Dưới vi phân hàm véctơ lồi và ứng dụng

Do đó nhiềukết quả đẹp, hữu ích trong giải tích lồi chưa được mở rộng sang cho trường hợpvectơ cũng như những ứng dụng của các hàm đó trong bài toán véctơ còn hạnchế.. Nội dung chủ yếu c

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH LỒI 4

1.1 Tập lồi 4

1.1.1 Tập lồi 5

1.1.2 Tập Affine 7

1.2 Hàm lồi và dưới vi phân của hàm lồi 8

1.2.1 Hàm lồi 8

1.2.2 Tính liên tục, tính Lipschitz địa phương của hàm lồi 11 1.2.3 Hàm liên hợp và Định lý Fenchel-Moreau trong trường hợp vô hướng 13

1.2.4 Dưới vi phân của hàm lồi 16

1.2.5 Bài toán tối ưu lồi 19

2 HÀM VECTƠ LỒI VÀ DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM VÉCTƠ LỒI 22 2.1 Một số khái niệm 22

2.1.1 Nón 22

2.1.2 Hàm vectơ lồi 24

2.1.3 Hàm liên hợp của hàm vectơ lồi 412.2 Dưới vi phân của hàm vectơ lồi 452.3 Bài toán tối ưu vectơ lồi 56

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2015

Học viên

Đặng Thị Ngạn

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên, dưới sự hướng dẫn tận tình của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Emmuốn gửi tới thầy lời biết ơn sâu sắc nhất Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơnchân thành tới các thầy, các cô của Trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên,gia đình tôi và các bạn lớp cao học toán K7Y đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học cao học và thực hiện bản luận văn này Trong quá trình viếtluận văn không tránh khỏi sai sót rất mong được sự góp ý chân thành của độcgiả

Thái Nguyên, 2015 Đặng Thị Ngạn

Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Mở đầu

Những nền móng của giải tích lồi đã được xây dựng trong khoảng cuối thế

kỷ XX bởi nhiều nhà toán học, trong đó đầu tiên phải kể đến là Minkowski,Rockafellar Từ đó đến nay, với sự đóng góp qua từng thời kỳ của các nhàtoán học như Bonneesen, Fenchel, Beckenbach, Valentine, Tucker, Bourbaki,Moreau, , giải tích lồi đã đạt đến một sự phát triển mạnh mẽ Tầm quan trọngcủa giải tích lồi thể hiện ở những ứng dụng rộng rãi của nó trong nhiều lĩnh vựckhác nhau của toán học, đặc biệt là trong lý thuyết tối ưu mà ở đó các bài toánvới giả thiết lồi

Bài toán tối ưu thông thường, bài toán tối ưu vectơ cũng đã được đặt ra từkhá lâu Bài toán tối ưu vectơ có nguồn gốc từ các bài toán làm quyết định màhằng ngày người ta gặp phải trong quản lý, sản xuất, kinh doanh, thiết kế, hànhchính, văn phòng Là một chuyên ngành của toán học, tối ưu véctơ được manhnha trong khoảng đầu thế kỷ này từ các công trình về lý thuyết cân bằng kinh

tế của Edgeworth, khái niệm hữu hiệu của Pereto cùng với các cơ sở toán họccủa không gian thứ tự do Cantor và Hausdorff đề xướng Tuy nhiên phải đợiđến năm năm mươi, sau khi Kubn-Tucker đăng công trình về điều kiện cần và

đủ của hữu hiệu, Debreu đăng công trình về cân bằng đánh giá và tối ưu Pareto,thì tối ưu vectơ mới có những bước phát triển mạnh mẽ, đặt biệt trong ba mươinăm trở lại đây, về cả mặt lý thuyết và ứng dụng Tuy nhiên có một điều đáng

ghi nhận là trong số các công trình đã được đăng và xuất bản về chuyên ngànhtối ưu véctơ, thì lĩnh vực ứng dụng đã thu hút được sự quan tâm của các tácgiả nhiều hơn hẳn so với lĩnh vực lý thuyết Nhiều tác giả nghiên cứu và đã thuđược những thành công nhất định Các nghiên cứu về các hàm vectơ lồi chưa

có được sự sâu sắc toàn diện, hệ thông như trường hợp vô hướng Do đó nhiềukết quả đẹp, hữu ích trong giải tích lồi chưa được mở rộng sang cho trường hợpvectơ cũng như những ứng dụng của các hàm đó trong bài toán véctơ còn hạnchế

