lí thuyết sắc xuất và thống kê toán

lý thuy t th ng kê.. Xin chân thành cám n... Anh ta th ng u nhiên t ng chìa chìa nào không trúng thì b ra.

Lý thuy t xác su t c ng là c s đ nghiên c u Th ng kê - môn h c nghiên c u các các

ph ng pháp thu th p thông tin ch n m u, x lý thông tin, nh m rút ra các k t lu n ho c quy t

đ nh c n thi t Ngày nay, v i s h tr tích c c c a máy tính đi n t và công ngh thông tin, lý thuy t xác su t th ng kê ngày càng đ c ng d ng r ng rãi và hi u qu trong m i l nh v c khoa

h c t nhiên và xã h i Chính vì v y lý thuy t xác su t th ng kê đ c gi ng d y cho h u h t các nhóm ngành đ i h c

Có nhi u sách giáo khoa và tài li u chuyên kh o vi t v lý thuy t xác su t th ng kê Tuy nhiên, v i ph ng th c đào t o t xa có nh ng đ c thù riêng, đòi h i h c viên ph i làm vi c đ c

l p nhi u h n, vì v y c n ph i có tài li u h ng d n h c t p c a t ng môn h c thích h p cho đ i

t ng này T p tài li u “H ng d n h c môn toán xác su t th ng kê” này đ c biên so n c ng

nh m m c đích trên

T p tài li u “H ng d n h c môn Lý thuy t xác su t và th ng kê toán” đ c biên so n theo

ch ng trình qui đ nh c a H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông dành cho h đ i h c chuyên ngành Qu n tr kinh doanh N i dung c a cu n sách bám sát các giáo trình c a các tr ng

đ i h c kh i kinh t và theo kinh nghi m gi ng d y nhi u n m c a tác gi Chính vì th , giáo trình này c ng có th dùng làm tài li u h c t p, tài li u tham kh o cho sinh viên c a các tr ng đ i h c

và cao đ ng kh i kinh t

Giáo trình g m 8 ch ng t ng ng v i 4 đ n v h c trình (60 ti t):

Ch ng I: Bi n c ng u nhiên và xác su t

Ch ng II: Bi n ng u nhiên và quy lu t phân b xác su t

Ch ng III: M t s quy lu t phân b xác su t quan tr ng

Ch ng IV: Bi n ng u nhiên hai chi u

Ch ng V: Lu t s l n

Ch ng VI: C s lý thuy t m u

Ch ng VII: c l ng các tham s c a bi n ng u nhiên

Ch ng VIII: Ki m đ nh gi thi t th ng kê

lý thuy t th ng kê i u ki n tiên quy t c a môn h c này là hai môn toán cao c p đ i s và gi i tích trong ch ng trình toán đ i c ng Tuy nhiên, vì s h n ch c a ch ng trình toán dành cho

kh i kinh t , nên nhi u k t qu và đ nh lý ch đ c phát bi u, minh h a, ch không có đi u ki n

đ ch ng minh chi ti t

Giáo trình này đ c trình bày theo ph ng pháp phù h p đ i v i ng i t h c, đ c bi t

ph c v đ c l c cho công tác đào t o t xa Tr c khi nghiên c u các n i dung chi ti t, ng i h c nên xem ph n gi i thi u c a m i ch ng, đ th y đ c m c đích, ý ngh a, yêu c u chính c a

ch ng đó Trong m i ch ng, m i n i dung, ng i h c có th t đ c và hi u đ c c n k thông qua cách di n đ t và ch d n rõ ràng c bi t h c viên nên chú ý đ n các nh n xét, bình lu n, đ

hi u sâu s c h n ho c m r ng t ng quát h n các k t qu và h ng ng d ng vào th c t

H u h t các bài toán trong giáo trình đ c xây d ng theo l c đ : đ t bài toán, ch ng minh

s t n t i l i gi i b ng lý thuy t và cu i cùng nêu thu t toán gi i quy t bài toán này Các ví d là

