Tính ổn định của dưới vi phân hàm không lồi trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2LÊ MINH HOÀN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM KHÔNG LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ MINH HOÀN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM

KHÔNG LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ MINH HOÀN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM

KHÔNG LỒI TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2017

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Văn Bằng - trườngĐại học sư phạm Hà Nội 2 đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình để tôi hoànthành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học

sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập vừa qua

Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia sẻ, giúp

đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2017

Học viên

Lê Minh Hoàn

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự chỉ bảo và hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Văn Bằng

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2017

Tác giả

Lê Minh Hoàn

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Các ký hiệu 1

Mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Không gian Banach 5

1.2 Dưới vi phân của hàm lồi 9

1.3 Dưới vi phân của hàm không lồi 11

Chương 2 Tính ổn định của dưới vi phân hàm không lồi 24 2.1 Tính ổn định 24

2.2 Ứng dụng đối với phương trình Hamilton-Jacobi 36

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

X không gian Banach thực

X∗ không gian đối ngẫu của không gian Banach X

dom(f ) miền hữu hiệu của hàm f

∂f dưới vi phân của hàm lồi f

D−f dưới vi phân Fréchet của hàm f

D+f trên vi phân Fréchet của hàm f

D2,−f dưới vi phân cấp 2 Fréchet của hàm f

D2,+f trên vi phân cấp 2 Fréchet của hàm f

Lp(Ω) không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên Ω

lp không gian các dãy lũy thừa bậc p khả tổng

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, đạo hàm là công cụ cơ bản và cổ điển nhất nghiêncứu các tính chất của hàm như tính tăng, giảm, các điểm cực trị Tuynhiên đạo hàm chỉ có thể tính đối với lớp hàm khả vi, nhưng trong thựctiễn không phải lúc nào chúng ta cũng có các hàm khả vi Dưới vi phân

có thể thay thế đạo hàm khi lớp hàm chúng ta xét không nhất thiết phảikhả vi Điều này cho chúng ta thấy vai trò của dưới vi phân trong giải tíchhiện đại cũng có tầm quan trọng như vai trò của đạo hàm trong giải tích

cổ điển Dưới vi phân có rất nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến vàđặc biệt trong các bộ môn toán ứng dụng như tối ưu hóa, bất đẳng thứcbiến phân (xem [1]-[3], [5]-[11])

Khái niệm dưới vi phân của hàm không lồi được đưa ra vào những nămđầu thập kỷ 60 của thế kỷ XX Đến những năm 1980 thì khái niệm dưới

vi phân tổng quát đối với hàm không lồi được đưa ra Khái niệm dưới viphân ra đời mở ra một kỷ nguyên mới cho lĩnh vực giải tích không trơn

phát triển rực rỡ, đặc biệt là lí thuyết tối ưu không trơn lí thuyết phươngtrình đạo hàm riêng và lí thuyết điều khiển tối ưu Vì những lý do này,dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng tôi chọn đề tài : “Tính ổn địnhcủa dưới vi phân hàm không lồi trong không gian Banach”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính ổn định của dưới vi phân hàm không lồi trong khônggian Banach và ứng dụng các kết quả đó trong việc chỉ ra sự tồn tại nghiệmnhớt của phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp vô hạn chiều

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu khái niệm và tính chất ổn định của dưới vi phân hàm khônglồi trong không gian Banach;

- Tìm hiểu về nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp 1;

- Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobitrong trường hợp vô hạn chiều

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về tính ổn định của dưới vi phân hàm không lồi trong khônggian Banach và sự tồn tại nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi

trong trường hợp vô hạn chiều.