Trong lý thuyết tối ưu, người ta phân ra tối ưu trơn và không trơn Đối với cácbài toán tối ưu trơn, ta có thể tìm được điều kiện cần và đủ thông qua các đạohàm cấp 1,2, Từ đó, ta có thể xây dựng được những thuật toán tìm nghiệmmột cách tương đối thuận lợi dựa trên phương pháp Newton Đối với các bàitoán tối ưu không trơn, ta gặp nhiều khó khăn hơn trong việc tìm các điều kiệncần và đủ tối ưu Đối với qui hoạch tuyến tính, năm 1947 Danzig đã tìm ra thuậttoán đơn hình để giải ra nghiệm Những năm 1960, nhà toán học Mỹ Rockafel-lar [6] đã đưa ra khái niệm dưới vi phân hàm lồi Dựa trên khái niệm này ông

đã tìm được các điều kiện cần và đủ cho bài toán qui hoạch lồi và từ đó xâydựng được thuật toán để giải Tiếp theo, đối với bài toán qui hoạch Lipschitz,những năm 1970, 1980, nhà toán học Mỹ, Clarke đưa ra khái niệm dưới vi phânhàm Lipschitz địa phương và tìm ra phương pháp giải bài toán này Tiếp sau

đó, nhiều người cũng đã tìm ra nhiều khái niệm dưới vi phân khác để giải cácbài toán tối ưu không trơn cho trường hợp vô hướng và cả trường hợp vectơ,như Penot, Strodiot, Nguyen Van Hien, Jeykumar và Dinh The Luc [5], Ýtưởng chung của các dưới vi phân này là, xấp xỉ hàm tại mọi điểm bằng một tậphợp thay vì một phân tử như trường hợp hàm khả vi Những khái niệm này đã

được nhiều người mở rộng cho trường hợp vectơ Với mong muốn tìm hiểu sâu

về vấn đề này, tôi đã chọn đề tài “dưới vi phân hàm lồi vectơ và ứng dụng ”.

Nội dung chủ yếu của luận văn là nghiên cứu, tìm hiểu về tính chất của dưới viphân hàm vectơ lồi và giới thiệu một số ứng dụng của nó vào tối ưu hóa

Ngoài phần mở đầu và kết luận, Luận văn bố cục gồm hai chương

Chương 1: Một số vấn đề cơ bản của giải tích lồi Trình bày những khái niệm

cơ bản của giải tích lồi, những tính chất quan trọng của tập lồi, tập affine, hàmlồi, và liên tục, tính Lipschitz địa phương của hàm lồi, dưới vi phân của hàmlồi

Chương 2: Hàm vectơ lồi và Dưới vi phân của hàm lồi véctơ lồi Định nghĩa

hàm véctơ lồi dựa trên thứ tự sinh bởi nón, định nghĩa khái niệm dưới vi phâncủa hàm vectơ lồi và đưa ra những tính chất cơ bản của nó Tìm một số mối liênquan giữa dưới vi phân của hàm vectơ lồi và tính đơn điệu của đạo hàm trongtrường hợp hàm khả vi Ứng dụng dưới vi phân hàm vectơ lồi vào bài toán tối

ưu Trình bày khái niệm tổng quát về bài toán tối ưu, điều kiện để có một bàitoán có lời giải tối ưu và một số bài toán tối ưu

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 12 năm 2015

Đặng Thị Ngạn

Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 01/2014-1/2016

Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Email: dangthingan1983@gmail.com

Chương 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH LỒI

Chương này được viết dựa trên cuốn sách Lý thuyết tối ưu không trơn của

Nguyễn Xuân Tấn và Nguyễn Bá Minh [2] Phần lớn các chứng minh các kếtquả trong luận văn này chúng tôi không trình bày ở đây Người đọc có thể tìmtrong cuốn sách nói trên

Các kết quả trong luận văn này vẫn đúng trong không gian vô hạn chiều Đểtrực quan cho người đọc và dễ trình bày, chúng tôi chỉ trình bày trong khônggian hữu hạn chiều Rn

1.1 Tập lồi

Tập lồi là một khái niệm cơ bản của giải tích lồi Một số tập lồi mà chúng

ta đã thấy nhiều như đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn, tam giác Dưới đâytác giả trình bày đinh nghĩa và một số tính chất của tập lồi

Tập lồi là một khái niệm cơ bản của giải tích lồi được định nghĩa như sau.