đ minh ho tr c ti p khái ni m, đ nh lý ho c các thu t toán, vì v y s giúp ng i h c d ti p thu bài h n Sau các ch ng có ph n tóm t t các n i dung chính, và cu i cùng là các câu h i luy n

t p Có kho ng t 20 đ n 30 bài t p cho m i ch ng, t ng ng v i 3 -5 câu h i cho m i ti t lý thuy t H th ng câu h i này bao trùm toàn b n i dung v a đ c h c Có nh ng câu h i ki m tra

tr c ti p các ki n th c v a đ c h c, nh ng c ng có nh ng câu đòi h i h c viên ph i v n d ng

m t cách t ng h p và sáng t o các ki n th c đã h c đ gi i quy t Vì v y, vi c gi i các bài t p này giúp h c viên n m ch c h n lý thuy t và t ki m tra đ c m c đ ti p thu lý thuy t c a mình Giáo trình đ c vi t theo đúng đ c ng chi ti t môn h c đã đ c H c Vi n ban hành Các

ki n th c đ c trang b t ng đ i đ y đ , có h th ng Tuy nhiên, n u ng i h c không có đi u

ki n đ c k toàn b giáo trình thì các n i dung có đánh d u (*) đ c coi là ph n tham kh o thêm (ch ng h n: ch ng 5 lu t s l n và đ nh lý gi i h n trung tâm (*), m c 6.6 ch ng 6 …)

Tuy tác gi đã r t c g ng, song do th i gian b h n h p, nên các thi u sót còn t n t i trong giáo trình là đi u khó tránh kh i Tác gi r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a b n bè,

đ ng nghi p, các h c viên xa g n Xin chân thành cám n

Tác gi xin bày t l i cám n t i TS Tô V n Ban, CN Nguy n ình Th c, đã đ c b n th o

và cho nh ng ý ki n ph n bi n quý giá và đ c bi t t i KS Nguy n Chí Thành ng i đã giúp tôi biên t p hoàn ch nh cu n tài li u

Cu i cùng, tác gi xin bày t s cám n đ i v i Ban Giám đ c H c vi n Công ngh B u Chính Vi n Thông, Trung tâm ào t o B u Chính Vi n Thông 1 và b n bè đ ng nghi p đã khuy n khích, đ ng viên, t o nhi u đi u ki n thu n l i đ chúng tôi hoàn thành t p tài li u này

Hà N i, đ u n m 2006

CH NG I: BI N C NG U NHIÊN VÀ XÁC SU T

GI I THI U

Các hi n t ng trong t nhiên hay xã h i x y ra m t cách ng u nhiên (không bi t tr c k t

qu ) ho c t t đ nh (bi t tr c k t qu s x y ra) Ch ng h n ta bi t ch c ch n r ng lông c a qu có

m u đen, m t v t đ c th t trên cao ch c ch n s r i xu ng đ t ó là nh ng hi n t ng di n

ra có tính quy lu t, t t đ nh Trái l i khi tung đ ng xu ta không bi t m t s p hay m t ng a s xu t

hi n Ta không th bi t có bao nhiêu cu c g i đ n t ng đài, có bao nhiêu khách hàng đ n đi m

ph c v trong kho ng th i gian nào đó Ta không th xác đ nh tr c ch s ch ng khoán trên th

tr ng ch ng khoán… ó là nh ng hi n t ng ng u nhiên Tuy nhiên, n u ti n hành quan sát khá nhi u l n m t hi n t ng ng u nhiên trong nh ng hoàn c nh nh nhau, thì trong nhi u tr ng h p

ta có th rút ra nh ng k t lu n có tính quy lu t v nh ng hi n t ng này Lý thuy t xác su t nghiên c u các qui lu t c a các hi n t ng ng u nhiên Vi c n m b t các quy lu t này s cho phép

d báo các hi n t ng ng u nhiên đó s x y ra nh th nào Chính vì v y các ph ng pháp c a lý thuy t xác su t đ c ng d ng r ng rãi trong vi c gi i quy t các bài toán thu c nhi u l nh v c khác nhau c a khoa h c t nhiên, k thu t và kinh t -xã h i

Ch ng này trình bày m t cách có h th ng các khái ni m và các k t qu chính v lý thuy t xác su t:

- Các khái ni m phép th , bi n c

- Quan h gi a các bi n c

- Các đ nh ngh a v xác su t: đ nh ngh a xác su t theo c đi n, theo th ng kê

- Các tính ch t c a xác su t: công th c c ng và công th c nhân xác su t, xác su t c a

bi n c đ i

- Xác su t có đi u ki n, công th c nhân trong tr ng h p không đ c l p Công th c xác su t đ y đ và đ nh lý Bayes

