Một phương pháp tiệm cận hay để giải hoặc định hướng giải các bài toán hình học tọa độ phẳng. Đặc biệt, khi giải các bài toán giải tích phẳng khó dưới dạng trắc nghiệm thì phương pháp này nhiều lúc thể hiện được tính ưu việt của nó.
Trang 11) Cho hình chữ nhật ABCD có B(1;1), điểm M và N lần lượt là trung điểm của DA và DC
Đường thẳng MN có phương trình x 3y 1 0, điểm D thuộc đường thẳng
d x y Tìm tọa độ đỉnh A và C biết A có tung độ dương
- Gọi E là trung điểm MN Phép vị tự tâm B tỉ số 4
3 biến E thành D Vì E thuộc MN nên D thuộc đường thẳng d’ là ảnh của MN qua phép vị tự trên
- Khi đó, D là giao điểm của d và d’
- Viết pt AC Đường tròn đường kính BD cắt AC tại hai điểm A và C
d'
E M
N
Trang 2Tài liệu toán THPT Page 2
2) Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của AD, 11 2
;
;
M là trung điểm của BH Biết A có hoành độ âm, tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông
Tìm B
Viết phương trình AM và CE Phép quay tâm B góc quay -900 biến đường thẳng CE thành đường thẳng d (d qua A)
Viết pt d
A là giao điểm của d và AM
d
M
H E
C
D
Trang 33) Cho đường trong C :x2 y2 9, đường thẳng :d x y 3 3 0 và điểm A 3;0
M là điểm thuộc đường tròn (C) và B là điểm sao cho tứ giác ABMO lập thành hình bình hành Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABM biết G thuộc đường thẳng d và G
có tung độ dương
- Gọi I là trung điểm của MB Phép
tịnh tiến theo 1
2OA biến M thành
I Phép vị tự tâm A tỉ số 3
2 biến I thành G
- Do M thuộc đường tròn (C) nên G thuộc ảnh của (C) qua tích của phép vị tự và phép tịnh tiến nói trên
- Mà G lại thuộc d nên G là giao điểm của d và đường tròn (C’)
G I
A
B
O
M
Trang 4Tài liệu toán THPT Page 4
0; 2 , 0;
5
Viết phương trình đường thẳng đi qua O cắt d1 và d2 lần lượt tại hai điểm M, N sao cho AM//BN
- Nhận thấy ba điểm O, A, B thẳng hàng và ta tính được 5
2
- Ba điểm O, M, N thẳng hàng và AM//BN nên phép vị tự tâm O tỉ số 5
2 biến N thành M Do N thuộc d2 nên M phải thuộc đường thẳng d2’ là ảnh của d2 qua phép vị
tự trên Vậy ta tìm được M là giao điểm của d2’ và d1
- Đường thẳng d chính là đường thẳng OM
d1
N
M
O
Trang 55) Cho hai đường tròn C1 : x 1 2 y 3 2 9, C2 : x 2 2 y 2 2 5 Lập phương trình đường thẳng đi qua A(1;0) và cắt (C1), (C2) lần lượt tại M và N sao cho
AM = 2AN
6) Cho điểm A(2;-1), B(2;-5) và đường tròn C : x 2 2 y 3 2 4 MN là đường kính của (C) sao cho đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến của (C) tại B lần lượt tại P
và Q Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác MPQ biết H thuộc đường thẳng
d x y
Dễ thấy AB là đường kính của (C)
H là trực tâm tam giác MPQ nên HM//AB (vì cùng vuông góc với PQ)
và HQ//BM (vì cùng vuông góc với AP) Vậy nên ABMH là hình bình hành
Phép tịnh tiến theo vecto BA biến M thành H Mà M thuộc đường tròn (C) nên H thuộc đường tròn (C’)_ ảnh của (C) qua phép tịnh tiến nói trên Vậy H
là giao của (C’) và d
H
Q N
M
I
P
Trang 6Tài liệu toán THPT Page 6
7) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;-3), đường phân giác góc DAC có phương trình
x y Đường thẳng AB đi qua M(-5;-5) Tìm tọa độ các đỉnhcủa hình chữ nhật
d là phân giác của góc DAC nên là trục đối xứng của 2 đường AD và AC Gọi I’
là điểm đối xứng với I qua d thì I’ thuộc
AD
Đường tròn đường kính I’M cắt d tại A
d
I'
I
B
Trang 78) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2
( ) :C x y 2x 4y 20 0 và hai đường thẳng d1: 2x y 5 0;d2: 2x y 0 Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (C) tại
A và cắt d d1, 2 lần lượt tại B, C sao cho B là trung điểm của AC
