bộ đề thi vào lớp 10 toán

Gọi N là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB.a Chứng minh: tứ giác MNAC nội tiếp.. c Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.. c Đường tròn ngoại tiếp tam g

Môn thi: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Gọi ( )O là đường tròn tâm O, đường kính AB Gọi H là điểm nằm giữa A

và O, từ Hvẽ dây CD vuông góc với AB Hai đường thẳng BC và DA cắtnhau tại M Gọi N là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB.a) Chứng minh: tứ giác MNAC nội tiếp

b) Chứng minh: NC là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn ( )O cắt đường thẳng NC tại E Chứngminh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH

Câu 5 (1,0 điểm)

Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 họcsinh đến từ 16 địa phương khác nhau tham dự Giả sử điểm bài thi mônToán của mỗi học sinh đều là số nguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10.Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh có điểm môn Toán giống nhau

1 1 4 2

m

x = − − ; 2

1 1 4 2

x x

=



⇔  = −

www.VNMATH.com Câu 4a

(0,75

điểm)

I E N

M

C

D

B O

A H

Ta có :MNA· = 90 0 (giả thiết)

Vì MNAC nội tiếp và MN song song CD nên ·ACN = ·ADC (*)

Vì ADBC nội tiếp nên ·ADC =ABC· (**)

Từ (*) và (**) suy ra ·ACN = ·ABC.Vậy NC là tiếp tuyến của ( )O

Suy ra CAlà phân giác trong của tam giác∆ECI

Ta có CB⊥CA ⇒ CB là phân giác ngoài của tam giác ECI

Ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau và đến từ 16 địa

phươngTheo nguyên lý Dirichlet tìm được 6 em có cùng điểm thi môntoán và đến từ cùng một địa phương

âu 6 Ta có 1 ≤ ≤a 2 suy ra(a− 1) (a− ≤ 2) 0;Suy ra 2

C

D E F

G

H

Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.

AEF vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI= 1.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài : 150 phút , Không kể thời gian giao đề

Bài 1: (1,5 điểm)Cho biểu thức: 2 2( 1) 103 3, ( 0, 1).

1/ Rút gọn biểu thức 2/ Tìm x để biểu thức có giá trị lớn nhất

Bài 2: (1,5 điểm)Cho parabol (P) 2

2

x

y= ; đường thẳng (d) : mx + ny = 2 và hai điểm M(0; 2); N(4; 0)

1) Tìm m, n biết đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, N.Khi đường thẳng (d) đi qua điểm M Chứng minh rằng (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Tìm tọa độ A và B biết rằng khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 6 2.

Bài 3 (1,5 điểm)Cho phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 với a, b là tham số Tìm giá trị của a, b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện: 1 2

3 3

1 2

3 9

2/ Cho hai số thực a, b Chứng minh rằng: 2(a4 + b4) ≥ ab3 + a3b + 2a2b2

Bài 5: (3,5 điểm)Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi d là

đường thẳng đi qua A và vuông góc với AB Lấy điểm C trên đường tròn sao cho BC > R, dựng CD vuông góc với AB (D thuộc AB) Gọi E là điểm trên tia CD sao cho ED = BC (theo thứ tự C, D, E) Các tiếp tuyến EP, EQ với đường tròn tâm O (P và A nằm cùng phía so với DE) cắt đường thẳng d lần lượt tại N và K; CE cắt đường tròn tâm O ở F

( 6 − 2; 4 2 3 ; − ) (− 6 − 2;4 2 3 + ) .

Bài 3

- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: ∆ =a2 − 4b− ≥ 4 0.(*)

- Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = - a , x1.x2 = b + 1, kết hợp với điều kiện của giả thiết ta có hệ phương trình:

T = 60(a – 10) 2 + 2000 ≥ 2000 Vậy min T = 2000 khi a = b = 10.

2) Chuyển vế và biến đổi tương đương ta được kết quả cuối cùng (a2 – b2)2 +(a – b)2(a2 + ab + b2) ≥ 0 là biểu thức luôn đúng

Bài 5 1) EP2 = EF.EC ∆EPF∽ ECP ∆ (g-g)

2) + Trong ∆BCA vuông tại C ta có BD = BC2: AB = BC2: 2R2.(1)

NA = NP, ta được kết quả SKNE = R(x – y) (5)

4) Dựng EH ⊥AK, EH = AD = 2R – y Vậy SKNE = EH KN2. = x R y(2 2− ) (6)

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p q, thỏa mãn điều kiện p2 − 2q2 = 1.

