khai thác kiến thức bdhsg

Trong các kỳ thi, nhất là kỳ thi học sinh giỏi các cấpthì môn toán có thể nói rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phảinắm đợc lợng kiến thức khá rộng và có kỹ năng vận dụng nó một cách linh h

A - mở đầu

I - lý do chọn đề tài

Trong lịch sử phát triển của toán học thì toán học làmột trong bộ môn khoa học đợc ra đời từ rất sớm Xuấtphát từ những đòi hỏi thực tế cuộc sống đã làm nảy sinhcác kiến thức toán học Toán học không những góp phầnkhông nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa họckhác Có thể nói toán học là cơ sở của nhiều môn khoa họckhác Chính vì vậy trong nhà trờng phổ thông, môn toán

là một trong những bộ môn cơ bản và việc nâng cao kiếnthức toán cho học sinh đơng nhiên là cần thiết

Trong các kỳ thi, nhất là kỳ thi học sinh giỏi các cấpthì môn toán có thể nói rất khó khăn, đòi hỏi học sinh phảinắm đợc lợng kiến thức khá rộng và có kỹ năng vận dụng

nó một cách linh hoạt sáng tạo

Kiến thức toán học rất rộng, hệ thống bài tập nhiềuvì vậy không phải kiến thức bài tập nào giáo viên cũng cóthể khai thác và mở rộng ra đợc Giáo viên chỉ mở rộng chonhững kiến thức chính, những dạng bài tập quan trọng,cách mở rộng cũng nhiều hớng khác nhau

Khái quát hoá để mở rộng thành những bài toán tổngquát khó hơn Tơng tự hoá để giới thiệu thêm những bàitoán có cùng phơng pháp giải Đặc biệt hoá để đa bài toán

về dạng đặc biệt hơn dễ nhớ hơn, có khi chỉ đơn giản làphân tích thêm những kiến thức có liên quan để hớng dẫnhọc sinh giải theo nhiều cách khác nhau hoặc đặt thêmyêu cầu mới cho bài toán Điều đó thôi thúc tôi chọn vànghiên cứu đề tài

“ Khai thác kiến thức cơ bản và bài tập trong sách giáokhoa để bồi dỡng học sinh khá giỏi”

II - Nhiệm vụ nghiên cứu:

Học sinh khá, giỏi hiện nay phần lớn chỉ đầu t vào

cha nâng cao đợc nhiều năng lực toán học Mà theo quanniệm của tôi cho rằng: Việc ôn tập bồi dỡng học sinh giỏimôn toán cần phải:

+ Hình thành ở học sinh năng lực toán học bắt đầutừ:

- Các bài toán đợc nghiên cứu không quá phức tạp, đã

có lời giải, các thao tác t duy dạng sơ cấp

- Năng lực học toán phải tiến hành thơng xuyên liêntục trớc hết thông qua các tiết luyện tập

- Cần xác định những năng lực toán học nào cần bồidỡng cho học sinh, hệ thống bài tập cho phù hợp

B - Nội dung

Một trong các chức năng của dạy học sáng tạo qua cácbài toán ở trờng trung học là hình thành ở học sinh nănglực sáng tạo bài toán mới Xuất pháp từ bản chất tri thức toánhọc lôgíc ẩn láu dới “ vỏ ngôn ngữ ”, có thể sử dụng cácbiện pháp sau để hìmh thành năng lực sáng tạo bài toánmới cho học sinh

Biện pháp 1: Hớng dẫn học sinh “ nhìn thấy ” cấu trúc

lôgíc của bài toán đặc biệt là nhìn thấy sự “ tơng đơng

” của các mệnh đề toán học

Biện pháp 2: Tổ chức cho học sinh hoạt động ngôn

ngữ thông qua sử dụng các hệ thống khái niệm khác nhau.Hớng dẫn cho học sinh “ nhận ra ” sự thống nhất về cấutrúc lôgíc của các bài toán có các biểu tợng trực quan hìnhhọc ứng với các hệ thống khái niệm sau đó

Sau đây là một số ví dụ:

I - Phần số học

Ví dụ 1: Khai thác từ một bài toán lớp 6, chúng ta bắt đầu

từ bài toán sau:

Bài toán 1: Tổng sau có chia hết cho 3 không?