Khi n m v ng các ki n th c v đ i s t p h p nh : h p, giao t p h p, t p con… h c viên s

d dàng trong vi c ti p thu, bi u di n ho c mô t các bi n c

tính xác su t các bi n c theo ph ng pháp c đi n đòi h i ph i tính s các tr ng h p thu n l i đ i v i bi n c và s các tr ng h p có th Vì v y h c viên c n n m v ng các ph ng pháp đ m - gi i tích t h p (đã đ c h c l p 12) Tuy nhiên đ thu n l i cho ng i h c chúng tôi s nh c l i các k t qu chính trong m c 3

M t trong nh ng khó kh n c a bài toán xác su t là xác đ nh đ c bi n c và s d ng đúng các công th c thích h p B ng cách tham kh o các ví d và gi i nhi u bài t p s rèn luy n t t k

n ng này

̇ Phép th tung đ ng xu có không gian m u là Ω={S, N}

̇ V i phép th tung xúc x c, các bi n c s c p có th xem là s các n t trên m i m t xu t

hi n V y Ω={1,2,3,4,5,6}

̇ Phép th tung đ ng th i 2 đ ng xu có không gian m u là:

Ω={(S,S),(S,N),(N,S),(N,N)} Chú ý r ng b n ch t c a các bi n c s c p không có vai trò đ c bi t gì trong lý thuy t xác

su t Ch ng h n có th xem không gian m u c a phép th tung đ ng ti n là , trong đó 0

x y ra hoàn toàn đ c xác đ nh b i k t qu c a C Các bi n c ng u nhiên đ c ký hi u b ng các

ch in hoa A, B, C, … M i k t qu ω c a C đ c g i là k t qu thu n l i cho bi n c A n u A

M i bi n c ch có th x y ra khi m t phép th đ c th c hi n, ngh a là g n v i không gian

m u nào đó Có hai bi n c đ c bi t sau:

• Bi n c ch c ch n: là bi n c luôn luôn x y ra khi th c hi n phép th , bi n c này trùng

Ω

• Bi n c không th : là bi n c nh t đ nh không x y ra khi th c hi n phép th Bi n c

không th đ c ký hi u φ

Tung m t con xúc x c, bi n c xu t hi n m t có s n t nh h n hay b ng 6 là bi n ch c

ch n, bi n c xu t hi n m t có 7 n t là bi n c không th

1.2 NH NGH A XÁC SU T

Vi c bi n c ng u nhiên x y ra hay không trong k t qu c a m t phép th là đi u không th

bi t ho c đoán tr c đ c Tuy nhiên b ng nh ng cách khác nhau ta có th đ nh l ng kh n ng

xu t hi n c a bi n c , đó là xác su t xu t hi n c a bi n c

Xác su t c a m t bi n c là m t con s đ c tr ng kh n ng khách quan xu t hi n bi n c đó khi th c hi n phép th

D a vào b n ch t c a phép th (đ ng kh n ng) ta có th suy lu n v kh n ng xu t hi n

c a bi n c , v i cách ti p c n này ta có đ nh ngh a xác su t theo ph ng pháp c đi n

Khi th c hi n nhi u l n l p l i đ c l p m t phép th ta có th tính đ c t n su t xu t hi n (s l n xu t hi n) c a m t bi n c nào đó T n su t th hi n kh n ng xu t hi n c a bi n c , v i cách ti p c n này ta có đ nh ngh a xác su t theo th ng kê

1.3 NH NGH A C I N V XÁC SU T

1.3.1 nh ngh a và ví d

Gi s phép th C tho mãn hai đi u ki n sau:

(i) Không gian m u có m t s h u h n ph n t

A P

cña töphÇnsè

cña töphÇnsè)

3)(A = =

tính xác su t c đi n ta s d ng ph ng pháp đ m c a gi i tích t h p

k n k

Ví d 1.4: Tung m t con xúc x c hai l n Tìm xác su t đ trong đó có 1 l n ra 6 n t

Gi i: S các tr ng h p có th là 36 G i A là bi n c “trong 2 l n tung con xúc x c có 1

