phương pháp phần tử hữu hạn lý thuyết và lập trình tâp hai

Do hàm dáng được xây dựng từ nội suy tuyến tính chuyển vị của diém bat kỳ trong phần tử theo toạ độ nên biến dạng và ứng suất là không đổi trong toàn phần tử và phần tử tam giác 3 nút cò

NGUYEN QUỐC BẢO TRAN NHAT DUNG

WNNRIRRERRA SAAR ARERR RNAP ARAN ARAN NAAN AREER RE REE RRR NS OP PG

# Ding cho sinh vién, hoc vién cao hoc, nghiên cứu sinh chuyên ngành cơ, kỹ

thuật thuộc khối ngành xây dựng, kiến tric, giao thong, thuy loi, mo dia chdt

:®' Thích hợp cho mọi đốt tượng quan tâm đến lý thuyết và kỹ thuật lập trình với ‘

“¿002 -

Tu ƯANT AT KT, sử» Ỳ RRNA AANA ve

c4 tang Hhe ven HVKTQS

0 do ap

Phương pháp phan tt hitu han (PP PTUTD la mét phương pháp tính đã được hình thành và

phát triển trong vòng vài chục năm trở lại dây, nhưng do yêu cầu tính toán của một bài toán

thực tế tường dòi hỏi một khối lượng tính toán rất lớn, do vậy việc ứng dụng PP PTHH trước đáy gặp không ít khó khăn Chỉ cho đến khi có sự xuất hiện của các máy tính cá nhân (PC) cùng với những tiến Độ to lớn của công nghệ tin học trong những năm gần đáy mới thật

su cho phép phưương pháp tính này được ứng dụng một cách phố biến và rộng rấi Cùng với việc tính giải các dại lượng cơ học của kết cấu nh biến dạng; ứng suất; chuyển vị PP PTH cou la cơ sở của lĩnh vực mô phong hoá trong các bài toán thiết kế THÔN qua sự phát triển của kỹ thuật đồ hoa trên máy tính người ta có thể mô phòng hoá các hoạt động của kết cấu; giả dịnh vô số các phương án tính toán dể từ đó chọn lựa giải pháp tối mu Điều này cho phép giảm chỉ phí và thời gian thực liện các thí nghiệm theo phương pháp truyền thống

Cùng với sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật máy tính dã trở thành một bộ phân quen thuộc và

không thể thiếu trong các hoạt dộng nghiên cứu cũng nh ứng dụng thực tiên Theo đó,

cũng ngày càng xuất hiện nhiều hơn các chương trình tính toán sử dụng PP PTIHHIHI với phạm

ví ứng dụng ngày càng phong phú và da dạng : tính toán kết cấu; tính toán nhiệt; diện từ; mô phỏng; tối ưu hoá v.V Đối với thực tế ở Việt Nam PP PTHII cũng đã từng dược nghiên cứu và ứng dụng khoảng I5 dếu 20 năm trở lại đây với số lượng người thean gia nghiên cứu ngày càng tăng nhanh, phạm: ví ứng dụng ngày càng phong phú thêm

Để đáp ứng như cầu học tập và nghiên cứu PP PTLHHH - nắm bắt các khía cạnh, cốt lối của

no theo mot trinh te LOGIC va tao diéu kién cho ban doc c6 thé van dung nó để lập trinh tim lời giải cho một bài toán cụ thể, chúng tôi đã cố gắng tìm hiéu va bién soan tài liệu này Đây

là tài liệu dược biên soạn chủ yếu phục vụ các đối tượng nghiên cứu là sinh viên, kỹ sư thuộc

các ngành cơ kỹ thuật, kết cấu công trình, cơ khí, giao thông, thuỷ lợi, mo địa chát Ngoài

ra sách cũng hỗ trợ rất tốt cho các đối tượng là nghiên cứu sinh, học viên cao học, thuộc

khối Kỹ thuật công trình và Cơ kỹ thuật - Là các dot tuong dd dwoc trang bị tốt các kiến thức

về lý thuyết ma trận, về đại số tuyến tính và tin hoc dai cương Đây là một cuốn sách được

trình bày theo kiểu giáo trình với các diễn giải lý thuyết cô dọng và dễ hiểu, có phần ví dụ minh hoa và giải thuật để người dọc có thể vận dung

Toàn bộ nội dung sách được trình bày trong tổng số 12 chương, xuất bản thành 2 tập

7

Tap 1 : gom 7 chuong trong dé 5 chương đầu dành cho việc nghiên cứu các lý thuyết chung của PP PTHIHI Chương 6 là cấu trúc và giải thuật của một chương trình tính

mình hoa Chương 7 trình bày các lý thuyết tính giải bài toán thanh phẳng (2D) và

thanh không gian (3D)