Định nghĩa 1.3 Tập C ∈ Rn được gọi là tập lồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi

qua 2 điểm bất kỳ của nó Tức là, C là tập lồi khi và chỉ khi

ii) Cho Ai là các tập lồi đóng trong Rn, ∀λi ∈ R, i = 1, n Khi đó tập

iii) Cho Ai là các tập lồi, i = 1, n thì tập A = A1 × A2 × An là một tập lồi.

Mệnh đề trên cho thấy rằng lớp các tập lồi là đóng với các phép giao, phép cộngđại số và phép nhân tích Descartes

Định nghĩa 1.4 Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (vectơ) x1, x2, , xk nếu

Mệnh đề 1.2 Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các

điểm của nó tức A là lồi khi và chỉ khi

Nhận xét 1.1 a) coA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A.

b)A là một tập lồi khi và chỉ khi A = coA

Định nghĩa 1.6 Giao của các tập lồi đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của

tập A và ký hiệu coA

Định lý 1.1 Bao lồi đóng của tập A bằng bao lồi đóng của tập A Tức

coA = coA

1.1.2 Tập Affine

Tập Affine là một trường hợp riêng của tập lồi mà chúng ta đã được làmquen như: không gian con, siêu phẳng

Định nghĩa 1.7 Một tập được gọi là tập Affine nếu nó chứa đường thẳng đi

qua 2 điểm bất kỳ của nó tức là

∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ A

Định nghĩa 1.8 Siêu phẳng trong không gian Rn là một tập hợp các điểm códạng

{x ∈ Rn : aTx = α, a ∈ Rn, a 6= θ, α ∈ R}

Nhận xét 1.2 1)Tập Affine là một trường hợp riêng của tập lồi.

2) Mọi siêu phẳng đều là tập Afine và nó chia không gian làm 2 nửa khônggian

Mệnh đề 1.3 M 6= ∅ là tập Affine khi và chỉ khi nó có dạng M = L + a với L

là một không gian con và a ∈ M Không gian con L được xác định này là duy nhất.

Trong mệnh đề trên không gian L được gọi là không gian con song song với

M hay không gian con của M

Định nghĩa 1.9 Thứ nguyên (hay chiều) của một tập Affine M là thứ nguyên

(hay chiều) của không gian con của M

Ký hiệu: dimM

Mệnh đề 1.4 Bất kỳ một tập Affine M ⊂ Rn có số chiều r khi và chỉ khi

M = {x ∈ Rn : Ax = b}

Trong đó, A là ma trân cấp (m × n), b ∈ Rm, rankA = n − r.

Định nghĩa 1.10 Ta nói X là tổ hợp Affine của các điểm (véctơ) x1, x2, , xknếu x = Pk

i=1

λixi với Pk

i=1

λi = 1

Định nghĩa 1.11 Giao của tất cả các tập Affine chứa A được gọi là bao Affine

của A và ký hiệu AffC

Mệnh đề sau đây cho ta một tính chất đặc trưng của các điểm độc lập Affine

Mệnh đề 1.5 Các mệnh đề sau đây là tương đương

i) Các điểm x0, x1, , xk độc lập Affine;

ii) Với mỗi i, các điểm xj − xi(j = 0, 1, 2, , k, j 6= i) độc lập tuyến tính trong

Rn.