Ví d 1.5: M t ng i g i đi n tho i quên m t hai s cu i c a s đi n tho i và ch nh đ c

r ng chúng khác nhau Tìm xác su t đ quay ng u nhiên m t l n đ c đúng s c n g i

Gi i: G i A là bi n c “quay ng u nhiên m t l n đ c đúng s c n g i” S các tr ng h p

nh ngh a xác su t theo c đi n tr c quan, d hi u Tuy nhiên khi s các k t qu có th vô

h n ho c không đ ng kh n ng thì cách tính xác su t c đi n không áp d ng đ c

Gi s phép th C có th đ c th c hi n l p l i nhi u l n đ c l p trong nh ng đi u ki n

gi ng h t nhau N u trong l n th c hi n phép th n C, bi n c A xu t hi n k n ( A) l n thì t s :

n

A k A

f n n( ))

đi n, nó hoàn toàn d a trên các thí nghi m quan sát th c t đ tìm xác su t c a bi n c Tuy nhiên

đ nh ngh a th ng kê v xác su t c ng ch áp d ng cho các phép th mà có th l p l i đ c nhi u

l n m t cách đ c l p trong nh ng đi u ki n gi ng h t nhau Ngoài ra đ xác đ nh m t cách t ng

đ i chính xác giá tr c a xác su t thì c n ti n hành m t s l n đ l n các phép th , mà vi c này đôi khi không th làm đ c vì h n ch v th i gian và kinh phí

n

Ngày nay v i s tr giúp c a công ngh thông tin, ng i ta có th mô ph ng các phép th

ng u nhiên mà không c n th c hi n các phép th trong th c t i u này cho phép tính xác su t theo ph ng pháp th ng kê thu n ti n h n

1.5 QUAN H GI A CÁC BI N C

Trong lý thuy t xác su t ng i ta xét các quan h sau đây cho các bi n c

1.5.1 Quan h kéo theo

Bi n c A kéo theo bi n c B , ký hi u A ⊂ , n u A x y ra thì B x y ra B

x y ra khi và ch khi có ít nh t A ho c B x y ra

ít nh t m t trong các bi n c x y ra

n

A A

A1, 2, , ∪n

i i

Hai bi n s A, B g i là xung kh c n u bi n c tích AB là bi n c không th Ngh a là hai

bi n c này không th đ ng th i x y ra

Chú ý r ng các bi n c v i phép toán t ng, tích và l y bi n c đ i t o thành đ i s Boole do

đó các phép toán đ c đ nh ngh a trên có các tính ch t nh các phép toán h p, giao, l y ph n bù

đ i v i các t p con c a không gian m u Ch ng h n phép toán t ng tích các bi n c có tính giao hoán, k t h p, t ng phân b đ i v i tích, tích phân b đ i v i t ng, lu t De Morgan …

1,A ,A A

3 2

1,A ,A A

A1, 2, ,

không x y ra c a các bi n c còn l i

Ví d 1.10: Ba x th A, B, C m i ng i b n m t viên đ n vào m c tiêu G i l n

l t là bi n c A, B, C b n trúng m c tiêu

C B

A, ,

i Hãy mô t các bi n c : ABC A B C A, , ∪ ∪B C

ii Bi u di n các bi n c sau theo A,B,C:

A∪ ∪

ii D= AB∪BC∪CA

Có nhi u nh t m t x th b n trúng có ngh a là có ít nh t hai x th b n tr t, v y:

A C C B B A

C B A

F = G = A B C∪A B C∪A B C iii Ba bi n c A,B,C đ c l p nh ng không xung kh c

T ng quát h n, n u {A1,A2, ,A n} là dãy các bi n c xung kh c t ng đôi m t thì

i

A P

1 1

)(

1.6.2.2 Tr ng h p t ng quát

̇ N u A, B là hai bi n c b t k thì

)()()()

̇ N u A,B,C là ba bi n c b t k thì

)()()()()()()()

̇ N u {A1,A2, ,A n} là dãy các bi n c b t k

)

()1()

()

()

1 1

n n

k j i

k j i j

i

j i n

i

i n

−+

III S n ph m đ c cho là đ t ch t l ng n u thu c lo i I ho c lo i II Ch n ng u nhiên 1 s n

ph m tìm xác su t đ s n ph m này đ t tiêu chu n ch t l ng

Gi i: G i l n l t là bi n c s n ph m đ c ch n thu c lo i I, II, III Ba bi n c

3 2

1,A ,A A

25,0)(A1 =

P P(A2)=0,55, P(A3)=0,20 G i A là bi n c s n

ph m đ c ch n đ t tiêu chu n ch t l ng V y A= A1∪A2

8,055,025,0)()()

Tính ch t

Ü N u P(A)>0 thì:

( )