Táp 2 : gầm 5 chương trình bày các dạng bài toán điển hình của PP PTIHHH : bài toán

phẳng; bài toán ứng suất 3 chiêu; tấm chịu uốn; bài toán kết cấu vỏ v.v và cuối càng là phần mã nguồn của toàn bộ chương trình tính theo các lý thuyết đã trình bày

trong các chương trước

Để tiện cho bạn đọc trong quá trình tìm hiểu sách và liên hệ vận dụng lập trình trên máy tính, trong toàn bộ sách này hệ thống các ký hiệu, quy wie vé hé toa dé; vé ma tran; vé vecto

y.» dược trình bày theo đúng "chuẩn"" của cơ học kết cấu (ví dụ: { A } - là vectơ A; { K ] - là

ma trận K) Riêng phần thể hiện dấu phẩy đông, thống nhất trong toàn bộ tài liệu được thể hiện theo chuẩn Anh - Mỹ, nghĩa là sử dụng đấu chấm ( ) thay cho đấu phảy (, ) Cách thể

hiện này chủ yếu tạo tính tiện dụng khi liên hệ lập trình và đối chiếu kết quả trên PC, vì hiện nay cách thể hiện số thực trên hầu hết các máy tính vẫn là lối thể liện kiểu Anh - Mỹ (ví dụ: viết theo kiểu Việt Nam thì số Pì có trị số như sau Pi=3,14159265; còn viết theo kiểu Anh -

Mỹ thì Pi=3.14159265)

Tuy nhiên do kiến thức hạn chế, nội dung cần trình bày quá rộng lớn và phức tạp, thỏi gian

biên soạn ngắn chắc chắn trong lần xuất bản này không thể tránh khỏi các sai sót đáng tiếc,

xin dược thông cảm và rất mong nhận được các ý kiến đóng góp xảy dựng của bạn doc gan

xứ

NGƯỜI BIÊN SOẠN

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 5

MỤC LỤC

Trang

Chương 8 : Bài toán phẳng 7

11.3.3 Ma tran chuyén vi nut - ứng suất 147

dạng không đổi (tam giác 3 nút), phần tử chữ nhật 4 nút nhằm phân tích các loại kết cấu

phẳng này Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại ngắn gọn các phần tử đã trình bày trên,

đồng thời dẫn ra công thức phần tử hữu hạn cho các phần tử tam giác bậc cao và phần tử

đồng tham số

Các bước xây dựng công thức phần tử hữu hạn để phân tích bài toán ứng suất phẳng và

biến dạng phẳng có thể được mở rộng dễ dàng để phân tích bài toán vật thể đối xứng chịu

tải trọng đối xứng Điều đó được mình hoạ qua các bước xây dựng tính chất phần tử cho phần tử đồng tham số 4 nút Ngoài những nội dung cơ hản bàn về xây dựng tính chất phần

tử để giải các bài toán phẳng, trong chương này còn để cập đến kiểm định Patch va phan

tử bêtông cốt thép Kết quả phân tích lý thuyết được thể hiện lập trình trong hai chương trình con Chương trình con CST cho phần tử tam giác phẳng 3 nút và chương trình con PSQR4 cho phau ttr tt giác đồng tham số 4 nút Cả hai chương trình con trên đều được đưa

vào trong thư viện phần tử của PASSFEM

8.1 CAC PHAN TU TAM GIÁC

Các phần tử tam giác có ưu điểm là đơn giản trong quá trình xây dựng tính chất phần tử và thể hiện trong lập trình Về sử dụng, loại phần tử này cũng tỏ ra thích hợp khi nghiên cứu

các vùng lập trung ứng suất và các bài toán có biên phức tạp Dưới đây ta xét hai loại phần tử tam giác là tam giác biến dạng không đổi và tam giác biến dạng tuyến tính

8.1.1 Tam giác biến dạng không đổi (CST)

Trên hình 8.1 minh hoạ phần tử tam giác 3 nút Đặt mặt phẳng phần tử vào hệ toa độ Descartes tong quat 0xy Phần tử có 3 nút, mỗi nút có hai thông số chuyển vị Chuyển vị

w dọc trục x và chuyển vị v dọc trục y Hàm đáng của phần tử trong hệ toạ độ tự nhiên đã được dẫn ra theo công thức (3.39) Tính chất phần tử cũng nhận được theo các công thức (3.85), (3.90) và (3.105) trong chương 3 Do hàm dáng được xây dựng từ nội suy tuyến

tính chuyển vị của diém bat kỳ trong phần tử theo toạ độ nên biến dạng và ứng suất là

không đổi trong toàn phần tử và phần tử tam giác 3 nút còn được gọi là phần tử tam giác biến dạng không đổi Đây là phần tử đơn giản nhất trong xây dựng tính chất phần tử cũng

như trong thể hiện lập trình

8.1.2 Phần tử tam giác biến dạng tuyến tính ( LST)

Phần tử tam giác biến dạng tuyến tính là phần tử tam giác 6 nút, 3 nút chính đặt tại 3 đỉnh

của tam giác và 3 nút phụ đặt tại 3 điểm giữa của 3 cạnh như chỉ ra trên hình 8.2 Chuyển

vị tại mỗi điểm bất kỳ trong phần tử được xấp xỉ bậc hai theo toạ độ Từ xấp xỉ trên dẫn ra

