Do đó hay bị mất kiến thức cơ bản hoặc những kĩ năng tính toán trình bày vẽ hinh không tốt…Vì thế trong quá trình giảng dạy giáo viên cần yêu cầu các em nắm vng những đơn vị kiến thức cơ
Trang 1Phòng gd-Đt huyện Xuân trờng
Trờng THCS Xân Hồng
Báo cáo sáng kiến
Tên sáng kiến: “Một số bài tập về bất đẳng thức”
Tác giả: Nguyễn bá long
Ngề nghiệp: Giáo viên
Chức vụ: Tổ trởng tổ Toán-Lý
Xuân Hồng, ngày 10 tháng 5 năm 2008
Trang 2Tên sáng kiến:
“Một số bài tập về bất đẳng
thức”
Tác giả: Nguyễn bá long
Trình độ chuyên môn: Cử nhân cao đẳng
Nơi công tác: Trờng THCS Xuân Hồng-Xuân Trờng-Nam Định
Đơn vị áp dụng sáng kiến: Trờng THCS Xuân Hồng
.
Trang 3A Đặt vấn đề
Trong một lớp học có nhiều đối tợng học sinh Mỗi em có những yêu thích khác nhau đối với các bộ môn Hiện nay có rất nhiều học sinh yêu thích và ham mê học bộ môn toán Cũng có những em đợc cha mẹ định hỡng cho học bộ môn toán
từ rất sớm để theo chuyên ngành tự nhiên Tuy nhiên những học sinh có năng khiếu toán thờng thích làm nhiều số lợng bài tập toán, và thích giải những bài toán khó con thờng và xem nhẹ những bài tập trong sách giáo khoa, trong sách bài tập Do đó hay bị mất kiến thức cơ bản hoặc những kĩ năng tính toán trình bày vẽ hinh không tốt…Vì thế trong quá trình giảng dạy giáo viên cần yêu cầu các em nắm vng những
đơn vị kiến thức cơ bản và giảI tốt trình bày tốt các bài tập trong sách giáo khoa, trong sách bài tập rồi mới làm các bài tập nâng cao
Trong quá trình dạy bồi dỡng cho những học sinh yêu thích bộ môn toán cũng
nh trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi tôI thờng chia ra lam nhiều loại bài tập theo nhng chuyên đề khác nhau giúp các em nắm bắt và hình thành tri thức toán học một cách sâu sắc Từ đó có đợc những suy luận đúng trong quá trình học toán
ở đề tài này tôI chỉ xin trình bày một số bài tậpvề chuyên đề bất đẳng thức mà tôI đã thực hiện khá hiệu quả trong quá trinh giảng dạy
Riêng phần các bài tập chứng minh Bất đẳng thức các em học sinh ở trờng THCS ít đợc tiếp xúc Tuy nhiên với kiến thức và tầm suy luận của các em với
nh-ng em học sinh yêu thích môn toán) thì các em hoàn toàn có thể nắm đợc nội dunh-ng
và cách làm bài tập về chng minh Bất đẳng thức
Các bài tập về chứng minh BĐT thờng khá trừu tợng đối với học sinh THCS nhng nếu chia bài tập ra thành từng thể loại và đợc trinh bày tù dễ đến khó Giáo viên chỉ ra cách suy luận cho học sinh thì các em cũng có thể nắm đợc và làm đợc bài tập về chứng minh BĐT một cách dễ dàng
Sau đây tôI xin trình bày cách sắp xếp và hớng dân cho học sinh sử dụng phép biến đổi tơng đơng đơng, và các phép biến đổi đẳng thức cơ bản mà học sinh đã
đ-ợc hcọ trong chơng trình THCS đễ giảng một số bài tập về bất đẳng thức
Trang 4B Phơng pháp nghiên cứu, và tài liệu sủ dụng
1,Phơng pháp nghiên cứu
Dựa trên cơ sơ giảng dạy và kinh nghiệm thực tiễn Bồi dờng học sinh giỏi Qua nhiều lần trao đổi và hội thảo chuyên đề cùng tổ chuyên môn
Kiểm tra đánh giá kiến thức kĩ năng của học sinh
Tham khảo ý kiến cur đông nghiệp và Ban giám hiệu
Thống kê, tổng hợp các kết quả theo tng năm học
2, Tài liệu tham khảo:
+, Sách giáo khoa, sách bài tập lớp 8, lớp 9 THCS
+, Phơng pháp dạy học môn toán_CĐSP
+, Sách nâng cao chuyên đề lớp 9
Trang 5C Nội dung
Dùng phép biến đổi tơng đơng a >b ⇔ a – b > 0 dể chứng minh bất
đẳng thức trớc tiên ta đa ra một số bất đẳng thức cơ bản mẫu mực
Bài tập 1:
Chứng minh rằng x y 2
y+ ≥x với x,y cùng dấu.