)(

)(

A P

AB P A B

925

1525

625

725

1025

Ví d 1.15: M t th kho có m t chùm chìa khóa g m 9 chi c, b ngoài chúng gi ng h t

nhau nh ng trong đó ch có đúng 2 chi c m đ c kho Anh ta th ng u nhiên t ng chìa (chìa nào không trúng thì b ra) Tính xác su t đ m đ c kho l n th ba

(

1

n i i

1

;15,0)(,85,0)

685,0)

()

=P A P T A P B P T B T

b Áp d ng công th c Bayes ta có

7473,07

685,0)

T P

A T P A P T A

và 69 ng i tr l i “không mua” Kinh nghi m cho th y t l khách hàng th c s s mua s n

1,H ,H

200

69,200

97,200

693,0200

977,0200

34)

7,017,0)

H A P H P A H

1.7 NGUYÊN LÝ XÁC SU T L N, XÁC SU T NH

M t bi n c không th có xác su t b ng 0 Qua th c nghi m và quan sát th c t , ng i ta

th y r ng các bi n c có xác su t nh s không x y ra khi ta ch th c hi n m t phép th hay m t vài phép th T đó ta th a nh n nguyên lý sau đây, g i là “Nguyên lý xác su t nh ”: N u m t

bi n c có xác su t r t nh thì th c t có th cho r ng trong m t phép th bi n c đó s không

x y ra

Ch ng h n m i chi c máy bay đ u có m t xác su t r t nh b x y ra tai n n Nh ng trên

th c t ta v n không t ch i đi máy bay vì tin t ng r ng trong chuy n bay ta đi s ki n máy bay

là đ tin c y Khi d a trên nguyên lý xác su t nh ta tuyên b r ng: “Bi n c A có xác su t nh

(t c là P ( A)≤α) s không x y ra trên th c t ” thì đ tin c y c a k t lu n trên là β Tính đúng

đ n c a k t lu n ch x y ra trong 100⋅β%tr ng h p

T ng t nh v y ta có th đ a ra “Nguyên lý xác su t l n”: “N u bi n c A có xác su t g n

b ng 1 thì trên th c t có th cho r ng bi n c đó s x y ra trong m t phép th ” C ng nh trên,

vi c quy đ nh m t m c xác su t th nào đ c g i là l n s tùy thu c vào t ng bài toán c th

nh ngh a c đi n v xác su t

Xác su t c a bi n c A là

thÓcã hîptr−êngsè

víièilîithuËn hîptr−êng

trong đó k n ( A)s l n xu t hi n bi n c A trong phép th n

Quan h kéo theo

Bi n c A kéo theo bi n c B , ký hi u A ⊂ , n u A x y ra thì B x y ra B

A

1

=

{A1,A2, ,A n} x y ra khi có ít nh t m t trong các bi n c A i x y ra

A

1

{A1,A2, ,A n} x y ra khi t t c các bi n c cùng x y ra

i

A P

1 1

)(

Tr ng h p t ng quát: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

)()()()()()()()

)

()1()

()

()

1 1

n n

k j i

k j i j

i

j i n

i i n

P = ; P(A1A2 A n)=P( ) ( ) ( )A1 P A2 P A n

Tr ng h p không đ c l p:

( )B A P A P AB

P( )= ( ) ; ( 1 2 n) ( )1 ( 2 1) ( 3 1 2) ( n 1 2 1)

CÂU H I ÔN T P VÀ BÀI T P

1.1 Ta có th có hai không gian m u Ω các bi n c s c p cho cùng m t phép th C?

úng Sai

1.11 Trong m t hòm đ ng 10 chi ti t đ t tiêu chu n và 5 chi ti t là ph ph m L y đ ng th i 3 chi

ti t Tính xác su t:

C 3 chi ti t l y ra thu c lo i đ t tiêu chu n

Trong s 3 chi ti t l y ra có 2 chi ti t đ t tiêu chu n

1.12 Thang máy c a m t tòa nhà 7 t ng xu t phát t t ng m t v i 3 khách Tìm xác su t đ :

T t c cùng ra t ng b n

1.21 M t lô hàng có 9 s n ph m M i l n ki m tra ch t l ng l y ng u nhiên 3 s n ph m Sau khi

ki m tra xong tr l i vào lô hàng Tính xác su t đ sau 3 l n ki m tra lô hàng, t t c các s n

ph m đ u đ c ki m tra

1.22 M t nhà máy ô tô có ba phân x ng I, II, III cùng s n xu t ra m t lo i pít-tông Phân x ng

I, II, III s n xu t t ng ng 36%, 34%, 30% s n l ng c a nhà máy, v i t l ph ph m

Ch n ng u nhiên m t x th và bi t r ng x th này b n tr t Hãy xác đ nh xem x th này