1.2 Hàm lồi và dưới vi phân của hàm lồi

Trong toán phổ thông chúng ta đã làm quen với khái niệm hàm lồi (Sửdụng tính chất lồi, lõm của hàm số để vẽ đồ thị hàm số, chứng minh bất đẳngthức ) Trong phần này tác giả trình bày khái niệm và một số tính chất của hàmlồi cùng với tính liên tục và một số tính chất của hàm lồi cùng với tính liên tục,tính Lipschitz địa phương của hàm lồi

1.2.1 Hàm lồi

Định nghĩa 1.12 Cho C ⊂ Rn là tập lồi và f : C → R ∪ {∓∞}

i) Tập domf := {x ∈ C : f(x) < +∞} gọi là miền định nghĩa của f.

ii) Tập epif := {(x, α) ∈ C × R : f(x) ≤ α} gọi là trên đồ thi của hàm f.

Định nghĩa 1.13 Cho C 6= ∅, C ⊆ Rn lồi và f : C → R ∪ {∓∞} f là hàm

lồitrên C nếu epif là tập lồi trong Rn+1

Sau đây là một số ví dụ về hàm lồi

5 Hàm chuẩn Euclide

Giả sử x ∈ Rn ta có

f (x) := kxk = x21 + x22 + + x2n

1 2

Khi đó, f là một hàm lồi trên X.

Định lý 1.6 Giả sử f1, f2, , fm là các hàm lồi chính thường trên X Khi đó, hàm

Định lý 1.7 Giả sử fα(α ∈ I) là các hàm lồi trên X Khi đó, hàm sup

α∈I

fα(x),là

hàm lồi.

1.2.2 Tính liên tục, tính Lipschitz địa phương của hàm lồi

Trước khi nghiên cứu tính liên tục của hàm lồi, ta nhắc lại một số khái

niệm liên quan

Định nghĩa 1.15.

i) Hàm f : Rn

→ R được gọi là nửa liên tục dưới đối với E tại một điểm x, nếu

với mọi dãy {xk} ⊂ E, xk → x ta có lim inf f(xk) ≥ f (x);

ii) Hàm f : Rn

→ R được gọi là nửa liên tục trên đối với E tại một điểm x, nếu

với mọi dãy {xk} ⊂ E, xk → x ta có lim inf f(xk) ≤ f (x) (hay f là nửa liêntục trên đối với E tai x nếu f nửa liên tục dưới đối với E tại x;

iii) Hàm f là nửa liên tục đối với E tại x nếu nó vừa là nửa liên tục trên vừa là

nửa liên tục dưới đối với E tại x;

iv) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới đối với E trong tập A nếu nó là nửa liên

tục dưới đối với f tại mọi điểm thuộc tập A;

v) Hàm f được gọi là nửa liên tục trên đối với E trong tập A nếu nó là nửa liên

tục trên đối với E tại mọi điểm thuộc tập A;

vi) Hàm f vừa là nửa liên tục trên vừa là nửa liên tục dưới đồi với E trên tập A

được gọi là liên tục (nửa liên tục) đối với E trong tập A.

Định nghĩa 1.16.

i) Bao đóng của hàm f là một hàm, kí hiệu clf, có trên đồ thị

epiclf = epif ;

ii) Bao lồi đóng của hàm f là một hàm, ký hiệu cof, có trên đồ thị

epi(cof ) = coepif ;iii) Hàm f được gọi là đóng nếu epif là tập đóng trong Rn

Mệnh đề 1.7 Hàm f là đóng khi và chỉ khi f là nửa liên tục dưới.

Định lý sau đây cho ta các điều kiện để hàm lồi là liên tục.

Định lý 1.8 Cho f là hàm lồi chính thường trên Rn, khi đó các khẳng định sau

là tương đương.

i) f bị chặn trên một lân cận của x0 ∈ Rn;

ii) f liên tục tại x0;

iii) int(epi) 6= ∅;

iv) int(domf ) 6= ∅ và f liên tục trên int(domf ) đồng thời

int(epi) = {(x, α) ∈ Rn × R : x ∈ int(domf), f(x) < α}

Tính Lipschitz của một hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong việc

nghiên cứu những bài toán tối ưu Trước hết ta đưa ra một số khái niệm cơ bảnsau

Định nghĩa 1.17 Một hàm f : D ⊂ Rn

→ R được gọi là Lipschitz trên D nếutồn tại hằng số Lipschitz L ≥ 0 sao cho

kf (x) − f (y)k ≤ L k x − y k, ∀x, y ∈ D

i) Hàm f được goi là Lipschitz địa phương tại điểm x ∈ D nếu tồn tại lân cận

U của x sao cho f Lipschitz trên U ∩ D

ii) Hàm f được goi là Lipschitz địa phương trên tập D ⊂ Rn nếu nó Lipschitzđịa phương tại mọi điểm thuộc D

Mệnh đề 1.8 Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên Rn và bị chặn trên trong một lân cận của một điểm nào đó thuộc một tập mở D ⊆ domf Khi đó

f Lipschitz địa phương trên tập D.