được hàm dáng theo các công thức (3.46) và (3.47)

Hinh 8.1 - Phan tu CST Hình 8.2 - Phần tử LST

Tư tưởng thủ tục của Felippa cũng khá đơn giản Biến dạng tại mỗi điểm trong phần tử

được biểu diễn như các thành phần đạo hàm của chuyển vị theo các phương trình Côsi

(Cauchy) Như vậy nếu các thông số chuyển vị được nội suy bậc hai theo toạ độ thì biến

dạng tại mỗi điểm tương ứng sẽ có quan hệ bậc nhất với toạ độ Để nội suy bậc hai cho

chuyển vị ta cần 6 nút, để nội suy bậc nhất cho biến dạng ta chỉ cần 3 nút là đủ Trên cơ

sở lập luận này, Felippa đặt vấn để nội suy biến dạng và ứng suất tại mỗi điểm trong

phần tử theo các thông số tương ứng tại 3 nút chính Đặt biểu thức nội suy cho biến dạng

và ứng suất dưới dạng:

Trong hai công thức trên chỉ số n chỉ các thông số tại nút Nếu vật liệu là đồng nhất và đẳng hướng trong toàn phần tử thì hai hàm dáng [MN,] và [Ws] sẽ đồng nhất với nhau Mặt khác như đã biết trong chương 3, các giá trị biến dạng tại nút có thể biểu diễn thông qua các thông số chuyển vị nút nhờ ma trận chuyển vị nút - biến dạng [B„] theo công thức

u =° [][, }Ÿ tewy =>&,} [ff INT lv Hed av 2 (8.54)

Thay (8.2) va (8.3) vào ta được:

u =< } (ø,} [[[,.Ƒ Iw, IC, |5, ajay (8.5)

Từ đó suy ra công thức ma trận độ cứng:

trong đó: mà trận [DỊ có dạng tích phân:

[p= (ff.{y FIN lav (8.60)

Tích phân phương trình (8.6b) là đễ hơn nhiều so với tích phân phương trình (3.97a)

[chương 3J do hàm dưới đấu tích phân là đơn piản hơn,

Quan hệ chuyển vị nút-biến dạng đối với phần tử LST được dẫn ra tương tự như đối với phần tử CST ở mục (3.6) Quan hệ này có thể biểu diễn như sau:

{B,Ÿ = 2:14" =1)“, (4L,-1a, (4L,-a, 4(L,a, + La,) (8.8b)

4(La,+L,a,) 4(La, + L,a,) |

Vectơ biến đang nút bao gồm 9 thành phần là:

{ En } r = [ Evi Êu: yy Ey Ey2 Ey3 Yeyl Yey2 #zwiÌ (8 9)

PHUGNG PHAP PTHH - LY THUYET VA LAP TRINH 11

[2.1] |0]

fed=| fo] 13„l|) (8.10)

[22] Bal

3b, -b, -b, 4b, 0 4b, trong d6: [B,J ¬ ~b, 3b, —b, 4b, 4b, 0 (8.1 1a)

-b, -b, 3b, 0 4b, 4b, 3a, -a, -—a, 4a, 0 4a, [z,, |= ¬ —a, 3a, —d, 4a, 4a, 0 (8.11b)

~a, -—a, 3a, 09 4a, 4a, Vectơ ứng suất nút cũng bao gồm 9 thành phần:

{a,}" = [ Ớ,; Ớ,¿ ys Oy; Ớy; Oy; Ty Ty? #„aÌ (8.12)

Trong trường hợp vật liệu là đồng nhất trên toàn phần tử, biến thiên tuyến tính của biến

dụng và ứng suất tại mỗi điểm trong phần tử có thể nội suy theo hàm nội suy dạng ma trận

Trong trường hợp chiều dầy phần tử là không đổi và có giá trị Tích phân khối tính ma

trận [Ø] rong công thức (8.6b) có thể chuyển về tích phân diện và công thức tính ma trận [D] có thể tính theo trình tự sau:

Đến đây các ma trận thành phần trong biểu thức tính ma trận độ cứng [k„] theo công thức

(8.6) là hoàn toàn xác định, Thủ tục tính ma trận độ cứng phần tử [k„] chỉ còn là nhân