Câu 3 (1,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc= 1 Chứngminh:

CF tại Q, R, S Chứng minh:

a) Tứ giác BQCR nội tiếp.

b) PC PB = DC DB và D là trung điểm của QS.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC

Câu 5 (1,0 điểm) Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số

được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng

không có cùng số dư khi chia cho 16?

*) x+ = ⇔ + = ⇔ = 1 2 x 1 4 x 3.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S={ }2,3

2 a Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì ( 2013 2013 2013)

2 1 + 2 + + n chiahết cho n n( + 1)

Nhận xét Nếu a b, là hai số nguyên dương thì a2013 +b2013 M(a b+ )

Khi đó ta có

( 2013 2013 2013) ( 2013 2013) ( 2013 ( )2013) ( 2013 2013) ( )

2 1 + 2 + + n = 1 +n + 2 + −n 1 + + n + 1 Mn+ 1 (1)Mặt khác

b Tìm tất cả các số nguyên tố p q, thỏa mãn điều kiện p2 − 2q2 = 1

Nếu p q, đều không chia hết cho 3 thì

2 1 mod 3 , 2 1 mod 3 2 2 2 1 mod 3

p ≡ q ≡ ⇒ p − q ≡ − vô lý Do đó trong hai số p q,

a Tứ giác BQCR nội tiếp.

Do AB AC< nên Q nằm trên tia đối của tia BA và R nằm trong đoạn CA,

từ đó Q, C nằm về cùng một phía của đường thẳng BR.

Do tứ giác BFEC nội tiếp nên ·AFE BCA= · ,

Do QR song song với EF nên ·AFE BQR= ·

Từ đó suy ra BCA BQR· = · hay tứ giác BQCR nội tiếp.

b PB DB

PC = DC và D là trung điểm của QS.

Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên DB AE = HB HA

Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên DC AF = HC HA

Từ hai tỷ số trên ta được DB AE HB. AE FB. ( )1

DC = AF HC = AF EC

D M P

Q

R S

E F

H A

B

C

c Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.

Gọi M là trung điểm của BC Ta sẽ chứng minh DP DM =DQ DR.

Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ DR DB DC = (4)

Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành

từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng

số dư khi chia cho 16?

Trả lời: Không tồn tại 16 số như vậy Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được

16 số thỏa mãn Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ Do

đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ là c.

Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này:

, , , , , , , ,

aac abc acc bac bbc bcc cac cbc ccc

Gọi x x1 , , , 2 … x9 là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên bằng

cách bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị) Khi đó x c x c i ≡ / j (mod16) ⇔ 16 không làước của x c x c i − j tức là x i −x j không chia hết cho 8

Nhưng trong 9 số x x1 , , , 2 … x9 chỉ có ba số lẻ ac bc cc, , nên 8 số bất kỳ trong

9 số x x1 , , , 2 … x9 luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho 8, mâu thuẫn

Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn cũng

không xảy ra

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

2) Tìm số chính phương x sao cho P2 là số nguyên

Câu II (2,0 điểm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

1) Cho các số thực x, y, z, a, b, c thỏa mãn các điều kiện x y z 1

a + + =b c và0

a b c

x+ + =y z Chứng minh rằng x22 y22 z22 1

a +b +c =

2) Tìm các số nguyên a để phương trình: x2 − + (3 2 )a x+ 40 − =a 0 cónghiệm nguyên Hãy tìm các nghiệm nguyên đó

Câu III (1,5 điểm)

1) Cho hệ phương trình 2

3 2

m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( )x y; thỏa mãn x2 − 2x y− > 0.

2) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện 2c b abc+ = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 3 4 5 .

b c a c a b a b c

Câu IV (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N Vẽ dây AM song song với BC Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại M và P

Câu V (1,5 điểm)

1) Cho đường tròn tâm O bán kính 1, tam giác ABC có các đỉnh A, B, C

nằm trong đường tròn và có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh

rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.

2) Cho tập A={1;2;3; ;16} Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất saocho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt,

Với a= 40 thì PT có hai nghiệm nguyên là x= 0,x= 83.

Với a= − 44 thì PT có hai nghiệm nguyên là x= − 1,x= − 84.

3 1 m

Gọi K là giao điểm của ON và BC

thì K là trung điểm của BC.

Mà ∆OBN vuông tại B, BK là đường cao nên 2 2 2 2 2

điểm của BC Suy ra Q K≡ Vậy BC ON AP, , đồng quy tại K.

Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC Không mất tính tổng quát giả sử A

và O nằm về hai phía của đường thẳng BC Suy ra đoạn AO cắt đường thẳng BC tại K Kẻ AH vuông góc với BC tại H.Suy ra, AH ≤ AK < AO < 1 suy

Nếu a b, chẵn thì a2 +b2 là hợp số Do đó nếu tập con X của A có hai phần

tử phân biệt a b, mà a2 +b2 là một số nguyên tố thì X không thể chỉ chứacác số chẵn Suy ra, k≥ 9 Ta chứng tỏ k= 9 là giá trị nhỏ nhất cần tìm Điều

đó có ý nghĩa là với mọi tập con X gồm 9 phần tử bất kỳ của A luôn tồntại hai phần tử phân biệt a b, màa2 +b2 là một số nguyên tố

Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập A thành các cặp hai phần tửphân biệt a b, mà 2 2

a +b là một số nguyên tố, ta có tất cả 8 cặp:

( ) ( ) ( ) (1; 4 , 2;3 , 5;8 , 6;11 , 7;10 , 9;16 , 12;13 , 14;15) ( ) ( ) ( ) ( )

Theo nguyên lý Dirichlet thì 9 phần tử của X có hai phần tử cùng thuộcmột cặp và ta có điều phải chứng minh

ĐỀ 6

www.VNMATH.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO NAM ĐỊNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG

THPT CHUYÊN Năm học 2014 – 2015

Môn: TOÁN (chuyên

ĐỀ 7

Bài 1: (2,0 điểm): 1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: 1 1 1 1

a b c+ + = và a + b+ c = 1

Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các

đường cao AA 1 ; BB 1 ; CC 1 của tam giác ABC cắt nhau tại H Đường thẳng AA 1 cắt đường tròn (O) tại K khác A.

1) Chứng minh A 1 là trung điểm của HK.

Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn x3 +y3 − 3xy= 1

Bài 5: (1,5 điểm): 1) Trên bảng ghi một số nguyên dương có hai chữ số trở

lên Người ta thiết lập số mới bằng cách xóa đi chữ số hàng đơn vị của số

đã cho, sau đó cộng vào số còn lại 7 lần số vừa bị xóa Ban đầu trên bảngghi số 6100 Hỏi sau một số bước thực hiện như trên ta có thể thu được 1006

hay không ? Tại sao ?

2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2 2 2

3

x +y +z = xyz Chứng minhrằng:

3 2

a a b

=

 + =

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO NGHỆ AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN

BỘI CHÂU NĂM HỌC 2014 – 2015

ĐỀ 8

Môn thi: TOÁN

Câu 1 (7,0 điểm).a) Giải phương trình x+ + 1 2x x+ = 3 2x+ x2 + 4x+ 3.b) Giải hệ phương trình

1 ( 1) ( 1) 2

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 4 (6,0 điểm).Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có các

đường cao AE và CF cắt nhau tại H Gọi P là điểm thuộc cung nhỏ BC (P khác

B, C); M, N lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng AB và AC.

Chứng minh rằng:

a) OB vuông góc với EF và BH 2EF

b) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng HP.

Câu 5 (2,0 điểm).Cho tam giác nhọn ABC có ·BAC= 60 ,o BC= 2 3cm Bêntrong tam giác này cho 13 điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong 13 điểm ấyluôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm

x x

1

zx z x( + ≥) 2 z x3 3 (5)Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (3), (4), (5) ta được

Vì AEC AFC 90 · = · = 0nên tứ

giác ACEF nội tiếp.

Suy ra BFE· = ·ACB (cùng bùvới góc ·AFE) (1)

Kẻ tia tiếp tuyến Bx của đường tròn (O) tại B.

Xét ∆BEF và ∆BAC có ·ABC chung và ·BFE = ·ACB ( theo (1))

nên ∆BEF và ∆BAC đồng dạng

Mặt khác ∆BEF và ∆BAC lần lượt nội tiếp đường tròn bán kính

Gọi M 1 và N 1 lần lượt là các điểm đối xứng với P qua AB và AC.

Ta có ·AM B APB1 = · (do tính chất đối xứng) (3) ·APB ACB= · (cùng chắn cung AB) (4)

Tứ giác BEHF nội tiếp nên ·BFE BHE= · (5)Mặt khác theo câu a) ·BFE = ·ACB (6)

Từ (3), (4), (5), (6) suy ra ·AM B BHE1 = · · · 0

AM B AHB

H G

O

C B

⇒ = mà ·ABM1=·ABP nên ·AHM1= ·ABP

Chứng minh tương tự ta có ·AHN1 =·ACP

Mặt khác MN là đường trung bình của tam giác PM 1 N 1 , do đó

MN đi qua trung điểm của PH

5.