Hệ quả 1.1 Nếu f : Rn

→ R là hàm lồi liên tục tại x0 thuộc tập lồi mở D thì

f Lipschitz địa phương trên D.

1.2.3 Hàm liên hợp và Định lý Fenchel-Moreau trong trường hợp

Phép biến đổi Young-Fenchel

Định nghĩa 1.18 Cho f : X → R Hàm liên hợp của f là hàm f∗ : X∗ → Rđược xác định

f∗(ξ) = sup

x∈X

{ξ(x) − f (x)} , ∀ξ ∈ X∗

Các ví dụ sau đây minh họa cho khái niệm đối ngẫu.

1) Với ξ0 ∈ X∗ và t ∈ R, xét hàm affine f : X → R xác định bởi

Sau đây ta có một số tính chất của hàm liên hợp

Định nghĩa 1.19 Phép biến đổi Young-Fenchel của hàm f hay hàm liên hợp

với f được xác định trên Rn

f∗(x∗) = sup

x∈X

{hx∗, xi − f (x)} (1.1)

Rm, x∗0 ∈ Rn, γ0 ∈ R, λ > 0 Khi đó, f∗(x∗) = λg(λ−1A−1∗(x∗ − x0)) −

∗ − x∗0, A−1y0 > −γ0.

Hệ quả 1.3 Giả sử f là hàm lồi chính thường đóng trên Rn Khi đó,

f (x) = sup{h(x) : h-là affine liên tục, h ≤ f }.

1.2.4 Dưới vi phân của hàm lồi

Ta biết rằng trong trường hợp f là hàm khả vi tại x0 ∈ domf, thì tại lâncận của x0, f được xấp xỉ một cách khá tốt bởi đạo hàm của nó Đối với hàmlồi, nói chung là không liên tục và không khả vi

Định nghĩa 1.20 Đạo hàm theo phương d của f tại x0 ∈ X, ký hiệu f0(x0, d),được xác định như sau

f0(x0, d) = lim

λ→0

f (x0 + λd) − f (x0)

nếu giới hạn tồn tại (có thể hữu hạn hoặc bằng ±∞)

Định nghĩa 1.21 Cho D là một tập lồi không rỗng của X và x0 ∈ D Hướng

d được gọi là chấp nhận được của D tại x0 nếu tồn tại một số λ > 0 sao cho

x0 + λd ∈ D Tập hợp tất cả các hướng chấp nhận được của D tại x0 được kýhiệu là T (D, x0).

Nhận xét 1.4 Nếu f là hàm lồi chính thường trên X thì

i) f0(x0, ) là hàm thuần nhất dương trên X tức là với mọi λ > 0

f0(x0, λd) = λf0(x0, d)

ii) Với mọi x ∈ domf thì f0(x0, ) là dưới tuyến tính

Mệnh đề 1.11 Cho hàm f : X → R là hàm lồi chính thường trên X Khi đó,

f có đạo hàm theo phương tại mọi điểm x0 ∈ domf đồng thời

i) Cho f là hàm lồi, phiếm hàm x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới vi phân (hay dưới đạo

hàm) của f tại ¯x nếu

Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại ¯x nếu ∂f(¯x) 6= 0

Dưới đây, tác giả đề cập đến một số tính chất đơn giản của dưới vi phân

Định lý 1.12 f là hàm lồi chính thường trên X, x thuộc domf thì x∗ thuộc ∂f (¯x)

khi và chỉ khi f0(¯x, d) ≥ hx∗, di với mọi d ∈ X.