Gọi d2’ là đường thẳng đối xứng với d2 qua d1
Vì d1//d2 và B là trung điểm của AC nên A thuộc d2’ Vậy A là giao điểm của d2’ và đường tròn (C) Từ đó ta viết tiếp tuyến của (C) tại A một cách dễ dàng
d2
d1
l
d2'
B
I
Trang 8Tài liệu toán THPT Page 8
9) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 5;1 và đường thẳng d x: 2y 3 0 Tìm
tam giác AMN vuông cân tại A
Tam giác AMN vuông cân tại A nên phép quay tâm A góc quay 900 biến M thành N
Do M thuộc đường thẳng d nên N phải thuộc đường thẳng d’ - ảnh của d qua phép quay nói trên
Vậy N là giao điểm của d’ và đường tròn (C)
Ở đây lưu ý điểm A thuộc d nên d’ chính
là đường thẳng đi qua A và vuông góc với
d
N1
N2
A
Trang 910) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x 4y 15 0 và hai đường tròn
2 2
1 : 1 2 9
2 : 1 16
C x y Tìm điểm M trên (C1) và N trên (
2
C )
sao cho MN nhận đường thẳng d làm trung trực và N có hoành độ âm
d là trung trực của MN nên phép đối xứng trục d biến M thành N Mà M thuộc đường tròn (C1) nên N phải thuộc đường tròn (C1’)- ảnh của (C1) qua phép đối xứng trục d Vậy nên N
là giao điểm của 2 đường tròn (C2) và (C1’)
d
M2
N2
M1
N1
I1'
Trang 10Tài liệu toán THPT Page 10
11) (Trích đại học khối A 2014)Trong mặt phăng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi
M là trung điểm cạnh AB, N là điểm trên AC sao cho AN=3NC Viết phương trình đường thẳng CD Biết M(1;2), N(2;-1)
Ta dễ thấy tam giác NCE và NEI là các tam giác vuông cân tại N Do đó, phép quay tâm N góc quay -900 biến C thành E, biến E thành I, và dĩ nhiên, theo tính chất của phép quay thì nó cũng biến D thành
M
Như vậy, ta thực hiện phép quay tâm N, góc quay 900 thì điểm M biến thành điểm
D (Khi thực hành giải toán ta viết phương trình đường ND qua N và vuông góc với
MN, sử dụng giả thiết ND = NM)
NF NM CF CD từ
đó tìm được F, C…
F E
N I
M
Trang 1112) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;2) và phương trình
đường tròn đi qua chân các đường cao của tam giác ABC có phương trình
2 2
Đường tròn (C) là đường tròn Euler, nó đi qua các trung điểm M, N, P của các cạnh tam giác ABC
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, E là tâm đường tròn (C)
Phép vị tự tâm G, tỉ số -2 biến tam giác MNP thành tam giác ABC, do đó, nó biến đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP (là đường tròn (C)) thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức ta có GI 2GE
Ta dễ dàng chứng minh được IH 3IG
Từ đó ta có HI 2HE hay phép vị tự tâm H biến E thành I, biến đường tròn Euler (C) thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
G N
M
P
A
H
G I
Trang 12Tài liệu toán THPT Page 12
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC trọng tâm G(1;2) Phương trình
đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC là C : x 3 2 y 2 2 25 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x 1 2 y 3 2 16 và điểm A(1;0)
a) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay lần lượt là 0 0
90 ; 90 b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay 0
60 c) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm A, góc quay 0
60
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2;1) và đường tròn đi
qua trung điểm các cạnh của tam giác có phương trình là 2 2
phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 4:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, có C thuộc đường thẳng
d:2x+y+5=0 và điểm A(-4;8) Gọi M là điểm đối xứng với B qua C, N là hình chiếu của B trên DM Tìm tọa độ của B và C biết N(5;-4)