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích không trơn và lý thuyết nghiệmnhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến

6 Đóng góp của luận văn

Qua đề tài này chúng tôi sẽ xây dựng một bản luận văn là một bài tổngquan về tính ổn định của dưới vi phân hàm không lồi trong không gianBanach và ứng dụng các kết quả đó trong việc chỉ ra sự tồn tại nghiệmnhớt của phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp vô hạn chiều

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về khônggian Banach, dưới vi phân của hàm lồi, dưới vi phân của hàm không lồi.Nội dung của chương này được tham khảo từ các tài liệu [2], [10], [11]

1.1 Không gian Banach

Trong mục này ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về không gianBanach Cho X là không gian véctơ trên trường số thực R

Định nghĩa 1.1.1 Một chuẩn trong X, kí hiệu là k.k, là một ánh xạ từ

X vào R thỏa mãn các tiên đề sau:

Với mọi x, y ∈ X và α ∈R,

(i) kxk ≥ 0;

(ii) kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

(iii) kαxk = |α| kxk;

(iv) kx + yk ≤ kxk + kyk| (bất đẳng thức tam giác).

Một không gian tuyến tính X cùng với một chuẩn k.k xác định trongkhông gian ấy được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu(X, k.k) hayđơn giản là X

Mệnh đề 1.1.2 Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn k.k Với mọi

x, y ∈ X, đặt

d(x, y) = kx − yk

Khi đó d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.3 Nếu không gian định chuẩn (X, k.k) với khoảng cách

d(x − y) = kx − yk là một không gian metric đủ, thì X gọi là không gianBanach

Nếu không nói gì thêm trong luận văn này, không gian Banach được kíhiệu là X Chuẩn trong không gian Banach kí hiệu là k.k Hình cầu đơn

vị (đóng) và mặt cầu đơn vị trong X kí hiệu lần lượt là các tập hợp

BX := {x ∈ X : kxk ≤ 1} , SX := {x ∈ X : kxk = 1}

Một số ví dụ về không gian Banach

Ví dụ 1.1.4 Ta có :

1 Không gian tuyến tính Rk với chuẩn kxk = Pk

i=1|x(i)| là không gian

x = x(t) trên Ω sao cho ess supΩ|x(t)| < +∞ với chuẩn kxk = supΩ|x(t)|

là không gian Banach

3 Không gian tuyến tính lp(1 ≤ p < ∞) tất cả các dãy số thực x = (x(i))

sao cho chuỗi

4 Không gian tuyến tính C [a, b] các hàm thực liên tục trên một đoạn

[a, b] với chuẩn kxk = max

[a,b]

|x(t)| là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.5 Cho X là không gian định chuẩn với chuẩn k.k Ánh

xạ tuyến tính x∗ : X → R gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục xác

với chuẩn xác định bởi

kx∗k = sup

x6=0

|< x∗, x >|

kxk

là một không gian Banach

Ví dụ 1.1.7 Không gian đối ngẫu của Lp(Ω), lp(1 < p < ∞) lần lượt làkhông gian Lq(Ω), lq với q là số mũ liên hợp của p, tức là 1p + 1q = 1 Đặcbiệt không gian đối ngẫu của L1(Ω), l1 tương ứng là L∞(Ω), l∞

Định nghĩa 1.1.8 Không gian liên hợp của không gian X∗ gọi là khônggian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu X∗∗ Nhưvậy X∗∗ = (X∗)∗

Định nghĩa 1.1.9 Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ,nếu X = X∗∗

Ví dụ 1.1.10 Các không gian Lp(Ω), lp(1 < p < ∞) là các không gianphản xạ

Ta có nếu X phản xạ thì X là một không gian Banach

Định nghĩa 1.1.11 Không gian Banach X được gọi là tách được nếu nó

có một tập con đếm được trù mật

Ví dụ 1.1.12 Các không gian Lp (1 ≤ p < ∞), C [a, b] là không giantách được Các không gian L∞(Ω), l∞ không tách được

1.2 Dưới vi phân của hàm lồi

Trong mục này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản nhất củadưới vi phân của hàm lồi

Định nghĩa 1.2.1 (Hàm lồi) Cho X là không gian Banach thực Hàm

f : X → R được gọi là lồi, nếu

f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y), ∀x, y ∈ X, t ∈ [0, 1]

Miền hữu hiệu của f là tập

dom(f ) := {x ∈ X : f (x) ∈ R}

Hàm lồi f được gọi là chính thường nếu dom(f ) 6= ∅

Định nghĩa 1.2.2 (Dưới vi phân hàm lồi) Cho f là hàm lồi trên X

Phiếm hàm x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới gradient của hàm f tại x ∈ X, nếu:

Định nghĩa 1.2.5 Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu tập

nếu giới hạn này tồn tại (có thể hữu hạn hoặc ±∞).

