The tich khoi chop

Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 60o.. Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABC.. Chứng minh SD vuụng gúc với AI và tớnh thể

1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A ( µA = 90o), AB=AC=a Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 60o Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABC

Gi ải :

Kẻ SH vuông góc với BC Suy ra SH ⊥ mp (ABC)

Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ⊥ AC

⇒góc SIH=góc SJH = 60o ⇒ tam giác SHI = tam giác SHJ

⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vuông

⇒ I là trung điểm AB ⇒ IH = a/2

Trong tam giác vuông SHI ta có SH =

a 3 2

V(SABC) =

3

SH.dt(ABC)

(đvtt)

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh

SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3

3

a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N Tính

thể tích khối chóp S.BCNM

Gi ải :

Tính thể tích hình chóp SBCMN

( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD

Ta có : BC AB

⊥

 Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao

Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,

3

3

a a

−

Suy ra MN = 4

3

a

BM = 2

3

a

Diện tích hình thang BCMN là :

S =

2

4

3

a a

BM

 + 

Hạ AH ⊥BM Ta có SH⊥BM và BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥ SH Vậy SH ⊥ ( BCNM)

⇒ SH là đường cao của khối chóp SBCNM

Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM

SB = MS = 1

2 Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒SBH· =300 ⇒ SH = SB.sin300 = a

I

H

J S

B

C

A

Gọi V là thể tớch chúp SBCNM ta cú V = 1

3SH dtBCNM = 10 3 3

27

a

3) Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R.Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 I là điểm thuộc đoạn

OS với SI = 2

3

R

M là một điểm thuộc (C) H là hình chiếu của I trên SM Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó

Giải :

Tứ giác IHMO nội tiếp nên SH.SM = SI.SO mà OS = R 3, SI = 2

3

R

,

SM = SO2+OM2 =2R⇒SH = R hay H là trung điểm của SM

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên mp(MAB) thì HK = 1

2SO= 3

2 R , (không đổi)

⇒VBAHM lớn nhất khi dt(∆MAB) lớn nhất ⇒M là điểm giữa của cung AB

Khi đó VBAHM= 3 3

6 R (đvtt)

A S

M

N

D

H I

O

B

M A

4) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với đỏy

và SA=a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD;I là giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN) Chứng minh SD vuụng gúc với AI và tớnh thể tớch khối chúp MBAI

Giải : Ta cú , ( , )



Tương tự ta cú AN ⊥SC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AI ⊥SC

Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H Khi đú IH vuụng gúc với (AMB)

3

ABMI ABM

Ta cú

2 4

ABM

a

Vậy

1

3 4 3 36

ABMI

5) Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc với đáy hỡnh chúp Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu vuông góc của A lờn SB, SD Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tớnh thể tớch khối chúp OAHK

Giải :

Vỡ (SBI)và (SCI)vuụng gúc với (ABCD) nờn SI (ABCD)⊥

Ta cú IB a 5; BC a 5; IC a 2;= = =

Hạ IH⊥BC tính được IH 3a 5

5

Trong tam giác vuông SIH có 0 3a 15

SI = IH tan 60

5

ABCD AECD EBC

S =S +S =2a +a =3a (E là trung điểm của AB)

3 2

ABCD

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a; cạnh bên AA’ = b Gọi αlà góc giữa hai mp(ABC) và

mp(A’BC) Tính tan α và thể tích chóp A’.BCC’B’

Giải :

Gọi O là tâm đáy suy ra A O ' ⊥ ( ABC ) và góc α = · AIA '

*)Tính tan α

'

tan A O

OI

A O = A A − AO = − b = −

2 3

a

*)Tính VA BCC B'. ' '

( )

' ' ' ' ' ' '.

1

3

A BCC B ABC A B C A ABC ABC ABC

6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC =

2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng

3

4

a , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Gi ải : Từ giả thiết AC = 2 3a ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm

O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a , do đó

A DB =

Hay tam giác ABD đều

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD)

Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có

DH ⊥ AB và DH = a 3; OK // DH và 1 3

a

OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)

Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là

khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 2 2 2

2

a SO

ABC ABO

đường cao của hình chóp

2

a

Thể tích khối chóp S.ABCD:

3

S ABC ABC

a

7) Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h

Gi ải : SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D :

S ABCD S AMND

S

A

H C

O

I D

3a

a

.