1.25 M t tr m ch phát hai tín hi u A và B v i xác su t t ng ng 0.85 và 0.15 Do có nhi u trên

đ ng truy n nên 1 7 tín hi u A b méo và thu đ c nh tín hi u B còn 1 8 tín hi u B b méo và thu đ c nh A

1.26 M t nhà máy s n xu t m t chi ti t c a đi n tho i di đ ng có t l s n ph m đ t tiêu chu n

ch t l ng là 85% Tr c khi xu t x ng ng i ta dùng m t thi t b ki m tra đ k t lu n s n

ph m có đ t yêu c u ch t l ng hay không Thi t b có kh n ng phát hi n đúng s n ph m

đ t tiêu chu n v i xác su t là 0,9 và phát hi n đúng s n ph m không đ t tiêu chu n v i xác

su t là 0,95 Tìm xác su t đ 1 s n ph m đ c ch n ng u nhiên sau khi ki m tra:

c k t lu n là đ t tiêu chu n

c k t lu n là đ t tiêu chu n thì l i không đ t tiêu chu n

c k t lu n đúng v i th c ch t c a nó

CH NG II: BI N NG U NHIÊN VÀ LU T PHÂN B

ng u nhiên X có th đ c kh o sát thông qua hàm phân b xác su t c a nó F x( )=P X{ <x}

Nh v y khi ta bi t qui lu t phân b xác su t c a m t bi n ng u nhiên thì ta đã n m đ c toàn b thông tin v bi n ng u nhiên này

Khi bi n ng u nhiên ch nh n các giá tr r i r c thì hàm phân b xác su t hoàn toàn đ c xác đ nh b i b ng phân b xác su t, đó là b ng ghi các giá tr mà bi n ng u nhiên nh n v i xác

su t t ng ng Khi bi n ng u nhiên nh n giá tr liên t c thì hàm phân b xác su t đ c xác đ nh

b i hàm m t đ xác su t

Các bi n ng u nhiên đ c bi t th ng g p s đ c xét trong ch ng sau

Ngoài ph ng pháp s d ng hàm phân b đ xác đ nh bi n ng u nhiên, trong nhi u tr ng

h p bài toán ch đòi h i c n kh o sát nh ng đ c tr ng c b n c a bi n ng u nhiên

Các đ c tr ng c a bi n ng u nhiên đ c chia thành hai lo i sau:

¬ Các đ c tr ng cho v trí trung tâm c a bi n ng u nhiên nh : K v ng, Trung v , M t

¬ Các đ c tr ng cho đ phân tán c a bi n ng u nhiên nh : Ph ng sai, l ch chu n, H

Các đ c tr ng c a bi n ng u nhiên đ c xác đ nh thông qua tính t ng c a các s h ng nào

đó (tr ng h p bi n ng u nhiên r i r c) ho c tính tích phân xác đ nh (tr ng h p bi n ng u nhiên

đ nh

Ng i ta phân các bi n ng u nhiên thành hai lo i:

¬ Bi n ng u nhiên r i r c n u nó ch nh n m t s h u h n ho c vô h n đ m đ c các giá

tr Ngh a là có th li t kê các giá tr thành m t dãy x1,x2,

¬ Bi n ng u nhiên liên t c n u các giá tr c a nó có th l p đ y m t ho c m t s các

kho ng h u h n ho c vô h n và xác su t P{X =a} b ng không v i m i a

Ví d 2.2:

• G i X là s n t xu t hi n khi gieo m t con xúc x c thì X là bi n ng u nhiên r i r c

nh n các giá tr 1, 2,3, 4,5, 6

• G i là tu i th c a m t thi t b đang ho t đ ng thì Y là bi n ng u nhiên liên t c nh n

giá tr trong m t kho ng

• Sai s khi đo l ng m t đ i l ng v t lý Y nào đó là bi n ng u nhiên liên t c nh n giá tr

trong m t kho ng

2.2 QUY LU T PHÂN B XÁC SU T C A BI N NG U NHIÊN

Bi n ng u nhiên nh n các giá tr nào đó ph thu c vào y u t ng u nhiên vì v y có th s

d ng các ph ng pháp sau đ xác đ nh lu t phân b xác su t c a bi n ng u nhiên

2 1

p p P

x x X

̇ N u bi n ng u nhiên r i r c X nh n vô h n các giá tr thì hàm phân b có

d ng:

,, 2

1 x x

1

0( )

n (2.8)

Ví d 2.3: Ch n ng u nhiên 3 bi t m t túi có 6 bi đen, 4 bi tr ng G i X là s bi tr ng trong 3 bi

v a ch n thì X là m t bi n ng u nhiên r i r c Tìm b ng phân b và hàm phân b c a bi n ng u nhiên X

Gi i: { } 63

3 10

50

151

92

13

32

10

P X

32

30/29

21

30/20

10

30/5

00

)(

x x x x x

x F

nÕu

nÕu

nÕu

nÕu

Õu n

2.2.3 Hàm m t đ phân b xác su t c a bi n ng u nhiên liên t c

nh ngh a 2.3: Gi s X là m t bi n ng u nhiên liên t c có hàm phân b N u t n

a

dx x f b X a P b X a P b X a P b X a

10

00

)

x x

F

víivíivíi

2

00

)(

x

x x

x x

f

víivíivíi

)(

x k

x x

f

víivíi

k dx

x

k dx x f

)(

)()

(

x x

x

x dt

t f x F

x

víivíi

6

12

13

2)2()3(3

2< X < =F −F = − =

d) Xác su t đ X không l y giá tr trong kho ng (2,3) trong m t phép th b ng

6

56

i p x X

1330

9230

15130

50

Gi i: Rõ ràng l i nhu n là bi n ng u nhiên X v i 2 giá tr là +10 đô la (n u ng i b o

hi m không ch t) và −990đô la (n u ng i đó ch t) B ng phân b xác su t t ng ng

992,0008,0

10990

P

Do đó k v ng EX =(−990)⋅0,008+10⋅0,992=2 Ta th y l i nhu n trung bình là m t

s d ng vì v y công ty b o hi m có th làm n có lãi

Ví d 2.8: Tu i th c a m t lo i côn trùng nào đó là m t bi n ng u nhiên X (đ n v là

nÕu 0

)4()

kx x

64)

4(4

40

43

4643

00

)()

(

3

x

x x

x

x dt

t f x F

x

nÕunÕunÕu

Tu i th trung bình

5

125

64

3)

4(64

3E

4

0

5 4 4

Khái ni m k v ng đ c áp d ng r ng rãi trong nhi u l nh v c kinh doanh và qu n lý d i

d ng l i nhu n k v ng hay doanh s k v ng

Ví d 2.9: Gi s m t c a hàng sách d đ nh nh p m t s cu n niên giám th ng kê Nhu

c u hàng n m v lo i sách này đ c cho trong b ng phân b xác su t sau:

03,01,014,018,025,03,0

252423222120suÊt

X¸c

(cuèn)cÇu

Nhu

j

P j

C a hàng mua v i giá 7 USD/cu n bán v i giá 10 USD/cu n Song đ n cu i n m ph i h giá bán h t v i giá 4 USD/cu n C a hàng mu n xác đ nh s l ng nh p sao cho l i nhu n k

25,0

21

18,0

22

14,023

10,0

24

03,025

{ }

émËt hµmcãtôcnliªnÕu

cãr¹crêinÕu

)(E

x f X

i x X P i p X

(x)f(x)dx

p x Y

i

i i

Gi i: a) G i X là s bi tr ng trong 3 bi v a ch n (xem ví d 2.3) thì Y =ϕ(X)=200X là

m t bi n ng u nhiên r i r c có b ng phân b sau:

30/130/930/1530/5

600400

2000

)(

940030

1520030

50

100900100

900E

Ví d 2.11: Tung con xúc x c l n Tìm k v ng c a t ng s n t thu n đ c

Gi i: G i X i(i=1, ,n) là s n t thu đ c l n tung th , g i i X là t ng s n t thu

=

= n

i i

X X

1

EE

Các bi n ng u nhiên X i đ u có b ng phân b xác su t nh sau

6/16/16/16/16/16/1

654321

76543216

1

2.3.2 Ph ng sai

2.3.2.1 nh ngh a

Ph ng sai (variance) hay đ l ch bình ph ng trung bình c a bi n ng u nhiên X là đ i

l ng đo s phân tán bình ph ng trung bình c a X xung quanh giá tr trung bình X E

Ph ng sai c a X đ c ký hi u là XD hay varX và đ nh ngh a nh sau:

DX =E X −EX) (2.20)

D

σ = đ c g i là đ l ch tiêu chu n (deviation) c a X

Khai tri n v ph i công th c (2.20) và áp d ng các tính ch t c a k v ng ta có th tính

ph ng sai theo công th c sau:

i u này nói lên r ng m c dù kinh doanh b o hi m có lãi nh ng r i ro khá l n

Ví d 2.13: Tính ph ng sai c a bi n ng u nhiên xét trong ví d 2.8

Gi i:

5

326

5

464

3)

4(64

3E

4

0

6 5 4

165

125

32E

ED

2 2

X

E

Ví d 2.8 cho th y đ u t b o hi m cho nh ng ng i 25 tu i là có lãi, nh ng ví d 2.12 cho

th y r i ro c a b o hi m r t l n

Ví d 2.14: M t nhà đ u t đang cân nh c gi a vi c đ u t vào hai d án A và B trong hai

l nh v c đ c l p nhau Kh n ng thu h i v n sau 2 n m (tính b ng %) c a hai d án là các bi n

ng u nhiên có b ng phân b sau:

D án A

08,008,024,028,016,012,004,0

73717069686765

7170696866

X X

1

),

,1

543216

1E

;2

2 1

p p P

x x X

+ +

α

1 1

1 1

,,

i i

i

i i

i i

P P

x

P P

x x m m v

2 1

p p P

x x X

Ví d 2.16: bi n ng u nhiên X ví d 2.3 có M t, trung v và ModX =MedX =1

Ví d 2.17: Tìm trung v và M t c a bi n ng u nhiên r i r c có b ng phân b xác su t

13,014,018,025,03,0

2423222120

P X

2423

2322

2221

2120

200

)(

x x x x x x

x F

nÕu

nÕu0,87

nÕu0,73

nÕu0,55

Õu n0,3

Õu n

1)

10

2

00

)(

x

x x

x x

f

víivíi

víi 0

24

3)

20

34

3

00

)(

3 2

x

x

x x

x x

F

víivíivíi

−

⇔

=

20

0232

1)(

2 3

x

x x x

víi 0

12

3)(

V i bi n ng u nhiên có phân b chu n thì α4 =3

Ng i ta phân các bi n ng u nhiên thành hai lo i:

¬ Bi n ng u nhiên r i r c n u nó ch nh n m t s h u h n ho c vô h n đ m đ c các giá

tr Ngh a là có th li t kê các giá tr thành m t dãy x1,x2,

¬ Bi n ng u nhiên liên t c n u các giá tr c a nó có th l p đ y m t ho c m t s các

kho ng h u h n ho c vô h n và xác su t P{X = a}=0 v i m i a

Hàm phân b xác su t

Hàm phân b xác su t c a bi n ng u nhiên X là hàm s xác đ nh v i m i b i công th c:

2 1

p p P

x x X

Hàm m t đ phân b xác su t c a bi n ng u nhiên liên t c

Gi s X là m t bi n ng u nhiên liên t c có hàm phân b Hàm m t đ c a bi n

F( ) ( )

K v ng

K v ng ho c giá tr trung bình c a bi n ng u nhiên X đ c đ nh ngh a và ký hi u nh sau:

i p x X

Khái ni m k v ng đ c áp d ng r ng rãi trong nhi u l nh v c kinh doanh và qu n lý d i

d ng l i nhu n k v ng hay doanh s k v ng

Ph ng sai

Ph ng sai hay đ l ch bình ph ng trung bình c a bi n ng u nhiên X là đ i l ng đo s

phân tán bình ph ng trung bình c a X xung quanh giá tr trung bình XE Ph ng sai c a X

Phân v m c 1/2 đ c g i là median hay trung v c a X , ký hi u Nh v y trung v

là đi m phân chia phân b xác su t thành hai ph n b ng nhau

2 1

p p P

x x X

Moment quy tâm c p : k μk =E(X −EX)k; k =1,2,

̇ H s nh n α4 cho phép b sung thêm thông tin v ph ng sai c a phân b

CÂU H I ÔN T P VÀ BÀI T P

2.1 Bi n ng u nhiên luôn luôn nh n giá tr d ng