= 2.3 + 23 3 + 25 3 + 27 3 + 29 3

Vậy A chia hết cho 3

Từ bài toán này ta giải đợc một số bài toán sau:

Bài toán 1.1: Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + +257 + 258 +

Nhận xét:

Với A = 2 + 22 + + 2n

a) Các Bài toán 1 và Bài toán 1.1 đúng khi số các sốhạng n là số chẵn

b) Bài toán 1.2 đúng khi số các số hạng n chia hết cho

3 và 4 Từ đó suy ra n chia hết cho 12

23 + 24 )

= (1 + 2 + 22 + 23 + 24 )(1 + 25 + 25 2 + + 25(n - 1) )

= 31.(1 + 25 + 25 2 + + 25(n - 1) ) chia hết cho 31.Vậy 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + +25n - 3 + 25n - 2 + 25n - 1

P = 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39 chiahết cho 13.

Bài 1: Chứng minh rằng biểu thức sau viết đợc dới dạng

tổng các bình phơng của hai biểu thức:

VT ≥ 4 với mọi giá trị của x, y.

=> Không có giá trị nào của x, y thoả mãn bài tán.Với cách làm nh trên, học sinh dễ dàng làm bài tậpsau:

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ta suy ra đợc bài toán mới

Bài 7: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + cathì a = b = c

Dựa vào kết quả bài 6, học sinh tự giải

Với hớng dẫn nh bài tập 7 ta có thể đa ra một loạt bàitập có phơng pháp làm tơng tự

Bài 8: Chứng minh rằng nếu (a + b)2 = 2.(a2+ b2 ) thì a =b.

Bài 9: Cho a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c), chứng minhrằng a = b = c = 1

Bài 10: Cho (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca), chứng minhrằng a = b = c

Bài 11:

Cho (a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2 = (a + b - 2c)2 + (b + c 2a)2 + (a +c - 2b)2 chứng minh rằng a = b = c

-Bài 12: Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0, chứng minh

rằng x = y = z

Từ bài tập 7, ta đa ra bài toán tổng quát hơn

Bài 13: Chứng minh rằng với 3 số a, b, c bất kỳ, ta có: a2 +

Cách 4: Sử dụng bất đẳng thức đã biết, ta có:

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

Từ bài 13, ta đề xuất thêm một số bài toán mới:

+ Xét trờng hợp đặc biệt hơn: cho c = 1

ta có a2 + b2 + 1 ≥ ab + b + a

+ Kết hợp với hằng đẳng thức:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca <=> a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)

ta có a2 + b2 + c2 ≥ 3(ab + bc + ca)

b)

ta cã

<=> 2(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) <=> (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

Ta cã thÓ khai th¸c nh÷ng bµi to¸n d¹ng nµy theo híngkh¸c lµ d¹ng to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt

Bµi 14: (Suy ra tõ bµi 5)

T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña A = 4x2 - 16x + y2 + 4y + 24

-Nếu a < 0 thì F(x) - => Max F(x) = - khi x =

-Bài 17: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:

B = (x - a)2 + (x - b)2 + (x - c)2 với a, b, c cho trớc

H

ớng dẫn :

B = 3(x - )2 + (a2 + b2 + c2) - => min B = (a2 + b2 + c2) - khi x =

III - Phần hình học

Bài 1: Cho ABC, các đờng phân giác của các góc và

gặp nhau tại S, các đờng thẳng chứa phân giác của haigóc ngoài và gặp nhau tại E

a) CS là tia phân giác trong của

CE là tia phân giác ngoài của

=> SCE = 900

Chứng minh tơng tự SCE = 900

=> Tứ giác SBEC nội tiếp vì SCE + SBC = 1800

b) S là giao điểm của 3 đờng phân giác trong, E là

giao điểm của 2 đờng phân giác ngoài của và

A

C B

S

1

1 2 2

thuộc ABC.