Mệnh đề 1.12 Giả sử f là hàm thuần nhất dương trên X Khi đó ta có các

khẳng định sau

i) Nếu f liên tục tại mọi điểm của tập U ⊂ X thì f liên tục tại mọi điểm của nón KU sinh bởi tập U , có thể trừ ra điểm 0;

ii) Nếu f liên tục trong một lân cận của 0 thì f liên tục trên X.

Sau đây là một số phép tính về dưới vi phân

Định lý 1.13 (Moreau-Rockafellar) Giả sử f1, , fm là hàm lồi chính thường trên X Khi đó, với mọi x ∈ X ta luôn có

∂(f1 + + fm)(x) ⊃ ∂f1(x) + + ∂fm(x)

Hơn nữa, nếu tại điểm ∩m

i=1domfi, tất cả các hàm f1, , fm liên tục (có thể trừ

ra một hàm), thì

∂(f1 + + fm)(x) = ∂f1(x) + + fm(x)

Định lý 1.14 Giả sử f là các không gian lồi địa phương Hausdorff A : X → Y

là toán tử tuyến tính liên tục f là hàm xác định trên Y Khi đó

A∗∂f (Ax) ⊂ ∂(f A)(x), (∀x ∈ X)

Hơn nữa, nếu f lồi và liên tục tại một điểm nào đó thuộc ImA thì ∀x ∈ X

A∗∂f (Ax) = ∂(f A)(x)

Định lý 1.15 (Định lý giá trị trung bình G.Lebourg) Cho [x, y] là một đoạn

trong tập mở mà hàm f là Lipschitz địa phương Khi đó, tồn tại u ∈ (x, y) sao cho

f (y) − f (x) ∈ {ξ(y − x) | ξ ∈ ∂f (u)}

1.2.5 Bài toán tối ưu lồi

Cho hàm f : D → R Bài toán

min

Được gọi là bài toán tối ưu không ràng buộc Trong thực tế, muốn sản xuất ramột loại hàng hóa nào đó trước hết phải xem có phương án hoặc cách thức nào

đó để sản xuất hay không Chính vì vậy, muốn tìm lời giải của một bài toán tối

ưu, phải có cách nào đó để nhận biết được nghiệm ấy có tồn tại hay không, rồimới đưa ra cách để tìm nó Chính vì vậy, mục đính của phần này là tìm các điềukiện cần và đủ để bài toán tối ưu không trơn có nghiệm Trước hết, ta nhắc lạikhái niệm về các loại nghiệm của bài toán tối ưu

Như vậy bài toán tìm cực đại có thể xây dựng từ bài toán tìm cực tiểu Trongphần này, ta quan tâm đến bài toán tìm cực tiểu.

Định nghĩa 1.24 Điểm x0 ∈ Dđược gọi là điểm cực tiểu địa phương của hàm

f trên D nếu tồn tại lân cận U của điểm x0 sao cho

Điều kiện đủ Giả sử f(D)+ = [f (x0), +∞)là đóng và bị chặn dưới Gọi α0 làinfimun của tập này thì α0 > −∞ Mặt khác f(D)+ là đóng nên α0 ∈ f (D).Theo định nghĩa ta có f(x) ≤ α0, ∀x ∈ D, mà f(x) ∈ f(D) nên suy ra

f (x0) = f (α0), chứng tỏ rằng x0 là điểm cực tiểu của f trên D

Định lý 1.17 Nếu D là tập compact và f là nửa liên tục dưới trên D thì f đạt

cực tiểu toàn cục trên D.

Chứng minh Đặt α0=inff(D) theo Định nghĩa của inf tồn tại dãy

αn → α0, αn ∈ f (D), ∀n

Tức là tồn tại dãy {xn} ⊂ D sao cho f(xn) → α0 do D là tập compact nên tồntại dãy con xnk của dãy xn hội tụ tới x0 Do tính liên tục dưới của f qua giớihạn ta được

→ R ∪ {+∞} là hàm lồi Khi đó mọi cực tiểu

địa phương của hàm f trên tập lồi đều là điểm cực tiểu toàn cục Hơn nữa tập các điểm cực tiểu là một tập lồi Nếu f lồi chặt, thì điểm cực tiểu (nếu có) là duy nhất.