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 13

Hình 8.3 - Tính vectơ tải nút cho phần tử LST

Xét phần tử LST chịu lực diện tác dụng lên cạnh chứa các nút 1-4-2 theo phương trục x như mình hoa trên hình 8.3 Biến thiên của tải trọng giả sử là bậc hai và được xấp xỉ bằng hàm nội suy sau :

Tích phân diện trên chuyển thành tích phân đường lấy dọc theo cạnh 3, cạnh chứa các nút

(1-4-2) của tam giác Ta có:

L(2L, —l)

x1

L,(2L,-1 (0.}= | án rn, -1 L,(2L,-) 4L,L,h p ds, (8.20)

“2

)

4L,L, Ị x4

4L,L,

Ta có nhận xét 1A doc theo canh 3 nay: L,= 0; L, = 1-L,

Va dS, = - didL, Thay cdc biểu thức trên vào công thức (8.20) tà có :

Phần tử chữ nhật thường được sử dụng trong phân tích ứng suất các bài toán có biên thắng

như các bài toán dạng dầm, tấm Ưu điểm cơ bản của phần tử này là tính đơn giản trong quá trình xây dựng tính chất phần tử cũng như khi thể hiện trong lập trình Cũng có thể

coi việc xem xét phần tử này như quá trình chuẩn bị kiến thức để xem xét các phần tử

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH 15 phức tạp hơn Dưới đây ta xét phần tử chữ nhật 4 nút ( ký hiệu PSR4) và phần tử chữ nhật

này có thể sắp xếp như sau:

trong đó: N, _U=r=s) N, _(U+r)(1+s)

N, eal N, = anos) 6239)

Theo các thành phần hàm dáng đã cho trên, chuyển vị dọc theo mỗi cạnh sẽ biến thiên tuyến tính và chuyển vị trong phần tử biến thiên song tuyến tính Để xây dựng tính chất phần tử cẩn phái sử dụng mối liên hệ đạo hàm của hàm f bất kỳ trong hai hệ toa độ tự

nhiên và Descartes tổng quát (8.24)

Ap dụng công thức (8.24), ma trận chuyển vị nút biến dạng [B] có dạng:

PHUGNG PHAP PTHH - LY THUYET VA LAP TRINH 17

8.2.2 Tính vectơ tải nút

Vectơ tải nút tính cho các thành phần lực diện tác dụng trên các cạnh của phần tử có thể tính theo các biểu thức tổng quát đã trình bày trong mục 8.1 cho phần tử LST Hình 8.5 minh hoa phần tử chữ nhật chịu lực diện biến thiên tuyến tính riêng trên cạnh 2.3 với cường độ trên đơn vị dài py, va pø„; tại các nút 2 và 3 tương ứng

chuyển vị của phần tử này được cho theo công thức (3.59) và (3.60) Xếp vectơ chuyển vị

nút theo thứ tự nút, với nút lần lượt theo các thông số chuyển vị œw, (= 1 + 8), ta có hàm đáng và quan hệ chuyển vị nút - chuyển vị:

PHƯƠNG PHÁP PTHH - LÝ THUYẾT VÀ LẬP TRÌNH

Trong trudng hop phan ttr cé chiéu day A khong doi, ma tran độ cứng phần tử được tính theo céng thức chung:

Tích phân trên được tính theo thủ tục cầu phương Gauss đã được trình bày trone chương + Trong trường hợp này thường sử dụng sơ đồ cầu phương 2x2 điểm

lập trình Về sử dụng, phần tử đồng tham số đặc biệt thuận lợi để phân tích các bài toán

có biên phức tạp Dưới đây dẫn ra hai phần tử đồng tham số PSQ4 và PSQ8, cho phân tích bài toán phang

8.3.1 Phần tử đồng tham số 4 nút PSQ4

Với phần tử này, lý thuyết tiếp cận và thủ tục cầu phương Gauss tính ma trận độ cứng [k„]

đã được trình bầy trong chương 4 Cả hai nội dung trên đều thích hợp với lập trình nên

không cần bàn thêm nữa Trong mục này ta xét thêm cách xác định vectơ tải nút {O„} sinh

ra do các lực diện tác dụng lên cạnh phần tử

PHUONG PHAP PTHH - LY THUYET VA LAP TRINH 21

Trong trường hợp nay [N°] và {p} được tính lần lượt theo các công thức (8.35) và (8.34)

tương ứng Nếu chiều dày phần tử tại điểm r bất kỳ được ký hiệu là h', đs = hr.df Trong

đó ä/ là vĩ phân chiều đài Có thể chỉ ra là:

2 2 1/2

Or Or

Cac duo ham —— va

r Or là các phần tử của ma trận Jacobian được cho theo công thức

(4.6) Thay s = -1 vao ta duge :