Theo định lí đã học => A, S, E thẳng hàng

Khai thác bài toán trên:

Nhận xét 1:

Ta có SCE = SBE = 900 => tâm đờng tròn ngoại tiếp

tứ giác BSCE là trung điểm của đoạn SE Ta có thể đặttiếp câu hỏi cho bài toán

c) Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSEC

Nhận xét 2:

Vì SBEC là tứ giác nội tiếp => = = ( )

=> Câu hỏi tiếp:

Bài 2:

Cho đờng tròn tâm O, đờng kính CD = 2R Từ C và

D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy Từ một điểm E trên đờng tròn,

kẻ tiếp tuyến với đờng tròn đó cắt Cx, Dy lần lợt tại A, B

Chứng minh rằng: AOB = 900

A

B E

ớng dẫn:

(Có nhiều cách giải)

Ta có AE, AC là các tiếp tuyến

=> AO là tia phân giác của COE

Tơng tự: BO là tia phân giác của EOD

Mà COE và EOD là hai góc kề bù

=> AO⊥BO => AOB = 900

Nhận xét 1:

Có thể thay đổi vị trí điểm O bằng điểm M bất kỳtrên CD khi đó đờng thẳng vuông góc với ME tại E không làtiếp tuyến của (O) nữa Vậy AMB = ?

=> đờng thẳng vuông góc với ME

tại E cắt Cx tại A, cắt Dy tại B => B ≡ D

C

4) Trờng hợp M ≠ O, C và D ta có bài toán sau:

Cho E là một điểm nằm trên (O, ), M bất kỳ thuộc

5) Trờng hợp M nằm ngoài CD ta có bài toán sau:

Cho E là một điểm nằm trên (O) đờng kính CD và M

là điểm bất kỳ thuộc CD nhng ở ngoài CD, đờng vuônggóc với ME tại E cắt tiếp tuyến Cx, dy của (O) lần lợt tại A, Bchứng minh rằng AMB = 900

Bài 3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R.

Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn vẽ các tiếptuyến Ax, By với nửa đờng tròn Lấy C, D lần lợt thuộc Ax,

By sao cho CD = AC + BD

y x

Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đờng tròn đờngkính AB.

Bài toán này có thể giải đợc dựa trên ý tởng là xét haitam giác bằng nhau để rút ra các yếu tố tơng ứng củachúng bằng nhau

Lời giải:

Trên tia đối của tia BD đặt điểm K sao cho: BK =

AC

Từ đó ta có DK = DB + BK = DB + AC = CD

Từ OAC = OBK có OC = OK

Dễ thấy OCD = OKD (c.c.c)

Vẽ OM vuông góc với CD, ta có các đờng cao tơng ứng

OM = OB suy ra CD là tiếp tuyến của nửa đờng tròn đờngkính AB

Nhận xét:

Từ lời giải bài toán này cũng suy ra đợc COD = 900 vàAC.DB = R2 ta lập đợc 3 bài toán nh sau:

Bài 3.1: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, Ax và

By là các tiếp tuyến của nửa đờng tròn Vẽ CD là tiếptuyến với đờng tròn đờng kính AB sao cho C thuộc Ax, Dthuộc By

Chứng mịnh

a) CD = AC + BD

b) AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD.c) AC BD = R2

Bài 3.2: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, Ax và

By là các tiếp tuyến của nửa đờng tròn C thuộc Ax, Dthuộc By AB là tiếp tuyến với đờng tròn đờng kính CD.Chứng mịnh

a) CD = AC + BD

b) CD là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB.c) AC BD = R2

Bài 3.3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, Ax và

By là các tiếp tuyến của nửa đờng tròn C thuộc Ax, Dthuộc By và AC BD = R2

đ-Bài toán 3' :

Cho hai đờng tròn tâm C và tâm D tiếp xúc ngoài và

AB là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn (A, B làcác tiếp điểm)

Chứng minh: CD là tiếp tuyến của đờng tròn đờngkính AB

Việc tổ chức dạy học sáng tạo bằng cách sử dụng các biệnpháp nêu trên không những giúp cho học sinh hiểu sâunắm vững kiến thức lôgíc của bài toán, biết cách "chuyểnhoá" ngôn ngữ thông qua sử dụng hệ thống khái niệm

C Bài soạn - Tiết 1: Phần Hình học

A Mục tiêu:

- Rèn kỹ năng vẽ hình, trình bày lời giải bài toán hình

- Rèn t duy toán thông qua khai thác, mở rộng các bài toán

- HS tăng cờng năng lực sáng tạo, tính tự học, tự nghiên cứu

- Rèn tính cẩn thận, chính xác trong làm bài

B Chuẩn bị:

Giáo viên: Máy chiếu, thớc thẳng, com pa.

