Tim kiem tai nang toan hoc quoc te

Tính giá trị nhỏ nhất của n/sn trong mỗi trường hợp sau: C ư k Chứng minh rằng một tam giác nhọn tuỳ ý có thể bị cắt ra bởi các đoạn thẳng thành ba phần theo ba cách khác nhau sao cho m

International Mathematical Talent Search (IMTS)

Translated from English-progenitor by Hàn Ngọc Đức [KoreaGerman]

Các chỗ có dấu (?) có thể chưa chính xác!

Đề nghị bạn đọc kiểm tra và góp ý với người dịch

- 1 - handuc@hello.to

Với mọi số nguyên dương n, lập số n/s(n), ở đó s(n) là tổng các chữ số của n trong hệ thập phân Tính giá trị nhỏ nhất của n/s(n) trong mỗi trường hợp sau:

C ư k

Chứng minh rằng một tam giác nhọn tuỳ ý có thể bị cắt ra bởi các

đoạn thẳng thành ba phần theo ba cách khác nhau sao cho mỗi phần có một trục

đối xứng

Chứng minh rằng có thể chia một tứ diện tuỳ ý thành 6 phần bởi các mặt phẳng hoặc phần mặt phẳng sao cho mỗi một phần có một mặt phẳng đối xứng

Số nguyên nhỏ nhất là bội số của 9997, khác 9997, chỉ chứa một chữ số lẻ, là bao nhiêu?

Chứng minh rằng mọi tam giác có thể chia thành 9 hình ngũ giác lồi không suy biến

Chứng minh rằng nếu x, y và z là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau, và nếu

z

1 y

1 x

1 + = thì x + y, x - z và y - z là các số chính phương

Cho a, b, c và d là diện tích của các mặt tam giác của một tứ diện

và ha, hb, hc, và hd là các đường cao tương ứng của tứ diện Kí hiệu V là thể tích của tứ diện, chứng minh rằng

(a + b + c + d)(ha + hb + hc + hd) ≥ 48V

Chứng minh rằng có vô số số nguyên dương n sao cho hình hộp

cỡ n ì n ì n không thể được ghép bởi các khối lập phương cỡ 2 ì 2 ì 2 và 3 ì 3 ì 3

- 3 - handuc@hello.to

Chú ý rằng nếu tích của hai phần tử khác nhau của tập {1, 16, 27} tăng thêm 9 thì kết quả là một số chính phương Hãy tìm các số nguyên dương n sao cho n + 9, 16n + 9, và 27n + 9 cũng là các số chính phương

Chú ý rằng 1990 có thể "trở thành một số chính phương" (turned into a square) bằng cách thêm một chữ số vào bên phải nó và một số chữ số ở bên trái nó; chẳng hạn 419904 = 6482 Chứng minh rằng 1991 không thể trở thành một

số chính phương bằng cách trên; có nghĩa là, không tồn tại các chữ số d, x, y, sao cho yx1991d là một số chính phương

Tìm k nếu P, Q, R và S là các điểm trên các cạnh của tứ giác ABCD sao cho

k SA

DS RD

CR QC

BQ PB

C D

Cho n điểm với các toạ độ nguyên trên mặt phẳng toạ độ xy Giá trị nhỏ nhất của n để chắc chắn rằng có 3 trong các điểm trên là các đỉnh của một tam giác với diện tích nguyên (chấp nhận 0), là bao nhiêu?

Hai người, A và B chơi trò chơi với một cỗ bài 32 lá A là người bắt đầu, và tiếp đó hai người chơi xen kẽ luân phiên nhau Mỗi người lấy hoặc một lá bài hoặc một số nguyên tố lá bài Cuối cùng tất cả các lá bài được chọn, và người không lấy lá bài cuối cùng là người thua Ai sẽ thắng nếu họ đều chơi theo chiến lược tối ưu?

Dùng mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 đúng hai lần để lập các số nguyên tố khác nhau sao mà tổng càng nhỏ càng tốt Tổng này nhỏ nhất phải bằng bao nhiêu? (Chú ý: 5 số nguyên tố nhỏ nhất là 2, 3, 5, 7, và 11)

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao mà có thể biểu diễn thành tổng của các số nguyên dương phân biệt a, b, và c sao cho a + b, a + c và b + c là các số chính phương?