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

Do tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác ABC

Vì ·BAC= 60 0 nên MOC· = 60 0, suy ra

sin 60

MC

Vì O nằm trong tam giác ABC và OM ⊥BC ON, ⊥ AC OP, ⊥ AB

Suy ra tam giác ABC được chia thành 3 tứ giác ANOP, BMOP, CMON nội tiếp các đường tròn có đường kính 2 (đường kính lần lượt là OA,

Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại ít nhất một trong 4 tứ giác này

chứa ít nhất 2 điểm trong 5 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác AEIF chứa 2 điểm X, Y trong số 13 điểm đã cho.

Vì X, Y nằm trong tứ giác AEIF nên X, Y nằm trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, do đó XY không lớn hơn đường kính đường tròn này, nghĩa là khoảng cách giữa X, Y không vượt quá 1.

SỞ GD & ĐT THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH

Năm học 2014 – 2015MÔN THI: TOÁN

( Dành cho thí sinh chuyên Toán, Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao

= +

48 32y x

96y y

8 x

2 2

S = +

2) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn: a2 + ab + b2 = c2 +

cd + d2 Chứng minh a + b + c + d là hợp số

Bài 3 (1,0 điểm)

Cho a, b, c là ba số thực dương và có tổng bằng 1

Chứng minh: aa+-bcbc+bb+-caca +cc+-abab ≤23

1) Chứng minh AO là phân giác góc IAJ.

2) Chứng minh bốn điểm A, B, D, O cùng thuộc một đường tròn

3) Tìm đường tròn cố định luôn đi qua M khi B, D di động

(x 2)(2x 3) 5x 6 2 10 3x 2

Với những giá trị của x thuộc tập xác định, ta thấy:

VT(2) < 3, VP(2) > 3, do vậy phương trình (2) vô nghiệm

x + 2xy 16y + = ⇔ 0 x y + + 15y = ⇔ = = 0 x y 0 thay vào

hệ phương trình không thỏa mãn

Vậy hệ có hai nghiệm: x 4; x 4

Giả sử s = p là một số nguyên tố ⇒ + + ≡ − a b c d (mod p).Từ (1)

suy ra: ab cd 0(mod p)⇒ +−(c a)(c b) 0(mod p)≡ + ≡ ⇒ab c(a b c) 0(mod p)+ + + ≡

Vì p là số nguyên tố nên suy ra:  + ≡a c 0 (mod p)b c 0 (mod p)+ ≡

Điều này vô lý vì 1 < a + c, b + c < p (a, b, c, d là các số nguyên

dương và có tổng bằng p)

0,5

Vậy s > 1 và không là số nguyên tố nên s phải là hợp số 0,25

3 Cho a,b,c là các số thực dương và có tổng bằng 1 1,0

3 Cho hình bình hành ABCD với A, C cố định và B, D di động.

Đường phân giác của ·BCD cắt AB và AD theo thứ tự tại I và J (Jnằm giữa A và D) Gọi M là giao điểm khác A của hai đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABD và AIJ, O là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác AIJ

1) Chứng minh AO là phân giác của ·IAJ

2) Chứng minh bốn điểm A, B, D, O cùng thuộc một đườngtròn

3,0

J

D

K A

C B

Theo giả thiết ABCD là hìnhbình hành nên suy ra:

0,5

· · AIJ AJI AIJ

⇒ = ⇒ ∆ cân tại A 0,25

Mà O là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác AIJ nên AO là phângiác ·IAJ

0,25

2 Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của O thứ tự lên AI, AJ Do AO

là phân giác góc ·IAJ nên OE OF 1 = ( ) ; OFD OEB· = · (= 90 0) ( )2

Từ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 ⇒ ∆OFD= OEB c g c∆ ( − − ⇒) ABO ADO· = · mà B, D

cùng phía với AO ⇒ ABDOlà tứ giác nội tiếp (quỹ tích cung

chứa góc)

A, B, D,O

⇒ thuộc một đường tròn

0,25

-) Chứng minh OK là trung trực của BD và AM (K là trung điểm

BD)

0,25

-) Chứng minh AMC 90 · = 0 và suy ra M thuộc đường tròn đường

kính AC cố định

0,25

5 Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn

tại ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 11

1,0

Xét tập hợp 39 số tự nhiên liên tiếp: S ={a ;a ; ;a 1 2 39} ,

(a i 1+ = + a i 1, 1 i 38 ≤ ≤ )

Trong tập {a ;a ; ;a 1 2 20} luôn tồn tại hai số có tận cùng là 0 và

hơn kém nhau 10 Do đó trong hai số này tồn tại ít nhất một