Ox _? —) oy - J2 — Jì

Or 2 Or 2

| Thay (8.37) vio cong thite (8.36) tacé: dl= yu (8.38) trong do: £1a chiéu dai canh 1.2

Bằng phép đổi biến trên, tích phân (3.18) chuyển thành :

Tích phân trên là tích phân đường, sau khi thay tất cả các thành phần từ các công thức (8.32) (8.35) và (8.38), tích phân trên có thể tính tường minh Tuy nhiên ngay cả trong trường hợp này, để tiện lợi lập trình vẫn nên sử dụng tích phân số Thủ tục tích phân số được trình bày ngắn sọn theo các bước sau:

Sử dụng cầu phương Gauss trong mục 4.2.1 Ta có :

r, vaio phuong trinh (8.34) va (8.35), tinh {Q} theo (

Tho tac tinh theo cong thife (8.42a)

Py Địi

Py Dị;

(8.42u)

Phân tích các bài toán biến dạng hay ứng suất phẳng có biên cong, nên sử dụng các phần

tử cũng có biên cong để xấp xỉ tốt hơn Phần tử đồng tham số 8 nút như minh hoạ trên hình (8.9) là phần tử bậc cao hơn và có biến thiên bậc hai của chuyển vị dọc theo biên,

Hình 8.9 - Phần tử đồng tham số 8 nút

Khái niệm phần tử đồng tham số đã được trình bày trong chương 4 Trong đó chúng ta đã

thấy một phần tử chữ nhật 8 nút trong hệ trục tổng quát có thể chuyển thành phần tử hình

vuông có cạnh đơn vị trong hệ trục tự nhiên Ta thường gọi phép biến đổi trên là phép

chiếu hình học từ một hình phức tạp về một hình đơn giản hơn Tương tự, bây giờ ta sử dụng hầm dáng cho theo công thức (3.59) để mô tả hình học cho phần tử PSQ8 Ta có:

PHUGNG PHAP PTHH - LY THUYET VA LAP TRINH 25

Các thành phần W,( = 1, 8) được định nghĩa theo công thức (3.9a)

Tương tự, biến thiên chuyển vị cũng được mô tả bằng cùng một hàm dáng :

Các thành phần hàm dáng N,Œ =l+ 8) được xác định theo công thức (3.59a) Ma trận độ

cứng phần tử được tính bằng cầu phương Gauss như đã trình bày trong chương 4

8.4 MÔ HÌNH CHUYỂN VỊ KHÔNG TƯƠNG THÍCH

Trong phân tích phần tử hữu hạn, độ chính xác của lời giải có thể đạt được bằng cách tăng

số lượng phần tử (chia mịn hơn), hoặc là bằng cách sử dụng các phần tử bậc cao tiệm cận tốt hơn về vật lý Tuy nhiên cả hai phương pháp trên đều đẫn tới tăng thời gian tính và đồi

hỏi dung lượng bộ nhớ của máy lớn Làm thế nào để đạt được độ chính xác cần thiết mà

không đòi hỏi quá nhiều về thời gian tính và dung lượng bộ nhớ? Một hướng suy nghĩ khac di duoc Willson phát triển là khả năng sử dụng mode chuyển vị không tương thích

Chúng ta sẽ khảo sát nội dung này thông qua phần tử PSQ4

8.4.1 Nguồn gốc sai số

Mội trong các nguyên nhân dẫn đến sai số khi sử dụng phần tử đồng tham số + nút PSQ4

là ở chỗ phần tử này không thể mô tả pradien ứng suất Hàm chuyển vị được cho theo công thức (3.52) là Không đầy đủ do không chứa các thành phần bậc hai trong biểu thức hầm dáng Vì vậy hàm chuyển vị này không có khả năng mô tả trạng thái uốn của hệ Điều đó được mính hoa rõ ràng khi xét phần tử chữ nhật đơn giản chịu uốn như trên hình 8.10 Dal ede toa dd tai Lim phan td, các thành phần ứng suất theo lý thuyết uốn cơ bản 20m:

Ø,=— o,=T, =0, (8.44)

trong dé: & - médun din héi;

y - khoang cách từ điểm tính đến trục trung hoà;

PHUGNG PHAP PTHH - LY THUYET VA LAP TRINH 27

Tích phân phương trình (8.45a) ta được: 4 == £,(¥)

Do chuyển vị théo hướng z tại gốc bằng không, phương trình trên biến đổi thành :

Theo phương trình (§.47a) và (8.47b), chuyển vị v có thể biểu diễn như sau:

Rõ ràng là phần tử tứ giác 4 nút tổng quát chỉ chứa số hạng đầu trong công thức (8.49),

theo giả thiết xấp xỉ chuyển vị của phần tử Số hạng thứ hai của (8.49) bị bỏ qua Đó

chính là nguyên nhân đẫn đến sai số tính toán khi phần tử chịu uốn Để có thể mô tả trạng thái uốn chính xác hơn, Willson đã đưa ra phần tử tứ giác có bổ sung các mode chuyển vị phụ Đối với phần tử tứ giác tổng quát, Willson đặt xấp xỉ chuyển vị đạng:

trong đó : P, = (-r’) va P, = (1-3?)

