Ta có một số nhận xét sau: Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Nếu hình chóp có các mặt bên
Trang 1I LÝ THUYẾT
1 Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì thể tích tính theo công thức: V= 1
3 Sđáy h
2 Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao trên đáy
Ta có một số nhận xét sau:
Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ 1 đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy
Nếu hình chóp có mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó
Nếu một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đường cao của khối chóp sẽ song song hoặc trùng với đường thẳng đó
Nếu khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là cạnh bên chung của 2 mặt đó
Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy
Ngoài ra trong một số trường hợp khác chũng ta có thể khai thác các tính chất khác của khối đa diện để xác định đường cao
Để tính được độ dài đường cao thông thường chúng ta gắn vào các tam giác vuông ( trong bài bổ trợ kiến thức)
II VÍ DỤ ÁP DỤNG
1 Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có SC ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 và 𝐴𝐵𝐶 = 1200
Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD)
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Trang 2Giải
Kẻ SK ⊥ AB => hình chiếu CK ⊥ AB
((SAB),(ABCD)) = 𝑆𝐾𝐶 = 450
𝐴𝐵𝐶 = 1200
=> 𝐶𝐵𝐾 = 600
𝐶𝐾 = 𝐶𝐵 𝑠𝑖𝑛 600
= 3𝑎
2
𝑆𝐶 = 𝐶𝐾 𝑡𝑎𝑛 450
= 3𝑎
2 (1)
SABCD = AB BC sin 1200 = 3 3𝑎
2
2 (2)
Từ (1) và (2) => VS.ABCD = 1/3 SC.SABCD = 3 3𝑎
3
4
Gọi O = AC ∩ BD Kẻ CE ⊥ SO
Vì BD ⊥ (SAC) nên BD ⊥ CE => CE ⊥ (SBD) (3)
Vì SC = 3a/2, OC = 3a/2 nên ∆ SCO vuông cân tại C
CE = SC 2
2 = 3 2𝑎
4 (4)
Từ (3) và (4) suy ra d(C, (SBD)) =3 2𝑎
4
Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD= 𝑎 2, SA = a, SA ⊥ (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC I = BM ∩ AC Tính thể tích hình chóp ANIB
Đáp án: V= 𝑎3 2
36
Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a; AD = 2a; SA ⊥ (ABCD); (SA,(ABCD)) = 600 Điểm M thuộc cạnh SA, AM = 𝑎 3
3 (BCM) ∩ SD = N Tính thể tích hình chóp S.BCMN
Đáp án: V = 10 3𝑎3
27
Trang 3Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD); AB = a; SA=
𝑎 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD
CMR: SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK
Đáp án: V = 𝑎3 2
27
Ví dụ 5 (ID: 56178) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với
đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 300
2 Dạng 2: Khối chóp đều
Ví dụ 1 Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm của DC
a Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD
b Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ABC Tính thể tích khối chóp MABC
Giải
a Gọi O là tâm của tam giác ABC => DO ⊥ (ABC)
Ta có SABC = 𝑎
2 3 4
DO = 𝐷𝐶2− 𝑂𝐶2 = 𝑎 6
3
V= 1/3 DO SABC = 𝑎
3 2 12
b Kẻ MH // DO Khoảng cách từ M đến (ABC) là: MH = ½ DO = 𝑎 6
6
V = 1/3 MH SABC = 𝑎
3 2 24
Ví dụ 2 (ID: 58985)
Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 6a, AB = 3a Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho MS = MC Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM
Giải
Trang 4Từ giả thiết suy ra SO ⊥ (ABC), CO =2/3 CP (O thuộc đoạn CP)
AB = 3a => SABC = , CP = ; CO = a√3
= > SO = = a√33 => VS.ABC = SO SABC = a3
Kẻ MN // SB ( N thuộc đoạn BC, NB = NC)
Suy ra cos(SB, AM) = cos(MN, AM) = │cos │
Ta có MN = SB = 4a Áp dụng định lý cosin cho tam giác ANC, SAC, SAM ta có AN = a√7,
cos = , AM = a√19
suy ra cos =
Từ (1) và (2) ta suy ra cos(SB, AM) =
Ví dụ 3 (ID:57028) Cho hình chóp đều S ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , mặt bên của hình chóp
tạo với mặt đáy góc 60o Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N Tính thể tích khối chóp S ABMN theo a
Đáp án: V =
Trang 5Ví dụ 4 (ID: 56804) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo
với đáy một góc 600 , mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N Tính thể tích khối chóp S.ABMN và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SD và
BC theo a
3 Dạng 3: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với mặt đáy
Ví dụ1 (ID: 64235): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là
tam giác đều và (SAB) ⊥ (ABCD).Gọi K là trung điểm của AD Chứng minh rằng AC ⊥ SK và tính thể tích của tứ diện SBCK
Giải
- Ta đi chứng minh AC ⊥ (SHK)
Có AC ⊥ SH (1)
( Vì SH ⊥ (ABCD) )
Có AC ⊥ BD
HK // BD
Trang 6AC, BD, HK (ABCD)
=> AC ⊥ HK (2)
Từ (1) và (2) => AC ⊥ (SHK) chứa SK
=> AC ⊥ SK
Có h = SH =
=
=
=>
=
Ví dụ 2 (ID: 50861) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD, SB theo a
Giải
Gọi H là trung điểm AD
Trang 7Do tam giác SAD đều cạnh a nên SH ⊥ AD, SH = mà (ADS) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) =>
SH ⊥ HC
trong tam giác vuông SHC có có HC2 = SC2 - SH2 = => HC =
Diện tích ABCD là
SABCD = 2S ∆ADC = AD.DC.sin600 =
Thể tích S.ABCD = SH.SABCD =
Góc DHC = 600 nên tam giác ADC đều
=>CH ⊥ AD => CH ⊥ BC mà SH ⊥ BC nên BC ⊥ SC
Diện tích tam giác SBC
SSBC = SC.BC =
Trang 8=> d(D, (SBC)) =
=> d(AD, SB) = d(AD, (SBC)) = d(D, (SBC)) =
Ví dụ 3 (ID:63711) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là
tam giác đểu cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC
Ví dụ 4 (ID: 43475) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a; BC = a√2 Mặt
phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a√3, SB = a Gọi K là trung điểm của CB Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và DK
Ví dụ 5 (ID: 43130) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 2a, các cạnh bên SA = a, SB =
a√3 và mặt phẳng (SAB) ⊥ (ABCD) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SM và DN theo a