Học sinh:.Thớc thẳng, com pa.

C Tiến trình dạy học:

1 ổn định tổ chức.

2 Kiểm tra bài cũ

HS1: Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù?

Nêu một số cách chứng minh tứ giác nội tiếp?

HS2: Nêu một số cách chứng minh ba điểm thẳng hàng?

3 Bài mới:

Bài 1: Cho ABC, các đờng

phân giác của các góc và

gặp nhau tại S, các đờng

thẳng chứa phân giác của

A

E

C B

S

1

1 2 2

tâm của đờng tròn ngoại

tiếp tứ giác BSEC?

Từ SBEC là tứ giác nội tiếp

tứ giác BSCE là trung điểmcủa đoạn SE Ta có thể

đặt tiếp câu hỏi cho bàitoán

c) Xác định tâm đờngtròn ngoại tiếp tứ giác BSEC

OE = OS.

f) Chứng minh rằng đoạnthẳng nối tâm đờng trònnội tiếp với tâm đờng trònbàng tiếp của tam giác bị

đờng tròn ngoại tiếp tamgiác ấy chia thành hai phầnbằng nhau

4 Củng cố - luyện tập

GV lu ý cho HS:

- Tìm hiểu kỹ bài toán, vẽ hình chính xác

- Biết cách phân tích, tổng hợp, khai thác bài toán

Cho đờng tròn tâm O, đờng kính CD = 2R Từ C và

D kẻ hai tiếp tuyến Cx, Dy Từ một điểm E trên đờng tròn,

kẻ tiếp tuyến với đờng tròn đó cắt Cx, Dy lần lợt tại A, B

Chứng minh rằng: AOB = 900

Hãy xét bài toán trong trờng hợp thay điểm O bởi

điểm M bất kỳ nằm trên đờng thẳng CD

-D - kết luận

ở phần trên tôi đã đa ra phơng pháp bồi dỡng học sinh khá, giỏi bằng cách hình thành cho học sinh năng lực học toán mới ở mức độ nâng cao, mở rộng các kiến thức Nhng

để thực sự là một học sinh giỏi toán thì học sinh phải có

kỹ năng tìn tòi lời giải bài toán, không bao giờ bằng lòng

và dừng lại với phơng pháp giải hiện có mà luôn luôn mong muốn tìm tòi, sáng tạo những lời giải hay, hấp dẫn hơn

Vì vậy tôi nghĩ hãy cố gắng hớng dẫn học sinh cachs suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Đây là cơ hội để giáo viên trang bị cho học sinh một số tri thức phơng pháp: Phơng pháp giải toán - phơng pháp toán học hoá - nhằm rèn luyện

và phát triển học sinh năng lực t duy khoa học

Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tợng Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể

mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm, tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ tìm tòi lời giải các bài toán

Trên đây là những kiến thức của bản thân tôi trong việc ôn tập bồi dỡng học sinh thông qua việc hình thành cho học sinh năng lực học toán từ việc khai thác các kiến thức cơ bản trong chơng trình sách giáo khoa đi đến sáng tạo và đề xuất bài toán mới, tìm tòi nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán góp phần bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi

Xác nhận của nhà trờng

Hải Dơng, ngày 30 tháng 5 năm 2006

Ngời thực hiện

§ç V¨n T©m

Tài liệu tham khảo

1 - Nâng cao và phát triển Toán 6: Vũ Hữu Bình

2 - Nâng cao và phát triển Toán 8: Vũ Hữu Bình

3 - Một số vấn đề phát triển Toán 8: Vũ Hữu Bình

4 - Toán nâng cao và chuyên đề hình học 9: NguyễnNgọc Đạm,

Nguyễn Việt Hải, Vũ Dơng Thụy

5 - Bồi dỡng học sinh giỏi toán cấp 2: Võ Đại Mau