Chứng minh Cho tập lồi C ⊂ Rn Gọi x∗ là điểm cực tiểu của f trên C Khi

đó, tồn tại lân cận U của x∗ sao cho f(x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ U ∩ C Suy ra

xλ = (1 − λ)x∗ + λx ∈ U ∩ C, (∀x ∈ C, λ ∈ (0, 1)

Ta có f(x∗) ≤ f (xλ) ≤ (1 − λ)f (x∗) + λf (x)

Vậy , x∗ là cực tiểu toàn cục

Nếu x∗, y∗ là các cực tiểu toàn cục thì f(x∗) ≤ f (y∗), f (y∗) ≤ f (x∗) Do đó,

f (x∗) = f (y∗) ≤ f (x), ∀x ∈ C

Lấy z∗ = λx∗ + (1 − λ)y∗.Do C là tập lồi nên

f (z∗) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (x) = f (x), ∀x ∈ C

Vậy, z∗ cũng là điểm cực tiểu toàn cục

Như vậy, tập các điểm cực tiểu của f trên C là tập lồi Dễ thấy, nếu f lồi chặtthì điểm cực tiểu (nếu có) là duy nhất

vô hướng như là các trường hợp riêng Chương này được viết dựa trên cơ sở củabài báo [6] do Đinh Thế Lục, Nguyễn Xuân Tấn và Phan Nhất Tĩnh công bốtrên tạp chí Acta Mathematica Vietnammica.

2.1 Một số khái niệm

Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm nón để tạo ra trên không gian tô pôtuyến tính lồi địa phương một quan hệ thứ tự từng phần Từ đó ta có thể xâydựng môn giải tích vectơ lồi

2.1.1 Nón

Trong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết trò chơi và nhiều bộmôn toán ứng dụng khác, khái niệm về nón có một vai trò quan trọng

Định nghĩa 2.1 Một tập N được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu

∀λ > 0, ∀x ∈ N ⇒ λx ∈ N

N được gọi là nón có đỉnh tai x0 nếu N − x0 là nón có đỉnh 0

Định nghĩa 2.2 Nón N được gọi là nón lồi nếu N là một tập lồi.

Ví dụ 2.1 A = {x ∈ R : x 6= 0} là một nón không lồi.

B = {x ∈ Rn : Ax ≥ 0}(với A là ma trận thực cấp hữu hạn) là một nón lồi

Mệnh đề 2.1 Tập N được gọi là một nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất

Định nghĩa 2.3 Cho N là tập lồi trong Rn một véctơ y khác vectơ θ được gọi

là hướng lùi xa của N nếu mọi tia xuất phát từ điểm bất kỳ của N theo hướng

y đều nằm trọn trong N Tức y là hướng lùi xa khi và chỉ khi

Tập C2 = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x2}.có nón lùi xa của tập C2 trong R2 là

i) Nón C ∈ Rm được gọi là nón nhọn nếu lC := C ∩ −C = {0};

ii) Cho C ∈ Rm là một nón lồi Khi ấy C được sinh ra một thứ tự từng phần trên

Định nghĩa 2.6 Giả sử A ⊆ Rm là tập hợp khác rỗng và giả sử a ∈ A Ta nóirằng

i) a là điểm hữu hiệu lý tưởng (hoặc cực tiểu lý tưởng) của A đối với C nếu

a  x, ∀x ∈ A Tập hợp các điểm hữu hiệu lý tưởng của A được ký hiệu

IM in(A|C);

ii) a là điểm hữu hiệu pareto (hoặc cực tiểu pareto) của A đối với C nếu ∀x ∈

A, x  a ⇒ a  x

Tập các điểm hữu hiệu pareto của A được ký hiệu Min(A|C)

Định nghĩa 2.7 Khi C là nhọn và IMin(A|C) là khác rỗng thì IMin(A|C)

là một tập hợp gồm một phần tử và Min(A|C) = IMin(A|C)

Các khái niệm Max và IMax là xác định tương tự

Dễ thấy −MinA = Max(−A)

Định nghĩa 2.8 Giả sử A ⊆ Rm là tập hợp khác rỗng Ta nói điểm x ∈ Rm là

một cận trên đúng của A (đối với nón C) nếu x  a, (∀a ∈ A).