S AMND S AMD S MND

S AMD S MND

S ABD S BCD

1 2

S ABD S ACD S ABCD

S AMND S ABCD S ABCD

24

⇒ =

M N

A

B

S

S'

H

K

8) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC =

2

a

SA=a 3, ·SAB SAC=· =300 Tính

thể tích khối chóp S.ABC

Giải : Theo định lí côsin ta có:

·

SB =SA +AB −2SA.AB.cosSAB 3a= + −a 2.a 3.a.cos30 =a

Suy ra SB=a Tương tự ta cũng có SC = a

Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA Suy ra SA ⊥ (MBC)

Ta có S.ABC S.MBC A.MBC MBC MBC SA.SMBC

3

1 S

SA 3

1 S

MA 3

1 V

V

Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M Gọi N là trung điểm của BC suy ra

MN ⊥ BC Tương tự ta cũng có MN ⊥ SA

16

a 3 2

3 a 4

a a AM BN

AB AM AN

MN

2 2 2

2 2 2

2 2 2









−













−

=

−

−

=

−

=

4

3 a

MN=

Do đó

16

a 2

a 4

3 a 3 a 6

1 BC MN 2

1 SA 3

1 V

3 ABC

.

S

A

B

C M

N

9) Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông

góc với mặt phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để

thể tích khối chóp lớn nhất

Gi ải:

( với 0 <

2

π

ϕ < )

10) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên

các cạnh AB, AC sao cho (DMN) (⊥ ABC) Đặt AM = x, AN = y Tính thể tích tứ diện

DAMN theo x và y Chứng minh rằng: x y+ =3 xy

Gi ải:

Dựng DH ⊥MN =H

Do (DMN) (⊥ ABC)⇒DH ⊥(ABC) mà D ABC là

tứ diện đều nên H là tâm tam giác đều ABC

Trong tam giác vuông DHA:

2

1

= − = − ÷÷ =

 

.sin 60

AMN

Thể tích tứ diện D AMN là 1 2

.sin 60 sin 30 sin 30

⇔x y+ =3 xy

Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC)

Ta có : ϕ =·SCA; BC = AC = a.cosϕ ; SA = a.sinϕ

SABC ABC

Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1)

Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 f ' x( ) 0 x 1

3

= ⇔ = ±

Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số

f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm

cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN

hay

( ) ( )

x 0;1

Max f x f

∈

 

=  ÷=

  Vậy MaxVSABC =

3 a

9 3, đạt được khi sinϕ = 1

3 hay

1 arcsin

3

C

S

ϕ

D

A

B C

H

M N

11) Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật với SA vuụng gúc với đỏy, G

là trọng tõm tam giỏc SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N Tớnh thể tớch của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và gúc hợp bởi đường thẳng AN và

mp(ABCD) bằng 30 0

Gi ải :

+ Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.

+ Vỡ G là trọng tõm tam giỏc ABC nờn dễ cú

2

3

SG

SO = suy ra G cũng là trọng tõm tam giỏc SBD.

Từ đú suy ra M, N lần lượt là trung điểm của

SC, SD.

S ABD S BCD S ABCD

Theo cụng thức tỷ số thể tớch ta cú:

.

.

S ABN

S ABN

S ABD

.

.

S BMN

S ABN

S BCD

Từ đú suy ra:

3 8

S ABMN S ABN S BMN

3

V = SA dt ABCD ; mà theo giả thiết SA⊥(ABCD) nờn gúc hợp bởi AN với mp(ABCD) chớnh là gúc ãNAD , lại cú N là trung điểm của SC nờn tam giỏc NAD cõn tại

30

tan 30

SA

Suy ra: thể tớch cần tỡm là:

3

5 3 24

MNABCD S ABCD S ABMN

a

12) Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và

a CD

BC

AB= = = Gọi C’ và D’ lần lợt là hình chiếu của điểm B trên AC và AD Tính

thể tích tích tứ diện ABC D’

Gi ải :

Vì CD⊥BC,CD⊥ AB nên CD⊥mp (ABC)và do đó

) ( )

(ABC mp ACD

3

1

BC D AC dt

Vì tam giác ABC vuông cân nên

2

2 ' '

M N

O

C

B S

G

Ta có AD2 = AB2+BD2 = AB2+BC2 +CD2 =3a2 nên AD=a 3 Vì BD’ là đờng cao của tam giác vuông ABD nên AD'.AD= AB2 , Vậy

3 ' a

AD= Ta có

12

2 3

1 3

3 2

2 2

1 '

'

2

1 ˆ sin ' '

2

1

)

'

'

AD

CD AD AC D

A C AD AC D

AC

=

=

2

2

12

2

3

1a2 a

V

36

3

a

13) Trờn cạnh AD của hỡnh vuụng ABCD cú độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0

< x ≤ a) Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho

SA = 2a

a) Tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)

b) Kẻ MH vuông góc với AC tại H Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất

2

o

x

Ta có

0

MHC SMCH MCH

∆

∆

Từ biểu thức trên ta có:

[ 2 ]2 3

2

SMCH

a

a

a

x a

⇔ =

⇔ M trùng với D

14)

⊥

 ⊂



Lai có