Chứng minh rằng một số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng 3x2 + y2 nếu và chỉ nếu nó cũng có thể biểu diễn dưới dạng u2 + uv + v2, ở đó

x, y, u, và v là các số nguyên dương

Cho ∆ABC tuỳ ý, dựng P, Q và R sao cho mỗi một góc tạo thành

là 300 Chứng minh rằng ∆PQR là tam giác đều

- 5 - handuc@hello.to

Tập hợp S gồm 5 số nguyên Nếu mỗi cặp phần tử phân biệt của S

được cộng với nhau thì 10 tổng thu được là 1967, 1972, 1973, 1974, 1975, 1980,

1983, 1984, 1989, 1991 Tìm những phần tử của S?

Cho các số nguyên n ≥ 3 và k ≥ 2, và hình thành các hiệu số (sai phân tiến - forward difference) của các phần tử của dãy

1, n, n2, , nk - 1

và cứ thế lấy các hiệu số liên tiếp của các dòng trên để được dòng dưới, như chỉ

ra trên bảng dưới với (n, k) = (3, 5) Chứng minh rằng các kết quả (số ở dòng cuối cùng) là khác nhau với các cặp (n, k) khác nhau

nó là một "bóng" (ball); nếu số đó lớn hơn hoặc bằng m thì trọng tài gọi đó là một

"cú đánh" (strike) Để "đánh trúng" (hit) nó, bạn phải tìm được đúng giá trị của msau cú đánh thứ 3 hoặc lần đoán thứ 6, tuỳ theo cái nào trước Giá trị lớn nhất của

n là bao nhiêu để tồn tại một chiến lược cho phép bạn đánh (bat) được 1000 điểm, nghĩa là luôn tìm đúng m ? Hãy nêu chi tiết chiến lược đó

Chứng minh rằng nếu f là một hàm thực khác hàm hằng sao cho với mọi x ta có

f(x + 1) + f(x - 1) = 3 f(x)

thì f là hàm tuần hoàn Tìm số dương p nhỏ nhất sao cho f(x + p) = f(x) với mọi x?

Trong ∆ABC (hình vẽ), gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp Gọi

rA, rB, rC là các bán kính của các đường tròn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và với các cạnh của tam giác, tương ứng với các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng:

Chín đường thẳng, cùng song song với một cạnh của một tam giác và chia mỗi cạnh còn lại thành 10 đoạn bằng nhau và chia diện tích thành 10 phần khác nhau Tìm diện tích của tam giác ban đầu, nếu diện tích của phần lớn nhất là 76

Có bao nhiêu cách biểu diễn 1992 dưới dạng tổng của một hoặc nhiều các số nguyên liên tiếp?

Chứng minh rằng tồn tại một lục giác có các góc bằng nhau trên mặt phẳng mà độ dài các cạnh của nó là 5, 8, 11, 14, 23 và 29 đơn vị, theo một thứ

tự nào đó

Một công ty quốc tế có 250 nhân viên, mỗi người có thể nói vài ngôn ngữ Trong mỗi cặp nhân viên (A, B), có một ngôn ngữ được A nói mà B không và có một ngôn ngữ được B nói mà A không Có ít nhất bao nhiêu ngôn ngữ được nói trong công ty?

Một bàn cờ vô hạn (infinite checker-board) được chia bởi một

đường kẻ nằm ngang thành nửa trên và nửa dưới như hình vẽ Một số quân cờ đã

được đặt vào bàn cờ bên dưới đường kẻ (trong các ô) Một "bước đi" (move) là một quân cờ nhảy dọc hoặc ngang qua một quân cờ khác và ăn quân cờ đó

Giá trị nhỏ nhất của n để có thể đặt quân cờ cuối cùng vào dòng thứ 4 phía trên đường kẻ ngang sau n - 1 bước đi là bao nhiêu? Hãy mô tả vị trí ban đầu của các quân cờ và từng bước đi

- 7 - handuc@hello.to

Trong một hình thang ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại E Diện tích của ∆ABE là 72, và diện tích của ∆CDE là 50 Diện tích của hình thang ABCD

là bao nhiêu?