Giáo viên cho học sinh nhận xét và đa ra cach làm, hớng cho các em biến đổi tơng đơng để đI đến một bát đẳng thức luôn đúng
Giải:
2
y+ − ≥x
⇔ x2 y2 2xy 0
xy
⇔ ( )2
0
x y xy
−
≥ điều này luôn đúng Dấu bằng xảy ra khi x = y
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh
Lu ý cho học sinh khi chứng minh bất đẳng thức ta phảI chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào.
Vẫn dung phép biến đổi tơng đơng nh trên ta có thể áp dụng để chứng minh
BĐT a a c c
+
< <
+ bằng cách chứng minh a a c
+
<
+ luôn đúng và a c c
b d+ < d
+
luôn đúng.
Bài tập 2:
Với b>o, c>0 và a c
b < d Chứng minh rằng: a a c c
+
< <
+
Giải:
Ta có a a c
+
<
+
Trang 6
( ) ( )
ab ad ba bc
ad bc
⇔ <
điều nay đúng theo giả thiết
Tơng tự có: a c c
b d+ < d
+ ⇔ (a c d c b d+ ) < ( + )
⇔ ad + cd < cb + cd
⇔ ad < cb
⇔ a c
b < d đúng theo giả thiết Vậy a a c c
+
< <
+ điều phải chứng minh.
Vẫn dùng phép biến đổi tơng đơng nhng ta có thể giúp các em phát hiện và
sử dụng các kiến thức khác đã biết để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn nh BĐT trong tam giác.
Bài tập 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác chứng minh rằng
( )
2 2 2 2
a + + >b c ab bc ca+ +
Giải:
Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên:
a> −b c b> −c a c> −a b
Bình phơng 2 vế của từng BĐT đợc:
2 2 2 2 ; 2 2 2 2 ; 2 2 2 2
a > −b bc c b+ > −c ca a c+ > −b ba a+
Cộng hai vế của ba BĐT tơng ứng đợc:
a2 + + >b2 c2 2(ab bc ca+ + )
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh
Một só bài tập dùng phép biến đổi bất đẳng thức tơng đơng nhng sau đó các
em phải tiếp tục sử dụng tốt các phép biến đổi đẳng thức thì mới đi đến kêt luận đ-ợc.
Trang 7Bài tập 4:
a, Chứng minh rằng: a2(1 +b2) (+b2 1 +c2) (+c2 1 +a2) ≥ 6abc
b, Chứng minh rằng với a>0, b>0, c>0 thì a m+b m≥a b n. p +a b p. n
Trong m, n, p là các số nguyên dơng và m = n+p
Giải:
a, Ta có: a2(1 +b2) (+b2 1 +c2) (+c2 1 +a2) ≥ 6abc
⇔ a2(1 +b2) (+b2 1 +c2) (+c2 1 +a2)− 6abc≥ 0
Mà a2(1 +b2) (+b2 1 +c2) (+c2 1 +a2)− 6abc
=a2 +a b2 2 + +b2 b c2 2 + +c2 c a2 2 − 6abc
=a2 − 2abc b c+ 2 2 + −b2 2bca c a+ 2 2 + −c2 2cab a b+ 2 2
=( ) (2 ) (2 )2
0
Vậy đẳng thức đợc chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c
b, Ta có: a m+b m≥a b n. p+a b p. n ⇔ a m+b m−a b n. p −a b p. n ≥0
mà a m+b m−a b n. p −a b p. n = a n p+ +b n p+ −a b n. p −a b p. n
= a a n p+b b n. p −a b n. p −a b p. n
=a a n p −a b n. p+b b n. p −a b p. n
=a a n( p −b p) +b b n( p −a p)
=(a p−b p)(a n −b n)
+, Nếu a > b thì a p−b p ≥ 0 và a n− ≥b n 0
+ Nếu a ≤ b thì a p−b p ≤ 0 và a n− ≤b n 0
Vậy (a p−b p)(a n −b n) 0 ≥ hay a m+b m≥a b n. p +a b p. n điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b
Có thể chỉ cho các em thấy nếu đã nắm vững các phép biến đổi đẳng thức, nắm vững và vận dụng tốt hằng đẳng thức đáng nhớ thì việc chứng minh và làm các bài tập vê chứng minh cá bất đẳng thức cũng không khó khăn từ đó chỉ cho các em thấy việc quan trọng là nắm vững các kiến thức cơ bản.