Điểm cần lưu ý là các hàm ø; và p; được chọn sao cho chúng phải triệt tiêu tại 4 nút để

duy trì tính tương thích của chuyển vị tại các nút này và để bảo đảm cùng sai số khi xét biến dạng uốn Biên độ chuyển vị ứ, là các bậc tự do phụ, do đó kích thước ma trận độ

cứng sẽ là (12 x 12) Tuy nhiên nếu năng lượng biến dạng bên trong phần tử là cực tiểu

đối với các ø; thì 4 phương trình bổ sung nhằm tính các ø, này sẽ được khử ra khỏi ma

8.4.2 Phần tử tứ giác không tương thích PSQ16

Khi bố sung các mode không tương thích vào phần tử tứ giác 4 nút, các thông số chuyển

vị # và w đã được cho theo công thức (8.50), còn các toa độ tổng quát được mô tả theo

biểu thức sau :

x= Ny x, + Nox + Nyx + Nyx,

Viết lại phương trình (8.50) dang

hb P 0 90 trong đó : [P] = nh

0 0 P P,

và {a}" = [a@, @, @, ay]

Khi đó veetơ biến dạng được cho bởi công thức :

trong đó: |P'] mô tả vi phân đối với các toạ độ tổng quat x,y

i Như đã biết, năng lượng biến dạng trong phần tử được cho bởi công thức:

Giá sử {4œ} là vectơ chuyển vị cho trạng thái biến đạng không đổi Đưới điều kiện này, vectơ chuyển vị bố sung {ở} phải bằng không để sao cho các mode tương thích không

phải là tích cực Phương trình thứ hai của (8.55) có thể biểu diễn như sau:

Để thoả mãn phương trình trên khi {ø} = {0} thì thành phần thứ nhất

[k„al{đfœ} = {0} Từ công thức (8.54) ta có

Ik |= {ffley [CHB} (8.57) Thay vào phương trình trên ta được :

Bây giờ [C| là hằng số và [El{đœ} = (£@Ì cũng là hằng số (theo giả thiết trạng thái biến

dạng không đổi) Như vậy phương trình (8.58) được đơn giản thành :

(ff, [elev =[o] ngan [ff [P']"av = [o]” (8.59)

PHUGNG PHAP PTHH - LY THUYET VA LAP TRINH 31

Với bài toán hai chiều, phương trình (8.59) trở thành:

aff [p'}a4 = [o]” 4 (8.60)

Trong quá trình xây dựng phần tử đồng tham số, phương trình (8.60) chuyển thành :

Vecto chuyén vi phu {@}, nhu vậy buộc phải bằng không để bảo đảm điều kiện biến dạng Không đối, nghĩa là bảo đảm mọi điều kiện hội tụ

Ma trận dacobian || được tính tại tâm phần tử là :

1-|7 | ‘ee +X, +X; -x,) (-», +Y, t+); 23]

J 21 J 22 _ 4 (- x, -x, +x, +¥,) (-y,-32 +93 +34)

Để tính vectơ biến dạng {£}‡ theo công thức tổng quát (4.10), ta cần tính các đạo hàm của

và p theo các toa độ tự nhiên r và ý:

va {d}"= {u, v, Hy Uy Hy Va thy Vy A, Ar Az Ay}

Khi thay các giá trị từ phương trình (8.65) vào (4.10) để nhận ma tran [B], tacan luu y là cde hé s6 cla ma tran Jacobian nghịch đảo Jìụ tương ứng với mỗi thành phần chuyển vị

nút phải được tính theo công thức (4.72) tại mỗi điểm Gauss bất kỳ, còn mỗi thành phần J”j tương ứng với các mode không tương thích phải được tính tại tầm phần tử như đã cho

trong công thức (8.644)

Ma trận [BỊ được tính theo công thức (8.66).