Chứng minh rằng nếu a, b và c là các số nguyên dương sao cho c2

= a2 + b2, thì cả c2 + ab và c2 - ab đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số chính phương

Với n là một số nguyên dương, kí hiệu P(n) là tích của tất cả các

ước số nguyên dương của n Tìm n nhỏ nhất để

P(P(P(n))) > 1012 Khi chép lại trên bảng một dãy 6 số nguyên dương là một cấp số cộng, một sinh viên viết 5 số: 113, 137, 149, 155, 173, và bỏ sót một số Sau đó cậu

ta nhận ra rằng cũng đã chép sai một số trong chúng Bạn hãy giúp cậu ta và tìm lại dãy ban đầu

Cho T = (a, b, c) là một tam giác với các cạnh a, b, và c và diện tích

∆ Kí hiệu T' = (a', b', c') là tam giác với các cạnh là đường cao của T (nghĩa là a' =

ha, b' = hb, c' = hc) và kí hiệu diện tích của nó là ∆' Tương tự kí hiệu T'' = (a'', b'', c'')

là tam giác tạo bởi các đường cao của T', và kí hiệu diện tích của nó là ∆'' Cho ∆' =

30 và ∆'' = 20 Hãy tìm ∆

Chứng minh rằng không có tam giác nào có độ dài các đường cao

là 4, 7 và 10 đơn vị

Như trên hình vẽ, có một số thực x, 0 < x < 1, sao cho ta có thể chia hình vuông đơn vị thành 7 tam giác đồng dạng Khi đó x phải thoả mãn một

đa thức dạng chuẩn bậc 5 Tìm đa thức đó (Đa thức dạng chuẩn là đa thức có hệ

số của bậc cao nhất của x là 1.)

(i) Có thể sắp xếp lại các số 1, 2, , 9 thành a(1), a(2), , a(9) sao

cho các số sau đây đôi một khác nhau hay không? Chứng minh khẳng định của bạn:

1

1 x

|a(1) - 1|, |a(2) - 2|, , |a(9) - 9|

(ii) Có thể sắp xếp lại các số 1, 2, , 10 thành a(1), a(2), , a(10) sao cho các số sau đây đôi một khác nhau hay không? Chứng minh khẳng định của bạn:

|a(1) - 1|, |a(2) - 2|, , |a(10) - 10|

Trong một cuộc chạy 50 mét, Anita có thể chấp Bob nhiều nhất 4 mét và đuổi kịp cậu ta tại vạch đích Trong một cuộc chạy 200 mét, Bob có thể chấp Carol nhiều nhất 15 mét và đuổi kịp cô ta tại vạch đích Giả sử rằng tất cả 3 người luôn chạy với một vận tốc không đổi Hỏi Anita có thể chấp Carol nhiều nhất bao nhiêu mét trong một cuộc chạy đua 1000 mét mà vẫn có thể đuổi kịp cô

Có bao nhiêu con đường có thể đi từ (0, 0) đến (m, n), bằng các bước đi như vậy?

Cho một điểm P và hai đoạn thẳng trên một mảnh giấy hình chữ nhật sao mà giao điểm Q của các đường thẳng chứa chúng không nằm trên mảnh giấy Làm thế nào để dựng đường thẳng PQ với một cái thước nếu chỉ được phép

vẽ trong phạm vi của mảnh giấy? (*)

Một đa giác lồi có 1993 đỉnh được tô màu sao cho hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau Chứng minh rằng người ta có thể chia đa giác thành các tam giác bằng các đường chéo không giao nhau mà hai đầu mút có màu khác nhau

Một tam giác được gọi là Heronian nếu số đo các cạnh và diện tích của nó là các số nguyên Xác định tất cả 5 tam giác Heronian có chu vi và diện tích cùng bằng một số nguyên

