q

Với sự giúp đỡ của bảng index, mỗi số hạng k ij của ma trận k e

được cộng vào

IJ

K của [K] sao cho:

I = index(e,i), với i = 1 sdof

J = index(e,j), với j = 1 sdof

hoặc: K IJ Kindex(e,i)index(e,j)k e j (3.2)

Tương tự, mỗi số hạng f i của {f e }được chuyển sang F I của F sao cho:

i e i e

2.2 Thuật toán ghép nối phần tử:

Bước 1: Khởi tạo ma trận vuông [K] có kích thước (sdof  sdof) và véctơ cột

{F} có kích thước (sdof  1), với các số hạng bằng không Trong đó, sdof là ký

hiệu cho tổng số bậc tự do của các nút trong toàn hệ

Bước 2: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng k ij của của

ma trận phần tử k e

vào số hạng K IJ của ma trận [K]:

) , ( ),

, (

; : 1 ,

k K

Bước 3: Với mỗi phần tử e (e = 1:noe), cộng đúng vị trí mỗi số hạng f i của của

véctơ lực phần tử f vào số hạng F I của véctơ lực chung F:

) , (

; : 1

f F

Sơ đồ thuật toán được mô tả như Hình 3.3 sau:

Chương 4

PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU

1 MỞ ĐẦU

Để giải bài toán một chiều (1D) bằng phương pháp phần tử hữu hạn, chúng

ta sẽ sử dụng nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần và các quan hệ: quan hệ ứng suất-biến dạng, quan hệ biến dạng-chuyển vị Với bài toán hai chiều (2D) và

ba chiều (3D), cách tiếp cận cũng tương tự

Trong bài toán một chiều, các đại lượng: chuyển vị, biến dạng, ứng suất chỉ

phụ thuộc vào biến x Ta biểu diễn chúng như sau:

Trong bài toán một chiều, mỗi nút chỉ có một chuyển vị theo phươngx Vì

vậy mỗi nút chỉ có một bậc tự do, n nút có n bậc tự do

Chuyển vị tổng thể được kí hiệu là Q i ; i = 1, n; chuyển vị địa phương của

mỗi phần tử được ký hiệu là q j ; j = 1, 2

Véctơ cộtQ Q i T được gọi là véctơ chuyển vị chung (tổng thể)

Lực nút được kí hiệu là F i ; i = 1, n

Véctơ cột F  F i T được gọi là véctơ lực nút chung (tổng thể)

Để ghép nối các phần tử với nhau, ta sử dụng bảng ghép nối các phần tử như sau:

Theo ký hiệu, x = x1 là tọa độ của nút thứ nhất; x = x2 là tọa độ của nút thứ hai

Ta định nghĩa hệ tọa độ qui chiếu (hay chuẩn hoá) được ký hiệu là  như sau:

  1

2

1 1 2

1





x x

x x

(4.3) Vậy:   1 : 1xx1 :x2

Ta sử dụng hệ tọa độ địa phương này để xác định hàm dạng với mục đích nội suy ra trường chuyển vị trong các phần tử

Bây giờ trường chuyển vị cần tìm cho một phần tử sẽ được nội suy bằng một phép biến đổi tuyến tính (Hình 4.3)

1

2 1

Các hàm dạng được minh hoạ trên Hình 4.4 Đồ thị của hàm dạng N1 trên Hình

4.4a được suy ra từ phương trình (4.4): N1 = 1 tại = -1 và N 1 = 0 tại  = 1 Tương tự ta có đồ thị của N2

Một khi các hàm dạng được xác định, trường chuyển vị của phần tử sẽ được

biểu diễn qua các chuyển vị nút q1 và q2 như sau:

2 2 1

1q N q N

Trong biểu thức trên, q là véctơ chuyển vị của phần tử Từ (4.5), ta thấy u = q1

tạinút 1; u = q 2 tại nút 2 và u biến thiên tuyến tính trong phần tử (Hình 4.4c)

2

1 1

1x N x N

2 2 1 1

q N q N u

x N x N x

ta thấy chuyển vị u và toạ độ x được nội suy trên cùng phần tử nhờ cùng các

hàm dạng N1 và N2 Trong trường hợp này, ta có phép biểu diễn đẳng tham số

Chú ý: Các hàm dạng cần thoả mãn:

1) Đạo hàm bậc nhất phải hữu hạn,

2) Chuyển vị phải liên tục trên các biên của phần tử

Mặt khác:

dx

d d

du dx

2 2 1 1

2

1 2

1

q q

q N q N



 1 21

2

1

q q x

Trong đó ma trận B đƣợc gọi là ma trận biến dạng-chuyển vị của phần tử

Theo định luật Hooke, ta có biểu thức tính ứng suất:

Chú ý:

B, ,  là các đại lƣợng hằng số;

Các biểu thức u = Nq;  = Bq;  = EBq mô tả chuyển vị, biến dạng và

ứng suất qua các giá trị chuyển vị nút của phần tử Ta sẽ thế các biểu thức này vào biểu thức thế năng của thanh để thiết lập ma trận độ cứng và ma trận lực nút của phần tử

T L

T L

T

P u Tdx u Adx f u x d A

1 2

e e T

e e T

e e

T

P Q Tdx u Adx

f u x

d A

1 2

5 MA TRẬN ĐỘ CỨNG PHẦN TỬ

Gọi:

x d A U

e

T

2 1

là thế năng biến dạng của phần tử, ta có:

2 2

l A q

e T

với:

 1 11

1 2







x x B

ta có:

q l

E A q U

e

e e T

112

1Gọi:

1 1

e

e e e l

E A

T

dx N f A

dx N f A q Adx f u

2 1

1 2

2 2

1 2 1

1 2

1

1 1

e e

e

e e

e

l d

l dx N

l d

l dx N









e T e

e T e

T

f q l

f A q Adx f

e e

e

T

T q dx N T

dx N T q dx T q N q N dx T

2 1 1

e

được gọi là lực diện tích qui đổi về nút của phần tử

Cuối cùng, biểu thức  được viết gọn dưới dạng

F Q KQ

Q là véctơ chuyển vị nút chung,

K là ma trận độ cứng chung, được xác định từ các ma trận độ cứng k e của

các phần tử:

K k e

Với phần tử một chiều và mỗi nút có một bậc tự do, ta vẫn sử dụng bảng ghép

nối phần tử ở trên để thiết lập ma trận độ cứng K và véctơ lực F

7 ĐIỀU KIỆN BIÊN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN

Sau khi rời rạc hóa vật thể nhờ phương pháp phần tử hữu hạn, ta xác định được biểu thức thế năng toàn phần (4.23)

Bây giờ phải xây dựng phương trình cân bằng để từ đó xác định các chuyển

vị nút, sau đó tính ứng suất, biến dạng và các phản lực liên kết

Bằng cách cực tiểu biểu thức thế năng  đối với Q, tức là cho cho thế năng

biến dạng "chịu" điều kiện biên, ta sẽ thu được phương trình cân bằng

Dưới đây ta trình bày cách nhập điều kiện biên Phương pháp này được áp dụng không chỉ cho bài toán một chiều mà còn cho cả bài toán hai, ba chiều Điều kiện biên thường có dạng:

Q i = a i

Biểu thức trên có nghĩa là chuyển vị Q i phải bằng a i

Ở đây, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp khử để nhập các điều kiện biên

Khảo sát trường hợp đơn giản: Q1 = a1

Với một kết cấu có n bậc tự do, ta có

n Q Q

Q

n F F

n

n n

K K

K

K K

K

K K

K K

2 22

21

1 12

n n

n

n n

n n

F Q F

Q F Q Q K Q Q

K Q Q K Q

Q K Q Q

K Q Q K Q

Q K Q Q

K Q Q K Q

2 2 1

1

2 2 2

22 2 1 21 2

1 1 2

12 1 1 11 1

n n n

n n

n n

F Q F

Q F a Q K Q Q

K Q a K Q

Q K Q Q

K Q a K Q

Q K a Q

K a a K a

2 2 1

1

2 2 2

22 2 1 21 2

1 1 2

12 1 1 11 1

2

1

(4.26)

Chú ý rằng chúng ta đã khử chuyển vị Q1 trong biểu thức của thế năng ở trên

Áp dụng điều kiện cực tiểu thế năng:

n i

2

2

1 31 3 3

3 33

2

32

1 21 2 2

3 23

2

22

a K F Q K Q

K

Q

K

a K F Q K Q

K

Q

K

a K F Q K Q

K

Q

K

n n n nn n

n

n n

n n

Khi ấy, hệ phương trình PTHH được biểu diễn như sau:

1 31 3

1 21 2 3

2

3 2

3 33

32

2 23

22

a K F

a K F

a K F

Q

Q Q

K K

K

K K

K

K K

K

n n n

nn n

n

n n

Hệ phương trình (4.28) được viết dưới dạng cô đọng:

Nhờ bảng thông tin ghép nối phần tử đã giới thiệu ở phần đầu, ta sẽ xác định

được chuyển vị nút q của phần tử từ chuyển vị chung Q đã tìm được ở trên

Áp dụng công thức  EBq ta tìm được ứng suất;

Để xác định phản lực liên kết R1, ta viết phương trình cân bằng cho nút 1:

1 1 1

2 12 1