7Ú s)- Ji, (1-s)- 7, (1-s)- I,(1-s)- J;ÑI+s)+

72(I—r) /z(L—r) 7„(I+r) /z>(L+r) J„(I+r)

8.5 PHÉP KIỂM DINH "PATCH"

Phép kiểm dinh Patch do Irons dé xuất là phép kiểm tra don giản tính chất đúng đắn của

quá trình xây dựng tính chất phần tử cũng như quá trình xây dựng chương trình con tính

tính chất phần tử Nội dung phép kiểm định *Patch' như sau:

Chọn kết cấu đơn giản, chọn tải trọng sao cho biến dạng trong kết cấu là không đổi Chia

kết cấu thành một số nhỏ tối thiểu các phần tử mà ta cần kiểm tra tính chất đúng đắn của

quá trình xây dựng và lập trình tính chất phần tử Cách chia sao cho có ít nhất một nút nằm bên trong kết cấu Sau đó ta đặt các tải trọng lên nút trên biên tương ứng với trạng

thái biến dạng không đổi, đồng thời đặt lên kết kấu đủ các liên kết trên biên để kết cấu

không thể dịch chuyển như một vật rắn tuyệt đối Một kết cấu Kiểm định như vậy được gọi

là một Patch Thực hiện tính kết cấu cho Patch theo mô hình PTHH dã rời rạc Nếu biến dang trong các phần tử là như nhau, thì tạ nói phần tử đã qua được Kiểm dinh Patch

Bạn đọc có thể thực kiểm định Patch qua các bài tập thực hành, tuy nhiên hoàn toàn có thể sử dụng phép kiểm định trên cho các loại phần tử tấm, vỏ, vật khối 3 chiều

3-PPP THH /T2

Kiểm định Patch do lrons đề suất, về sau cơ sở cơ học và toán học của phép kiểm định này

đã được phát triển khá mạnh, cho tới nay, phép kiểm định Patch đạt được các vai trồ sau:

1) Kiểm dịnh Patch được coi là điều kiện cần và đủ để hội tụ

2) Kiểm tra tính chất đúng đắn của quá trình xây dựng và lập trình tính chất phần

tử

3) Kiểm tra tính chất đúng đắn của cả các phần tử hữu hạn có sử dụng các mode không tương thích để tăng cường hiệu quả tính toán trong một số trường hợp

8.6 PHAN TU BETONG COT THEP

Khi rời rạc hoá kết cấu bêtông cốt thép, nhất thiết phải tính tới đặc điểm bố trí thép trong kết cấu Thông thường, về lý thuyết ta có thể xem cốt thép như phần tử thanh, còn bêtông

được rời rạc theo các phần tử chữ nhật hay các phần tử tứ giác đồng tham số Trong

trường hợp này, việc chọn lưới phần tử phụ thuộc nhiều vào khoảng cách của cốt thép và định hướng của cốt thép trong kết cấu Điều đó, trong nhiều trường hợp dẫn tới lưới phần

tử hữu hạn đặc biệt dầy Về phương diện thực hành tính toán, nếu một lưới quá dày mà chỉ cho kết quả với cùng độ chính xác với một lưới khác thưa hơn thì bao giờ cũng phải ưu tiên sử dụng lưới thưa để tiết kiệm thời gian và bộ nhớ của máy tính, Với kết cấu bêtông cốt thép, muốn sử dụng lưới thưa để đạt được độ chính xác xấp xỉ lưới đày hơn thì việc rời rạc phải không phụ thuộc vào khoảng cách giữa các cốt thép Trong các chuyên khảo chương [11,12] đã đề cập tới phương pháp rời rạc kết cấu bêlông cốt thép độc lập với khoảng cách cốt thép này Kết quả dẫn tới chương trình kinh tế hơn về phương diện tính

toán do giảm được số lượng nút và phần tử mà vẫn giữ được độ chính xác mong muốn

Trong mục này trình bày phần tử bêtông cốt thép, bằng phần tử này cho phép rời rạc kết cấu độc lập với khoảng cách và dịnh hướng của cốt thép

8.6.1 Phan tử bêtông cốt thép

Trên hình 8.11 mình hoạ phần tử bêtông cốt thép, trong đó cốt thép có định hướng bất kỳ

PHƯƠNG PHAP PTHH - LY THUYET VA LAP TRINH 35

trong đó : —Ú, - thế năng biến dạng của bêtông;

U, - thé năng biến dạng của thép;

W - thế năng của ngoại lực

Theo mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH, tổng thế năng trên được tính như sau:

i= stay [[[, IsTC.1Iølwr + [[[, [s]'Ic.] [elzz, )w)

ay" PIN Exley — {a ff INT has,

trong đó: [C.J - ma tran vật liệu cho bêtông trong giai đoạn đàn hồi;

[Œ,] - ma trận vật liệu cho thép

Từ phương trình trên, thế năng biến dạng của phần tử bêtông kể cả cốt thép có dạng:

u = w} [fff, IȠ Ic.Iekw, + ff, Pe lek, a)

thay đổi để tính tới phần chiếm chỗ của thép trong bêtông Tích phân khối tính ma trận độ

cứng của cốt thép được chuyển về tích phân đường Như minh hoa trên hình 8.L1 ta có:

¿.],= [[[, [5Ÿ fc LIwlar,

= fla) Ic, [el Ju = 4, [[Ï [c, LI»]«+

trong đó: 41; là diện tích tiết diện cốt thép có đường kính đơn vị

(8.72)