Một bộ gồm 5 "Hình lập phương kì ảo" (con xúc sắc - Trick Math Cubes) được cho dưới dạng khai triển phẳng như hình vẽ Một "Pháp sư" (magician) yêu cầu bạn gieo chúng và cộng 5 số ở mặt trên lại Ông ta cũng nhẩm

và viết ngay ra kết quả vào một tờ giấy trước khi bạn cộng xong! Ông ta đã làm thế nào? Trình bày và giải thích trò mẹo này

Tìm x2 + y2 + z2 nếu x, y và z là các số nguyên dương thoả mãn 7x2 - 3y2 + 4z2 = 8 và 16x2 - 7y2 + 9z2 = - 3

Từ ước lượng đơn giản 1 < 3 < 2, hãy suy ra rằng 6 < 3 3 < 7 Với mỗi số nguyên dương n, n ≥ 2, hãy xác định hàm số:

fn(x) = an + bnx + cn|x - dn|,

ở đó an, bn, cn, dn chỉ phụ thuộc vào n, sao cho:

fn(k) = k + 1 với k = 1, 2, , n - 1 và fn(n) = 1

Một túi chứa 1993 bóng đỏ và 1993 bóng đen Chúng ta hãy lấy

đi hai bóng một lúc nhiều lần và

(i) Loại bỏ chúng nếu chúng có cùng màu

(ii) Nếu chúng khác màu, loại bỏ bóng đen và bỏ lại bóng đỏ vào túi

Hỏi xác suất để quá trình sẽ kết thúc với một quả bóng đỏ còn lại trong túi là bao nhiêu?

Cho P là một điểm trên vòng tròn ngoại tiếp của ∆ABC không trùng với A, B và C Giả sử rằng BP cắt AC tại X và CP cắt AB tại Y Cho Q là giao

điểm khác A của hai vòng tròn ngoại tiếp ∆ABC và ∆AXY Chứng minh rằng PQ chia đôi đoạn XY (Các giao điểm khác nhau có thể xảy ra với phần kéo dài của các đoạn thẳng)

Cho n là một số nguyên lớn hơn 5 Chứng minh rằng có nhiều nhất 8 phần tử của tập {n + 1, n + 2, , n + 30} là số nguyên tố

Một 2n-giác lồi được gọi là "Thoi giác" (rhombic) nếu tất cả các cạnh của nó bằng đơn vị dài và nếu hai cạnh đối diện là song song với nhau Một thí dụ minh hoạ được cho trên hình vẽ (với n = 4), một Thoi giác 2n-giác có thể

được chia thành các hình thoi cạnh 1 theo nhiều cách khác nhau Với giá trị nào của n để một Thoi giác 2n-giác có thể được chia thành 666 hình thoi?

Chứng minh rằng nếu 3 trong 4 đường phân giác trong của một

tứ diện đồng quy thì cả 4 đường phân giác ấy phải đồng quy tại một điểm

Cho f(x) = x4 + 17x3 + 80x2 + 203x + 125 Tìm đa thức bậc nhỏ nhất g(x) sao cho f(3 ± 3) = g(3 ± 3 ) và f(5 ± 5 ) = g(5 ± 5 )

Thày giáo viết một số nguyên dương nhỏ hơn 50.000 lên bảng Một sinh viên xác nhận đó là một bội của 2; một sinh viên thứ hai nói rằng nó là một bội của 3; và cứ như vậy cho đến khi sinh viên thứ 12 nói rằng nó một bội của 13 Thày giáo quan sát và thấy rằng trừ hai sinh viên ra thì tất cả những người khác nói đúng Và hai sinh viên phát biểu sai nói cách nhau một người khác Hỏi số được viết trên bảng là số nào?

Một hình 12-giác đều được nội tiếp trong một hình vuông diện tích bằng 24 như hình vẽ, ở đó 4 đỉnh của hình 12-giác là trung điểm của các cạnh hình vuông Tìm diện tích của hình 12-giác đều

Cho S là tập hợp gồm 30 điểm trên mặt phẳng, có tính chất là khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kì trong S nhỏ nhất bằng 1 Định nghĩa T

là tập con lớn nhất của S sao cho khoảng cách giữa hai điểm phân biệt bất kì của T

là nhỏ nhất bằng 3 Có bao nhiêu điểm trong tập T?