Trang 8Bµi tËp 5:
a, chøng minh r»ng víi a,b,c lµ c¸c sè kh«ng ©m th×
3 3 3 3
b, Chøng minh r»ng a2 + + +b2 c2 d2 + ≥e2 a b c d e( + + + )
Gi¶i:
a, Ta cã a3 + + ≥b3 c3 3abc ⇔ a3 + + −b3 c3 3abc≥ 0
Mµ a3 + + −b3 c3 3abc
3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3
( )3 3 ( )
3
( ) ( ) (2 ) 2 ( )
3
(a b c a) 2 2ab b2 ac bc c2 3ab
(a b c a) 2 b2 c2 ac ab bc
( ) 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) (2 ) (2 )2
1
Do a, b, c ≥0 nªn ( )2 ( )2 ( )2
VËy a3 + + −b3 c3 3abc≥ 0 hay a3 + + ≥b3 c3 3abc ®iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c
b, Ta cã a2 + + +b2 c2 d2 + ≥e2 a b c d e( + + + )
⇔ a2 + + +b2 c2 d2 + −e2 a b c d e( + + + ≥) 0
Mµ a2 + + +b2 c2 d2 + −e2 ab ac ad ac− − −
0
VËy a2 + + +b2 c2 d2 + ≥e2 a b c d e( + + + ) ®iÒu ph¶i chøng minh
Trang 9Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = e = 0
Sau khi chứng minh đợc bài toán này giáo viên tiếp tục đa ra bài tập
1, Với a, b, c ≥0 chứng minh rằng 3
3
a b c
abc
không âm)
2, Với a, b, c, d ≥0 chứng minh rằng 4
4
a b c d
abcd
+ + + ≥
Giáo viên yêu cầu học sinh áp dụng các bài toán trớc để làm bài tập này, từ
đó, chỉ cho học sinh cách áp dụng và phát triển các bài toán có thể dễ dàng, tiếp thu đợc nhng tri thức mới một cách sáng tạo.
Bài tập 6: Chứng minh rằng với a, b, c dơng thì
a b c
Vì đã có cách giải của các bài tập trớc nên ta có thể cho học sinh suy nghĩ
áp dụng các bài tập đã học vd: (a b c+ + ≥) 3 3 abc và 1 1 1 3 1 1 1
ra điều phải chứng minh
Giải:
áp dụng bài tập 3 tacó : (a b c+ + ≥) 3 3abc và 1 1 1 3 1 1 1
Nên suy ra: ( ) 1 1 1 3 3 1 1 1
vậy (a b c) 1 1 1 9
a b c
điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Giáo viên yêu cầu học sinh suy nghĩ tìm cách giải khác
Cách khác: (a b c) 1 1 1
a b c
=3 b a c a c b
Trang 10Vậy (a b c) 1 1 1 9
a b c
điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Trang 11D Kết luận
Phần hệ thống bài tập trên tuy cha đợc cụthể chi tiết nhng nó cũng giúp cho học sinh nắm đợc một số cách chứng minh BĐT, là nền móng quan trọng giúp cho các cấp học trên tốt hơn Một số bài tập về BĐT ở trên còn giúp cho học sinh hình thành thói quen suy luận hợp logỉcất quan trọng đối với bộ môn toán và nó cũng giúp cho các em thấy đợc tầm quan trọng của kiến thức cơ bản Cần nắm vững và thờng xuyên rèn luyện cáckĩ năng thao tác biến đổi các phép toán trong trờng THCS
Việc dạy học toán trong trờng THCS là việc hình thành các t duy toán học cho học sinh từ trơng THCS Để cho học sinh yêu thích và tìm học môn toán, tự học tự nghiên cứu là nhiêm vụ khó khăn đòi hỏi ngời giáo viên phải phảI liên tục nghiên cứu tìm tòi sang tạo thì mới đáp ứng đợc yêu cầu đổi mới
Trong đề tài chỉ là kinh nghiệm rút ra từ thực tiễn giảng dạy chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót rất mong cấp trên cung nh các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để tôI đợc rút kinh nghiệm vận dụng trong quá trình giảng dạy thêm hiệu quả, chất lợng hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn.!
Xuân Hồng, ngày10 tháng 5 năm 2008.
Ngời viết sáng kiến:
Nguyễn Bá Long
Đánh giá xếp loại của nhà trờng