1.3 Dưới vi phân của hàm không lồi

Cho X là không gian Banach và f là hàm số từ X vào R ∪ {+∞}

Trong mục trước, chúng ta đã biết khái niệm dưới vi phân trong trườnghợpf lồi Nếuf không nhất thiết lồi thì có một số khái niệm dưới vi phân.Chẳng hạn, trong trường hợp f Lipschitz địa phương ta có khái niệm dưới

vi phân Clarke:

Định nghĩa 1.3.1 (Gradient suy rộng Clarke) Cho f là hàm Lipschitzđịa phương trên không gian Banach X

i) Đạo hàm theo hướng suy rộng Clarke của f tại điểm x ∈ X theohướng h ∈ X là

Khi f là hàm bất kỳ, ta có khái niệm dưới vi phân và trên vi phânFréchet sau:

Định nghĩa 1.3.2 (Dưới vi phân Fréchet) Cho x ∈ X sao cho f (x) <+∞ Ta định nghĩa dưới vi phân Fréchet của f tại x bởi:

và trên vi phân Fréchet D+f của f là tập:

= lim

x→0 +(2 − x) = 2

= lim

x→0 −(x − 2) = −2

Vậy ϕ0(0) ≥ 2 và ϕ0(0) ≤ −2 điều này vô lý, hay D+f (0) = ∅

Nhận xét 1.3.4 Dễ thấy rằng khif là hàm lồi thì các tậpD−f (x) , ∂f (x)

trùng nhau

Khái niệm dưới vi phân Fréchet được sử dụng nhiều trong Giải tíchgần kề và trong việc định nghĩa nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi Trong luận văn này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu tính chất

ổn định của dưới vi phân và trên vi phân dưới những giả thiết tổng quáttrong không gian Banach

Định nghĩa 1.3.5 (Hàm bướu) Hàm bướu b trên X là một hàm số khôngđồng nhất bằng 0 từ X vào R và có giá bị chặn

Mệnh đề sau cho thấy, sự tồn tại một hàm bướu trơn trên X sẽ đảmbảo rằng các hàm trơn trên X là đủ nhiều cho phép thực hiện các phéptính trong X

Mệnh đề 1.3.6 ([9], Proposition 8.1.2) Cho p ∈ X∗ Ta giả sử rằng:

(∗) Tồn tại một hàm bướu b trên X sao cho b là Lipschitz và C1 Khi

đó các khẳng định sau là tương đương:

điều này là vô lý, hay D+f (0) = ∅ Ta lại có

Ví dụ 1.3.10 Cho X là không gian Banach thỏa mãn(∗) (chẳng hạn, lấy

X là không gian Banach tách được với đối ngẫu không tách được) và xét

f (x) = −kxk2 Khi đó f khả vi Fréchet tại 0, do đó điều kiện (2) và (20)

thỏa mãn với x = 0 và p = 0 Nếu điều kiện (1) là đúng, lấy ϕ : X → R

là C1 sao cho f − ϕđạt cực tiểu tại 0 Không mất tính tổng quát ta có thểgiả sử rằng ϕ (0) = 0 Do đó ϕ (x) ≤ −kxk2 Nếu b : R → R là Lipschitz,

C1 và thỏa mãn b(0) = 1 và b(t) = 0 nếu t ≤ −r trong đó 0 < r < 1

sao cho Dϕ là bị chặn trong hình cầu B (0, r) Khi đó hàm số b ◦ ϕ là

C1, Lipschitz và bướu trên X với giá trong hình cầu đơn vị, điều này mâuthuẫn với giả thiết (∗) không thỏa mãn

Tiếp theo ta định nghĩa dưới vi phân và trên vi phân cấp hai:

Định nghĩa 1.3.11 (Dưới vi phân Fréchet cấp hai) Cho x ∈ X sao cho

f (x) < +∞ Dưới vi phân cấp hai (Fréchet) của f tại x là tập:

trong đóB(X) là không gian tất cả các dạng song tuyến tính đối xứng trên

X Các trên vi phân cấp hai D2,+f (x) và D2,+f được định nghĩa tươngtự

Nguyên lý biến phân trơn sau đây sẽ là công cụ chính để nghiên cứutính ổn định của các dưới vi phân Trước khi bắt đầu, ta nhắc lại kháiniệm cực tiểu mạnh:

Định nghĩa 1.3.12 (Cực tiểu mạnh) Ta nói ánh xạ f : X → R∪ {+∞}

có cực tiểu mạnh tại điểm x ∈ X nếu:

(i)f (x) = inf {f (y) ; y ∈ X}.

(ii) Nếu (yn) ⊂ X thỏa mãn limn→∞f (yn) = f (x) thì (yn) hội tụ đến

x

Định lý 1.3.13 (Nguyên lý biến phân trơn) ChoX là không gian Banach

và f : X → R∪ {+∞} là hàm số bị chặn dưới, nửa liên tục dưới sao cho

f không đồng nhất +∞ Ta giả sử:

(∗) Tồn tại một hàm bướu b trên X sao cho b là C1 và Lipschitz (tươngứng, (∗∗) tồn tại một hàm bướu btrên X sao cho b làC2 và b0 là Lipschitz).Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại g : X → R là C1 (tương ứng, C2) sao cho

(1) f + g đạt cực tiểu mạnh tại điểm x0

Một hệ quả của Định lý 1.3.13 là:

Hệ quả 1.3.15 Cho X là không gian Banach thỏa mãn (∗) (tương ứng,

(∗∗)) Cho f : X → R∪ {+∞} bị chặn dưới, nửa liên tục dưới và khôngđồng nhất bằng +∞ Khi đó tồn tại xn ∈ X, pn ∈ D−f (xn) (tương ứng,

(pn, Qn) ∈ D2,−f (xn)) sao cho

(i) f (xn) hội tụ đến inf {f (x) ; x ∈ X}

(ii) kpnk tiến đến 0 (tương ứng, kpnk và kQnk tiến đến 0 )

Chứng minh Áp dụng Định lý 1.3.13 với ε = 1n : tồn tại gn ∈ Y sao cho

f +gn đạt cực tiểu mạnh tại diểmxn vàkgnkY < ε Do đópn = −gn0 (xn) ∈

D−f (xn) (tương ứng, (pn, Qn) = (−g0n(xn) , −g00n(xn)) ∈ D2,−f (xn)) và

kpnk ≤ kg0nk∞ ≤ kgnkY ≤ n1 (tương ứng, kpnk ≤ 1n và kQnk ≤ n1) Cuốicùng (f + gn) (x) ≥ (f + gn) (xn) với mỗi x ∈ X Do đó

Hệ quả 1.3.16 Cho X là không gian Banach thỏa mãn (∗) (tương ứng,

(∗∗)), f : X → R là nửa liên tục dưới Khi đó f dưới khả vi trên một tập

con trù mật của X (tương ứng, tập tất cả các x ∈ X sao cho D2,−f (x) 6= ∅

là trù mật trong X)

Tương tự nếu f : X → R là nửa liên tục trên, khi đó f trên khả vitrên một tập con trù mật của X (tương ứng, tập tất cả các x ∈ X sao cho

D2,+f (x) 6= ∅ là trù mật trong X)

Hệ quả là, nếu f : X → R liên tục, thì tồn tại hai tập con trù mật D1

và D2 của X sao cho D−f (x) 6= ∅ với mọi x ∈ D1 và D+f (x) 6= ∅ vớimọi x ∈ D2 (tương ứng, D2,−f (x) 6= ∅ với mọi x ∈ D1 và D2,+f (x) 6= ∅

với mọi x ∈ D2 ) Tuy nhiên quan sát thấy rằng nếu f là liên tục và khôngđâu khả vi (điều này là có thể thậm chí khi X = R) thì D1 ∩ D2 = ∅ và

vì thế D1 và D2 nói chung là không thừa

Chứng minh Hệ quả 1.3.16 Ta đưa ra chứng minh trong trường hợp X

thỏa mãn (∗∗), trường hợp khác cũng tương tự cho x0 ∈ X và ε > 0, xéthàm số h xác định bởi :