Chứng minh rằng nếu 3 3

4

2+ là nghiệm của một đa thức bậc

ba với các hệ số nguyên, thì nó là nghiệm thực duy nhất của đa thức này

Trong hình vẽ, l1 và l2 là hai đường thẳng song song, AB là đoạn vuông góc với chúng, và P, Q, R, S là các giao điểm của l1 và l2 với một đường tròn với đường kính lớn hơn AB và tâm C nằm trên đoạn thẳng AB Chứng minh rằng tích PR PS không phụ thuộc vào vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB

Q

- - handuc@hello.to

Milo là một sinh viên trường Mindbender High Sau mỗi bài kiểm tra, cậu ta tính điểm trung bình của mình và luôn làm tròn tới phần trăm gần nhất (85,49 làm tròn xuống thành 85, nhưng 85,50 thì làm tròn lên thành 86) Hôm nay cậu ta có hai bài kiểm tra Bài đầu cậu ta được 75 điểm môn tiếng Pháp, làm giảm điểm trung bình của cậu ta đi 1 điểm Sau đó cậu ta được 83 điểm môn lịch sử, làm tăng điểm trung bình của cậu ta lên 2 điểm

Hỏi điểm trung bình của Milo hiện nay là bao nhiêu?

Erin đang nghĩ ra một trò chơi và muốn chọn 4 loại đồng tiền từ các loại $1, $2, $3, $5, $10, $20, $25 và $50 để chơi với tiền Cậu ta đã chọn chúng như thế nào để mà mọi giá trị từ $1 đến $120 có thể nhận được bằng cách dùng nhiều nhất là 7 tờ bạc

Với số nguyên dương d nào thì có thể tô màu các số nguyên màu

đỏ hoặc xanh sao cho không có hai điểm đỏ nào cách nhau d và không có hai

điểm xanh nào cách nhau 1?

Chứng minh rằng có vô hạn bộ ba số nguyên dương sắp thứ tự (x, y, z) sao cho

x3 + y5 = z7 Chỉ được trang bị một compa (không có cạnh thẳng) vẽ hai

đường tròn cắt nhau theo một góc vuông; tức là dựng những đường tròn đè lên nhau trong cùng một mặt phẳng, trực giao (các tiếp tuyến tại lần lượt hai giao

điểm của chúng vuông góc)

Cho a, b, c, d là các số dương sao cho a2 + b2 + (a - b)2 = c2 + d2 + (c - d)2 Chứng minh rằng a4 + b4 + (a - b)4 = c4 + d4 + (c - d)4

Các nhãn giá trong một cửa hàng bách hoá ghi như sau:

Cho các số nguyên dương a và b Kí hiệu a ~ b nếu ab + 1 là một

số chính phương Chứng minh rằng nếu a ~ b, thì tồn tại một số nguyên dương c sao cho a ~ c và b ~ c

Cho tam giác ABC, kéo dài các cạnh để dựng thành hai hình lục giác như hình vẽ So sánh diện tích của hai lục giác đó

H A R R I E T D I A N A

M A R R I E D A N D+ H E R S A R A H

D E N T I S T + A R E

R E B E L S

Hai hình chóp có chung đáy 7 cạnh, với các đỉnh kí hiệu là A1,

A2, , A7 Chúng có các đỉnh khác là B và C Không có ba điểm nào trong 9 điểm

là thẳng hàng Mỗi cạnh trong 14 cạnh BAi và CAi (i = 1, , 7), 14 đường chéo của

đáy, và đoạn BC, được tô màu xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng có ba đoạn trong chúng có cùng màu và là ba cạnh của một tam giác

Giả thiết cho các số nguyên dương a, b, c và x, y, z thoả mãn a2 +

b2 = c2 và x2 + y2 = z2 Chứng minh rằng:

(a + x)2 + (b + y)2 ≤ (c + z)2

Và hãy xác định khi nào dấu bằng xảy ra?

Cho C1 và C2 là hai đường tròn cắt nhau tại A và B C0 là đường tròn qua A với tâm B Hãy xác định điều kiện để cho dây cung chung của C0 và C1

tiếp xúc với C2?

Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc

Với n là một số nguyên dương, đặt P(n) là tích của các chữ số khác không trong hệ thập phân của n Ta gọi n là "prodigitious" nếu P(n) chia hết

n Chứng minh rằng không thể có một dãy 14 số nguyên dương liên tiếp mà tất cả

là prodigitious

Các đĩa được đánh số từ 1 đến n và xếp vào một hàng các ô vuông với một ô vuông để trống Một bước chuyển bao gồm lấy đi một đĩa và di chuyển nó vào ô trống Mục đích là sắp xếp lại các đĩa với số bước chuyển ít nhất sao cho đĩa 1 trong ô vuông 1, đĩa 2 trong ô vuông 2, , đĩa n trong ô vuông n, và

ô vuông cuối cùng là ô trống Chẳng hạn, nếu vị trí ban đầu là

Cho ABCD là một tứ giác lồi tuỳ ý, với E, F, G, H là những trung

điểm của các cạnh như được chỉ ra trên hình vẽ Chứng minh rằng người ta có thể ghép các mảnh tam giác AEH, BEF, CFG, DGH lại với nhau để thành một hình bình hành tương đẳng (congruent) với hình bình hành EFGH

- - handuc@hello.to

Số 154 chữ số 19202122 939495 nhận được bằng cách viết liền nhau các số nguyên từ 19 đến 95 theo chiều tăng dần Chúng ta xoá đi 95 chữ số của số đó để được một số lớn nhất có thể được Hỏi 19 chữ số của số có 59 chữ số này là gì?

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m, n) sao mà m2 - n2 = 1995 Chứng minh rằng có thể sắp xếp trên mặt phẳng 8 điểm sao cho không có 5 điểm nào trong chúng là các đỉnh của một ngũ giác lồi (Một ngũ giác

là lồi nếutất cả các góc trong của nó không vượt quá 180 độ)

Một người đàn ông hơn vợ ông ta 6 tuổi Ông ta cho biết 4 năm trước ông ta đã cưới vợ được đúng một nửa số tuổi ông ta Ông ta sẽ bao nhiêu tuổi vào lễ kỉ niệm 50 năm ngày cưới nếu vào 10 năm tới thì bà vợ đã trải qua 2/3 cuộc đời lấy ông ta? (*)

Số bé nhất các hình chữ nhật 3 x 5 là bao nhiêu sẽ phủ kín một hình vuông 26 x 26? Các hình chữ nhật có thể đè lên nhau và/hoặc lên các cạnh của hình vuông Bạn nên chứng minh kết luận của bạn bằng một ví dụ cụ thể

Xác định độ dài nhỏ nhất của khoảng [a, b] sao cho a ≤ x + y ≤ b với mọi số thực x ≥ y ≥ 0 thoả mãn 19x + 95y = 1995

Với số nguyên dương n ≥ 2, kí hiệu P(n) là tích của các ước số nguyên dương (bao gồm 1 và n) của n Tìm số n nhỏ nhất để P(n) = n10

Cho đồ thị (graph) trên hình vẽ với 10

đỉnh, 15 cạnh và mỗi đỉnh có bậc 3 (nghĩa là có 3 cạnh

nối với mỗi đỉnh) Một số cạnh được đánh số 1, 2, 3, 4,

5 như hình vẽ Chứng minh rằng có thể đánh số 6, 7, ,

15 các cạnh còn lại sao cho tại mỗi đỉnh tổng của các số

trên các cạnh nối với nó là bằng nhau

Cho a, b, c, d là các số thực khác nhau sao cho a + b + c + d = 3 và a2 + b2 + c2 + d2 = 45

Tìm giá trị của biểu thức:

) d b )(

c b )(

a b (

b )

d a )(

c a

b d )(

a d (

d )

d c )(

b c )(

a c (

b a C

- - handuc@hello.to

Có thể thay thế mỗi dấu ± dưới đây thành - hoặc + để

±1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± ± 96 = 1996

Nhiều nhất bao nhiêu dấu ± có thể được thay bởi dấu +?