8.7 PHẦN TỬ ĐỐI XỨNG TRỤC

Kết cấu đối xứng trục hay vật thể tròn xoay chịu tải trọng đối xứng là loại kết cấu rất

thường gặp trong thực tế Ví dụ điển hình cho loại kết cấu này là vỏ trụ đầy chịu áp lực hướng tâm đối xứng Do tính đối xứng trục của hình học và tải trọng hên ta chỉ cần xét

đến hai thành phần chuyển vị là chuyển vị theo hướng bán kính (hướng trục x) vA chuyển

vị theo hướng dọc trục (hướng trục y) Vì vậy bài toán 3 chiều của vật thể tròn xoay quy

về được bài toán hai chiều đã xét trong mục trước Điểm khác nhau giữa bài toán phẳng và

bài toán đối xứng trục là ở chỗ trong kết cấu đối xứng trục phải xét đến thành phần biến

dạng £¿ khác không do chuyển vị hướng tâm khác không sinh ra

PHUGNG PHAP PTHH - LY THUYET VA LAP TRINH 37

Hình 8.12 - Vat thể tròn xoay và phần tử khối đối xứng trục

8.7.1 Phần tử tròn xoay chịu tải đối xứng

Xét vật thể tròn xoay được rời rạc thành các phần tử đối xứng trục đồng tham số 4 nút, như mình hoa trên hình 8.12 Phần tử tròn xoay có dạng vành khuyên với tiết diện không đổi Mỗi nút của phần tử xác định một đường tròn đồng tâm trên trục y

Gọi ø là chuyển vị dọc trục hướng tâm x, gọi v là chuyển vị theo hướng dọc trục y Do tải trọng được giả thiết là đối xứng, nên thành phần chuyển vị theo hướng chu vi Ø bằng không mọi nơi Chọn phần tử đồng tham số 4 nút PSQ4, các thành phần chuyển vị được xác định theo công thức (8.23)

Quan hệ giữa biến dạng và ứng suất trong trường hợp chịu tải đối xứng đã được cho theo công thức (2.25)

{o} = [C].té}, (8.73)

trong đó: (ơi =[ơ, ơy oOo Tl’ (8.74a)

trong đó: # và lần lượt là môdun đàn hồi và hệ số Poisson của vật liệu Mặt khác theo

lý thuyết đàn hồi, quan hệ chuyển vị biến dạng vẫn được tính theo công thức (2.24) Như -

Ôn!Øx Ji, J, 0 0 0||2w/r

Ouldy J, J, 9 90 0||2w/2s

đ»/ớx|=| 0 0 JY Ji, 014 Ov/dr |, (8.76) Ovldy 0 O J, Jj, 0||29/2x

tị 0 0 0 0 1 H trong đó: /'¡ là các phần tử của ma trận Jacobian [J] nghịch đảo và đã được cho theo các

công thức (4.6) và (4.7) Thế phương trình (8.76) và (4.12) vào (8.75) ta nhận được các

công thức tổng quát tính biến dạng :

PHUGNG PHAP PTHH - LY THUYET VA LAP TRINH 39

-1 1 trong đó: x là toạ độ của điểm cầu phương Gauss Vectơ tải nút được tính như trong mục Ñ.3 Cường độ tải trọng tại nút ¿ được tính bằng cách nhân cường độ của ấp lực điện với hệ

số 27x, trong đó x; là toa độ nút ¿

Trường hợp tái không đối xứng : Trong nhiều trường hợp tính toán thực tế, kết cấu đối xứng trục có thể chịu tải không đối xứng Trong trường hợp này, một cách nghiêm túc

phải piải bài toán như kết cấu 3 chiều tổng quát, vì các thông số chuyển vị là không đối

xứng quu trục kết cấu, Tuy nhiên để tận dụng tính chất đối xứng trục của dạng hình học,

có thể khai triển tải trọng thành tổ hợp các thành phần đối xứng và các thành phần phản

đối xứng Với mỗi thành phần tải trên có thể chuyển lời giải bài toán 3 chiều về 2 chiều,

sau đó xếp chồng kết quả nhận được

8.8 THU TUC PLANE

Chương trình con Plane c6 nhiém vu diéu khién goi cdc chuong tinh con tính tính chất

phần tử của kết cấu phẳng, bao gồm kết cấu ứng suất phẳng, biến dạng phẳng và kết cấu

đối xứng trục Chương trình PASFFEM cho phép thiết kế 3 chương trình con phần tử để giải các bài toán phẳng, Tuy nhiên trong chương trình mới chỉ đưa vào 2 phần tử là phần

tử tam giác biến dạng không đổi và phần tử tứ giác đồng tham số 4 nút

Nếu LLIB(3,J)=3 -> gọi CST