Rõ ràng h nửa liên tục dưới và h(x) = +∞ nếu kx − x0k ≥ ε miễn là

b : X → R là C2 và là hàm bướu trên X với giá trong B(0; ε) Hơn nữa f

là nửa liên tục dưới, nên nó bị chặn dưới địa phương Như vậyh sẽ bị chặndưới nếu giá của b chứa trong một hình cầu B(0; α) với α ≤ ε đủ nhỏ

Một ứng dụng của Định lý 1.3.13 cung cấp cho ta một hàm g ∈ Y sao cho

h + g đạt cực tiểu mạnh tại một điểm y0 ∈ X Tất nhiên g (y0) < +∞ và

vì thế ky0 − x0k < ε Mặt khác,

(p, Q) = (−(b(y0−x0)−2)0−g0(y0), −(b(y0−x0)−2)00−g00(y0)) ∈ D2,−f (y0)

Do vậy tập tất cả các y ∈ X sao cho D2,−f (y) 6= ∅ là trù mật trong X

Hệ quả trên có thể được sử dụng để chỉ ra một không gian Banachkhông thỏa mãn (∗) hoặc (∗∗) Ví dụ, nếu chuẩn của X là không đâu khả

vi - đây là trường hợpX = l1(N) - khi đó chuẩn là hàm số liên tục trên X,

không đâu trên khả vi nên X không thỏa mãn (∗) bởi Hệ quả 1.3.16 Mặtkhác, nếu X = lp(N) với p < 2, thì X không thỏa mãn (∗∗) Ta chứngminh khẳng định cuối cùng này Trước hết ta thấy rằng nếu f : X → R

thỏa mãn D2,+f (x) 6= ∅ tại một điểm x ∈ X, thì tồn tại ϕ : X → R là

C2 sao cho f − ϕ đạt cực đại tại x Suy ra

Chương 2

Tính ổn định của dưới vi phân hàm không lồi

2.1 Tính ổn định

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày tính ổn định của dưới vi phân

và trên vi phân của hàm không lồi Cho (fn) là một dãy các hàm số nửaliên tục dưới trên X hội tụ theo một nghĩa nào đó Mục đích của chúng

ta ở đây là chứng minh các bao hàm thức kiểu D−f ⊂ lim infn→∞D−fn

hoặc D2,−f ⊂ lim infn→∞D2,−fn dưới các giả thiết phù hợp về X Trướchết ta nhắc lại một số định nghĩa:

Định nghĩa 2.1.1 (Giới hạn của dãy tập hợp) Cho (An) là một dãy cáctập con của không gian Banach E Ta định nghĩa

lim infn→∞An = {x ∈ E; ∃xn ∈ An, sao cho limn→∞xn = x}

lim supn→∞An = {x ∈ E; ∃xn ∈ An , sao cho limn→∞xn = x}

Nếu A = lim infn→∞An = lim supn→∞An, thì ta viết A = limn→∞An.

Trong mục này ta sẽ xét lim infn→∞D−fn trong không gian Banach

E = X × R × X∗ và lim infn→∞D2,−fn trong không gian Banach E =

X ×R× X∗ × B(X) Bây giờ ta giới thiệu khái niệm hội tụ lát của mộtdãy các hàm số nửa liên tục dưới

d (A, B) = inf {ka − bk ; a ∈ A, b ∈ B}

với quy ước d (A, B) = +∞ nếu A hoặc B là rỗng

Định nghĩa 2.1.3 (Hội tụ lát) Cho (fn) là một dãy các hàm số nửa liêntục dưới từ X vào R∪ {+∞} Ta nói rằng (fn) là hội tụ lát đến f và viết

f = τs − limn→∞fn nếu với mọi lát S = S (ρ, p, x0, η) ta có

lim

n→∞d (S, epi fn) = d (S, epi f ) ,

trong đó epi f = {(x, α) ∈ X ×R; α ≥ f (x)}