Ta nói (a, b, c) là một primitive Heronian triple nếu a, b và c là các số nguyên dương không có thừa số chung (khác 1), và diện tích của tam giác

mà độ dài các cạnh a, b, c cũng là một số nguyên Chứng minh rằng nếu a = 96 thì

b và c phải cùng là lẻ

Các số trong hình chữ nhật 7 x 8 trên hình vẽ được tạo thành bằng cách đặt 28 quân đôminô khác nhau của một bộ cờ thông thường, ghi lại các

số (số chấm, từ 0 đến 6) trên mỗi mặt của các quân đôminô và xoá đi biên của chúng Xác định lại biên ban đầu của các quân đôminô (Chú ý: Mỗi quân đôminô chứa hai ô vuông liền nhau bởi một cạnh)

29 x

Hãy xác định số điểm (x, y) trên hyperbol

2xy - 5x + y = 55 sao mà cả x và y là các số nguyên

Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho phát biểu sau đây là đúng: Với mọi tập hợp gồm n số nguyên dương người ta luôn luôn chọn ra được bảy số nguyên dương có tổng chia hết cho 7

Những ông chồng của 11 nhà toán học đi theo các bà vợ của họ

đến dự một cuộc meeting Thỉnh thoảng những người chồng đi qua một người khác trên đại sảnh, nhưng một khi đôi nào đó đã đi qua nhau một lần, thì họ không bao giờ đi qua nhau lần nào nữa Khi họ qua đi qua nhau, hoặc chỉ một người nhận thấy người kia, hoặc họ nhận ra nhau, hoặc không ai nhận ra người khác Chúng ta sẽ quy cho sự kiện một ông chồng nhận ra người khác như là một

"cái nhìn" (sighting), và sự kiện họ nhận ra nhau là một "cuộc tán gẫu" (chat), vì lẽ rằng trong trường hợp này họ ngừng lại để tán gẫu Chú ý rằng mỗi cuộc tán gẫu ứng với hai cái nhìn

Nếu 61 cái nhìn xảy ra, chứng minh rằng một trong những ông chồng phải có

ít nhất hai cuộc tán gẫu

Giả sử rằng a và b là hai số nguyên dương sao cho các phân số a/(b - 1) và a/b, khi làm tròn (theo quy tắc thông thường, nghĩa là gặp chữ số 5 và lớn hơn thì làm tròn lên, còn chữ số 4 và nhỏ hơn thì làm tròn xuống) tới 3 chữ số thập phân sau dấu phảy, thì cả hai số thập phân có giá trị là 0,333

Trong hình vẽ, các tâm của những đường tròn C0, C1, và C2 là thẳng hàng, A và B là các giao điểm của C1 và C2, và C là giao điểm của C0 và

đường thẳng đi qua AB Chứng minh rằng hai đường tròn nhỏ, tiếp xúc với C0,

C1, BC, và C0, C2,BC tương ứng, là bằng nhau

31 28 Tìm số nguyên dương nhỏ nhất xuất hiện trong mỗi cấp số cộng cho ở dưới, và chứng minh rằng có vô hạn số nguyên dương xuất hiện trong cả ba dãy này

5, 16, 27, 38, 49, 60, 71,

7, 20, 33, 46, 59, 72, 85,

8, 22, 36, 50, 64, 78, 92,

Sắp xếp lại các số nguyên 1, 2, 3, 4, , 96, 97 thành một dãy a1, a2,

a3, a4, , a96, a97 sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu của ai+1 và ai là 7 hoặc 9 với mọi i

= 1, 2, 3, , 96

Thừa nhận quá trình vô hạn như trên hình vẽ bên trái (mà người

ta thường gọi là liên phân số - ND), có lợi khi biểu diễn một số thực dương Hãy xác định số thực này

1

5 1

3

1 5 1

1

5 3

3

1 1 5 3

1

5 1

3

1 5 3

1

5 3

3

1 1 1 1

1

+

+ + +

+ + + +

+ + +

+ + + +

+

+ + +

+ + +

+

+ + +

+ + + +

+

B D

A

CCho tam giác cân (trên hình bên phải) ABC với ∠ABC = ∠ACB =

78o Gọi D và E là các điểm tương ứng trên AB và AC sao cho ∠BCD = 24o và

∠CBE = 51o Hãy xác định, với một chứng minh, góc ∠BED