Tập các cận trên của A ký hiệu là Ub(A | C)

Khái niệm cận dưới được định nghĩa một cách đối ngẫu Cũng ký hiệu Lb(A |C)được dùng để chỉ tập các cận dưới của A

Tập A được gọi là bị chặn trên (Bị chặn dưới) nếu Ub(A | C) 6= ∅, (Lb(A |C) 6= ∅.)

Định nghĩa 2.9 Giả sử A là tập khác rỗng và giả b ∈ Rm Ta nói rằng

i) b là điểm cận trên bé lý tưởng của A đối với C nếu b ∈ IMin(UbA|C), nghĩa

Tập hợp các điểm cận trên lý tưởng của A được ký hiệu ISup(A|C);

ii) b là cận trên đúng của A đối với C nếu b ∈ Min(UbA|C), nghĩa là

Tập hợp các điểm cận trên đúng của A được ký hiệu Sup(A|C)

Chú ý 2.1 Nếu IsupA khác rỗng thì IsupA = SupA Thêm vào đó, nếu nón

C là nhọn, IsupA là một tập hợp đơn phân tử

Định lý 2.1 Cho A là một tập con khác rỗng được sắp thứ tự tuyến tính của

Rm Khi đó, ISupA tồn tại khi và chỉ khi A bị chặn trên.

Nhắc lại một số khái niệm

Giả sử f : D ⊂ X → Y Trên đồ thị của f là

ii) Hàm vectơ f được gọi là đóng (hay C-đóng) nếu epif đóng trong không gian

với mọi x, y ∈ D, t ∈ [0, 1] tùy ý.

Chứng minh Giả sử f là C- lồi Theo Định nghĩa 2.10 (i) trên epif là tập lồi

trong không gian tích X × Rm Khi đó, với mọi x, y ∈ D, t ∈ [0, 1] tùy ý, ta có

t(x, f (x)) + (1 − t)(y, f (y)) ∈ epifhay

(tx + (1 − t)y, tf (x) + (1 − t)f (y)) ∈ epif

Theo định nghĩa trên đồ thị của f, ta có

tf (x) + (1 − t)f (y) ∈ f (tx + (1 − t)y) + C

Vậy

f (tx + (1 − t)y)  tf (x) + (1 − t)f (y),với mọi x, y ∈ D, t ∈ [0, 1] tùy ý

Ngược lại, giả sử D là tập lồi và 2.1 thỏa mãn, ta chứng minh epif là tập lồi

và theo định nghĩa 2.10i), suy ra f là hàm vectơ lồi Với mọi (x, α1), (y, α2) ∈epif và t ∈ [0, 1] tùy ý, ta có

tx + (1 − t)y ∈ D,

do D là tập lồi và, x, y ∈ D, t ∈ [0, 1] Áp dụng giả thiết 2.1, định nghĩa trên

t(x, α1) + (1 − t)(y, α2) ∈ epif

Định lý được chứng minh

Hệ quả 2.1 Cho K là một nón lồi trong không gian Rm chứa C, khi đó nếu hàm vectơ f là C lồi thì hàm vectơ f là K lồi.

Chứng minh Áp dụng Định lý 2.2 cho hàm vectơ C-lồi f, ta có D là tập lồi.

Với mọi x, y ∈ D, t ∈ [0, 1] tùy ý, ta có

Mệnh đề 2.2 Cho các hàm véctơ lồi f1, f2 từ D vào Rm và một số thực λ ≥ 0 Khi đó các hàm vectơ

Bổ đề 2.1 Giả sử rằng nón thứ tự C ⊂ Rm là đóng và lồi Cho f là hàm vectơ

từ tập lồi khác rỗng D ⊂ Rn và Rm Khi đó

i) f là hàm lồi đối với nón C nếu và chỉ nếu ξf là lồi với mọi ξ ∈ C0 \ {0};

ii) Giả sử rằng intC 6= ∅ là lồi ngặt đối với nón C nếu và chỉ nếu ξf lồi ngặt, với mọi ξ ∈ C0 \ {0}

Bổ đề 2.2 Giả sử không gian Rm

được sắp thứ tự bởi một nón lồi C ⊂ Rm Cho f là một hàm véctơ từ một tập lồi khác rỗng D ⊂ Rnvào Rm Nếu f đóng,